平均

平均とは、数値の集合の「中心」を表す量であり、数値集合の極値と中間値の関係にある。^[1]数学、特に統計学においては、いくつかの種類の平均（または「中心傾向の尺度」）が存在する。それぞれは、与えられたデータ群を要約または類型化し、データセットの大きさと正負を示すことを試みる。これらの尺度のうちどれが最も明確であるかは、測定対象、文脈、目的によって異なる。^[2]

算術平均（または「算術平均」）は、値の合計を値の個数で割ったものです。数値x ₁ , x ₂ , ..., x _nの集合の算術平均は、通常、頭上にバー,を用いて表されます。^{[注 1]}数値がより大きな集団の標本から得られたものである場合、算術平均は標本平均（）と呼ばれ、基礎となる分布の集団平均（または期待値）（または）と区別されます。^{[注 2]}^[3] ${\bar {x}}$ ${\bar {x}}$ $\mu$ $\mu _{x}$

確率と統計以外では、平均に関するさまざまな概念が幾何学や数学的解析でよく使用されます。以下に例を示します。

手段の種類

ピタゴラスとは

数学において、古典的なピタゴラス平均は、算術平均（AM）、幾何平均（GM）、調和平均（HM）の3つです。これらの平均は、幾何学と音楽における重要性から、ピタゴラス学派や後世のギリシャ数学者によって比例と併せて研究されました^{[4] 。}

算術平均（AM）

数値リストの算術平均（または単に平均もしくは平均）は、すべての数値の合計をその個数で割ったものです。同様に、標本の平均（通常はと表記）は、標本値の合計を標本内の項目数で割ったものです。 $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$ ${\bar {x}}$

{\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の算術平均は次のようになります。

{\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.

幾何平均（GM）

幾何平均は、正の数の集合に有用な平均であり、その合計（算術平均の場合）ではなく、積（成長率の場合）に従って解釈される。^[1]

{\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\frac {1}{n}}=\left(x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\right)^{\frac {1}{n}}

たとえば、4、36、45、50、75 の 5 つの値の幾何平均は次のようになります。

(4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{\frac {1}{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.

調和平均（HM）

調和平均は、速度（単位時間あたりの距離）の場合のように、何らかの単位に関連して定義された数値の集合に便利な平均です。

{\bar {x}}=n\left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}

例えば、4、36、45、50、75の5つの値の調和平均は

{\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.

ある大きさのタンクをそれぞれ 4、36、45、50、75 分で空にできる 5 つのポンプがある場合、調和平均により、これら 5 つの異なるポンプが連携して稼働すると、それぞれが数分でタンクを空にできる 5 つのポンプと同じ速度でポンプが稼働することがわかります。 $15$ $15$

AM、GM、HMの関係

非負実数のAM、GM、HMは次の不等式を満たす: ^[5]

\mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,

与えられたサンプルのすべての要素が等しい場合、等式が成立します。

統計的な場所

記述統計において、平均値は中央値、最頻値、中間範囲と混同されることがあります。これらはいずれも口語的に「平均」（より正式には中心傾向の尺度）と呼ばれることがあるためです。観測値集合の平均は、値の算術平均です。しかし、歪んだ分布の場合、平均値は必ずしも中央値（中央値）や最も可能性の高い値（最頻値）と同じではありません。例えば、平均所得は、少数の非常に高い所得を持つ人々によって通常上方に歪められ、その結果、大多数の人々の所得は平均よりも低くなります。対照的に、中央値所得は、人口の半分が平均より低く、半分が平均より高い水準です。最頻値所得は最も可能性の高い所得であり、より低い所得を持つ大多数の人々に有利です。中央値と最頻値は、このような歪んだデータに対するより直感的な尺度であることが多いですが、実際には、指数分布やポアソン分布を含む多くの歪んだ分布は、平均値によって最もよく説明されます。

確率分布の平均

確率分布の平均は、その分布に従うランダム変数の長期算術平均値です。ランダム変数がで表される場合、平均は（と表記）の期待値とも呼ばれます。離散確率分布の場合、平均はで与えられ、和はランダム変数のすべての可能な値について取られ、は確率質量関数です。連続分布の場合、平均はで、は確率密度関数です。^[7]分布が離散的でも連続的でない場合も含め、すべての場合において、平均はランダム変数の確率測度に関するルベーグ積分です。平均は存在する必要も有限である必要もありません。いくつかの確率分布では平均は無限大（ $+\infty$ または $-\infty$ ）ですが、他の確率分布では平均は未定義です。 $X$ $X$ $E(X)$ $\textstyle \sum xP(x)$ $P(x)$ $\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx$ $f(x)$

一般化平均

パワー平均

一般化平均は、累乗平均またはヘルダー平均とも呼ばれ、他のいくつかの平均を抽象化します。これは正の数に対して^[1]によって定義されます。 $x_{1},\dots ,x_{n}$

M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.

これはの関数として上で明確に定義されていますが、まで連続的に拡張することができます。^[8]に異なる値を選択することで、他のよく知られた平均値が得られます。 $p$ $\mathbb {R} \setminus \{0\}$ $\mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}$ $m$

名前	指数	価値
最小	$p=-\infty$	$\min\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$
調和平均	$p=-1$	${\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+\dots +{\frac {1}{x_{n}}}}}$
幾何平均	$p=0$	${\sqrt[{n}]{x_{1}\dots x_{n}}}$
算術平均	$p=1$	${\frac {x_{1}+\dots +x_{n}}{n}}$
二乗平均平方根	$p=2$	${\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}}{n}}}$
立方平均	$p=3$	${\sqrt[{3}]{\frac {x_{1}^{3}+\dots +x_{n}^{3}}{n}}}$
最大	$p=+\infty$	$\max\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$

準算術平均

べき乗平均に似たアプローチとして、準算術平均とも呼ばれる -平均があります。区間と実数上の単射関数の場合、-平均は次のように定義されます。 $f$ $f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ $I\subset \mathbb {R}$ $x_{1},\dots ,x_{n}\in I$ $f$

M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).

異なる機能を選択すると、他のよく知られた手段が取得されます。 $f$

平均	$I$	機能^{[注 3]}
算術平均	$\mathbb {R}$	$x\mapsto x$
幾何平均	$]0,+\infty [$ ^[注4]	$x\mapsto \ln(x)$
調和平均	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$	$x\mapsto x^{-1}$
パワー平均	$\mathbb {R} \setminus \{0\}$ ^{[注 5]}	$x\mapsto x^{m}$

加重算術平均

加重算術平均（または加重平均）は、同じ母集団の異なるサイズのサンプルから平均値を結合する場合に使用され、^{[1]で定義されます。}

{\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},

ここで、とはそれぞれ平均値と標本数です。他の用途では、これらはそれぞれの値が平均値に与える影響の信頼性を表す尺度を表します。 $x_{i}$ $w_{i}$ $i$

切り捨て平均

数値の集合には、外れ値（つまり、他の値よりも大幅に低い、または大幅に高いデータ値）が含まれることがあります。多くの場合、外れ値はアーティファクト（人為的要因）によって生じた誤ったデータです。このような場合、切り捨て平均法を使用できます。切り捨て平均法では、データの上限または下限の指定部分（通常は両端から同量）を破棄し、残りのデータの算術平均を求めます。破棄された値の数は、値の総数に対するパーセンテージで示されます。

四分位平均

四分位平均は、切り捨て平均の具体的な例です。これは、最も低い値と最も高い値の4分の1を取り除いた後の算術平均です。

{\bar {x}}={\frac {2}{n}}\;\sum _{i={\frac {n}{4}}+1}^{{\frac {3}{4}}n}\!\!x_{i}

値が順序付けられていると仮定すると、これは単に特定の重みセットの加重平均の具体的な例です。

関数の平均

状況によっては、数学者は無限（あるいは数え切れないほど）の値の集合の平均を計算することがあります。これは、関数の平均を計算するときに起こり得ます。直感的には、関数の平均は、曲線の断面の下の面積を計算し、それをその断面の長さで割ることと考えることができます。これは、グラフ用紙上のマス目を数えることで大まかに行うことができますが、より正確には積分によって行うことができます。積分式は次のように表されます。 $y_{\text{avg}}$ $f(x)$

y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.

この場合、積分が収束することを確実にするために注意が必要です。しかし、関数自体がいくつかの点で無限大に近づく場合でも、平均は有限である可能性があります。

角度と周期量の平均

角度、時刻、その他の周期的な量は、数値を加算したり結合したりするためにモジュラー演算を必要とします。これらの量は、円平均を用いて平均化できます。しかし、これらの状況では、例えば平均化されるすべての点が等距離にある場合など、平均が存在しない可能性があります。カラーホイールを考えてみましょう。すべての色の集合に平均は存在しません。さらに、値の集合に一意の平均が存在しない場合もあります。例えば、時計の点を平均化する場合、11:00と13:00の位置の平均は12:00ですが、この位置は00:00の位置と等しくなります。

フレシェの意味

フレシェ平均は、面、あるいはより一般的にはリーマン多様体上の質量分布の「中心」を決定する方法を与える。他の多くの平均とは異なり、フレシェ平均は、必ずしも要素を加算したりスカラーを乗算したりできない空間上で定義される。これは、ヘルマン・ケルヒャーにちなんでケルヒャー平均と呼ばれることもある。

三角集合

幾何学では、三角形の中心には何千もの異なる定義があり、それらはすべて平面上の三角形の点の集合の平均として解釈できます。^[9]

スワンソンの法則

これは中程度に歪んだ分布の平均の近似値である。^{[10]これは}炭化水素の探査で使用され、次のように定義される。

m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}

ここで、、、はそれぞれ分布の10パーセンタイル、50パーセンタイル、90パーセンタイルです。 ${\textstyle P_{10}}$ ${\textstyle P_{50}}$ ${\textstyle P_{90}}$

その他の手段

参照

注記

^ 「 xバー」と発音します。
^ ギリシャ文字μ、 /'mjuː/ と発音されます。
^ このコラムでは、関数を表すために「マッピング矢印」を使用します。この表記法では、関数はと表されます。 $f$ $x\mapsto f(x)$
^ 幾何平均は上で明確に定義されていますが、このアプローチでは捉えられません。 $[0,+\infty [$
^ ドメインの場合はとなります。 $m\neq 0$ $\mathbb {R}$

参考文献

^ abcd 「平均 | 数学」。ブリタニカ百科事典。 2020年8月21日閲覧。
^ なぜ数学を学ぶ人はほとんどいないのか（YouTube動画）. Math The World. 2024年8月27日. 2024年9月10日閲覧。
^ アンダーヒル、LG; ブラッドフィールドd. (1998) Introstat、Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X181ページ
^ ヒース、トーマス.古代ギリシャ数学の歴史.
^ ジュキッチ、ドゥシャン;ヤンコビッチ、ウラジーミル。マティッチ、イワン。ペトロヴィッチ、ニコラ (2011-05-05)。 IMO Compendium: 国際数学オリンピックに提案された問題集: 1959-2009 第 2 版。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。ISBN 978-1-4419-9854-5。
^ 「AP統計レビュー - 密度曲線と正規分布」。2015年4月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年3月16日閲覧。
^ Weisstein, Eric W. 「人口平均」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月21日閲覧。
^ PS Bullen:平均とその不等式ハンドブック. ドルドレヒト、オランダ: Kluwer、2003年、176頁。
^ Narboux, Julien; Braun, David (2016). 「三角形の中心百科事典の認定版に向けて」(PDF) . Mathematics in Computer Science . 10 (1): 57– 73. doi :10.1007/s11786-016-0254-4. MR 3483261. Clark Kimberlingの指導の下、三角形の中心に関する電子百科事典（ETC）が開発されました。この百科事典には、7000個以上の三角形の中心と、それらの点の多くの特性が含まれています。
^ Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Swansonの30-40-30ルール。アメリカ石油地質学者協会紀要84(12) 1883-1891

[3] 「 xバー」と発音します。

[4] ギリシャ文字μ、 /'mjuː/ と発音されます。

[11] このコラムでは、関数を表すために「マッピング矢印」を使用します。この表記法では、関数はと表されます。 $f$ $x\mapsto f(x)$

[12] 幾何平均は上で明確に定義されていますが、このアプローチでは捉えられません。 $[0,+\infty [$

[13] ドメインの場合はとなります。 $m\neq 0$ $\mathbb {R}$

[:2-1] 「平均 | 数学」。ブリタニカ百科事典。 2020年8月21日閲覧。

[2] なぜ数学を学ぶ人はほとんどいないのか（YouTube動画）. Math The World. 2024年8月27日. 2024年9月10日閲覧。

[5] アンダーヒル、LG; ブラッドフィールドd. (1998) Introstat、Juta and Company Ltd. ISBN 0-7021-3838-X181ページ

[6] ヒース、トーマス.古代ギリシャ数学の歴史.

[7] ジュキッチ、ドゥシャン;ヤンコビッチ、ウラジーミル。マティッチ、イワン。ペトロヴィッチ、ニコラ (2011-05-05)。 IMO Compendium: 国際数学オリンピックに提案された問題集: 1959-2009 第 2 版。シュプリンガーのサイエンス＆ビジネスメディア。ISBN 978-1-4419-9854-5。

[8] 「AP統計レビュー - 密度曲線と正規分布」。2015年4月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年3月16日閲覧。

[:1-9] Weisstein, Eric W. 「人口平均」. mathworld.wolfram.com . 2020年8月21日閲覧。

[Bullen-10] PS Bullen:平均とその不等式ハンドブック. ドルドレヒト、オランダ: Kluwer、2003年、176頁。

[14] Narboux, Julien; Braun, David (2016). 「三角形の中心百科事典の認定版に向けて」(PDF) . Mathematics in Computer Science . 10 (1): 57– 73. doi :10.1007/s11786-016-0254-4. MR 3483261. Clark Kimberlingの指導の下、三角形の中心に関する電子百科事典（ETC）が開発されました。この百科事典には、7000個以上の三角形の中心と、それらの点の多くの特性が含まれています。

[Hurst2000-15] Hurst A, Brown GC, Swanson RI (2000) Swansonの30-40-30ルール。アメリカ石油地質学者協会紀要84(12) 1883-1891

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