指数関数的減衰

Decrease in value at a rate proportional to the current value

指数関数的に減少する量。減衰定数が大きいほど、この量はより急速に減少します。このグラフは、減衰定数（λ）が25、5、1、1/5、1/25の場合の減衰を、 xが0から5までの範囲で示しています。

ある量が現在の値に比例する速度で減少する場合、その量は指数関数的減少の影響を受ける。この過程は、記号的に次の微分方程式で表すことができる。ここで、Nは量、λ（ラムダ）は指数関数的減少定数、崩壊定数、^{[1] 、}速度定数、^[2] 、あるいは変換定数と呼ばれる正の速度である。^[3]

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t).}$

この方程式の解は次のとおりです（下記の導出を参照）。

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t},}$

ここで、_N ( t )は時刻tにおける量、N0 = N (0)は初期量、つまり時刻t =0における量です。

減衰率の測定

平均寿命

減衰量N ( t ) をある集合内の離散要素の数とすると、ある要素がその集合内に留まる平均時間を計算することができます。これは平均寿命（または単に寿命）と呼ばれ、指数時定数 は減衰率定数 λ と以下のように関係します。 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

平均寿命は「スケーリング時間」として考えることができます。これは、指数関数的減衰方程式が減衰定数 λ の代わりに平均寿命 で表すことができるためです。 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau },}$

これは、集合体の密度が初期値の1 ⁄ e ≈ 0.367879441 倍に減少する時間です。これは半減期の約 1.442695 倍に相当します。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \log _{2}{e}}$

たとえば、アセンブリの初期人口N (0)が1000の場合、時刻における人口は368になります。 ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle N(\tau )}$

以下に、指数の底をeではなく2にした場合の非常によく似た式を示します。この場合、スケーリング時間は「半減期」となります。

人生の半分

指数関数的減衰のより直感的な特徴は、多くの人にとって、減衰量が初期値の半分に減少するのに必要な時間です。（N ( t ) が離散的な場合、これは平均寿命ではなく中央値寿命です。）この時間は半減期と呼ばれ、しばしばt_{​​ 1/2}という記号で表されます。半減期は、減衰定数、つまり平均寿命を用いて次のように表すことができます。

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

この式を上記の指数方程式に挿入し、 ln 2を底に吸収すると、この方程式は次のようになります。 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.}$

したがって、残留物質の量は、 経過した半減期の数（整数または分数）の2 ^{−1 = 1/2乗となります。したがって、半減期が3回経過すると、元の物質の1/2 3}  = 1/8が残ります。

したがって、平均寿命は半減期を自然対数 2 で割った値、つまり次の式に等しくなります。 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln(2)}}\approx 1.4427\cdot t_{1/2}.}$

たとえば、ポロニウム 210 の半減期は 138 日、平均寿命は 200 日です。

微分方程式の解

指数関数的減少を表す式は

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{dt}}=-\lambda N(t)}$

あるいは、並べ替えることによって（変数分離と呼ばれる手法を適用して）、

${\displaystyle {\frac {dN(t)}{N(t)}}=-\lambda dt.}$

統合すると、

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

ここでCは積分定数であり、したがって

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

ここで、最終的な置換N ₀ = e ^Cは、 N _0がt = 0における量として定義されているため、t = 0で方程式を評価することによって得られます。

これは指数関数的減衰を記述するために最も一般的に用いられる方程式の形です。減衰定数、平均寿命、半減期のいずれか1つで減衰を特徴づけることができます。減衰定数の表記 λ は、固有値の通常の表記法の名残です。この場合、 λ は、対応する固有関数N ( t )を持つ微分演算子の負の固有値です。

平均寿命の導出

要素の集合が与えられ、その数が最終的にゼロに減少すると仮定した場合、平均寿命、（単に寿命とも呼ばれる）は、物体が集合から除去されるまでの時間の期待値である。具体的には、集合を構成する各要素の個々の寿命が、ある基準時刻からその要素が集合から除去されるまでの経過時間である場合、平均寿命は個々の寿命の算術平均となる。 ${\displaystyle \tau }$

人口の公式から始める

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

まずcを確率密度関数に変換するための正規化係数とします。

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

あるいは、並べ替えると、

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

指数関数的減衰は指数分布（つまり、各物体の個々の寿命が指数分布する）のスカラー倍であり、その期待値はよく知られています。ここでは部分積分を用いてこれを計算できます。

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

2つ以上のプロセスによる崩壊

ある量は、2つ以上の異なる過程を経て同時に崩壊することがあります。一般的に、これらの過程（「崩壊モード」、「崩壊経路」、「崩壊経路」などと呼ばれることが多い）は発生確率が異なり、したがって、異なる半減期を持つ異なる速度で並行して発生します。量 Nの総崩壊速度は、崩壊経路の合計で与えられます。したがって、2つの過程の場合、次の式が成り立ちます。

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

この方程式の解は前のセクションで与えられており、 の合計は新しい全減衰定数として扱われます。 ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\,}$ ${\displaystyle \lambda _{c}}$

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

個々のプロセスに関連する部分平均寿命は、定義により、対応する部分減衰定数の逆数である： 。組み合わせたAはsで表すことができる： ${\displaystyle \tau =1/\lambda }$ ${\displaystyle \tau _{c}}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {1}{\tau _{c}}}=\lambda _{c}=\lambda _{1}+\lambda _{2}={\frac {1}{\tau _{1}}}+{\frac {1}{\tau _{2}}}}$

${\displaystyle \tau _{c}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}.}$

半減期は平均寿命と一定の係数で異なるため、2 つの対応する半減期に関して同じ式が成り立ちます。 ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {t_{1}t_{2}}{t_{1}+t_{2}}}}$

ここで、 は過程の合成半減期、つまり全半減期であり、は対応する過程におけるいわゆる部分半減期です。「部分半減期」および「部分平均半減期」という用語は、ある崩壊モードがその量の唯一の崩壊モードであるかのように、崩壊定数から導出される量を表します。「部分半減期」という用語は誤解を招きます。なぜなら、ある量が半分になる時間間隔として測定することはできないからです。 ${\displaystyle T_{1/2}}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$

個々の崩壊定数の観点から見ると、全半減期は次のように示される。 ${\displaystyle T_{1/2}}$

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

3 つの同時指数関数的プロセスによる減衰の場合、合計半減期は上記のように計算できます。

${\displaystyle T_{1/2}={\frac {\ln 2}{\lambda _{c}}}={\frac {\ln 2}{\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}}}={\frac {t_{1}t_{2}t_{3}}{(t_{1}t_{2})+(t_{1}t_{3})+(t_{2}t_{3})}}.}$

崩壊系列 / 結合崩壊

核科学および薬物動態学では、目的の物質は崩壊系列に位置する可能性があり、その蓄積はソース物質の指数関数的崩壊によって決まり、一方、目的の物質自体は指数関数的プロセスによって崩壊します。

これらのシステムは、ベイトマン方程式を使用して解きます。

薬理学の設定では、摂取された物質の一部は、指数関数的減少として合理的にモデル化されたプロセスによって体内に吸収されるか、またはそのような放出プロファイルを持つように意図的に配合される可能性があります。

アプリケーションと例

指数関数的減少は様々な状況で発生します。そのほとんどは自然科学の領域に属します。

指数関数的として扱われることが多い多くの減衰過程は、実際にはサンプル数が大きく、大数の法則が成り立つ場合にのみ指数関数的となります。サンプル数が少ない場合は、ポアソン過程を考慮したより一般的な解析が必要です。

自然科学

• 化学反応：ある種の化学反応の速度は、ある反応物の濃度に依存します。反応速度が一つの反応物の濃度のみに依存する反応（一次反応）は、結果として指数関数的な減衰を示します。例えば、多くの酵素触媒反応はこのような挙動を示します。
• 静電気：RC回路では、コンデンサ（容量C ）に含まれる電荷（または、等価的に電位）は、一定の外部負荷（抵抗R）を介して指数関数的に減少し、同様に指数関数的減少の鏡像で充電されます（コンデンサが一定の電圧源から一定の抵抗を介して充電される場合）。このプロセスの指数時定数はであるため、半減期は です。、インダクタの電流の双対にも適用できます ${\displaystyle \tau =R\,C,}$ ${\displaystyle R\,C\,\ln(2).}$
  • さらに、コンデンサやインダクタが複数の並列 抵抗を介して変化するという特殊なケースは、各抵抗がそれぞれ独立した減衰過程を表す、複数の減衰過程の興味深い例となります。実際、並列接続された2つの抵抗の等価抵抗の式は、2つの減衰過程を持つ半減期の式と完全に一致します。
• 地球物理学： 大気圧は海抜の上昇とともにほぼ指数関数的に減少し、1000mあたり約12％の割合で減少します。 ^{[引用が必要]}
• 熱伝達：ある温度の物体が別の温度の媒体にさらされると、物体と媒体間の温度差は指数関数的に減少します（これは、ゆっくりとしたプロセスの限界において、物体内部の熱伝導が「良好」であることに相当し、物体の温度は体積全体にわたって比較的均一に保たれます）。ニュートンの冷却の法則も参照してください。
• 発光：励起後、発光物質の発光強度（励起された原子または分子の数に比例）は指数関数的に減少します。関与するメカニズムの数に応じて、減衰は単指数関数的または多重指数関数的になります。
• 薬理学および毒物学：投与された多くの物質は、指数関数的な減衰パターンに従って分布および代謝されることが分かっています（クリアランスを参照）。物質の生物学的半減期である「アルファ半減期」と「ベータ半減期」は、物質がどれだけ速く分布し、排泄されるかを示す指標です。
• 物理光学：吸収媒質中における光、X線、ガンマ線などの電磁放射の強度は、吸収媒質中への距離に応じて指数関数的に減少します。これはランベルト・ベールの法則として知られています。
• 放射能：放射性核種のサンプルが放射性崩壊を起こして異なる状態になった場合、元の状態の原子の数は、残存原子数が多い限り指数関数的に減少します。この崩壊生成物は放射性核種と呼ばれます。
• 熱電気:温度が上昇すると、負温度係数サーミスタの抵抗が減少します
• 振動：一部の振動は指数関数的に減衰することがあります。この特性は減衰機械発振器によく見られ、シンセサイザーのADSRエンベロープの作成に利用されます。過剰減衰システムは、指数関数的な減衰を経て平衡状態に戻ります。
• ビールの泡：ミュンヘンのルートヴィヒ・マクシミリアン大学のアルント・ライケは、ビールの泡が指数関数的減少の法則に従うことを証明したことでイグ・ノーベル賞を受賞した。 ^[4]

社会科学

• 金融：退職基金は、通常は毎月の離散的な支払額と、一定期間の金利が適用される入力によって、指数関数的に減少します。微分方程式 dA/dt = 入力 − 出力 を書いて解くことで、基金残高が任意の金額 A に達するまでの時間を求めることができます。
• 単純な言語年代学では、言語の減衰率が一定であるという（議論の余地はあるが）仮定に基づき、個々の言語の年代を推定することができる。（ 2つの言語間の分岐時期を計算するには、指数関数的減衰とは別に、追加の仮定が必要となる。）

コンピュータサイエンス

• インターネットのコアルーティング プロトコルである BGP は、パケットを逸らす可能性のあるパスを記憶するために、ルーティング テーブルを維持する必要があります。これらのパスの 1 つが使用可能から使用不可(およびその逆)に状態を繰り返し変更すると、そのパスを制御する BGPルータは、ルーティング テーブルにパス レコードを繰り返し追加および削除 (パスのフラッピング) する必要があり、その結果、 CPUやRAMなどのローカル リソースが消費され、さらには、ピア ルータに不要な情報がブロードキャストされます。この望ましくない動作を防ぐために、ルート フラッピング ダンピングと呼ばれるアルゴリズムによって各ルートに重みが割り当てられます。この重みは、ルートの状態が変化するたびに大きくなり、時間の経過とともに指数関数的に減少します。重みが一定の限度に達すると、それ以上のフラッピングは行われなくなり、ルートが抑制されます。

指数関数的増加（太線）と減少（細線）の倍加時間と半減期、およびそれらの70/ tおよび72/ t近似値を比較したグラフ。SVG版では、グラフにマウスポインターを合わせると、そのグラフとその補数がハイライト表示されます。

参照

• 指数式
• 指数関数的成長
• 異なる定数を持つ指数過程の連鎖の数学のための放射性崩壊

注記

1. サーウェイ、モーゼス、モイヤー（1989年、384ページ）
2. シモンズ（1972年、15ページ）
3. マグロウヒル (2007)
4. Leike, A. (2002). 「ビールの泡を用いた指数関数的減衰法則の実証」. European Journal of Physics . 23 (1): 21– 26. Bibcode :2002EJPh...23...21L. CiteSeerX  10.1.1.693.5948 . doi :10.1088/0143-0807/23/1/304. S2CID  250873501.

参考文献

• マグロウヒル科学技術百科事典（第10版）. ニューヨーク:マグロウヒル. 2007. ISBN 978-0-07-144143-8。
• サーウェイ、レイモンド A.; モーゼス、クレメント J.; モイヤー、カート A. (1989)、現代物理学、フォートワース：ハーコート・ブレース・ジョバノビッチ、ISBN 0-03-004844-3
• シモンズ、ジョージ F. (1972)、微分方程式とその応用および歴史的注釈、ニューヨーク：マグロウヒル、LCCN  75173716

外部リンク

• 指数関数的減衰計算機
• 指数関数的減衰の確率的シミュレーション
• 時定数に関するチュートリアル

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