Conductor–ground plane electrical transmission line
マイクロストリップ構造の断面。導体 Aは誘電体基板 C によって グランドプレーン D から分離されています。上部の誘電体 B は通常、空気です。 マイクロストリップは 、導体が 基板 と呼ばれる 誘電体 層によって グランドプレーンから分離された、あらゆる技術で製造可能な電気 伝送線路 の一種です。マイクロストリップ線路は、 マイクロ波 周波数の信号を伝送するために使用されます 。
代表的な実現技術としては、 プリント基板 （PCB）、誘電体層でコーティングされたアルミナ、あるいはシリコン、あるいはその他の類似技術が挙げられます。 アンテナ 、 カプラ 、 フィルタ 、 電力分配器 などのマイクロ波部品は、基板上の金属配線パターンとしてデバイス全体を形成することで、マイクロストリップから構成できます。したがって、マイクロストリップは従来の 導波管技術よりもはるかに安価で、はるかに軽量かつコンパクトです。マイクロストリップは、 ストリップライン （1952年12月のIRE議事録でGriegとEngelmannによって初めて発表された） の競合としてITT研究所によって開発されました。 [1]
導波管と比較したマイクロストリップの欠点は、一般的に電力処理能力が低く、損失が大きいことです。また、導波管とは異なり、マイクロストリップは通常密閉されていないため、クロストークや意図しない放射の影響を受けやすくなります。
コストを最低限に抑えるには、マイクロストリップデバイスを通常のFR-4 （標準PCB）基板 上に構築することが考えられます。しかし、FR4の誘電損失はマイクロ波周波数において高すぎることが多く、 誘電率も 十分に厳密に制御されていないことがしばしばあります。これらの理由から、 アルミナ 基板が一般的に使用されています。モノリシック集積化の観点からは、集積回路／ モノリシックマイクロ波集積回路 技術を備えたマイクロストリップは実現可能かもしれませんが、その性能は利用可能な誘電体層と導体の厚さによって制限される可能性があります。
マイクロストリップ ラインは、高速デジタル PCB 設計でも使用されます。高速デジタル PCB 設計では、歪みを最小限に抑え、高いクロス トークと放射を回避しながら、アセンブリのある部分から別の部分に信号をルーティングする必要があります。
マイクロストリップは、平面伝送線路 の多くの形式の 1 つであり 、他には ストリップライン や コプレーナ導波路 などがあり、これらすべてを同じ基板上に統合することが可能です。
差動マイクロストリップ（ マイクロストリップラインの バランス信号ペア）は、 DDR2 SDRAM クロック、 USB高速 データライン、 PCI Express データライン、 LVDS データラインなどの高速信号によく使用され、多くの場合、すべて同じPCB上で使用されます。 [2] [3] [4]ほとんどのPCB設計ツールは、このような 差動ペア をサポートしています 。 [5] [6]
不均一性 マイクロストリップ線路によって運ばれる電磁波は、一部は 誘電体 基板内に、一部は基板上の空気中に存在します。一般に、基板の 誘電率 は空気の誘電率とは異なり（そして空気の誘電率よりも大きい）、電磁波は不均質な媒体中を伝搬します。その結果、伝搬速度は基板中の電波速度と空気中の電波速度の間になります。この挙動は、通常、マイクロストリップの実効誘電率によって説明されます。実効誘電率は、同等の均質媒体（つまり、同じ伝搬速度をもたらす媒体）の誘電率です。
不均質な媒体のさらなる結果は次のとおりです。
この線路は真の TEM 波を伝送しません。非ゼロ周波数では、 電界 と 磁界の 両方が縦方向成分を持ちます（ ハイブリッドモード ）。 [7] しかし、縦方向成分は小さいため、支配的なモードは準TEMと呼ばれます。 [8] この線路は 分散性を 有しています。周波数が増加すると、実効誘電率は基板の誘電率に向かって徐々に上昇し、 位相速度は 徐々に低下します。 [7] [9] これは非分散性の基板材料の場合でも当てはまります（基板の誘電率は通常、周波数の増加とともに低下します）。 線路の特性 インピーダンスは 周波数によってわずかに変化します（非分散性基板材料の場合も同様です）。非TEMモードの特性インピーダンスは明確に定義されておらず、使用される正確な定義に応じて、マイクロストリップのインピーダンスは周波数の上昇に伴って上昇、下降、または下降してから上昇のいずれかになります。 [10] 特性インピーダンスの低周波限界は準静的特性インピーダンスと呼ばれ、すべての特性インピーダンスの定義において同じです。 波動 インピーダンスは 線路の断面にわたって変化します。 マイクロストリップラインは放射し、ストリップラインでは純粋なリアクタンスとなるスタブやポストなどの不連続要素は、そこからの放射により小さな抵抗成分を持ちます。 [11]
特性インピーダンス マイクロストリップ線路の 準静的 特性インピーダンスの閉形式の近似式は Wheeler によって開発された： [12] [13] [14]
Z microstrip = Z 0 2 π 2 ( 1 + ε r ) l n ( 1 + 4 h w eff ( 14 + 8 / ε r 11 4 h w eff + ( 14 + 8 / ε r 11 4 h w eff ) 2 + π 2 1 + 1 / ε r 2 ) ) , {\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\frac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {2(1+\varepsilon _{r})}}}}\mathrm {ln} \left(1+{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}+{\sqrt {\left({\frac {14+8/\varepsilon _{\text{r}}}{11}}{\frac {4h}{w_{\textrm {eff}}}}\right)^{2}+\pi ^{2}{\frac {1+1/\varepsilon _{\text{r}}}{2}}}}\right)\right),} ここで、 w eff は実効幅 であり 、これはストリップの実際の幅に、金属化の非ゼロの厚さを考慮した補正を加えたものである。
w eff = w + t 1 + 1 / ε r 2 π ln ( 4 e ( t h ) 2 + ( 1 π 1 w / t + 11 / 10 ) 2 ) . {\displaystyle w_{\textrm {eff}}=w+t{\frac {1+1/\varepsilon _{r}}{2\pi }}\ln \left({\frac {4e}{\sqrt {\left({\frac {t}{h}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{w/t+11/10}}\right)^{2}}}}\right).} ここで、 Z 0 は 自由空間のインピーダンス 、 ε r は 基板の 比誘電率、 w はストリップの幅、 h は基板の厚さ（「高さ」）、 t はストリップ金属化の厚さです。
この式は、次の 3 つの異なるケースで正確な解に漸近します。
w ≫ h 、任意の ε r （平行板伝送線路）、 w ≪ h 、 ε r = 1 （グランドプレーン上の配線）、および w ≪ h , ε r ≫ 1 。 他のほとんどの場合では、インピーダンスの誤差は1％未満で、常に2％未満であると主張されています。 [14] すべてのアスペクト比を1つの式でカバーすることにより、Wheeler 1977はWheeler 1965 [13]を改良しました。Wheeler 1965 [13]は w / h > 3.3 に対して1つの式を提供し、 w / h ≤ 3.3 に対して別の式を提供します（したがって、 w / h = 3.3 で結果に不連続が生じます ）。
ハロルド・ウィーラーは 「マイクロストリップ」と「特性インピーダンス」という用語を嫌い、論文ではそれらを使用することを避けました。
特性インピーダンスに関する近似式は、他の著者によっても数多く提案されています。しかし、そのほとんどは、限られたアスペクト比の範囲にしか適用できないか、あるいは範囲全体を部分的にしかカバーできません。
特に、ホイーラー [12] [13] を修正したハマースタッド [15] によって提案された方程式のセットは、おそらく最も頻繁に引用されている。
Z microstrip = { Z 0 2 π ε eff ln ( 8 h w + w 4 h ) , when w h ≤ 1 Z 0 ε eff [ w h + 1.393 + 0.667 ln ( w h + 1.444 ) ] , when w h ≥ 1 {\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}} ここで εeff は 実効誘電率であり、次のように近似される： [16]
ε eff = ε r + 1 2 + ε r − 1 2 q q = 1 1 + 12 ( h / w ) + q 2 q 2 = { 0.04 ( 1 − w h ) 2 , when w h ≤ 1 0 , when w h ≥ 1 . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\textrm {eff}}&={\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{\textrm {r}}-1}{2}}q\\q&={\frac {1}{\sqrt {1+12(h/w)}}}+q_{2}\\q_{2}&={\begin{cases}0.04{\bigg (}1-{\dfrac {w}{h}}{\bigg )}^{2},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\0,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\\\end{cases}}.\\\end{aligned}}}
マイクロストリップ回路は、用途によっては金属製の筐体を必要とする場合があります。筐体の上部カバーがマイクロストリップに侵入すると、プレートとフリンジ容量のための追加経路により、マイクロストリップの特性インピーダンスが低下する可能性があります。このような場合、マイクロストリップの空気中（ ε r = 1）における特性インピーダンスを調整するための式が開発されています。 ここで、 、および は 空気中におけるカバーされていないマイクロストリップのインピーダンスです。 の式は 金属カバーを考慮して調整することができ、誘電体を含むZ o を 計算するために、式 を用いて計算することができます。 ここで、は 金属カバーを考慮して調整された です。有限ストリップ厚補正は、 と の両方 の計算 に上記のを代入し 、 すべての空気計算と すべての誘電体計算を使用することで計算できます。以下の式において、c はカバーの高さ、つまり誘電体の上部から金属カバーまでの距離です。 [17] Δ Z o m a {\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}} Z o m a = Z o ∞ a − Δ Z o m a {\displaystyle Z_{om}^{a}=Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}} Z o ∞ a {\displaystyle Z_{o\infty }^{a}} ε r e {\displaystyle \varepsilon _{re}} Z o m = Z o m a / ε r e m {\displaystyle Z_{om}=Z_{om}^{a}/{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}} ε r e m {\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}} ε r e {\displaystyle \varepsilon _{re}} w eff {\displaystyle w_{\textrm {eff}}} w {\displaystyle w} Δ Z o m a {\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}} ε r e m {\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}} ε = 1 {\displaystyle \varepsilon =1} ε = ε r {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{r}}
の方程式は次 のとおりです。 ε r e m {\displaystyle \varepsilon _{re_{m}}}
ε r e m = ε r + 1 2 + ε r − 1 2 q q C q is defined above q C = tanh ( 1.043 + .121 c h − 1.164 h c ) {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re_{m}}&={\frac {\varepsilon _{r}+1}{2}}+{\frac {\varepsilon _{r}-1}{2}}{\frac {q}{q_{C}}}\\q&{\text{ is defined above}}\\q_{C}&=\tanh(1.043+.121{\frac {c}{h}}-1.164{\frac {h}{c}})\\\end{aligned}}} 。 の式 は Δ Z o m a {\displaystyle \Delta Z_{om}^{a}}
Δ Z o m a = P Q P = 270 [ 1 − tanh ( 0.28 + 1.2 c h ) ] Q = { 1 , when w h ≤ 1 1 − tanh − 1 ( 0.48 ( w / h ) − 1 ( 1 + ( c / h ) ) 2 ) , when w h ≥ 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-\tanh {\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-\tanh ^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}} 。 の式 は Z o m {\displaystyle Z_{om}}
Z o m = Z o ∞ a − Δ Z o m a ε r e m {\displaystyle Z_{om}={\frac {Z_{o\infty }^{a}-\Delta Z_{om}^{a}}{\sqrt {\varepsilon _{re_{m}}}}}} 。 以下の式は 1% 以内の精度であるとされています。
1 ≤ ε r ≤ 30 0.05 ≤ w / h ≤ 30.0 t / h ≤ 0.1 c / h ≥ 1.0 {\displaystyle {\begin{aligned}&1\leq \varepsilon _{r}\leq 30\\&0.05\leq w/h\leq 30.0\\&t/h\leq 0.1\\&c/h\geq 1.0\\\end{aligned}}} 。
サスペンドおよび反転マイクロストリップ 誘電体層が空気層によって下部グランドプレーン上に浮遊している場合、その基板は浮遊基板と呼ばれます。これは、ページ右上のマイクロストリップの図で層Dが非ゼロであることに似ています。従来のマイクロストリップに比べて浮遊基板を使用する利点は、分散効果の低減、設計周波数の向上、ストリップ形状の広さ、構造的不正確さの低減、より正確な電気特性、より高い 特性インピーダンスの 実現です。欠点は、浮遊基板が従来のマイクロストリップ基板よりも大きく、製造がより困難なことです。導体が誘電体層の上ではなく下に配置されている場合、そのマイクロストリップは逆マイクロストリップと呼ばれます。 [18] [19]
特性インピーダンス プラマニックとバーティアは、サスペンション型および反転型マイクロストリップの特性インピーダンス（Zo）と実効誘電率（Ere）を近似するために使用される一連の式を文書化しました。 [18] これらの式は参考文献から直接入手できるため、ここでは繰り返しません。
ジョン・スミスは、電荷分布の フーリエ級数 展開を用いて、吊り下げられた基板内の結合マイクロストリップ線路アレイの偶モードおよび奇モードのフリンジ 容量 を求める方程式を導き出し、その関数を実行する1960年代風の Fortran コードを提供しています。スミスの研究については、以下のセクションで詳しく説明します。単一のマイクロストリップ線路は、無限に広いギャップを持つ結合マイクロストリップのように動作します。したがって、スミスの方程式は、他の結合マイクロストリップが単一のマイクロストリップの電気的特性に大きな影響を与えなくなるような大きなギャップ値を方程式に入力することで、単一のマイクロストリップ線路のフリンジ容量を計算するために使用できます。このギャップ値は、通常、基板の高さの7倍以上の値です。反転したマイクロストリップは、カバーの高さと吊り下げられた高さの変数を入れ替えることで計算できます。金属筐体のないマイクロストリップは、金属カバーの高さに大きな変数を入力することで計算できます。金属カバーがマイクロストリップの電気的特性に大きな影響を与えなくなるような大きなギャップ値、通常、基板上の導体の高さの50倍以上の値です。反転マイクロストリップは、金属カバーの高さと吊り下げられた高さの変数を入れ替えることによって計算することができる。 [20] [21]
C p l a t e _ ε r = W B + W ( D + C / ε r ) C f ε r = C f o _ ε r | G = ∞ or C f e _ ε r | G = ∞ C _ ε r = C p l a t e _ ε r + 2 C f ε r {\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+2C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}} C p l a t e _ a i r = W B + W ( D + C ) C f _ a i r = C f o _ a i r | G = ∞ or C f e _ a i r | G = ∞ C _ a i r = C p l a t e _ a i r + 2 C f _ a i r {\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_air}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_air}|_{G=\infty }\\C_{\_air}&=C_{plate\_air}+2C_{f\_air}\\\end{aligned}}} ここで、B、C、および D は、ページの右上に示されているマイクロストリップの形状によって定義されます。
懸架型または反転型マイクロストリップのZoとEreの値を計算するには、マイクロストリップ線路の各側のフリンジ容量にプレート容量を加算して、 誘電 体の場合（ εr ）と空気の場合（ εra ）の 両方 の合計容量を計算し、その結果を使用してZoとEreを計算します。 [22] [21]
ε r e = C ε r C a i r Z o = 1 V c C a i r C e r V c is the speed of light in vacuum . {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{re}&={\frac {C_{\varepsilon _{r}}}{C_{air}}}\\Zo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air}C_{e_{r}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}.}
曲げ マイクロストリップで完全な回路を構築するには、ストリップの経路を大きく曲げる必要がある場合が多い。マイクロストリップを急激に90°曲げると、ストリップ上の信号の大部分が反射して発生源に戻り、曲げの周りを透過する信号はごく一部にとどまる。低反射の曲げを実現する方法の一つは、ストリップの経路をストリップ幅の少なくとも3倍の半径の円弧状に曲げることである。 [23] しかし、はるかに一般的で、基板面積を小さく抑えられる手法として、斜め曲げが挙げられる。
マイクロストリップの90°マイター曲げ。マイター率は 100 x / d です。 第一近似として、急激な曲げは、グランドプレーンとストリップの曲げ部の間にシャント容量として作用します。曲げ部をマイター加工することでメタライゼーション面積が縮小され、余分な容量が除去されます。パーセンテージマイターとは、曲げ部の内側と外側の角の間の対角線のうち、切り取られた部分の割合です。
広範囲のマイクロストリップ形状に対する最適なマイターは、ドゥヴィルとジェームズによって実験的に決定されている。 [24] 彼らは、最適なパーセンテージマイターは次のように表されることを発見した。
M = 100 x d % = ( 52 + 65 e − ( 27 / 20 ) ( w / h ) ) % {\displaystyle M=100{\frac {x}{d}}\%=(52+65e^{-(27/20)(w/h)})\%} ただし、 w / h ≥ 0.25 かつ基板の誘電率 ε r ≤ 25 となります。この式は ε r とはまったく関係ありません。Douville と James が証拠を示している実際のパラメータの範囲は、 0.25 ≤ w / h ≤ 2.75 および 2.5 ≤ ε r ≤ 25 です。彼らは、式で与えられたものから 4% (元の d の) 以内のパーセンテージマイターに対して、 VSWR が 1.1 より良好 (つまり、 リターンロス が -26 dB より良好) であると報告しています。 w / h が最小 の 0.25 の場合、パーセンテージマイターは 98.4% となり、ストリップはほぼ切断された状態になります。
曲線曲げと斜め曲げの両方において、 電気長 はストリップの物理的な経路長よりもいくらか短くなります。
不連続接合 マイクロストリップの不連続性には、上記で説明した曲がり（コーナーとも呼ばれる）のほか、開放端、ビアホール（グランドプレーンへの接続）、幅の段差、マイクロストリップ間のギャップ、T字型接合、クロス接合などがあります。これらの接合のモデル開発には多くの研究が行われており、Quiteユニバーサル回路シミュレータ（QUCS）などの公開文献にも記載されています。 [25]
結合マイクロストリップ マイクロストリップ線路は、他のマイクロストリップ線路に十分近接して敷設される場合があり、その結果、線路間に電気的結合相互作用が生じる可能性があります。これは、線路の敷設時に意図せず発生する場合もあれば、所望の 伝達関数 を形成するために意図的に発生する場合や、 分布定数フィルタを設計するために意図的に発生する場合もあります。2本の線路の幅が同じ場合、 結合伝送 線路の偶モード解析と奇モード解析 によって特性評価できます。
特性インピーダンス 偶モードおよび奇モードの特性インピーダンス（Zoe、Zoo）および実効誘電率（εree、εreo）の閉形式の表現式は、 規定 の 条件下 で定義された精度で開発されている。これらの 表現 式は参考文献 [26] [27] [28] から入手可能であり、ここでは繰り返さない。
フーリエ級数の解 ジョン・スミスは、金属カバー付き結合マイクロストリップ線路（サスペンション付きマイクロストリップを含む）の 偶 モードおよび奇モードのフリンジ 容量 に関する方程式を、電荷分布のフーリエ級数展開を用いて導き出し、その関数を実行する1960年代風の Fortran コードを提供している。カバーなしのマイクロストリップは、カバーの高さをグランドプレーンからの導体高さの50倍以上とすることでサポートされる。反転マイクロストリップは、カバーの高さとサスペンションの高さの変数を逆にすることでサポートされる。スミスの方程式は、導体幅、導体間隔、誘電率、カバーの高さ、および誘電体サスペンションの高さのあらゆる値に対して理論的に有効であるという利点がある。 [20]
スミス方程式には、楕円積分 比の逆関数 を解かなければならない というボトルネック（429ページの式37）があります。 ここで は第一種完全楕円積分、 は既知、 は 解かなければならない変数です。スミスは、 の解に収束する精巧な 探索アルゴリズム を提供しています。しかし、 ニュートン法 や 補間 表を用いると、 のより迅速で包括的な解が得られる場合があります 。 K ( 1 , 1 − k 2 ) / K ( 1 , k ) = X {\displaystyle K(1,{\sqrt {1-k^{2}}})/K(1,k)=X} K ( , ) {\displaystyle K(,)} X {\displaystyle X} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k} k {\displaystyle k}
非結合マイクロストリップの偶モードおよび奇モードのZoおよび ε re 値を計算するには、プレート容量をマイクロストリップ内部の偶モードおよび奇モードのフリンジ容量と、外側の非結合フリンジ容量に加算します。非結合フリンジ容量は、導体間のギャップまたは分離値を無限大とすることで計算できます。これは、グランドプレーンからの導体高さの7倍以上の値で近似できます。次に、誘電体の 場合 （ ε r ）および空気の場合（ ε r =1）について、偶モードおよび奇モードのZoおよび ε re を偶モードおよび奇モードの容量の関数として計算します。 [22] [21]
ε r e e = C ε r e C a i r e ε r e o = C ε r o C a i r o Z o e = 1 V c C a i r e C e r e Z o o = 1 V c C a i r o C e r o V c is the speed of light in vacuum {\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{ree}&={\frac {C_{\varepsilon _{re}}}{C_{air_{e}}}}\\\varepsilon _{reo}&={\frac {C_{\varepsilon _{ro}}}{C_{air_{o}}}}\\Zoe&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{e}}C_{e_{re}}}}}}\\Zoo&={\frac {1}{V_{c}{\sqrt {C_{air_{o}}C_{e_{ro}}}}}}\\V_{c}&{\text{ is the speed of light in vacuum}}\end{aligned}}} 。
ジョン・スミスの詳細な解決策 スミスのフーリエ級数は、楕円積分比 の 逆解 k を必要とします。ここで、 K () は第一種 完全 楕円積分です。スミスは k を 求めるための精巧な探索アルゴリズムを提供していますが、ニュートン法 を 用いることでより高速かつ正確な収束を達成できる場合があり 、あるいは 補間 表を用いることもできます。 k が 0および1に近づくにつれて は極めて非線形になるため 、関数 に対してはニュートン法の方が適しています 。値 k lg を解くと、 k は によって得られます 。 K ( 1 − k 2 ) / K ( k ) {\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)} K ( 1 − k 2 ) / K ( k ) {\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})/K(k)} K ( 1 − e 2 k l g ) / K ( e k l g ) {\displaystyle K{\big (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\big )}/K{\big (}e^{k_{lg}}{\big )}} k = e k l g {\displaystyle k=e^{k_{lg}}}
ニュートン法を用いて k lg を解く式は、標準的な微分 規則を用いて以下のように表されます 。楕円積分の微分については、楕円積分のページで解説しています。
k l g [ n + 1 ] = k l g [ n ] − F [ n ] − F k n o w n F ′ F = K ( 1 − e 2 k l g ) K ( e k l g ) F ′ = { ≈ − 2 π , if k l g <≈ − 14 d F d k l g , otherwise then: k = e k l g {\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg}<\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}} k lg および k を見つけるための補間表 を以下に示します。
k l g and k as an inverse function of K ( 1 − k 2 ) K ( k ) {\displaystyle {\begin{aligned}&k_{lg}{\text{ and }}k{\text{ as an inverse function of }}{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}\\\end{aligned}}} F ( x ) = K ( 1 − k 2 ) K ( k ) {\displaystyle F(x)={\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}} k l g = l n ( k ) = ln ( F − 1 ( x ) ) {\displaystyle k_{lg}=ln(k)=\ln {\big (}F^{-1}(x){\big )}} k = F − 1 ( x ) = e k l g {\displaystyle k=F^{-1}(x)=e^{k_{lg}}} 440.643 90 -690.77552 1. × 10 −300 30.199 966 −46.051 702 1. × 10 −20 14.075 383 −20.723 266 1. × 10 −9 8.211 8984 −11.512 925 1. × 10 −5 5.280 1558 −6.907 7553 0.001 3.814 2689 −4.605 1702 0.01 2.346 8155 −2.302 5851 0.1 1.900 6702 −1.609 4379 0.2 1.279 2616 −0.693 147 18 0.5 1 −0.346 573 59 2 / 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}/2} < 1 l n ( 1 − [ F − 1 ( 1 F ( x ) ) ] 2 ) {\displaystyle ln{\bigg (}{\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}{\bigg )}} 1 − [ F − 1 ( 1 F ( x ) ) ] 2 {\displaystyle {\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}} 0.877 437 66 −0.223 143 55 0.8 0.725 534 32 −0.105 360 52 0.9 0.470 326 97 −0.010 050 336 0.99 0.349 582 59 −0.001 000 5003 0.999 0.197 6472 −1.000 0005 × 10 −6 0.999 999 0.137 7727 −9.999 9997 × 10 −10 1 − 10 −9 0.085 791 287 −9.992 0072 × 10 −16 1 − 10 −15
の値については 、表に示されている関係式を適用して、ニュートン法や補間法で使用する関数 、または関数の線形性を最大化すると便利です 。例えば、 。 F ( x ) < 1 {\displaystyle F(x)<1} k l g {\displaystyle k_{lg}} l n ( k ) {\displaystyle ln(k)} F − 1 ( .5 ) = 1 − [ F − 1 ( 2 ) ] 2 = 0.985 171 43 {\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.985\ 171\ 43}
スミスの研究に基づいて、楕円積分とヤコビ楕円関数 [29] を用いて偶数モードと奇数モードの全容量を計算する。スミスは、 楕円関数のページにある 3番目の 高速ヤコビ楕円関数推定アルゴリズムを使用している。 [20]
let: C = substrate dielectric height D = substrate suspended height B = substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips) W l i m = misrostrip conductor width limited to a maximum of 7(C+D) G l i m = gap or speparation between the microstrips conductors limited to a maximum of 7(C+D) ε r = dielectric constant ε o = vacuum permittivity then: K ( 1 − k 2 ) K ( k ) = W l i m + G l i m 2 ( C + D ) = where K ( ) is the complete ellipic integral of the first kind determine the value of k, then proceed: N e o = { 1 , for even mode 2 , for odd mode M m a x = 30 (or greater) W e g r = W l i m K ( 1 − k 2 ) W l i m + G l i m W n = W e g r M m a x − 2 ( S N ) w k = s n ( W e g r , 1 − k 2 ) where sn() is a jacobi elliptic function ( S N ) w k 2 = { ( S N ) w k , for odd mode ( S N ) w k 1 − k 2 , for even mode C T = 4 K ( ( S N ) w k 2 ) K ( 1 − ( S N ) w k 2 2 ) Φ [ m ] = 1 + ε r t a n h ( m π D W l i m + G l i m ) c o t h ( m π C W l i m + G l i m ) c o t h ( m π B W l i m + G l i m ) + ε r c o t h ( m π C W l i m + G l i m ) + ε r t a n h ( m π D W l i m + G l i m ) ( ε r + c o t h ( m π B W l i m + G l i m ) c o t h ( m π C W l i m + G l i m ) ) − t a n h ( m π ( D + C ) W l i m + G l i m ) ε r + 1 c [ m ] = c o s ( m π W e g r 2 K ( 1 − k 2 ) ) ( S N ) w e [ j ] = s n ( ( j − 1 ) W n , 1 − k 2 ) t [ j ] = 1 − ( ( 2 1 − k 2 − 1 + ( 1 − 1 − k 2 ) N e o ) ( S N ) w e [ j ] ) 2 1 − ( ( S N ) w e [ j ] ( S N ) w k ) 2 ρ [ m ] = 1 − c [ m ] + 4 t [ M m a x − 2 ] ( c o s ( m ( W e g r − W n ) π 2 K ( 1 − k 2 ) ) − c ( m ) ) + ∑ j = 2 , j + = 2 M m a x − 2 4 t [ j ] ( c o s ( ( j − 1 ) π m W n 2 K ( 1 − k 2 ) ) − c [ m ] ) + 2 t ( j + 1 ) ( c o s ( j π m W n 2 K ( 1 − k 2 ) ) − c [ m ] ) C p l = W B + W ( D + C / ε r ) 1 C a l l = π 2 C T 2 [ ∑ m = N e o , m + = 2 ∞ ρ ( m ) 2 Φ ( m ) m ] + { 2 ( 1 C T − H 2 π ) / ( ε r + 1 ) + W C p l ( W l i m + G l i m ) , for even mode 2 ( ε r + 1 ) C T , for odd mode break the summation when | ϕ [ m ] | ε r + 1 < 10 − 6 or less C f ( e / o ) = ε o ( C a l l − C p l ) 2 farads per unit length {\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ substrate dielectric height}}\\D&={\text{ substrate suspended height}}\\B&={\text{ substrate cover height (50(C+D) for uncovered micrstrips)}}\\W_{lim}&={\text{ misrostrip conductor width}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\G_{lim}&={\text{ gap or speparation between the microstrips conductors}}\\&{\text{ limited to a maximum of 7(C+D)}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ dielectric constant}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ vacuum permittivity }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ where }}K(){\text{ is the complete ellipic integral of the first kind}}\\{\text{determine }}&{\text{ the value of k, then proceed:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{for even mode}}\\2,&{\text{for odd mode}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (or greater)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ where sn() is a jacobi elliptic function}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{for odd mode}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{for even mode}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{for even mode}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{for odd mode}}\\\end{cases}}\\&{\text{break the summation when }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}}<10^{-6}{\text{ or less}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ farads per unit length }}\\\end{aligned}}} 総静電容量を求めるには： [21]
C p l a t e _ ε r = W B + W ( D + C / ε r ) C f ε r = C f o _ ε r | G = ∞ or C f e _ ε r | G = ∞ C e _ ε r = C p l a t e _ ε r + C f e _ ε r + C f ε r C o _ ε r = C p l a t e _ ε r + C f o _ ε r + C f ε r {\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_\varepsilon _{r}}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\C_{f\varepsilon _{r}}&=C_{fo\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_\varepsilon _{r}}|_{G=\infty }\\C_{e\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fe\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\C_{o\_\varepsilon _{r}}&=C_{plate\_\varepsilon _{r}}+C_{fo\_\varepsilon _{r}}+C_{f\varepsilon _{r}}\\\end{aligned}}} C p l a t e _ a i r = W B + W ( D + C ) C f _ a i r = C f o _ ( ε r = 1 ) | G = ∞ or C f e _ ( ε r = 1 ) | G = ∞ C e _ a i r = C p l a t e _ a i r + C f e _ ( ε r = 1 ) + C f _ a i r C o _ a i r = C p l a t e _ a i r + C f o _ ( ε r = 1 ) + C f _ a i r {\displaystyle {\begin{aligned}C_{plate\_air}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C)}}\\C_{f\_air}&=C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }{\text{ or }}C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}|_{G=\infty }\\C_{e\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fe\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\C_{o\_air}&=C_{plate\_air}+C_{fo\_(\varepsilon _{r}=1)}+C_{f\_air}\\\end{aligned}}} ここで、これ はグランドプレーン上の導体の高さの 1 倍以上 で近似できます。 ( G = ∞ ) {\displaystyle (G=\infty )} ( G = 7 ) {\displaystyle (G=7)}
例と精度の比較 スミスは、フーリエ級数静電容量解の精度を当時公表された表と比較しています。ただし、より現代的なアプローチは、偶数モードと奇数モードのインピーダンスおよび実効誘電率の結果を、ソネットなどの 電磁気シミュレーション から得られる結果と比較することです。以下の例は、次の条件下で実行されています。B = 2.5 mm、C = 0.4 mm、D = 0.6 mm、W = 1.5 mm、G = 0.5 mm、Er = 12。ここで、B、C、および D は、ページの右上に表示されるマイクロストリップの形状によって定義されます。例では、最初に log( k ) の値を計算し、次に kを計算し、次に k 、 ε r 、基板の形状、および導体の形状を使用して 静電容量を計算し、続いて偶数モードと奇数モードのインピーダンスと実効誘電率 ( Z oe 、 Z oo 、 ε re 、 および ε ro ) を計算します。
Sonnetシミュレーションは、 4096 × 4096 の高解像度グリッド解像度、各辺7 mmの基準面を用いて実行され、10 mmの長さに沿って結合線路をシミュレートします。Yパラメータの結果は、結合伝送 線路 のYパラメータ方程式を代数的に逆変換することにより、偶モードおよび奇モードの Z o および ε r に変換されます。
楕円積分比と逆関数の結果 有限のギャップ 0.5 mmの
無限のギャップ 7 mmで近似
K ( 1 − k 2 ) K ( k ) {\displaystyle {\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}} 1 4.25 ln(k) −0.346 574 −5.289 60 け 0.707 106 0.005 043 80
静電容量の結果 1メートルあたりの静電容量 誘電体付き
1メートルあたりの静電容量 空気で
C プレート 26.2830 pF/m 18.5938 pF/m Cf even 4.241 82 pF/m 2.676 72 pF/m 奇数 を参照 104.822 pF/m 18.5938 pF/m 参照 26.5304 pF/m 8.115 05 pF/m 合計 C 偶数
57.0552 pF/m 29.3856 pF/m 合計 C 奇数
157.636 pF/m 44.3730 pF/m
John Smith の偶数モードと奇数モードのインピーダンスと有効誘電率の結果、および Sonnet em シミュレーションとの比較。 スミス ソネット ％ 違い ゾーイ 81.4638 81.5178 0.0662% 動物園 39.8834 39.3512 1.35% ε リー 1.941 61 1.921 35 1.05% ε レオ 3.552 51 3.615 19 1.73%
非対称結合マイクロストリップ 2本のマイクロストリップ線路が結合が生じるほど近接しているものの、線路幅が対称でない場合、偶モード解析と奇モード解析は線路の特性評価に直接適用できません。この場合、線路は一般的に自己インダクタンス、相互インダクタンス、および容量によって特性評価されます。定義手法と式は参考文献に記載されています。 [30] [31] [32] [33]
複数の結合マイクロストリップ 場合によっては、複数のマイクロストリップ線路が結合することがあります。この場合、各マイクロストリップ線路は自己容量と、隣接していないマイクロストリップ線路を含む他のすべての線路との間のギャップ容量を持ちます。解析は上記の非対称結合の場合と同様ですが、容量行列とインダクタンス行列はNXN（Nは結合したマイクロストリップの数）のサイズになります。隣接していないマイクロストリップの容量は、 有限要素法 （FEM）を用いて正確に計算できます。 [34] [35] [33]
損失 マイクロストリップのシミュレーションでは、導体と誘電体からの損失による減衰が一般的に考慮されます。総損失はマイクロストリップの長さの関数であるため、減衰量は通常、単位長さあたりの減衰量で計算されます。総損失は減衰量×長さで計算され、減衰の単位は ネーパー ですが、アプリケーションによっては dB 単位の減衰が使用される場合もあります。マイクロストリップの特性インピーダンス（Zo）、実効誘電率（Ere）、および総損失（）がすべて既知の場合、マイクロストリップは標準 伝送線路 としてモデル化できます 。 α l {\displaystyle \alpha l}
導体損失 導体損失は導体材料の「比抵抗」または「抵抗率」によって定義され、 文献では一般的に次のように表現されます。 [36] 各導体材料には、通常、それに関連する公表された抵抗率があります。例えば、一般的な導体材料である銅の公表された抵抗率は ρ {\displaystyle \rho } 1.68 × 10 −8 Ω⋅m 。 [37] E. HammerstadとØ. Jensenは導体損失による減衰について次の式を提案した。 [38] [39]
α c = R s Z o W K r K i Np per unit length α c = 27.3 R s π Z o W K r K i dB per unit length Where : R s = ρ δ = ρ ω u o 2 K i = e x p [ − 1.2 ( Z o n o ) 0.7 ] K r = 1 + 2 t a n − 1 ( 1.4 ( Δ δ ) 2 ) π {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ dB per unit length}}\\{\text{Where :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}} そして
R s {\displaystyle R^{s}} = 導体の シート抵抗 K i {\displaystyle K_{i}} = 電流分布係数 K r {\displaystyle K_{r}} =表面粗さ による補正項 u o {\displaystyle u_{o}} = 真空透過率 ( ) 4 π × 10 − 7 H / m {\displaystyle 4\pi \times 10^{-7}H/m} ρ {\displaystyle \rho } = 導体の 比抵抗、または抵抗率 Δ {\displaystyle \Delta } =基板の実効 表面粗さ （rms） δ {\displaystyle \delta } = 皮膜深さ n o {\displaystyle n_{o}} = 真空中の波動インピーダンス （ 376.730 313 412 (59) Ω [ 40] ) 表面粗さを無視すると、 式から が消えることが多くなることに注意してください。 K r {\displaystyle K_{\text{r}}}
一部の著者は、 シート抵抗 Rs を計算するために、表皮深さの代わりに導体の厚さを使用しています。 [41] この場合、
R s = ρ t {\displaystyle R^{s}={\frac {\rho }{t}}} ここで t は導体の厚さです。
誘電損失 誘電損失は誘電体材料の「誘電正接」によって定義され、 文献では一般的に次のように表現されます。各誘電体材料には、通常、それに関連する誘電正接が公表されています。例えば、一般的な誘電体材料である アルミナの 誘電正接は、次のように公表されています。 t a n δ d {\displaystyle tan\delta _{d}} 0.0002から0.0003の 範囲で周波数に依存します。 [42] ウェルチとプラット、シュナイダーは、誘電損失による減衰について以下の式を提案しました。 [43] [44] [38]
α d = t a n δ d ω 2 π ε r ε r e ε r e − 1 ε r − 1 Np per unit length α d = 27.3 t a n δ d ω 2 π ε r ε r e ε r e − 1 ε r − 1 dB per unit length {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{d}&={\frac {tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{d}&={\frac {27.3{\text{ }}tan\delta _{d}{\text{ }}\omega }{2\pi }}{\frac {\varepsilon _{r}}{\sqrt {\varepsilon _{re}}}}{\frac {\varepsilon _{re}-1}{\varepsilon _{r}-1}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}} 。 一般に、誘電損失は導体損失よりもはるかに小さいため、一部のアプリケーションでは無視されることがよくあります。
結合マイクロストリップ損失 結合マイクロストリップの損失は、特性インピーダンス、誘電率、および単線マイクロストリップの実効誘電率の解析と同じ偶数モードおよび奇数モード解析を用いて推定できます。結合線路の偶数モードと奇数モードはそれぞれ、対応する単線路ZoとEreから独立して計算された導体損失と誘電損失を持ちます。 [45] [46]
ウィーラーは導体間の距離を考慮した導体損失の解法を提案した。 [45] ここで、 α c ( e / o ) = R s 240 π Z o ( e / o ) ( 2 h ) { ( 1 − S 2 h ) ∂ ( ε r e ( e / o ) Z o ( e / o ) ) ∂ ( S / h ) − ( 1 + t 2 h ) ∂ ( ε r e ( e / o ) Z o ( e / o ) ) ∂ ( t / h ) − ( 1 + W 2 h ) ∂ ( ε r e ( e / o ) Z o ( e / o ) ) ∂ ( W / h ) } Np per unit length α c ( e / o ) = 8.688 R s 240 π Z o ( e / o ( 2 h ) { ( 1 − S 2 h ) ∂ ( ε r e ( e / o ) Z o ( e / o ) ) ∂ ( S / h ) − ( 1 + t 2 h ) ∂ ( ε r e ( e / o ) Z o ( e / o ) ) ∂ ( t / h ) − ( 1 + W 2 h ) ∂ ( ε r e ( e / o ) Z o ( e / o ) ) ∂ ( W / h ) } dB per unit length {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c(e/o)}&={\frac {R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o)}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ Np per unit length}}\\\alpha _{c(e/o)}&={\frac {8.688R^{s}}{240\pi Z_{o(e/o}}}{\bigg (}{\frac {2}{h}}{\bigg )}{\bigg \{}(1-{\frac {S}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (S/h)}}-(1+{\frac {t}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (t/h)}}-(1+{\frac {W}{2h}}){\frac {\partial ({\sqrt {\varepsilon _{re}^{(e/o)}}}Z_{o(e/o)})}{\partial (W/h)}}{\bigg \}}{\text{ dB per unit length}}\\\end{aligned}}}
h = グランドプレーン上の導体の高さ S = 導体間の距離 W = 導体の幅 t = 導体の厚さ。 導体の間隔、厚さ、幅に関する偏微分はデジタルで計算でき ます 。
参照
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Quite Universal Circuits Simulator (qucs) . ^ 引用文献で使用されている損失の単位は省略されていますが、単位長さあたりのネーパーであると仮定されています。これは、他の資料から容易に確認できる他の損失方程式と相関しています。 ^ 「2022 CODATA値：真空の特性インピーダンス」。 定数、単位、不確かさに関するNISTリファレンス 。NIST 。 2024年5月。 2024年5月18日 閲覧 。 ^ 「3.5: マイクロストリップ伝送線路 - Engineering LibreTexts」. Libretexts Engineering . 2020年10月21日. ^ Blattenberger, Kirt. 「誘電率、強度、誘電正接 - RF Cafe」. RF Cafe . ^ Garg, Ramesh; Bahl, Inder; Bozzi, Maurizio (2013). Microstrip Lines and Slotlines (第3版). Boston, London: Artech House. pp. 81, 82. ISBN 978-1-60807-535-5 。 ^ “3.5: マイクロストリップ伝送線路 - Engineering LibreTexts”. Engineering Libre Texts . 2020年10月21日. ^ ab Garg, Ramesh; Bahl, Inder; Bozzi, Maurizio (2013). Microstrip Lines and Slotlines (第3版). Boston, London: Artech House. pp. 469– 473. ISBN 978-1-60807-535-5 。 ^ ヘネケ、マーカス、ムーア、ロス、スワン、ハーブ（2002年2月1日）「並列結合マイクロストリップ線路」 Quite Universal Circuits Simulator (qucs) 。
外部リンク マイクロ波百科事典におけるマイクロストリップ マイクロストリップ解析/合成計算機 
![{\displaystyle Z_{\textrm {microstrip}}={\begin{cases}{\dfrac {Z_{0}}{2\pi {\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}}}\ln \left(8{\dfrac {h}{w}}+{\dfrac {w}{4h}}\right),&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\{\dfrac {Z_{0}}{{\sqrt {\varepsilon _{\textrm {eff}}}}\left[{\frac {w}{h}}+1.393+0.667\ln \left({\frac {w}{h}}+1.444\right)\right]}},&{\text{when }}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/359ab78c7e34d77c97d1cbf783326366731283a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta Z_{om}^{a}&=PQ\\P&=270{\bigg [}1-\tanh {\biggr (}0.28+1.2{\sqrt {\frac {c}{h}}}{\biggr )}{\bigg ]}\\Q&={\begin{cases}1,&{\text{次の場合}}{\dfrac {w}{h}}\leq 1\\1-\tanh ^{-1}{\biggr (}{\frac {0.48{\sqrt {(w/h)-1}}}{(1+(c/h))^{2}}}{\biggr )},&{\text{次の場合}}{\dfrac {w}{h}}\geq 1\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18cf9f4523ec8f2decfe3dd9cb8a8fa59e83230a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}k_{lg}[n+1]&=k_{lg}[n]-{\frac {F_{[}n]-F_{known}}{F'}}\\F&={\frac {K{\bigg (}{\sqrt {1-e^{2k_{lg}}}}{\bigg )}}{K{\bigl (}e^{k_{lg}}{\bigl )}}}\\F'&={\begin{cases}\approx -{\frac {2}{\pi }},&{\text{if }}k_{lg\approx -14\\{\frac {dF}{dk_{lg}}},&{\text{otherwise}}\\\end{cases}}\\{\text{then: }}&\\k&=e^{k_{lg}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ed0d7ad8956f2cf38960256da49256a09c4ee95)
![{\displaystyle ln{\bigg (}{\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}{\bigg )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6108a7cfec9ff60c4d4a7746aa10864fdb9fa77)
![{\displaystyle {\sqrt {1-{\bigg [}F^{-1}{\bigg (}{\frac {1}{F(x)}}{\bigg )}{\bigg ]}^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf701024d3eb6c25d75371ae13b2ad7993439ba)
![{\displaystyle F^{-1}(.5)={\sqrt {1-{\big [}F^{-1}(2){\big ]}^{2}}}=0.985\ 171\ 43}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9296219391ecc6106011c3d39acbea98753fb2d3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{let:}}&\\C&={\text{ 基板誘電体の高さ}}\\D&={\text{ 基板の吊り下げ高さ}}\\B&={\text{ 基板カバーの高さ（カバーされていないマイクロストリップの場合は 50(C+D)）}}\\W_{lim}&={\text{ マイクロストリップ導体の幅}}\\&{\text{ 最大 7(C+D) に制限}}\\G_{lim}&={\text{ マイクロストリップ導体間のギャップまたは間隔}}\\&{\text{ 最大 7(C+D) に制限}}\\\varepsilon _{r}&={\text{ 誘電率}}\\\varepsilon _{o}&={\text{ 真空の誘電率 }}\\\\{\text{then:}}\\{\frac {K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}&={\frac {W_{lim}+G_{lim}}{2(C+D)}}={\text{ ただし }}K(){\text{ は第 1 種の完全楕円積分です}}\\{\text{k の値を }}&{\text{ 決定し、次に進みます:}}\\\\N_{eo}&={\begin{cases}1,&{\text{偶数モードの場合}}\\2,&{\text{奇数モードの場合}}\end{cases}}\\M_{max}&=30{\text{ (またはそれ以上)}}\\W_{egr}&={\frac {W_{lim}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{W_{lim}+G_{lim}}}\\W_{n}&={\frac {W_{egr}}{M_{max}-2}}\\(SN)_{wk}&=sn{\big (}W_{egr},{\sqrt {1-k^{2}}}{\big )}{\text{ただし sn() はヤコビ楕円関数}}\\(SN)_{wk2}&={\begin{cases}(SN)_{wk},&{\text{奇数モードの場合}}\\(SN)_{wk}{\sqrt {1-k^{2}}},&{\text{偶数モードの場合}}\end{cases}}\\C_{T}&=4{\frac {K((SN)_{wk2})}{K{\big (}{\sqrt {1-(SN)_{wk2}^{2}}}{\big )}}}\\\Phi [m]&={\frac {1+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})}{coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}})+\varepsilon _{r}tanh({\frac {m\pi D}{W_{lim}+G_{lim}}})(\varepsilon _{r}+coth({\frac {m\pi B}{W_{lim}+G_{lim}}})coth({\frac {m\pi C}{W_{lim}+G_{lim}}))}}\\&-{\frac {tanh({\frac {m\pi (D+C)}{W_{lim}+G_{lim}}})}{\varepsilon _{r}+1}}\\c[m]&=cos{\bigg (}{\frac {m\pi W_{egr}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}\\(SN)_{we}[j]&=sn{\big (}(j-1)W_{n},{\sqrt {1-k^{2}}}}{\big )}\\t[j]&={\sqrt {\frac {1-{\big (}(2{\sqrt {1-k^{2}}}-1+(1-{\sqrt {1-k^{2}}})N_{eo})(SN)_{we}[j]{\big )}^{2}}{1-{\bigg (}{\frac {(SN)_{we}[j]}{(SN)_{wk}}}{\bigg )}^{2}}}}\\\rho [m]&=1-c[m]+4t[M_{max}-2]{\big (}cos{\big (}{\frac {m(W_{egr}-W_{n})\pi }{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\big )}-c(m){\big )}\\&+\sum _{j=2,j+=2}^{M_{max}-2}4t[j](cos{\bigg (}{\frac {(j-1)\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])+2t(j+1)(cos{\bigg (}{\frac {j\pi mW_{n}}{2K({\sqrt {1-k^{2}}})}}{\bigg )}-c[m])\\C_{pl}&={\frac {W}{B}}+{\frac {W}{(D+C/\varepsilon _{r})}}\\{\frac {1}{C_{all}}}&={\frac {\pi }{2C_{T}^{2}}}{\bigg [}\sum _{m=N_{eo},m+=2}^{\infty }{\frac {\rho (m)^{2}\Phi (m)}{m}}{\bigg ]}+{\begin{cases}2({\frac {1}{C_{T}}}-{\frac {H}{2\pi }})/(\varepsilon _{r}+1)+{\frac {W}{C_{pl}(W_{lim}+G_{lim})}},&{\text{偶数モードの場合}}\\{\frac {2}{(\varepsilon _{r}+1)C_{T}}},&{\text{奇モードの場合}}\\\end{ケース}}\\&{\text{和を破る }}{\frac {|\phi [m]|}{\varepsilon _{r}+1}10^{-6}{\text{ 以下}}\\C_{f(e/o)}&={\frac {\varepsilon _{o}(C_{all}-C_{pl})}{2}}{\text{ 単位長さあたりのファラッド }}\\\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f781a5c3f8aea2f5290923b5bffe701c36e57c6)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{c}&={\frac {R^{s}}{Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ 単位長さあたりの Np}}\\\alpha _{c}&={\frac {27.3R^{s}}{\pi Z_{o}W}}K_{r}K_{i}{\text{ 単位長さあたりの dB}}\\{\text{ただし :}}&\\R^{s}&={\frac {\rho }{\delta }}={\sqrt {\frac {\rho \omega u_{o}}{2}}}\\K_{i}&=exp{\bigg [}-1.2{\bigg (}{\frac {Z_{o}}{n_{o}}}{\bigg )}^{0.7}{\bigg ]}\\K_{r}&=1+{\frac {2tan^{-1}(1.4({\frac {\Delta }{\delta }})^{2})}{\pi }}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad2f58f466bd5701c8143698e1ede55a3ec52ff)
