大圏航法

Flight or sailing route along the shortest path between two points on a globe's surface

地球儀上に描かれた正距円筒図法

大圏航法（だいかくこうほう、英: Great-circle navigation）または正航法（せいこうほう、英: orthodromic courseに由来。古代ギリシャ語の ορθός ( orthós ) 「直角」とδρόμος ( drómos ) 「道」に由来）は、船舶（船舶または航空機）を大圏に沿って航行する航法である。このような航路は、地球上の2点間の最短距離を生み出す 。^[1]    

コース

_{図 1. (φ 1} , λ ₁ ) と (φ ₂ , λ ₂ )の間の大圏経路。

大円経路は球面三角法を用いて求めることができる。これは逆測地問題の球面版である。航海士がP ₁  = (φ ₁ ,λ _{1 )から出発し、大円経路を}P ₂  = (φ ₂ ,λ ₂ )の点まで移動しようとする場合（図1参照、φは緯度（正方向は北向き）、λは経度（正方向は東向き））、初期経路α ₁および最終経路α _2は球面三角形を解く公式によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha _{1}&={\frac {\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12}}{\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\cos \phi _{1}\sin \lambda _{12}}{-\cos \phi _{2}\sin \phi _{1}+\sin \phi _{2}\cos \phi _{1}\cos \lambda _{12}}},\\\end{aligned}}}$

ここでλ ₁₂  = λ ₂  − λ ₁ ^{[注1]であり、α} ₁、α ₂の象限は正接公式の分子と分母の符号によって決定される（例えばatan2関数を用いる）。2点間の中心角σ ₁₂は次のように与えられる 。

${\displaystyle \tan \sigma _{12}={\frac {\sqrt {(\cos \phi _{1}\sin \phi _{2}-\sin \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12})^{2}+(\cos \phi _{2}\sin \lambda _{12})^{2}}}{\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12}}}.}$^{[注2] [注3]}

_{（この式の分子には、tan α 1}を求めるために使用された量が含まれています。）大円に沿った距離はs ₁₂  =  R σ ₁₂となります。ここで、 Rは地球の想定半径、σ _12はラジアンで表されます。地球の平均半径を用いると、R  =  R ₁  ≈ 6,371 km (3,959 mi) となり、距離s _12はWGS84楕円体の測地線長の1%以内となります。詳細は楕円体上の測地線を参照してください。

地心座標系との関係

点tの点sにおける位置角は、緑色の大円と破線の大円がsで交差する角度です。単位方向u _E、u _N、および回転軸ωは矢印で示されています。

海面を球面で近似すれば、最適な方向の詳細な評価が可能になります。標準的な計算では、船舶は測地緯度 φ _sと測地経度 λ _sに配置されます。ここで、 φは赤道の北側を正、λ はグリニッジの東側を正とします。球の中心を中心とする地心座標系では、直交座標成分は

${\displaystyle {\mathbf {s} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\sin \varphi _{s}\end{array}}\right)}$

そして目標位置は

${\displaystyle {\mathbf {t} }=R\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{t}\end{array}}\right).}$

北極は

${\displaystyle {\mathbf {N} }=R\left({\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}}\right).}$

最小距離 dは、 sとtを通る大円に沿った距離である。これは、球の中心と大円を含む平面上で計算される。

${\displaystyle d_{s,t}=R\theta _{s,t}}$

ここで、θは球の中心から見た2点間の角度距離で、ラジアンで測定されます。角度の余弦は、 2つのベクトルの内積によって計算されます。

${\displaystyle \mathbf {s} \cdot \mathbf {t} =R^{2}\cos \theta _{s,t}=R^{2}(\sin \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s}))}$

船が北極に向かってまっすぐ進む場合、移動距離は

${\displaystyle d_{s,N}=R\theta _{s,N}=R(\pi /2-\varphi _{s})}$

船がtから出発して北極まで一直線に航行する場合、航行距離は

${\displaystyle d_{t,N}=R\theta _{t,n}=R(\pi /2-\varphi _{t})}$

導出

球面三角法の余弦公式^{[4]は、北と}東を指す大円の間の角度pについて次のよう に表す。

${\displaystyle \cos \theta _{t,N}=\cos \theta _{s,t}\cos \theta _{s,N}+\sin \theta _{s,t}\sin \theta _{s,N}\cos p.}$

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+\sin \theta _{s,t}\cos \varphi _{s}\cos p.}$

正弦の公式は

${\displaystyle {\frac {\sin p}{\sin \theta _{t,N}}}={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin \theta _{s,t}}}.}$

これをsin θ _s,tについて解き、前の式に代入すると、位置角の正接を表す式が得られる。

${\displaystyle \sin \varphi _{t}=\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}+{\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\sin p}}\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}\cos p;}$

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\cos \varphi _{t}\cos \varphi _{s}}{\sin \varphi _{t}-\cos \theta _{s,t}\sin \varphi _{s}}}.}$

詳細情報

簡単な導出では 0 とπの間の角度が得られますが、その符号（北の西か東か？）はわかりません。そのため、逆正接の正しい分岐を使用して、範囲−π ≤ p ≤ π全体にわたって角度を生成できるように、pの正弦と余弦を別々に生成する、より明示的な導出が望まれます。

計算は、 sとtの間に大円を描くことから始まります。大円は球の中心、 s、tを含む平面上にあり、sを軸ωを中心に角度θ _s,tだけ回転させて描きます。軸は大円の平面に垂直であり、2つの位置の正規化されたベクトル外積によって計算されます。

${\displaystyle \mathbf {\omega } ={\frac {1}{R^{2}\sin \theta _{s,t}}}\mathbf {s} \times \mathbf {t} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}\\\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{t}\cos \varphi _{t}-\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}\cos \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})\end{array}}\right).}$

球の中心を中心とする右手傾斜座標系は、次の3つの軸で表されます。軸s、軸

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\omega \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} ={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}\left({\begin{array}{c}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin ^{2}\lambda _{s})-\cos \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\sin \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t})\\\cos \varphi _{t}\sin \lambda _{t}(\sin ^{2}\varphi _{s}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos ^{2}\lambda _{s})-\sin \lambda _{s}(\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}+\cos ^{2}\varphi _{s}\cos \lambda _{s}\cos \varphi _{t}\cos \lambda _{t})\\\cos \varphi _{s}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})]\end{array}}\right)}$

そして軸ωである。大円に沿った位置は

${\displaystyle \mathbf {s} (\theta )=\cos \theta \mathbf {s} +\sin \theta \mathbf {s} _{\perp },\quad 0\leq \theta \leq 2\pi .}$

コンパス方向は、2つのベクトルsとs⊥_を挿入し、 θ=0におけるθに対するベクトルの勾配を計算することによって与えられます。

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \theta }}\mathbf {s} _{\mid \theta =0}=\mathbf {s} _{\perp }.}$

角度pは、点sにおける球面の接線平面において、この方向を2つの直交方向に分割することによって与えられる。2つの方向は、単位長さに正規化されたsのφおよびλに関する偏微分によって与えられる。

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}=\left({\begin{array}{c}-\sin \varphi _{s}\cos \lambda _{s}\\-\sin \varphi _{s}\sin \lambda _{s}\\\cos \varphi _{s}\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{E}=\left({\begin{array}{c}-\sin \lambda _{s}\\\cos \lambda _{s}\\0\end{array}}\right);}$

${\displaystyle \mathbf {u} _{N}\cdot \mathbf {s} =\mathbf {u} _{E}\cdot \mathbf {u} _{N}=0}$

位置sにおいて、 u _{N は}北を指し、 u _{E は}東を指す。位置角pはs _{⊥ を}これらの2つの方向に投影する

${\displaystyle \mathbf {s} _{\perp }=\cos p\,\mathbf {u} _{N}+\sin p\,\mathbf {u} _{E}}$、

ここで、正の符号は、正の位置角が北から東へ向かう方向であると定義されることを意味します。pの余弦と正弦の値は、この式の両辺に2つの単位ベクトルを掛け合わせることで計算されます。

${\displaystyle \cos p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{N}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{s}\sin \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos \varphi _{t}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})];}$

${\displaystyle \sin p=\mathbf {s} _{\perp }\cdot \mathbf {u} _{E}={\frac {1}{\sin \theta _{s,t}}}[\cos \varphi _{t}\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})].}$

s _⊥の複雑な式を挿入する代わりに、評価では三重積が引数の循環シフトに対して不変であることを利用することができます。

${\displaystyle \cos p=(\mathbf {\omega } \times {\frac {1}{R}}\mathbf {s} )\cdot \mathbf {u} _{N}=\omega \cdot ({\frac {1}{R}}\mathbf {s} \times \mathbf {u} _{N}).}$

atan2を使って値を計算する場合、 cos φ _tによる除算とsin θ _s,tによる乗算によって両方の式を簡約することができます。なぜなら、これらの値は常に正であり、その演算は符号を変えないからです。

${\displaystyle \tan p={\frac {\sin(\lambda _{t}-\lambda _{s})}{\cos \varphi _{s}\tan \varphi _{t}-\sin \varphi _{s}\cos(\lambda _{t}-\lambda _{s})}}.}$

ウェイポイントを見つける

ウェイポイント、つまりP ₁とP ₂の間の大円上の選択された点の位置を見つけるには、まず大円をそのノード A、つまり大円が北方向に赤道を横切る点まで外挿します。この点の経度をλ ₀とします（図1を参照） 。この点の方位角α ₀は次のように与えられます。

${\displaystyle \tan \alpha _{0}={\frac {\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1}}{\sqrt {\cos ^{2}\alpha _{1}+\sin ^{2}\alpha _{1}\sin ^{2}\phi _{1}}}}.}$^[注4]

大円に沿ったA からP ₁とP ₂までの角距離をそれぞれσ ₀₁とσ ₀₂とします。ネイピアの法則を用いる と、

${\displaystyle \tan \sigma _{01}={\frac {\tan \phi _{1}}{\cos \alpha _{1}}}\qquad }$(φ ₁  = 0 かつ α ₁  =  1 ⁄ 2 π の場合、σ ₀₁  = 0 を使用します)。

これにより σ ₀₁が得られ、σ ₀₂  = σ ₀₁  + σ ₁₂となります。

ノードの経度は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \lambda _{01}&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma _{01}}{\cos \sigma _{01}}},\\\lambda _{0}&=\lambda _{1}-\lambda _{01}.\end{aligned}}}$

図 2. ノード（赤道通過点）と任意の点（φ、λ）間の大円経路。

最後に、任意の点P （図2参照）における位置と方位角を、直接測地線問題の球面版によって計算する。^[注5]ネイピアの法則によれば、

${\displaystyle {\color {white}.\,\qquad )}\tan \phi ={\frac {\cos \alpha _{0}\sin \sigma }{\sqrt {\cos ^{2}\sigma +\sin ^{2}\alpha _{0}\sin ^{2}\sigma }}},}$^{[注 6]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\lambda -\lambda _{0})&={\frac {\sin \alpha _{0}\sin \sigma }{\cos \sigma }},\\\tan \alpha &={\frac {\tan \alpha _{0}}{\cos \sigma }}.\end{aligned}}}$

_{σ 01} 、λ、αを求めるには、 atan2関数を用いるべきである。例えば、経路の中点を求めるには、σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) と代入する。あるいは、出発点から距離dの点を求めるには、σ = σ ₀₁  +  d / Rと代入する。同様に、大円上で最大緯度を持つ頂点は、σ = + 1 ⁄ 2 πと代入することで求められる。経路を経度でパラメータ化すると便利な場合がある。

${\displaystyle \tan \phi =\cot \alpha _{0}\sin(\lambda -\lambda _{0}).}$^{[注 7]}

一定の経度間隔で緯度を求め、その結果得られた位置をメルカトル図法に転記することで、大円を等角線で近似することができます。このようにして決定された経路は、座標が楕円体上の地理座標として解釈される場合、端点を結ぶ大楕円となります。 ${\displaystyle (\phi ,\lambda )}$

これらの公式は、地球の球面モデルに適用されます。また、回転楕円体上の最短経路、すなわち測地線を求めるための補助球面上の大円を求める際にも用いられます。詳しくは、楕円体上の測地線に関する記事を参照してください。

例

バルパライソ（φ ₁  = −33°、λ ₁  = −71.6°） から上海（φ ₂  = 31.4°、λ ₂  = 121.8°） までの大圏ルートを計算します。

方位と距離の公式から、λ ₁₂  = −166.6°、^[注8] α ₁  = −94.41°、α ₂  = −78.42°、σ ₁₂  = 168.56°が得られる。地球の半径をR = 6371 kmとすると 、距離はs ₁₂  = 18743 kmとなる。

経路上の点を計算するには、まずα ₀  = −56.74°、σ ₀₁  = −96.76°、σ ₀₂  = 71.8°、λ ₀₁  = 98.07°、λ ₀  = −169.67°を求めます。次に、経路の中点を計算するには（例えば）、σ =  1 ⁄ 2 (σ ₀₁  + σ ₀₂ ) = −12.48°とし、φ = −6.81°、λ = −159.18°、α = −57.36°を解きます。

WGS84楕円体上で測地線を正確に計算した場合、^[5]の結果はα ₁  = −94.82°、α ₂  = −78.29°、 s ₁₂  = 18752 kmです。測地線の中点はφ = −7.07°、λ = −159.31°、α = −57.45°です。

心射図

インド洋と南洋の海軍三角海図。大圏航跡を描く際に使用する。

心距図に描かれた直線は大円の一部です。これをメルカトル図に転写すると曲線になります。位置は適切な経度間隔で転写され、その軌跡がメルカトル図上に描かれ、航海に用いられます。

参照

• コンパスローズ
• 大円
• 大圏距離
• 大楕円
• 楕円体上の測地線
• 地理的な距離
• 等方位角
• 斜航航法
• 地図
  • ポルトラン地図
• 海の砂時計
• 等角線
• 球面三角法
• ウィンドローズネットワーク

注記

1. 大圏距離に関する記事では_{、Δλ = λ 12}および Δσ = σ ₁₂という表記_{が用いられています。この記事におけるこの表記は、他の点（例えば λ 01 ）}間の差を扱うために必要です。
2. より簡単な式は

   ${\displaystyle \cos \sigma _{12}=\sin \phi _{1}\sin \phi _{2}+\cos \phi _{1}\cos \phi _{2}\cos \lambda _{12};}$

   _{ただし、σ 12 が}小さい 場合、数値的に精度は低くなります。
3. これらのα ₁ ,α ₂ ,σ ₁₂に関する式は、現代の計算機やコンピュータで実行するのに適しています。対数を用いた手計算では、通常、デランブルの類推^[2]が用いられます。

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}+\alpha _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\cos {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\cos {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}-\phi _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12},\\\sin {\tfrac {1}{2}}(\alpha _{2}-\alpha _{1})\cos {\tfrac {1}{2}}\sigma _{12}&=\sin {\tfrac {1}{2}}(\phi _{2}+\phi _{1})\sin {\tfrac {1}{2}}\lambda _{12}.\end{aligned}}}$

   McCaw ^[3]はこれらの方程式を「対数形式」と呼んでいます。これは、すべての三角関数の項が積として表されることを意味します。これにより、必要な表参照の回数が最小限に抑えられます。さらに、これらの式の冗長性は、手計算におけるチェックとして機能します。これらの方程式を用いて大円上の短い経路を決定する場合、|λ ₁₂ | ≤ π を満たすことを確認する必要があります（そうでない場合、長い経路が求められます）。
4. より簡単な式は

   ${\displaystyle \sin \alpha _{0}=\sin \alpha _{1}\cos \phi _{1};}$

   ただし、これはあまり正確ではありません α ₀  ≈ ± 1 ⁄ 2 π。
5. 直接測地線問題、すなわちP ₁、 α ₁、およびs ₁₂が与えられたときにP ₂の位置を求める問題は、次のように球面三角形を解く公式によっても解くことができる 。

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{12}&=s_{12}/R,\\\sin \phi _{2}&=\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1},\quad {\text{or}}\\\tan \phi _{2}&={\frac {\sin \phi _{1}\cos \sigma _{12}+\cos \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}{\sqrt {(\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1})^{2}+(\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1})^{2}}}},\\\tan \lambda _{12}&={\frac {\sin \sigma _{12}\sin \alpha _{1}}{\cos \phi _{1}\cos \sigma _{12}-\sin \phi _{1}\sin \sigma _{12}\cos \alpha _{1}}},\\\lambda _{2}&=\lambda _{1}+\lambda _{12},\\\tan \alpha _{2}&={\frac {\sin \alpha _{1}}{\cos \sigma _{12}\cos \alpha _{1}-\tan \phi _{1}\sin \sigma _{12}}}.\end{aligned}}}$

   本文中に示されているウェイポイントの解は、指定された経度におけるウェイポイントを見つけることができるという点で、この解よりも汎用的です。さらに、σ（すなわちノードの位置）の解は、補助球を用いて楕円体上の測地線を求める際に必要となります。
6. より簡単な式は

   ${\displaystyle \sin \phi =\cos \alpha _{0}\sin \sigma ;}$

   しかし、φ ≈ ± 1 ⁄ 2 πの場合には精度が悪くなる。
7. 以下が使用されます: ${\displaystyle \cos \sigma =\cos \phi \cos(\lambda -\lambda _{0})}$
8. λ ₁₂は、必要に応じて 360° を加算または減算することで [-180°, 180°] の範囲に縮小されます。

参考文献

1. Adam Weintrit、Tomasz Neumann（2011年6月7日）『航行における方法とアルゴリズム：海上航行と海上輸送の安全』CRC Press、139頁～ISBN 978-0-415-69114-7。
2. Todhunter, I. (1871). 球面三角法（第3版）. マクミラン. p. 26.
3. McCaw, GT (1932). 「地球上の長い線」. Empire Survey Review . 1 (6): 259– 263. doi :10.1179/sre.1932.1.6.259.
4. アブラモウィッツ、ミルトン、ステガン、アイリーン・アン編 (1983) [1964年6月]。「第4章3.149節」。『数式、グラフ、数表付き数学関数ハンドブック』 。応用数学シリーズ。第55巻（1972年12月発行の第10刷に訂正を加えた第9刷、初版）。ワシントンD.C.、ニューヨーク：米国商務省、国立標準局、ドーバー出版。ISBN 978-0-486-61272-0LCCN  64-60036. MR 0167642.  LCCN 65-12253  .
5. Karney, CFF (2013). 「測地線のためのアルゴリズム」. Journal of Geodesy . 87 (1): 43– 55. arXiv : 1109.4448 . Bibcode :2013JGeod..87...43K. doi : 10.1007/s00190-012-0578-z .

外部リンク

• 大円 – MathWorldの大円の説明、図、方程式より。Mathworld、Wolfram Research, Inc. c1999
• 大圏マップ 球面上に大圏ルートをプロットするためのインタラクティブ ツールです。
• Great Circle Mapper 大圏ルートをプロットするためのインタラクティブ ツール。
• 2 点間の (初期の) コースと距離を導出する大円計算機。
• 大円距離 地図上に大円を描くためのグラフィカルツールです。距離と方位角も表形式で表示されます。
• 正順航法ナビゲーションのための Google アシスタンス プログラム

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