正規行列

Matrix that commutes with its conjugate transpose

数学において、複素 正方行列 A は、その共役転置行列A ^*と可換である場合に正規行列である。

${\displaystyle A{\text{ normal}}\iff A^{*}A=AA^{*}.}$

正規行列の概念は、無限次元ノルム空間上の正規作用素やC*-代数の正規元に拡張できる。行列の場合と同様に、正規性とは、非可換な設定においても可能な限り可換性が保たれることを意味する。これにより、正規作用素やC*-代数の正規元は、より解析的に扱いやすくなる。

スペクトル定理によれば、行列が正規行列であるためには、対角行列とユニタリ相似でなければならない。つまり、方程式A ^* A = AA ^*を満たす任意の行列Aは対角化可能である。したがって、因数分解が成り立ち、は対角値が一般に複素数である対角行列であり、はユニタリ行列である。 ${\displaystyle A=UDU^{*}}$ ${\displaystyle A^{*}=UD^{*}U^{*}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle U}$

正規行列の特異値分解における左特異ベクトルと右特異ベクトルは、互いに、および対応する固有ベクトルとは複素位相のみが異なります。これは、特異値を形成するには、位相を固有値から因数分解する必要があるためです。 ${\displaystyle A=UDV^{*}}$

特殊なケース

複素行列のうち、ユニタリ行列、エルミート行列、歪エルミート行列はすべて正規行列であり、すべての固有値はそれぞれ単位係数、実数、虚数です。同様に、実数行列のうち、直交行列、対称行列、歪対称行列はすべて正規行列であり、すべての固有値はそれぞれ単位円上の複素共役対、実数、虚数です。しかし、すべての正規行列がユニタリ行列または（歪）エルミート行列であるとは限りません。なぜなら、一般に、その固有値は任意の複素数になる可能性があるからです。例えば、は固有値が であるため、ユニタリ行列でもエルミート行列でも歪エルミート行列でもありません。しかし、 は正規行列であるため、 $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle 2,(1\pm i{\sqrt {3}})/2}$ $${\displaystyle AA^{*}={\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{bmatrix}}=A^{*}A.}$$

結果

命題—正規三角行列は対角行列である。

証拠

Aを任意の正規上三角行列とする。添え字表記を用いるので、i番目の単位ベクトル( )を用いてi番目の行とi番目の列 を選択することで、等価な式を書くことができる。この式は等価であり、 $${\displaystyle (A^{*}A)_{ii}=(AA^{*})_{ii},}$$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}}$ $${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(A^{*}A\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}={\hat {\mathbf {e} }}_{i}^{\intercal }\left(AA^{*}\right){\hat {\mathbf {e} }}_{i}.}$$ $${\displaystyle \left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)=\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)^{*}\left(A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right)}$$ $${\displaystyle \left\|A{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2}=\left\|A^{*}{\hat {\mathbf {e} }}_{i}\right\|^{2},}$$

これは、i番目の行のノルムはi番目の列のノルムと同じでなければならないことを示しています。

i = 1 の場合を考えてみましょう。1行目と1列目の最初の要素は同じで、1列目の残りの要素はゼロです（三角形の性質のため）。これは、2からnまでの要素について、最初の行はゼロでなければならないことを意味します。この議論を2からnまでの行と列のペアについて続けると、Aは対角行列であることがわかります。QED

正規性の概念が重要なのは、正規行列がスペクトル定理を適用する行列そのものだからです。

命題—対角行列Λとユニタリ行列Uが存在し、 A = U Λ U ^* となる場合のみ、行列Aは正規行列となります。

Λの対角要素はAの固有値であり、 Uの列はAの固有ベクトルです。 Λの対応する固有値は、 Uの列の固有ベクトルと同じ順序で並びます。

スペクトル定理を別の言い方で述べると、正規行列とは、 C ⁿの適切に選択された直交基底に関して対角行列で表すことができる行列のことであると言えます。言い換えると、行列が正規行列であるためには、その固有空間がC ⁿを張り、C ⁿの標準内積に関して対角直交している必要があります。

正規行列のスペクトル定理は、すべての正方行列に成立する、より一般的なシュアー分解の特殊なケースです。正方行列Aとします。シュアー分解により、これは例えば上三角行列Bとユニタリ相似になります。Aが正規行列であれば、Bも正規行列です。しかし、B は対角行列でなければなりません。なぜなら、前述のように、正規上三角行列は対角行列だからです。

スペクトル定理により、正規行列をスペクトルに基づいて分類することができます。たとえば、

命題-正規行列がユニタリ行列となるのは、そのすべての固有値 (スペクトル) が複素平面の単位円上にある場合のみです。

命題—正規行列が自己随伴行列となるのは、そのスペクトルが に含まれる場合のみです。言い換えると、正規行列がエルミート行列となるのは、そのすべての固有値が実数 である場合のみです。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

一般に、2つの正規行列の和または積は必ずしも正規行列である必要はありません。ただし、以下の式が成り立ちます。

命題— AとBが正規行列でAB = BAが成り立つならば、ABとA + Bも正規行列である。さらに、 UAU ^*とUBU ^*が対角行列となるようなユニタリ行列Uが存在する。言い換えれば、AとBは同時に対角化可能である。

この特殊なケースでは、 U ^*の列はAとBの両方の固有ベクトルであり、 C ⁿの直交基底を形成します。これは、代数閉体上では可換行列は同時に三角化可能であり、正規行列は対角化可能であるという定理を組み合わせることで得られます。つまり、これらが同時に実行可能であるということになります。

同等の定義

正規行列の同値な定義は、かなり多く挙げられます。Aをn × n​​の複素行列とすると、以下の定義は同値です。

1. Aは正常です。
2. Aはユニタリ行列によって対角化可能です。
3. C ⁿの直交基底を形成するAの固有ベクトルの集合が存在する。
4. ${\displaystyle \left\|A\mathbf {x} \right\|=\left\|A^{*}\mathbf {x} \right\|}$すべてのxについて。
5. Aのフロベニウスノルムは、Aの固有値によって計算できます。 ${\textstyle \operatorname {tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j}\left|\lambda _{j}\right|^{2}}$
6. エルミート部分⁠​1/2⁠ ( A + A ^* )と歪エルミート部分⁠1/2⁠ ( A − A ^* )のA通勤。
7. A ^*はAの多項式（次数≤n −1）で。 ^[a]
8. A ^* = AUであるユニタリ行列Uに対して。 ^[1]
9. UとP は可換であり、ユニタリ行列Uと何らかの半正定値行列Pを持つ極分解 A = UP が成り立ちます。
10. A は、異なる^{[説明が必要]}固有値を持つ何らかの正規行列Nと可換です。
11. σ _i = | λ _i | （1 ≤ i ≤ nすべてここでA は特異値 σ ₁ ≥ ⋯ ≥ σ _nを持ち、固有値は| λ ₁ | ≥ ⋯ ≥ | λ _n |の順序でインデックス付けされる。 ^[2]

上記の作用素の一部は、無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素に一般化できるが、全てがそうであるわけではない。例えば、(9)を満たす有界作用素は、準正規作用素であるに過ぎない。

正規行列のアナロジー

特殊な種類の正規行列の関係を、それらの固有値を構成する対応する複素数の関係に類似したものとして考えると、時折有用である（しかし、誤解を招く場合もある）。これは、欠陥のない行列の任意の関数（べき級数として表せるもの）が、その各固有値に直接作用し、そのスペクトル分解の共役転置は （ここで は固有値の対角行列）となるためである。同様に、2つの正規行列が可換であり、したがって同時に対角化可能である場合、これらの行列間の任意の演算は、対応する各固有値ペアにも作用する。 ${\displaystyle VDV^{*}}$ ${\displaystyle VD^{*}V^{*}}$ ${\displaystyle D}$

• 共役転置は複素共役に類似しています。
• ユニタリ行列は単位円上の複素数に類似しています。
• エルミート行列は実数に類似しています。
• エルミート正定値行列は正の実数に類似しています。
• 歪エルミート行列は純虚数に類似しています。
• 可逆行列はゼロ以外の複素数に類似しています。
• 行列の逆行列では、各固有値が反転されます。
• 均一なスケーリング行列は定数に類似しています。
• 特に、零行列は0に類似しており、
• 単位行列は 1 に類似しています。
• べき等行列は、各固有値が 0 または 1 である直交投影です。
• 通常の反転には固有値があります。 ${\displaystyle \pm 1}$

特殊なケースとして、複素数は、 加算と乗算を保存する写像によって、通常の2×2実数行列に埋め込むことができます。この埋め込みが上記のすべての類推を遵守していることは簡単に確認できます。 $${\displaystyle a+bi\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}}=a\,{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}+b\,{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}\,.}$$

参照

• エルミート行列
• 最小二乗正規行列

注記

1. 証明:が正規分布する場合、ラグランジュの補間公式を使用して となる多項式を構築します。ここで、は の固有値です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda _{j}}}=P(\lambda _{j})}$ ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle A}$

引用

1. ホーン＆ジョンソン（1985年）、109ページ
2. ホーン＆ジョンソン（1991）、157ページ

出典

• ホーン、ロジャー・アラン；ジョンソン、チャールズ・ロイヤル（1985年）、マトリックス分析、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6。
• ホーン、ロジャー・アラン著、ジョンソン、チャールズ・ロイヤル著(1991). 『行列解析のトピックス』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-30587-7。

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