振り子（力学）

振り子は、固定された支持物から吊り下げられ、重力の影響を受けて自由に前後に振動する物体です。振り子が静止した平衡位置から横方向に移動すると、重力による復元力が働き、平衡位置に向かって加速されます。振り子を放すと、振り子の質量に作用する復元力によって、振り子は平衡位置を中心に振動し、前後に振動します。振り子の数学は一般的に非常に複雑です。単純化のための仮定を置くことで、単振り子の場合、微小角度の振動に対する運動方程式を解析的に解くことができます。

単純な重力振り子

単純な重力振り子^[1]は、現実の振り子^[2]^[3]^{[4]の理想的な数学モデルである。これは、}摩擦のない軸から吊り下げられた質量のない紐の先端に重り（または錘）が取り付けられたものである。このモデルでは摩擦によるエネルギー損失がないため、初期変位が与えられると、一定の振幅で前後に振動する。このモデルは以下の仮定に基づいている。

棒またはコードは質量がなく、伸縮性がなく、常に張力がかかった状態にあります。
錘は質点です。
動きは2次元で発生します。
この運動は外部摩擦や空気抵抗によってエネルギーを失うことはありません。
重力場は均一です。
サポートは固定されています。

単振り子の運動を支配する微分方程式は

{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0

式1

ここで、 $g$ は重力場の大きさ、 $ℓ$ は棒または紐の長さ、 $θ$ は垂直から振り子までの角度です。

（式1）の「力」の導出

右の図 1 は単純な振り子に作用する力を示しています。振り子の軌跡が円弧を描いていることに注目してください。角度 $θは$ ラジアンで測定され、これはこの式にとって重要です。青い矢印はおもりに作用する重力であり、紫の矢印は同じ力をおもりの瞬間的な動きに平行な成分と垂直な成分に分解したものです。おもりの瞬間的な速度の方向は常に赤い軸に沿います。赤い軸は、その方向が常に円に接するため、接線軸であると考えられます。ニュートンの第 2 法則を考えてみましょう。ここで、 $F$ は物体に作用する力の合計、 $m$ は質量、 $a$ は加速度です。ニュートンの方程式は接線軸にのみ適用できます。これは、速度の変化だけが問題であり、おもりは円軌道上にとどまるように強制されるからです。短い紫色の矢印は、重力の接線軸方向の成分を表しており、その大きさは三角法を用いて決定できます。つまり、 g $は$ 地球表面付近における重力加速度です。右辺の負の符号は、 $θ$ と $aが$ 常に反対方向を指すことを意味します。振り子が左に振れると、右方向へ加速し戻ると予想されるため、これは理にかなっています。 $F=ma$ ${\begin{aligned}F&=-mg\sin \theta =ma,\qquad {\text{so}}\\a&=-g\sin \theta ,\end{aligned}}$

この赤軸に沿った直線加速度 $a は、$ 弧長の公式によって角度 $θ$ の変化と関連付けることができます $。s$ は弧長です。したがって、 ${\begin{aligned}s&=\ell \theta ,\\v&={\frac {ds}{dt}}=\ell {\frac {d\theta }{dt}},\\a&={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}=\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\ell {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&=-g\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta &=0.\end{aligned}}$

（式1）の「トルク」導出

式（1）はトルクの2つの定義を用いて得られる。 ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}.$

まず、重力による力を使用して振り子の錘にかかるトルクを定義します。ここで $、l$ は振り子の長さベクトル、 $F$ $g$ は重力による力です。 ${\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {l} \times \mathbf {F} _{\mathrm {g} },$

今は振り子のトルクの大きさだけを考えてみましょう。ここで、 $m$ は振り子の質量、 $g$ は重力加速度、 $l$ は振り子の長さ、 $θ$ は長さベクトルと重力による力の間の角度です。 $|{\boldsymbol {\tau }}|=-mg\ell \sin \theta ,$

次に角運動量を書き直します。ここでも角運動量の大きさと時間微分だけを考えます。 $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =m\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} ).$ $|\mathbf {L} |=mr^{2}\omega =m\ell ^{2}{\frac {d\theta }{dt}}.$ ${\frac {d}{dt}}|\mathbf {L} |=m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},$

$大きさはτ$ $=$ $⁠$ を使って比較できる。 $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d L/dt⁠$

$-mg\ell \sin \theta =m\ell ^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},$ つまり、これは力の解析で得られた結果と同じになります。 ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,$

（式1）の「エネルギー」導出

これは力学的エネルギー保存則からも得られます。つまり、物体が垂直方向に落下すると、落下によって失ったエネルギーに等しい運動エネルギーが得られます。言い換えれば、重力による位置エネルギーが運動エネルギーに変換されます。位置エネルギーの変化は次のように表されます。 $h$ $\Delta U=mgh.$

運動エネルギーの変化（物体が静止状態から動き出す）は次のように表される。 $\Delta K={\tfrac {1}{2}}mv^{2}.$

エネルギーは失われないので、一方の利益はもう一方の損失と等しくなければならない。 ${\tfrac {1}{2}}mv^{2}=mgh.$

高さの変化に対する速度の変化は次のように表される。 $v={\sqrt {2gh}}.$

上記の弧の長さの公式を用いると、この式は次のように書き直すことができる $。$ $dθ / dt ⁠$ :ここで $、 h$ は振り子が落下した垂直距離です。図2は単振り子の三角法を示しています。振り子が初期角度 $θ$ $0$ から振り始めると、 $ねじからの垂直距離y$ $0$ は次のように与えられます。 ${\begin{aligned}v=\ell {\frac {d\theta }{dt}}&={\sqrt {2gh}},\quad {\text{so}}\\{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {\sqrt {2gh}}{\ell }},\end{aligned}}$ $y_{0}=\ell \cos \theta _{0}.$

同様に、 $y 1 の$ 場合には、 $y_{1}=\ell \cos \theta .$

$h$ は2つの値の差である。 $h=\ell \left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right).$

$⁠$ に関して $dθ / dt ⁠$ 与える

{\frac {d\theta }{dt}}={\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}.

式2

この式は運動の第一積分として知られており、位置に関する速度を与え、初期変位（ $θ 0$ ）に関連する積分定数を含みます。次に、連鎖律を適用して時間に関して微分し、加速度を求めます。 ${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}{\frac {d\theta }{dt}}&={\frac {d}{dt}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}\left(\cos \theta -\cos \theta _{0}\right)}},\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\frac {d\theta }{dt}}\\&={\frac {1}{2}}{\frac {-{\frac {2g}{\ell }}\sin \theta }{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}}{\sqrt {{\frac {2g}{\ell }}(\cos \theta -\cos \theta _{0})}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta ,\\{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}&+{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0,\end{aligned}}$

これは力解析で得られた結果と同じ結果です。

（式1）の「ラグランジュ」導出

式1は、ラグランジュ力学によっても得られる。より具体的には、オイラー・ラグランジュ方程式（または第二種ラグランジュ方程式）を用いて、系のラグランジュ関数（）と制約条件（）を同定し、次の方程式系を解くことによって得られる。 ${\mathcal {L}}$ $q$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q_{j}}}}}\right)={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial q_{j}}}.$

直交座標系の原点を吊り下げ点（または単に旋回点）と定義すると、錘は

$x=\ell \sin {\theta },$ $y=-\ell \cos {\theta },$

そして、座標を時間に関して微分して計算される錘の速度（時間微分を示すためにドット表記を使用）

${\dot {x}}=\ell {\dot {\theta }}\cos {\theta },$ ${\dot {y}}=\ell {\dot {\theta }}\sin {\theta }.$

したがって、ラグランジアンは

${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&=E_{k}-E_{p}\\&={\frac {1}{2}}mv^{2}-mgh\\&={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})-mg\ell (1-\cos {\theta })\\&={\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mg\ell +mg\ell \cos {\theta }.\end{aligned}}$

オイラー・ラグランジュ方程式（制約条件が1つしかないため特異）は、 $q=\theta$

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {\theta }}}}\right)&={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \theta }}\\{\frac {d}{dt}}(m\ell ^{2}{\dot {\theta }})&=-mg\ell \sin {\theta }\\m\ell ^{2}{\ddot {\theta }}&=-mg\ell \sin {\theta }\\{\ddot {\theta }}&=-{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }.\\\end{aligned}}$

これを、力の解析によって得られた式 1と一致するように並べ替えることができます。

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\sin {\theta }=0.$

ラグランジュ力学による導出は、単一の振り子の場合は過剰ですが、二重振り子などのより複雑で混沌としたシステムには役立ちます。

小角近似

上記の微分方程式は容易に解けるものではなく、初等関数で記述できる解も存在しない。しかし、振動の振幅の大きさに制限を加えることで、解を容易に得ることができる形が得られる。角度が1 ラジアンよりはるかに小さい（しばしば0.1ラジアン未満、約6°と表現される）と仮定するか、あるいは小角近似を用いて $sin$ $θ$ を式1に代入すると、調和振動子の式が得られる。 $\theta \ll 1,$ $\sin \theta \approx \theta ,$ ${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{\ell }}\theta =0.$

近似による誤差は $θ 3$ のオーダーです（ $sin$ $θ$ のテイラー展開より）。

開始角度を $θ 0$ とする。振り子が角速度ゼロで放たれたと仮定すると、解は次のようになる。

$\theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}\,t\right)\quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1.$

この運動は単振動であり、 $θ 0$ は振動の振幅（つまり振り子の棒と鉛直間の最大角度）である。この運動のおおよその周期は、

$T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\quad \quad \quad \quad \quad \theta _{0}\ll 1$

これはクリスティアーン・ホイヘンスの周期の法則として知られています。小角近似では、周期は振幅 $θ 0$ に依存しないことに注意してください。これはガリレオが発見した等時性の性質です。

振り子の長さに関する経験則

$T_{0}=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}$ 与える $\ell ={\frac {g}{\pi ^{2}}}{\frac {T_{0}^{2}}{4}}.$

SI単位系（メートルと秒で測定）を使用し、測定が地球表面で行われていると仮定すると、 $g \approx 9.81 m/s 2$ となり、 $⁠$ $グラム / π 2 ⁠ \approx 1 m/s 2$ （0.994 は小数点第3位までの近似値です）。

したがって、長さと周期の比較的妥当な近似値は次のとおりです。ここで、 $T$ $0$ は2 つのビート間の秒数(スイングの各側につき 1 ビート)、 $l$ はメートル単位で測定されます。 ${\begin{aligned}\ell &\approx {\frac {T_{0}^{2}}{4}},\\T_{0}&\approx 2{\sqrt {\ell }}\end{aligned}}$

任意振幅周期

小さな角度近似を超える振幅については、まずエネルギー法（式2）から得られた角速度の式を反転し、次に1周期、または半周期の2倍、または1/4周期の4倍にわたって積分することで、正確な周期を計算することができます。 ${\frac {dt}{d\theta }}={\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}{\frac {1}{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}$ $T=t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow \theta _{0}),$ $T=2t(\theta _{0}\rightarrow 0\rightarrow -\theta _{0}),$ $T=4t(\theta _{0}\rightarrow 0),$ $T=4{\sqrt {\frac {\ell }{2g}}}\int _{0}^{\theta _{0}}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \theta _{0}}}}.$

この積分は $θ 0 が$ 垂直に近づくにつれて発散するため、垂直になるのにちょうどよいエネルギーを持つ振り子は実際には決してそこに到達しないことに注意してください。（逆に、最大値に近い振り子は、落ちるまでに任意の長い時間がかかることがあります。） $\lim _{\theta _{0}\to \pi }T=\infty ,$

この積分は楕円積分を用いて次のように書き直すことができる。ここで $Fは$ 第一種不完全楕円積分であり、 $T=4{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}F\left({\frac {\pi }{2}},\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)$ $F(\varphi ,k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.$

あるいは、より簡潔に言えば、 $θを$ $u$ で表す置換によって、 $\sin {u}={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}}}$

$T={\frac {2T_{0}}{\pi }}K(k),\qquad {\text{where}}\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.$ 式3

ここで $K$ は次のように定義される第一種完全楕円積分である。

$K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {du}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}u}}}\,.$

近似値と完全な解との比較のために、地球上における長さ1mの振り子の周期（ $g$ =9.806 65 m/s ² ) の初期角度10度では、線形近似は次のようになる。 $4{\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\ K\left(\sin {\frac {10^{\circ }}{2}}\right)\approx 2.0102{\text{ s}}.$

$2\pi {\sqrt {\frac {1{\text{ m}}}{g}}}\approx 2.0064{\text{ s}}.$

2 つの値の差は 0.2% 未満であり、地理的な場所による $g$ の変動によって生じる差よりもはるかに小さいです。

ここから楕円積分の計算を進めるにはさまざまな方法があります。

楕円積分のルジャンドル多項式解

式3と楕円積分のルジャンドル多項式解が与えられます。ここで $n$ $!!は$ 二重階乗を表します。単振り子の周期の正確な解は次のようになります。 $K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}k^{n}\right)^{2}$ ${\begin{alignedat}{2}T&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta _{0}}{2}}+\cdots \right)\\&=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\cdot \sum _{n=0}^{\infty }\left(\left({\frac {(2n)!}{(2^{n}\cdot n!)^{2}}}\right)^{2}\cdot \sin ^{2n}{\frac {\theta _{0}}{2}}\right).\end{alignedat}}$

$図4は、$ べき級数を用いた相対誤差を示しています。T $0$ は線形近似であり、 $T$ $2$ から $T 10$ はそれぞれ2乗から10乗までの項を含んでいます。

楕円積分のべき級数解

上記の解の別の定式化は、次のマクローリン級数を用いると得られる。このマクローリン級数を上記のルジャンドル多項式解に用いると、次式で表される。結果として得られるべき級数は^[5]である。 $\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}={\frac {1}{2}}\theta _{0}-{\frac {1}{48}}\theta _{0}^{3}+{\frac {1}{3\,840}}\theta _{0}^{5}-{\frac {1}{645\,120}}\theta _{0}^{7}+\cdots .$

$T=2\pi {\sqrt {\frac {\ell }{g}}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3\,072}}\theta _{0}^{4}+{\frac {173}{737\,280}}\theta _{0}^{6}+{\frac {22\,931}{1\,321\,205\,760}}\theta _{0}^{8}+{\frac {1\,319\,183}{951\,268\,147\,200}}\theta _{0}^{10}+{\frac {233\,526\,463}{2\,009\,078\,326\,886\,400}}\theta _{0}^{12}+\cdots \right),$ さらに多くの分数は、オンライン整数シーケンス百科事典で参照できます。OEIS :A223067には分子が、OEIS :A223068には分母が示されています。

楕円積分の算術幾何平均解

式3と楕円積分の算術幾何平均解が与えられています。ここで、 $M$ $($ $x$ $,$ $y$ $)は$ $x$ と $y$ の算術幾何平均です。 $K(k)={\frac {\pi }{2M(1-k,1+k)}},$

これにより、周期に対する別の、より速く収束する式が得られる：^[6]^[7]^[8] $T={\frac {2\pi }{M\left(1,\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}\right)}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.$

このアルゴリズムの最初の反復では $T_{1}={\frac {2T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}.$

この近似値は、96.11度までの角度に対して相対誤差が1%未満である。^[6]この式はより簡潔に次のように書ける。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(1+\cos \left({\frac {\theta _{0}}{2}}\right)\right)=\cos ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}},}$ $T_{1}=T_{0}\sec ^{2}{\frac {\theta _{0}}{4}}.$

の2次展開は次のように帰着する。 $\sec ^{2}(\theta _{0}/4)$ ${\textstyle T\approx T_{0}\left(1+{\frac {\theta _{0}^{2}}{16}}\right).}$

このアルゴリズムの2回目の反復では、 $T_{2}={\frac {4T_{0}}{1+\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}+2{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}}}={\frac {4T_{0}}{\left(1+{\sqrt {\cos {\frac {\theta _{0}}{2}}}}\right)^{2}}}.$

この2番目の近似値は、163.10度までの角度に対して相対誤差が1%未満です。^[6]

非線形振り子の周期の近似式

任意の有限振幅radに対して、対応する完全楕円積分を評価することで正確な周期を決定できるが、この積分を初等関数を用いて閉じた形で表現することができないため、応用分野ではしばしばこの方法が避けられている。このため、振り子の周期が振幅とともに増加するという単純な近似式の研究が進むようになった（入門物理学実験、古典力学、電磁気学、音響学、電子工学、超伝導などで有用である）。^[9]様々な著者によって発見された近似式は、以下のように分類できる。 $T$ $\theta _{0}<\pi$ $K(k)$ $k\equiv \sin(\theta _{0}/2)$

「それほど大きな角度ではない」公式、すなわち、rad（柔軟な弦の端に錘を取り付けた場合の自然な限界）未満の振幅に対して良好な推定値を与える公式。ただし、正確な周期に対する偏差は振幅とともに単調に増加するため、radに近い振幅には適さない。文献に見られる最も単純な公式の一つは、Lima (2006) による次の公式である：、ここで。^[10] $\pi /2$ $\pi$ ${\textstyle T\approx -\,T_{0}\,{\frac {\ln {a}}{1-a}}}$ $a\equiv \cos {(\theta _{0}/2)}$
「非常に大きな角度」の公式、すなわち、振幅がradに近い場合、正確な周期を漸近的に近似する公式は、振幅が小さい場合、誤差が単調に増加する（つまり、小さな振幅には適さない）ものである。そのような優れた公式の一つは、Cromerによる公式であり、以下の通りである：^[11]。 $\pi$ ${\textstyle T\approx {\frac {2}{\pi }}\,T_{0}\,\ln {(4/a)}}$

もちろん、剛体棒またはディスクを使用した多くの実験で観察されているように、振幅によるの増加はのときの方が明白です。 ^[12]現在では初級物理学の実験室でも正確なタイマーとセンサーが利用できるため、「非常に大きな角度」の実験で見つかった実験誤差は、正確な周期と比較できるほど十分に小さくなっており、摩擦が無視できる場合、理論と実験の間には非常に良い一致が見られました。この活動は多くの指導者によって奨励されているため、実験データと比較できる、考えられるすべての振幅に有効な振り子の周期の簡単な近似式が求められました。 2008 年に、Lima は次の特性を持つ加重平均式を導きました。^[9]ここでであり、最大誤差はわずか 0.6% ( の場合) です。 $T$ $\pi /2<\theta _{0}<\pi$ $T\approx {\frac {r\,a^{2}\,T_{\text{Lima}}+k^{2}\,T_{\text{Cromer}}}{r\,a^{2}+k^{2}}},$ $r=7.17$ $\theta _{0}=95^{\circ }$

任意振幅の角度変位

のフーリエ級数展開は^[13]^[14]で与えられる。 $\theta (t)$

$\theta (t)=8\sum _{n\geq 1{\text{ odd}}}{\frac {(-1)^{\left\lfloor {n/2}\right\rfloor }}{n}}{\frac {q^{n/2}}{1+q^{n}}}\cos(n\omega t)$

ここでは楕円ノーム、は角周波数です。 $q$ $q=\exp \left({-\pi K{\bigl (}{\sqrt {\textstyle 1-k^{2}}}{\bigr )}{\big /}K(k)}\right),$ $k=\sin(\theta _{0}/2),$ $\omega =2\pi /T$

を定義すると、展開を用いて近似することができます（OEIS : A002103を参照）。についてはとなるため、大きな振幅に対しても近似が適用できることに注意してください。 $\varepsilon ={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}{1+{\sqrt {\cos(\theta _{0}/2)}}}}$ $q$ $q=\varepsilon +2\varepsilon ^{5}+15\varepsilon ^{9}+150\varepsilon ^{13}+1707\varepsilon ^{17}+20910\varepsilon ^{21}+\cdots$ $\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ $\theta _{0}<\pi$

同様に、角度は係数^{[15]を持つ}ヤコビ楕円関数で表すことができる。 $\operatorname {cd}$ $k$ $\theta (t)=2\arcsin \left(k\operatorname {cd} \left({\sqrt {\frac {g}{\ell }}}t;k\right)\right),\quad k=\sin {\frac {\theta _{0}}{2}}.$

、、が小さい場合、解は振り子（力学）#小角近似で与えられた解でよく近似されます。 $x$ $\sin x\approx x$ $\arcsin x\approx x$ $\operatorname {cd} (t;0)=\cos t$

例

以下のアニメーションは、単純な（摩擦のない）振り子の、おもりの初期変位（つまり初期速度）が増加するにつれての運動を示しています。各振り子の上にある小さなグラフは、対応する位相面図です。横軸は変位、縦軸は速度です。初期速度が十分に大きい場合、振り子は前後に振動せず、支点を中心に完全に回転します。

初期角度0°、安定した平衡
初期角度45°
初期角度90°
初期角度135°
初期角度170°
初期角度180°、不安定な平衡
振り子が完全に振れるのにかろうじて十分なエネルギーを持つ
振り子が完全に振れるだけのエネルギーを持つ

複合振り子

複合振り子（または物理振り子）とは、棒が質量を持たない場合や、長さが伸びている場合など、任意の形状の剛体が軸を中心に振動する振り子のことです。この場合、振り子の周期は軸周りの慣性モーメントに依存します。 $O$ $I_{O}$

トルクの方程式は次のようになります。ここで：は角加速度です。はトルクです。 $\tau =I\alpha$ $\alpha$ $\tau$

トルクは重力によって生成されるため、次の式が成り立ちます。 $\tau =-mgr_{\oplus }\sin \theta$

$m$ 剛体（棒と錘）の総質量です
$r_{\oplus }$ ピボットポイントからシステムの質量中心までの距離である
$\theta$ 垂直からの角度です

したがって、小角近似では（またはのときと同等）、はピボットポイントの周りの物体の慣性モーメントです。 $\sin \theta \approx \theta$ $\theta _{\mathrm {max} }\ll 1$ $\alpha ={\ddot {\theta }}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta \approx -{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\theta$ $I_{O}$ $O$

の式は従来の単振り子と同じ形であり、周期は^{[2]となる。} $\alpha$ $T=2\pi {\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}$

そして頻度 $f={\frac {1}{T}}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}}$

初期角度を考慮すると（振幅が大きい場合）、の式は次のようになり、の周期が得られます。ここで、は最大振動角度（垂直に対する）であり、は第 1 種完全楕円積分です。 $\alpha$ $\alpha ={\ddot {\theta }}=-{\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\sin \theta$ $T=4\operatorname {K} \left(\sin ^{2}{\frac {\theta _{\mathrm {max} }}{2}}\right){\sqrt {\frac {I_{O}}{mgr_{\oplus }}}}$ $\theta _{\mathrm {max} }$ $\operatorname {K} (k)$

重要な概念は、等価長さ、つまり複合振り子と同じ角周波数を持つ単純振り子の長さです。 $\ell ^{\mathrm {eq} }$ $\omega _{0}$ ${\omega _{0}}^{2}={\frac {g}{\ell ^{\mathrm {eq} }}}:={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}\implies \ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {I_{O}}{mr_{\oplus }}}$

次のケースを考えてみましょう。

単振り子は、すべての質量が錘の軸から離れた位置にある特殊なケースです。したがって、であり、なので、式はとなります。であることに注目してください（等価長さの定義）。 $\ell$ $r_{\oplus }=\ell$ $I_{O}=m\ell ^{2}$ ${\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\ell }{m\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}$ $\ell ^{\mathrm {eq} }=\ell$
質量と長さの均質な棒をその端から振ると、ととなるので、式はと簡約されます。均質な棒は、その長さの3分の2の単純な振り子のように振動することに注目してください。 $m$ $\ell$ $r_{\oplus }={\frac {1}{2}}\ell$ $I_{O}={\frac {1}{3}}m\ell ^{2}$ ${\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {mg\,{\frac {1}{2}}\ell }{{\frac {1}{3}}m\ell ^{2}}}={\frac {g}{{\frac {2}{3}}\ell }}$ $\ell ^{\mathrm {eq} }={\frac {2}{3}}\ell$
重い単振り子：質量と長さの均質な棒が一端から振られ、もう一端には錘が取り付けられている。この系の全質量は、その他のパラメータは（重心の定義により）となので、式は次のように簡約される。 $m_{\mathrm {rod} }$ $\ell$ $m_{\mathrm {bob} }$ $m_{\mathrm {bob} }+m_{\mathrm {rod} }$ $mr_{\oplus }=m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}$ $I_{O}=m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}$

${\omega _{0}}^{2}={\frac {mgr_{\oplus }}{I_{O}}}={\frac {\left(m_{\mathrm {bob} }\ell +m_{\mathrm {rod} }{\frac {\ell }{2}}\right)g}{m_{\mathrm {bob} }\ell ^{2}+{\frac {1}{3}}m_{\mathrm {rod} }\ell ^{2}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2}}}{m_{\mathrm {bob} }+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3}}}}={\frac {g}{\ell }}{\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}}$ ここでです。これらの式は、それぞれ棒またはおもりの質量をゼロとみなすだけで、これまで検討した2つのケースに特化できることに注目してください。また、この式はおもりと棒の質量の両方に依存するのではなく、実際にはそれらの比に依存していることにも注意してください。については近似値が得られます。 $\ell ^{\mathrm {eq} }=\ell {\frac {1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{3m_{\mathrm {bob} }}}}{1+{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{2m_{\mathrm {bob} }}}}}$ ${\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}$ ${\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}\ll 1$

${\omega _{0}}^{2}\approx {\frac {g}{\ell }}\left(1+{\frac {1}{6}}{\frac {m_{\mathrm {rod} }}{m_{\mathrm {bob} }}}+\cdots \right)$

有効質量を持つバネ質量システムの角周波数と非常に似ていることに注目してください。

減衰駆動振り子

これまでの議論は、重力のみの作用を受ける振り子の錘に焦点を当てたものでした。物体には、正弦波状の駆動力に加えて、例えば空気抵抗などの減衰力が作用すると仮定します。この系は減衰駆動振動子であり、カオス状態にあります。

式（1）は次のように書ける。

$ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta$

（上記式（1）のトルク導出を参照）。

減衰項と強制項を右辺に加えると、

$ml^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgl\sin \theta -b{\frac {d\theta }{dt}}+a\cos(\Omega t)$

ここで、減衰は角速度に正比例すると仮定されます（これは低速の空気抵抗に当てはまります。抗力（物理学）も参照）。およびは、それぞれ強制の振幅と減衰の度合いを定義する定数です。は駆動振動の角周波数です。 $a$ $b$ ${\textstyle \Omega }$

次のように分割します: ${\textstyle ml^{2}}$

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{ml^{2}}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {g}{l}}{\sin \theta }-{\frac {a}{ml^{2}}}\cos(\Omega t)=0.$

物理的な振り子の場合:

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {b}{I}}{\frac {d\theta }{dt}}+{\frac {mgr_{\oplus }}{I}}{\sin \theta }-{\frac {a}{I}}\cos(\Omega t)=0.$

この方程式はカオス的な挙動を示します。この振り子の正確な運動は数値的にしか求めることができず、初期速度や初期振幅といった初期条件に大きく依存します。しかしながら、上記で概説した小角近似は、必要な条件下では近似的な解析解を得るために用いることができます。

虚周期の物理的解釈

振り子の位置を時間の関数として表すヤコビ楕円関数は、実周期と虚周期を持つ二重周期関数です。実周期とは、言うまでもなく、振り子が1周期を一周するのにかかる時間です。ポール・アペルは虚周期の物理的な解釈を指摘しました。^[16]一方の振り子の最大角度を $θ$ $0$ とし、もう一方の振り子の最大角度を $180° -$ $θ$ $0$ とすると、それぞれの実周期は、もう一方の振り子の虚周期の大きさとなります。

連結振り子

連結振り子は、方向のつながり（例えば、錘を繋ぐバネ）や支持構造（例えば、テーブルトップ）の運動を通じて、互いの運動に影響を与えることがあります。錘を繋ぐバネによって連結された2つの同一の単振り子の運動方程式は、ラグランジュ力学を用いて求めることができます。

システムの運動エネルギーは、次の式で表されます。は錘の質量、は弦の長さ、は2 つの錘の平衡状態からの角度変位です。 $E_{\text{K}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)$ $m$ $L$ $\theta _{1}$ $\theta _{2}$

システムの位置エネルギーは次のとおりです。 $E_{\text{p}}=mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})+{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}$

ここでは重力加速度、はバネ定数です。バネの平衡位置からの変位は、微小角度近似を仮定します。 $g$ $k$ $L(\theta _{2}-\theta _{1})$

ラグランジアンは次のようになり、次のような連立微分方程式が導かれます。 ${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}mL^{2}\left({\dot {\theta }}_{1}^{2}+{\dot {\theta }}_{2}^{2}\right)-mgL(2-\cos \theta _{1}-\cos \theta _{2})-{\frac {1}{2}}kL^{2}(\theta _{2}-\theta _{1})^{2}$ ${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{1}+{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}\sin \theta _{2}-{\frac {k}{m}}(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}$

これら2つの方程式を足し算と引き算し、小角近似を適用すると、変数とに関する2つの調和振動子方程式が得られる。対応する解は、 $\theta _{1}+\theta _{2}$ $\theta _{1}-\theta _{2}$ ${\begin{aligned}{\ddot {\theta }}_{1}+{\ddot {\theta }}_{2}+{\frac {g}{L}}(\theta _{1}+\theta _{2})&=0\\{\ddot {\theta }}_{1}-{\ddot {\theta }}_{2}+\left({\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}\right)(\theta _{1}-\theta _{2})&=0\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\theta _{1}+\theta _{2}&=A\cos(\omega _{1}t+\alpha )\\\theta _{1}-\theta _{2}&=B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {g}{L}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {{\frac {g}{L}}+2{\frac {k}{m}}}}\end{aligned}}$

および、、は積分定数です。 $A$ $B$ $\alpha$ $\beta$

解をとのみで表現すると次のようになります。 $\theta _{1}$ $\theta _{2}$ ${\begin{aligned}\theta _{1}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )+{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\\\theta _{2}&={\frac {1}{2}}A\cos(\omega _{1}t+\alpha )-{\frac {1}{2}}B\cos(\omega _{2}t+\beta )\end{aligned}}$

ボブに最初のプッシュが与えられない場合、条件はを必要とし、これは（いくつかの並べ替えの後）次のようになります。 ${\dot {\theta }}_{1}(0)={\dot {\theta }}_{2}(0)=0$ $\alpha =\beta =0$ ${\begin{aligned}A&=\theta _{1}(0)+\theta _{2}(0)\\B&=\theta _{1}(0)-\theta _{2}(0)\end{aligned}}$

参照

参考文献

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さらに読む

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外部リンク

Mathieu関数に関するMathworldの記事

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