モノイド（圏論）

数学の一分野である圏論において、モノイド圏のモノイド（またはモノイド対象、内部モノイド、代数）は、2つの射を伴う対象である。 $(M,\mu ,\eta )$ $({\mathcal {C}},\otimes ,I)$ $M$

$\mu \colon M\otimes M\to M$ 掛け算と呼ばれる、
$\eta \colon I\to M$ ユニットと呼ばれる、

五角形図

ユニター図

はの恒等射、は単位元、はモノイドカテゴリの結合子、左ユニター、右ユニターです。 $1$ $M$ $I$ $\alpha ,\lambda$ $\rho$ ${\mathcal {C}}$

双対的に、モノイドカテゴリのコモノイドは、双対カテゴリのモノイドです。 ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$

モノイド圏が組紐を持つと仮定する。のモノイドはのとき可換である。 ${\mathcal {C}}$ $\gamma$ $M$ ${\mathcal {C}}$ $\mu \circ \gamma =\mu$

例

集合のカテゴリである Set内のモノイドオブジェクト（直積によって誘導されるモノイド構造を持つ）は、通常の意味でのモノイドです。
位相空間のカテゴリTop (積位相によって誘導されるモノイド構造を持つ)内のモノイドオブジェクトは、位相モノイドです。
モノイドの圏（モノイドの直積を持つ）におけるモノイド対象は、単に可換モノイドである。これはエックマン・ヒルトンの論証から容易に導かれる。
完全な結合半格子 Supのカテゴリ内のモノイドオブジェクト(直積によって誘導されるモノイド構造を持つ) は、単位量体です。
アーベル群のカテゴリである( Ab ,⊗Z _, Z )内のモノイドオブジェクトは環です。
可換環 Rに対して、
- R上の加群のカテゴリである( R - Mod , ⊗ _R , R )はR 代数です。
- 次数付きモジュールのカテゴリは次数付きR代数です。
- R加群の連鎖複体のカテゴリは微分次数代数である。
K -ベクトル空間のカテゴリ（ここでもテンソル積を持つ）であるK -ベクトル内のモノイドオブジェクトは単位結合K -代数であり、コモノイドオブジェクトはK -余代数です。
任意の圏Cに対して、その自己関数の圏[ C , C ]は、合成と恒等関数I _Cによって誘導されるモノイド構造を持つ。 [ C , C ]内のモノイド対象はC上のモナドである。
終端オブジェクトと有限積を持つ任意のカテゴリでは、対角射Δ _X : X → X × Xにより、すべてのオブジェクトはコモノイドオブジェクトになります。同様に、始端オブジェクトと有限余積を持つカテゴリでは、すべてのオブジェクトはid _X ⊔ id _X : X ⊔ X → Xによりモノイドオブジェクトになります。

モノイドのカテゴリ

モノイドカテゴリCの2つのモノイド( M , μ , η )と( M ′, μ ′, η ′)が与えられたとき、射f : M → M ′はモノイドの射である。

f ∘ μ = μ ′ ∘ ( f ⊗ f )、
f ∘ η = η ′ です。

つまり、次の図

、

通勤。

Cにおけるモノイドとそのモノイド射のカテゴリはMon _Cと表記される。^[1]

参照

Act-S、集合に作用するモノイドのカテゴリ

参考文献

^ Mac Lane, Saunders (1988).『Categories for the working mathematician (4th corr. print. ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-4-8882-3511 0-387-90035-7。

キルプ、マティ。クナウアー、ウルリッヒ。ミハロフ、アレクサンダー V. (2000)。モノイド、アクト、カテゴリー。ウォルター・デ・グルイテル。ISBN 3-11-015248-7。

[1] Mac Lane, Saunders (1988).『Categories for the working mathematician (4th corr. print. ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-4-8882-3511 0-387-90035-7。