対角行列

Matrix whose only nonzero elements are on its main diagonal

線形代数において、対角行列とは、主対角線以外の要素がすべてゼロである行列です。この用語は通常、正方行列を指します。主対角線の要素は、ゼロでも非ゼロでもかまいません。2×2対角行列の例は、3×3対角行列の例は です。任意のサイズの単位行列、またはその任意の倍数は、スカラー行列と呼ばれる対角行列です。たとえば、 です。幾何学では、対角行列はスケーリング行列として使用できます。これは、対角行列との行列乗算により、スケール（サイズ）と場合によっては形状も変化するためです。スカラー行列のみがスケールの均一な変化をもたらします ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}3&0\\0&2\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}6&0&0\\0&5&0\\0&0&4\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}0.5&0\\0&0.5\end{smallmatrix}}\right]}$

定義

上で述べたように、対角行列とは、すべての非対角要素がゼロである行列です。つまり、n列n行の行列D = ( d _{i , j} )は、次の条件を満たす場合、対角行列です $${\displaystyle \forall i,j\in \{1,2,\ldots ,n\},i\neq j\implies d_{i,j}=0.}$$

ただし、主な対角エントリには制限はありません。

対角行列という用語は、直交対角行列。これはm行n列の行列で、すべての要素がd _i（iはゼロ）の形式ではない。例えば、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-3\\0&0&0\\\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\\0&0&-3&0&0\end{bmatrix}}}$$

しかし、多くの場合、対角行列は正方行列を指し、明示的に正方対角行列。正方対角行列は対称行列なので、対称対角行列。

次の行列は正方対角行列です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$$

要素が実数または複素数の場合も、それは通常の行列です。

この記事の残りの部分では、正方対角行列のみを取り上げ、単に「対角行列」と呼ぶことにします。

ベクトルから行列への対角演算子

対角行列Dは、次の演算子を使ってベクトルから構築できます ${\displaystyle \mathbf {a} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \operatorname {diag} }$ $${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}).}$$

これは、より簡潔に と表記することもできます。 ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (\mathbf {a} )}$

同じ演算子は、各引数A _iが行列であるブロック対角行列を表すためにも使用されます。 ${\displaystyle \mathbf {A} =\operatorname {diag} (\mathbf {A} _{1},\dots ,\mathbf {A} _{n})}$

diag演算子は、 と表記されます。ここで、 はアダマール積を表し、1は​​要素 1 を持つ定数ベクトルです。 $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {a} )=\left(\mathbf {a} \mathbf {1} ^{\textsf {T}}\right)\circ \mathbf {I} ,}$$ ${\displaystyle \circ }$

行列からベクトルへの対角演算子

逆行列からベクトルへの対角演算子は、引数が行列になり、結果がその対角要素のベクトルになる、 同じ名前の演算子で表されることもあります ${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {D} )={\begin{bmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}},}$

次の特性が成り立ちます: $${\displaystyle \operatorname {diag} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{j}\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)_{ij}=\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)\mathbf {1} .}$$

スカラー行列

対角成分が等しい対角行列はスカラー行列です。つまり、単位行列Iのスカラー倍λです。ベクトルに対しては、λによるスカラー倍になります。例えば、3×3 のスカラー行列は次の形式になります $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda &0&0\\0&\lambda &0\\0&0&\lambda \end{bmatrix}}\equiv \lambda {\boldsymbol {I}}_{3}}$$

スカラー行列は行列代数の中心です。つまり、同じサイズの他のすべての正方行列と交換できる行列です。 ^[a]対照的に、体上（実数など）では、すべての対角要素が異なる対角行列は、対角行列とのみ交換できます（その中心化は対角行列の集合です）。これは、対角行列が、( i , j )項の積を持つ行列Mを与える場合、およびおよび（ m _ijで割ることができるため）であるためです。したがって、非対角項が 0 でない限り、それらは交換しません。^[b]対角要素がすべて等しくない、またはすべて異なる対角行列には、空間全体と対角行列のみの中間の中心化があります。^[1] ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle a_{i}\neq a_{j},}$ ${\displaystyle m_{ij}\neq 0,}$ ${\displaystyle (\mathbf {DM} )_{ij}=a_{i}m_{ij}}$ ${\displaystyle (\mathbf {MD} )_{ij}=m_{ij}a_{j},}$ ${\displaystyle a_{j}m_{ij}\neq m_{ij}a_{i}}$

抽象ベクトル空間V (具体的なベクトル空間K ⁿではなく) の場合、スカラー行列の類似物はスカラー変換です。これは、環R上のモジュール Mに対して、行列の代数を自己準同型代数End( M ) ( M上の線型作用素の代数)で置き換えた場合に、より一般的に当てはまります。正式には、スカラー乗算は線型写像であり、 End ( M )をR -代数として示す写像(スカラーλからそれに対応するスカラー変換、つまりλによる乗算)を誘導します。ベクトル空間の場合、スカラー変換はまさに自己準同型代数の中心であり、同様に、スカラー可逆変換は一般線型群GL( V )の中心です。前者は、より一般的には、自己準同型代数が行列代数と同型である真の自由モジュールです。 ${\displaystyle R\to \operatorname {End} (M),}$ ${\displaystyle M\cong R^{n},}$

ベクトル演算

ベクトルに対角行列を掛けると、各項にそれぞれ対応する対角要素が掛けられます。対角行列とベクトルが与えられた場合、積は次のようになります ${\displaystyle \mathbf {D} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}x_{1}&\dotsm &x_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ $${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\operatorname {diag} (a_{1},\dots ,a_{n}){\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}\\&\ddots \\&&a_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは、対角行列の代わりにベクトル を使用し、ベクトルのアダマール積（エントリワイズ積）を取ることで、より簡潔に表現できます。 ${\displaystyle \mathbf {d} ={\begin{bmatrix}a_{1}&\dotsm &a_{n}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} \circ \mathbf {v} }$

$${\displaystyle \mathbf {D} \mathbf {v} =\mathbf {d} \circ \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}x_{1}\\\vdots \\a_{n}x_{n}\end{bmatrix}}.}$$

これは数学的には等価ですが、この疎行列の零項をすべて格納することを避けています。この積は、機械学習において、例えばバックプロパゲーションにおける微分積の計算やTF-IDFにおけるIDF重みの乗算などに用いられます。^{[2]行列を効率的に乗算する}BLASフレームワークの中には、アダマール積の機能を直接備えていないものもあります。^[3]

行列演算

行列の加算と乗算は、対角行列の場合に特に簡単です。左上隅から始まる対角要素がa ₁ , ... , a n である対角行列を diag(a 1 , ... _, a n ₎と書き_ます。すると、加算については、次のようになります

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})+\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}+b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}+b_{n})}$$

行列の乗算については、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})\operatorname {diag} (b_{1},\,\ldots ,\,b_{n})=\operatorname {diag} (a_{1}b_{1},\,\ldots ,\,a_{n}b_{n}).}$$

対角行列diag( a ₁ , ..., a _n )が逆行列と なるのは、要素a ₁ , ..., a _nがすべて非ゼロである場合に限ります。この場合、

$${\displaystyle \operatorname {diag} (a_{1},\,\ldots ,\,a_{n})^{-1}=\operatorname {diag} (a_{1}^{-1},\,\ldots ,\,a_{n}^{-1}).}$$

特に、対角行列はすべてのn行n列の行列の環の部分環を形成します。

n行n列の行列A を左からdiag( a ₁ , ..., an )で乗算すると、すべての i について_Aのi番目の行にa iを_乗算することになります。また、行列Aを右からdiag( a ₁ , ..., an ₎で乗算すると、すべてのiについてAのi番目の列にa _iを乗算することになります。

固有基底における演算子行列

演算子行列の係数の決定で説明したように、行列Aが対角形式をとる特別な基底e ₁ , ..., e _nがあります。したがって、定義方程式では、i ≠ jのすべての係数a _{i, j}はゼロであり、合計ごとに1つの項のみが残ります。生き残った対角要素a _{i, j}は固有値と呼ばれ、方程式ではλ _iで示され、次のように簡約されます。結果として得られる方程式は固有値方程式^{[4]と呼ばれ、}特性多項式、さらには固有値と固有ベクトルを導出するために使用されます。 ${\textstyle \mathbf {Ae} _{j}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {Ae} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}.}$

言い換えれば、diag( λ ₁ , ..., λ _n )の固有値はλ ₁ , ..., λ _nとそれに関連する固有ベクトルe 1 _, ..., e _nです。

性質

• diag( a ₁ , ..., a _n )の行列式は、積a ₁ ⋯ a _nです
• 対角行列の付加行列もまた対角行列です。
• すべての行列が正方行列である場合、
  • 行列が対角行列となるのは、それが三角行列かつ正規行列である場合のみです。
  • 行列が対角行列となるのは、上三角行列と下三角行列の両方である場合のみです。
  • 対角行列は対称です。
• 単位行列 I _nと零行列は対角行列です。
• 1×1 行列は常に対角行列です。
• トレースがゼロの 2×2 行列の平方は常に対角になります。

応用

対角行列は線形代数の多くの分野で用いられます。上記の行列演算と固有値・固有ベクトルの記述が簡単なため、与えられた行列または線形写像を対角行列で 表すのが一般的に望ましいです

実際、n行n列の行列Aが対角行列に相似である（つまり、X ⁻¹ AXが対角行列となるような行列Xが存在する）のは、 n個の線形独立な固有ベクトルを持つ場合に限られます。このような行列は対角化可能であると言われています。

実数体や複素数体では、さらに多くのことが当てはまります。スペクトル定理によれば、すべての正規行列は対角行列とユニタリ相似です（ AA ^∗ = A ^∗ Aならば、 UAU ^∗が対角となるようなユニタリ行列Uが存在します）。さらに、特異値分解によれば、任意の行列Aに対して、U ∗ AV が正の成分を持つ対角行列となるようなユニタリ行列UとVが存在し、その行列はU ^∗ AVとなります。

作用素理論

作用素理論、特に偏微分方程式の研究では、作用素が基底に対して対角関係にある場合、作用素は特に理解しやすく、偏微分方程式も簡単に解けます。これは分離可能な偏微分方程式に対応します。したがって、作用素を理解するための重要な手法は、座標変換（作用素の用語では積分変換）です。これは基底を固有関数の固有基底に変換し、方程式を分離可能にします。重要な例はフーリエ変換で、これは定数係数微分作用素（より一般的には並進不変作用素）、例えば熱方程式のラプラシアン作用素を対角化します

特に簡単なのは乗算演算子です。これは、固定された関数（の値）による乗算として定義されます。各ポイントでの関数の値は、行列の対角要素に対応します。

参照

• 反対角行列
• 帯行列
• 二重対角行列
• 対角優位行列
• 対角化可能行列
• ジョルダン正規形
• 乗算演算子
• 三重対角行列
• テプリッツ行列
• トーラル・リー代数
• 循環行列

注釈

1. 証明:基本行列 が与えられた場合、はMのi行目のみの行列であり、はM のj列目のみの正方行列であるため、非対角要素はゼロでなければならず、 i番目の対角要素はj番目の対角要素とほぼ等しくなります。 ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle Me_{ij}}$ ${\displaystyle e_{ij}M}$
2. より一般的な環では、常に割り切れるわけではないので、これは成り立ちません。

参考文献

1. 「対角行列は常に可換か？」Stack Exchange。2016年3月15日。2018年8月4日閲覧
2. Sahami, Mehran (2009-06-15). テキストマイニング：分類、クラスタリング、そして応用. CRC Press. p. 14. ISBN 9781420059458。
3. 「BLASにおける要素ごとのベクトル-ベクトル乗算？」stackoverflow.com 2011年10月1日2020年8月30日閲覧
4. ニアリング、ジェームズ (2010). 「第7.9章 固有値と固有ベクトル」(PDF) . 物理学のための数学ツール. ドーバー出版. ISBN 978-04864821252012年1月1日閲覧

出典

• ホーン、ロジャー・アラン著、ジョンソン、チャールズ・ロイヤル著（1985年）、マトリックス分析、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38632-6

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