ランシネーテッド・テッセラクト

テッセラクト	ランシネーテッド テッセラクト （ランシネーテッド 16 セル）	16セル
ランシ切頂四次元方陣 （ランシカンテラテッド16セル）	ランシ切形16セル （ランシカンテラテッド四次元方位図）	全切形四次元体 （全切形16セル）
B 4 コクセター平面における直交投影

4 次元幾何学において、ランシネーテッド テッセラクト(またはランシネーテッド 16 セル) は、凸型一様 4 次元多面体であり、通常のテッセラクトをランシネーション(3 次切断)したものです。

四次元方陣のランシネーションには、順列、切り捨て、切り詰めを含む 4 つのバリエーションがあります。

ランシネーテッド・テッセラクト

ランシネーテッド・テッセラクト
16個の四面体を持つシュレーゲル図
タイプ	一様4次元多面体
シュレーフリ記号	t 0,3 {4,3,3}
コクセター図
細胞	80	16 3.3.3 32 3.4.4 32 4.4.4
顔	208	64 {3} 144 {4}
エッジ	192
頂点	64
頂点図形	正三角形の対位壇
対称群	B 4、[3,3,4]、順序384
プロパティ	凸状
均一インデックス	14 15 16

ネット

ランシネーテッド・テッセラクト、または（小型の）ディスプリズマト・テッセラクト・ヘキサデカコロンは、16個の四面体、32個の立方体、32個の三角柱で構成されています。各頂点は、4個の立方体、3個の三角柱、そして1個の四面体によって共有されています。

工事

ランシネーテッド・テッセラクトは、テッセラクトの各セルを放射状に拡張し、その隙間を四面体（頂点図形）、立方体（面プリズム）、三角柱（辺図形プリズム）で埋めることで構築できます。16セルのテッセラクトにも同じ手順を適用することで、同じ図形が得られます。

直交座標

辺の長さが 2 であるランシネーテッド テッセラクト頂点の直交座標はすべて次の順列になります。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)}$

画像

正投影図

コクセター飛行機	B4​	B 3 / D 4 / A 2	B 2 / D 3
グラフ
二面対称性	[8]	[6]	[4]
コクセター飛行機	F4​	A3​
グラフ
二面対称性	[12/3]	[4]

シュレーゲル図

ワイヤーフレーム

16 個の四面体を持つワイヤーフレーム。

32 個の三角柱を持つワイヤーフレーム。

構造

立方体セルのうち8つは、6つの正方形面すべてを介して他の24個の立方体セルと接続されています。残りの24個の立方体セルは、向かい合う2つの正方形面のみを介して最初の8つのセルと接続されています。残りの4つの面は三角柱に接続されています。三角柱は、その三角形の面を介して四面体と接続されています。

ランシネーテッド・テッセラクトは、2つの立方体キューポラと、その間にある菱立方八面体プリズムに分解できます。この分解は、3次元の菱立方八面体が2つの正方形キューポラと中央の八角形プリズムに分解されるのと類似しています。

立方体のキューポラ

菱形八面体柱

予測

ランシネーテッド・テッセラクトを3次元空間に立方体優先の正射影投影すると、 （小さな）菱立方八面体の外殻を持つ。その外殻内に、セルの像は以下のように配置される。

• 4D 視点から最も近い立方体と最も遠い立方体は、エンベロープの中央の立方体の体積に投影されます。
• 6つの直方体の体積が、この中心の立方体と菱立方八面体の6つの軸方向の正方形面を繋いでいます。これらは12個の立方体セルのイメージです（各立方体のペアは1つのイメージを共有しています）。
• 封筒の 18 個の正方形の面は、他の立方体セルのイメージです。
• 中央の立方体のエッジとエンベロープの非軸の正方形面を接続する 12 個のくさび形のボリュームは、24 個の三角柱のイメージです (イメージごとに 1 組のセル)。
• 封筒の 8 つの三角形の面は、残りの 8 つの三角柱のイメージです。
• 最後に、中央の立方体の頂点をエンベロープの三角形の面に接続する 8 つの四面体ボリュームは、16 個の四面体のイメージです (この場合も、イメージごとに 1 組のセル)。

この投影されたセルの配置は、（小さな）菱立方八面体を2次元に投影した際の面の配置と類似しています。菱立方八面体も、立方体または八面体から、ランシネーテッド・テッセラクトと同様の方法で構築されます。したがって、ランシネーテッド・テッセラクトは、菱立方八面体の4次元版と考えることができます。

ランシ切頂四次元方位図

ランシ切頂四次元方位図
立方体を中心としたシュレーゲル図 。立方八面体セルが示されている。
タイプ	一様4次元多面体
シュレーフリ記号	t 0,1,3 {4,3,3}
コクセター図
細胞	80	8 3.4.4 16 3.4.3.4 24 4.4.8 32 3.4.4
顔	368	128 {3} 192 {4} 48 {8}
エッジ	480
頂点	192
頂点図形	四角錐
対称群	B 4、[3,3,4]、順序384
プロパティ	凸状
均一インデックス	18 19 20

ネット

切頂四面体、切頂16 セル、または角柱面凹面16 セルは、8 つの切頂立方体、16 の立方八面体、24 の八角柱、および 32 の三角柱の、合計 80 個のセルによって囲まれています。

工事

切頂四次元方陣は、切頂四次元方陣から、切頂立方体セルを放射状に外側に拡張し、その間に八角柱を挿入することで構築できます。この過程で、四面体は立方八面体へと拡張され、残りの隙間は三角柱で埋められます。

辺の長さが 2 である切断四次元長方形の頂点の直交座標は、次のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

予測

切り詰められた立方体の最初の平行投影である、切り詰められた四次元方陣を 3 次元空間に投影すると、投影イメージは次のようにレイアウトされます。

• 投影エンベロープは、6 つの正方形の面と 12 の長方形の面を持つ、非均一な (小さな)菱形八面体です。
• 切り取られた立方体セルのうち 2 つは、投影エンベロープの中央にある切り取られた立方体に投影されます。
• 6つの八角柱が、この中央の切頂立方体と封筒の正方形の面を繋いでいます。これらは12個の八角柱セルの画像で、各画像に2つのセルが対応しています。
• 残りの 12 個の八角柱は、エンベロープの長方形の面に投影されます。
• 封筒の 6 つの正方形の面は、残りの 6 つの切り取られた立方体セルのイメージです。
• 12個の直角三角柱が内側の八角柱を繋いでいます。これらは24個の三角柱セルの像です。残りの8個の三角柱は、外被の三角形の面に投影されます。
• エンベロープの三角形の面と内側の切頂立方体の間にある残りの 8 つのボリュームは、16 個の立方八面体セルのイメージであり、各イメージにはセルのペアがあります。

画像

正投影図

コクセター飛行機	B4​	B 3 / D 4 / A 2	B 2 / D 3
グラフ
二面対称性	[8]	[6]	[4]
コクセター飛行機	F4​	A3​
グラフ
二面対称性	[12/3]	[4]

128 個の青い三角形の面と 192 個の緑の四角形の面を持つ立体投影。

ランシトランケーテッド16セル

ランシトランケーテッド16セル
菱形八面体と切頂四面体を中心としたシュレーゲル図
タイプ	一様4次元多面体
シュレーフリ記号	t 0,1,3 {3,3,4}
コクセター図
細胞	80	8 3.4.4.4 16 3.6.6 24 4.4.4 32 4.4.6
顔	368	64 {3} 240 {4} 64 {6}
エッジ	480
頂点	192
頂点図形	台形ピラミッド
対称群	B 4、[3,3,4]、順序384
プロパティ	凸状
均一インデックス	19 20 21

ネット

ランシ切頂 16 セル、ランシカンテラテッド テッセラクト、またはプリズムトンバテッド テッセラクトは、8 つの菱形立方八面体、16 の切頂四面体、24 の立方体、および 32 の六角柱の、合計 80 個のセルによって囲まれています。

工事

切頂16セルは、カンテレーション四面体を構成する小さな菱立方八面体セルを放射状に縮小し、その間を立方体で埋めることで構成できます。この過程で、八面体セルは切頂四面体へと拡大し（三角形の面の半分は、辺を引き離すことで六角形へと拡大されます）、三角柱は六角柱へと拡大します（それぞれの元の3つの正方形面は、以前と同様に小さな菱立方八面体と結合し、新たに追加された3つの正方形面は立方体と結合します）。

辺の長さが2である16セルの頂点は、次の直交座標のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

画像

正投影図

コクセター飛行機	B4​	B 3 / D 4 / A 2	B 2 / D 3
グラフ
二面対称性	[8]	[6]	[4]
コクセター飛行機	F4​	A3​
グラフ
二面対称性	[12/3]	[4]

構造

小さな菱立方八面体セルは、6つの軸を持つ正方形の面で立方体セルと接合され、12の軸を持たない正方形の面で六角柱と接合されています。立方体セルは、2つの反対側の面で菱立方八面体と接合され、残りの4つの面で六角柱と接合されています。六角柱は、六角形の面で切頂四面体と、それぞれ3つの正方形の面で菱立方八面体と、残りの3つの正方形の面で立方体と接合されています。切頂四面体は、三角形の面で菱立方八面体と、六角形の面で六角柱と接合されています。

予測

以下は、小さな菱形八面体を先頭にして平行投影された、16 セルのランシトランケーテッドセルの 3 次元空間へのレイアウトです。

• 投影エンベロープは切頂直方八面体です。
• 小さな菱形八面体のうち 6 つがこの外皮の 6 つの八角形の面に投影され、他の 2 つはこの外皮の中央にある小さな菱形八面体に投影されます。
• 中央の小さな菱形八面体の軸の正方形の面を八角形の中心に接続する 6 つの直方体の体積は、12 個の立方体セルのイメージに対応します (12 個の各ペアは同じイメージを共有します)。
• 残りの 12 個の立方体セルは、大きな菱形立方八面体の外殻の 12 個の正方形の面に投影されます。
• 外皮の六角形と中央の菱形八面体の三角形の面を連結する 8 つの体積は、16 個の切頂四面体の像です。
• 中央の小さな菱形八面体の軸以外の正方形の面と外殻の正方形の面を繋ぐ残りの 12 個の空間は、六角柱のうち 24 個の像です。
• 最後に、最後の 8 つの六角柱がエンベロープの六角形の面に投影されます。

このセルの配置は、2次元空間への投影における大菱立方八面体の面の配置と類似しています。したがって、切頂16セルは、大菱立方八面体の4次元類似体の一つと考えることができます。もう一つの類似体は、切頂四面体です。

全切形四次元方位図

全切形四次元方位図
シュレーゲル図、 切頂立方八面体を中心に、 切頂八面体セルを表示
タイプ	一様4次元多面体
シュレーフリ記号	t 0,1,2,3 {3,3,4}
コクセター図
細胞	80	8 4.6.8 16 4.6.6 24 4.4.8 32 4.4.6
顔	464	288 {4} 128 {6} 48 {8}
エッジ	768
頂点	384
頂点図形	キラル不等辺四面体
対称群	B 4、[3,3,4]、順序384
プロパティ	凸状
均一インデックス	20 21 22

切頂四面体、切頂 16 セル、または大偏角柱四面体ヘキサデカクロンは、 8 つの切頂八面体、16 の切頂八面体、24 の八角柱、および 32 の六角柱の、合計 80 個のセルによって囲まれています。

工事

切頂四面体（オムニトトランケーテッド・テッセラクト）は、切頂立方八面体（カンティトランケーテッド・テッセラクト）のセルを放射状にずらし、八角形の面の間に八角柱を挿入することで構築できます。その結果、三角柱は六角柱に、切頂四面体は切頂八面体に拡張されます。

辺の長さが 2 である切頂四次元体の頂点の直交座標は、次の座標と符号のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(1,\ 1+{\sqrt {2}},\ 1+2{\sqrt {2}},\ 1+3{\sqrt {2}}\right)}$

構造

切頂立方八面体セルは八角柱の八角面を介して八角形プリズムと接合され、切頂八面体は六角面を介して六角形プリズムと接合され、切頂八面体は正方形の面を介して六角形プリズムと接合されている。八角柱は正方形の面を介して六角形プリズムおよび切頂八面体と接合され、六角柱は六角面を介して切頂八面体と接合されている。

配置行列では、要素間のすべての接続数が表示されます。対角fベクトル数は、ウィトフ構成によって導出されます。これは、部分群順序の完全群順序を、一度に1つの鏡像を除去することによって分割するものです。辺は4つの対称位置にあります。正方形は3つの位置、六角形は2つの位置、八角形は1つの位置にあります。最終的に、4種類のセルは、基本単体の4つの角を中心にして存在します。^[1]

B4​		k面	f k	f 0	f 1				f 2						f 3				k桁	注記
		（）	f 0	384	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	4.（）	B 4 = 384
A 1		{ }	f 1	2	192	*	*	*	1	1	1	0	0	0	1	1	1	0	3.（）	B 4 / A 1 = 192
A 1		{ }		2	*	192	*	*	1	0	0	1	1	0	1	1	0	1		B 4 / A 1 = 192
A 1		{ }		2	*	*	192	*	0	1	0	1	0	1	1	0	1	1		B 4 / A 1 = 192
A 1		{ }		2	*	*	*	192	0	0	1	0	1	1	0	1	1	1		B 4 / A 1 = 192
A 2		{6}	f 2	6	3	3	0	0	64	*	*	*	*	*	1	1	0	0	{ }	B 4 / A 2 = 64
A 1 A 1		{4}		4	2	0	2	0	*	96	*	*	*	*	1	0	1	0		B 4 / A 1 A 1 = 96
A 1 A 1		{4}		4	2	0	0	2	*	*	96	*	*	*	0	1	1	0		B 4 / A 1 A 1 = 96
A 2		{6}		6	0	3	3	0	*	*	*	64	*	*	1	0	0	1		B 4 / A 2 = 64
A 1 A 1		{4}		4	0	2	0	2	*	*	*	*	96	*	0	1	0	1		B 4 / A 1 A 1 = 96
B2​		{8}		8	0	0	4	4	*	*	*	*	*	48	0	0	1	1		B 4 / B 2 = 48
A3​		tr{3,3}	f 3	24	12	12	12	0	4	6	0	4	0	0	16	*	*	*	（）	B 4 / A 3 = 16
A 2 A 1		{6}×{ }		12	6	6	0	6	2	0	3	0	3	0	*	32	*	*		B 4 / A 2 A 1 = 32
B 2 A 1		{8}×{ }		16	8	0	8	8	0	4	4	0	0	2	*	*	24	*		B 4 / B 2 A 1 = 24
B3​		tr{4,3}		48	0	24	24	24	0	0	0	8	12	6	*	*	*	8		B 4 / B 3 = 8

予測

切頂四面体を 3 次元に最初に平行投影した切頂立方八面体では、そのセルの画像は次のように配置されます。

• 投影エンベロープは、不均一な切頂直方八面体の形状です。
• 切頂直方八面体のうち 2 つが投影エンベロープの中心に投影されます。
• 残りの6つの切頂立方八面体は、外皮の（非正八角形の）面に投影されます。これらは、6つの八角柱を介して中央の切頂立方八面体と接続されています。八角柱は、各像と対をなす八角柱セルの像です。
• 封筒の 8 つの六角形の面は、8 つの六角柱のイメージです。
• 残りの六角柱は、立方体の辺の位置にある12個の非正六角柱像に投影されます。各像は2つのセルに対応します。
• 最後に、投影エンベロープの六角形面と中央の切頂八面体の六角形面の間の 8 つのボリュームは、16 個の切頂八面体の像であり、各像に 2 つのセルがあります。

この投影図におけるセルの配置は、切頂立方八面体の2次元への八角形先行投影における面の配置と相似する、切頂16セルの配置に類似している。したがって、切頂立方八面体四次元体は、切頂立方八面体の4次元における類似体と考えることができる。

画像

正投影図

コクセター飛行機	B4​	B 3 / D 4 / A 2	B 2 / D 3
グラフ
二面対称性	[8]	[6]	[4]
コクセター飛行機	F4​	A3​
グラフ
二面対称性	[12/3]	[4]

透視投影
切頂立方八面体セルの1つ（黄色で強調表示）を中心とした透視投影。周囲の八角柱のうち6つは青色、残りのセルは緑色でレンダリングされている。4D視点から見えにくいセルは、見やすさを考慮して省略されている。	切頂八面体セルの1つ（黄色で強調表示）を中心とした透視投影図。周囲の六角柱4つは青色で示され、これらのプリズムの反対側にあるさらに4つの切頂八面体も黄色で示されている。4D視点から見えにくいセルは、見やすさを考慮して省略されている。この図からは、他の六角柱や八角柱もいくつか識別できる。
立体投影
切頂立方八面体を中心とした	切頂八面体を中心とした

ネット

全切形四次元方位図

双対から全切断四次元方位角へ

フルスナブテッセラクト

オムニスナブ四次元方位角体の頂点図

完全スナブ四次元方陣またはオムニスナブ四次元方陣は、オムニトランケーテッド四次元方陣の交代として定義され、均一にすることはできませんが、コクセター図を与えることができます。、対称性[4,3,3] ⁺を持ち、8個のスナブキューブ、16個のイコサヘドラ、24個の正方反プリズム、32個のオクタヘドラ（三角形反プリズム）、そして削除された頂点の隙間を埋める192個のテトラヘドラで構成されています。272個のセル、944個の面、864個の辺、192個の頂点を持ちます。^[2]

バイアルテルナトスナブ 16セル

バイアルタナトスナブ16セルの頂点図

双交スナブ16セル、あるいはランシック・スナブ修正16セルは、八角形から交互に長い長方形を削り取ることで構成され、一様ではない。オムニスナブ四次元方陣と同様に、この方陣は192次の最高の対称性構成を持ち、8つの菱形立方八面体（T _h対称）、16の二十面体（T対称）、24の直方台形（位相的には立方体と等価だがD _2d対称）、32の三角柱で構成され、96の三角柱（C _s対称のくさび形）が隙間を埋めている。^[3]

正二十面体と均一な三角柱を持つ変種は、2 つの辺の長さの比率が 1 : 2 で、鱗状のランシックスナブ 24 セルの頂点ファセットとして発生します。

関連する均一多面体

B4対称多面体
名前	テッセラクト	修正四次元 方位	切断された四次元 方位磁石	カンテラテッド テッセラクト	ランシネー テッド・テッセラクト	ビットランケーテッド テッセラクト	切頂四次元 方位図	ランシトランケーテッド テッセラクト	全切形四次元 体
コクセター 図		＝				＝
シュレーフリ 記号	{4,3,3}	t 1 {4,3,3} r{4,3,3}	t 0,1 {4,3,3} t{4,3,3}	t 0,2 {4,3,3} rr{4,3,3}	t 0,3 {4,3,3}	t 1,2 {4,3,3} 2t{4,3,3}	t 0,1,2 {4,3,3} tr{4,3,3}	t 0,1,3 {4,3,3}	t 0,1,2,3 {4,3,3}
シュレーゲル 図
B4​
名前	16セル	整流 16セル	切り詰められた 16セル	16セルのカンテレーション	ランシネーテッド 16セル	ビットランケート 16セル	片側切断型 16細胞	ランシトランケーテッド 16セル	全切断型 16細胞
コクセター 図	＝	＝	＝	＝		＝	＝
シュレーフリ 記号	{3,3,4}	t 1 {3,3,4} r{3,3,4}	t 0,1 {3,3,4} t{3,3,4}	t 0,2 {3,3,4} rr{3,3,4}	t 0,3 {3,3,4}	t 1,2 {3,3,4} 2t{3,3,4}	t 0,1,2 {3,3,4} tr{3,3,4}	t 0,1,3 {3,3,4}	t 0,1,2,3 {3,3,4}
シュレーゲル 図
B4​

注記

1. Klitzing, Richard. 「x3x3x4x - gidpith」.
2. クリッツィング、リチャード. 「s3s3s4s」.
3. リチャード・クリッツィング、「s3s3s4x」。

参考文献

• T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
• HSMコクセター：
  • コクセター『正多面体』（第3版、1973年）、ドーバー版、ISBN 0-486-61480-8、p. 296、表I (iii): 正多面体、n次元の3つの正多面体（n≥5）
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973, p. 296, 表 I (iii): Regular Polytopes, 3つのn次元正多面体 (n≥5)
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
    • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559591]
    • （論文24）HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III , [Math. Zeit. 200 (1988) 345]
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章 409ページ: ヘミキューブ: 1 _n1）
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.（1966）
• 2. テッセラクト (8 セル) とヘキサデカコロン (16 セル) に基づく凸均一ポリコーラ - モデル 15、19、20、および 21、George Olshevsky。
• http://www.polytope.de/nr17.html
• Klitzing, Richard. 「4D 均一多面体 (ポリコラ)」x3o3o4x - シドピス、x3o3x4x - プロ、x3x3o4x - プリット、x3x3x4x - gidpith

外部リンク

• H4一様多面体の座標: t03{4,3,3} t013{3,3,4} t013{4,3,3} t0123{4,3,3}

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 2目編み目• 2 1目編み目• 21目編み目	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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