演算子ノルム

Measure of the "size" of linear operators

数学において、作用素ノルムは、特定の線型作用素にそれぞれ作用素ノルムと呼ばれる実数を割り当てることで、その「大きさ」を測る尺度となる。正式には、与えられた2つのノルム付きベクトル空間間の有界線型作用素の空間上で定義されるノルムである。非公式には、線型写像の作用素ノルムは、ベクトルを「長くする」最大係数である。これは境界ノルムとも呼ばれる。^[1] ${\displaystyle \|T\|}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$

はじめにと定義

2つのノルムベクトル空間と（同じ基底体、実数または複素数）が与えられたとき、線型写像が連続であるための必要十分条件は、^[2]を満たす実数が存在することである。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \|Av\|\leq c\|v\|\quad {\text{ for all }}v\in V.}$$

左側のノルムは のノルムであり、右側のノルムは のノルムです。直感的に、連続演算子はベクトルの長さを の係数以上増やすことはありません。したがって、連続演算子による有界集合の像も有界です。この性質のため、連続線型演算子は有界演算子とも呼ばれます。 の「大きさ」を測るには、上記の不等式がすべての に対して成り立つような数の下限値を取ることができます。 この数は、ベクトルを「長くする」最大のスカラー係数を表します。言い換えれば、 の「大きさ」は、ベクトルが「最大」の場合にどれだけ「長くする」かによって測られます。したがって、 の演算子ノルムを次のように 定義します。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle c.}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle v\in V.}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\inf\{c\geq 0:\|Av\|\leq c\|v\|{\text{ for all }}v\in V\}.}$$

最小値は、そのような集合全体が閉じていて、空でなく、下から有界であるときに達成される。[ 3 ^] ${\displaystyle c}$

この演算子ノルムは、ノルム付きベクトル空間およびのノルムの選択に依存することを念頭に置くことが重要です。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$

例

すべての実- 行 -列行列は、 からへの線形写像に対応します。実ベクトル空間に適用可能な多数の (ベクトル)ノルムの各ペアは、すべての実数の- 行 -列行列の演算子ノルムを誘導します。これらの誘導されたノルムは、行列ノルムのサブセットを形成します。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}.}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

との両方にユークリッドノルムを明示的に選択した場合、行列に与えられた行列ノルムは行列の最大固有値の平方根になります（ここで、はの共役転置を表します）。^[4]これは、の 最大特異値を割り当てることと同じです。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}A}$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A.}$

典型的な無限次元の例に移ると、L ^p空間であるシーケンス空間 を考えます。これは次のように定義されます。 ${\displaystyle \ell ^{2},}$ $${\displaystyle \ell ^{2}=\left\{(a_{n})_{n\geq 1}:\;a_{n}\in \mathbb {C} ,\;\sum _{n}|a_{n}|^{2}<\infty \right\}.}$$

これはユークリッド空間 の無限次元の類似物として見ることができる。 次に有界列を考える。この列はノルムが次式で与えられる空間の元である。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$ ${\displaystyle s_{\bullet }}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty },}$ $${\displaystyle \left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }=\sup _{n}\left|s_{n}\right|.}$$

点ごとの乗算によって演算子を定義します。 ${\displaystyle T_{s}}$ $${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }\;{\stackrel {T_{s}}{\mapsto }}\;\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.}$$

演算子は演算子ノルムで有界である ${\displaystyle T_{s}}$ $${\displaystyle \left\|T_{s}\right\|_{\text{op}}=\left\|s_{\bullet }\right\|_{\infty }.}$$

この議論は、 を一般空間に置き換え、を に置き換えた場合にも直接適用されます。 ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle L^{\infty }.}$

同等の定義

をノルム空間間の線型作用素とします。最初の4つの定義は常に同値であり、加えて であればすべて同値です。 ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle V\neq \{0\}}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|A\|_{\text{op}}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:~\|Av\|\leq c\|v\|~&&~{\text{ for all }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\leq 1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|<1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|\in \{0,1\}~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\\&=\sup &&\{\|Av\|~&&:~\|v\|=1~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V\}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\|Av\|}{\|v\|}}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\\end{alignedat}}}$

すると最後の2行の集合は空となり、その結果集合の上限は正しい値ではなく等しくなります。上限を集合の上で取ると、空集合の上限はとなり、式は任意の ${\displaystyle V=\{0\}}$ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle V.}$

重要なのは、線型作用素は一般には閉単位球上でノルムを達成することが保証されていないということであり、つまり、 となるようなノルムのベクトルは存在しない可能性がある（もしそのようなベクトルが存在し、 であれば必然的に単位ノルムを持つ）。RC ジェームズは1964 年にジェームズの定理を証明した。この定理によれば、バナッハ空間が反射的であるためには、すべての有界線型関数が閉単位球上でノルムを達成する必要がある。 ^[5] この定理から、特に、すべての非反射的バナッハ空間には、閉単位球上でノルムを達成しない何らかの有界線型関数（有界線型作用素の一種）が存在することになる。 ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup\{\|Av\|:\|v\|\leq 1,v\in V\}}$ ${\displaystyle \{v\in V:\|v\|\leq 1\},}$ ${\displaystyle u\in V}$ ${\displaystyle \|u\|\leq 1}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\|Au\|}$ ${\displaystyle A\neq 0,}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \|u\|=1}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in V^{*}}$

が有界ならば^[6]であり^[6]、その転置は次のように定義される線型演算子である。 ${\displaystyle A:V\to W}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\sup \left\{\left|w^{*}(Av)\right|:\|v\|\leq 1,\left\|w^{*}\right\|\leq 1{\text{ where }}v\in V,w^{*}\in W^{*}\right\}}$$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|{}^{t}A\right\|_{\text{op}}}$$ ${\displaystyle {}^{t}A:W^{*}\to V^{*}}$ ${\displaystyle A:V\to W,}$ ${\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.}$

プロパティ

作用素ノルムは、実際にはと の間のすべての有界作用素の空間上のノルムである。これは、 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}\geq 0{\mbox{ and }}\|A\|_{\text{op}}=0{\mbox{ if and only if }}A=0,}$$ $${\displaystyle \|aA\|_{\text{op}}=|a|\|A\|_{\text{op}}{\mbox{ for every scalar }}a,}$$ $${\displaystyle \|A+B\|_{\text{op}}\leq \|A\|_{\text{op}}+\|B\|_{\text{op}}.}$$

この定義から直接導かれる不等式は次の通りです。 $${\displaystyle \|Av\|\leq \|A\|_{\text{op}}\|v\|\ {\mbox{ for every }}\ v\in V.}$$

演算子ノルムは、演算子の合成、または乗算とも互換性があります。、、が同じ基本体上の 3 つのノルム空間であり、、が2 つの有界演算子である場合、それは部分乗法ノルムであり、次のようになります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A:V\to W}$ ${\displaystyle B:W\to X}$ $${\displaystyle \|BA\|_{\text{op}}\leq \|B\|_{\text{op}}\|A\|_{\text{op}}.}$$

上の有界演算子の場合、これは演算子の乗算が共連続であることを意味します。 ${\displaystyle V}$

定義から、演算子のシーケンスが演算子ノルムで収束する場合、それは有界集合上で一様に収束することがわかります。

一般的な演算子ノルムの表

の計算に使用される余弦領域と、の計算に使用される領域に異なるノルムを選択することで、演算子ノルムの値が異なります。一般的な演算子ノルムには計算が容易なものもあれば、NP困難なものもあります。NP困難なノルムを除き、これらのノルムはすべて（行列の）演算で計算できます。ただし、ノルムは例外です（ノルムは正確な答えを得るためには演算が必要ですが、べき乗法またはランチョス反復法で近似すれば、より少ない演算で済みます）。 ${\displaystyle \|Av\|}$ ${\displaystyle \|v\|}$ ${\displaystyle N^{2}}$ ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle \ell _{2}-\ell _{2}}$ ${\displaystyle N^{3}}$

演算子ノルムの計算可能性^[7]

		共ドメイン
		${\displaystyle \ell _{1}}$	${\displaystyle \ell _{2}}$	${\displaystyle \ell _{\infty }}$
ドメイン	${\displaystyle \ell _{1}}$	列の最大ノルム ${\displaystyle \ell _{1}}$	列の最大ノルム ${\displaystyle \ell _{2}}$	列の最大ノルム ${\displaystyle \ell _{\infty }}$
	${\displaystyle \ell _{2}}$	NP困難	最大特異値	行の最大ノルム ${\displaystyle \ell _{2}}$
	${\displaystyle \ell _{\infty }}$	NP困難	NP困難	行の最大ノルム ${\displaystyle \ell _{1}}$

随伴行列または転置行列のノルムは次のように計算できる。任意の行列に対して、となる。そして、となる。ここで、となる。 ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle \|A\|_{p\rightarrow q}=\|A^{*}\|_{q'\rightarrow p'}}$ ${\displaystyle p',q'}$ ${\displaystyle p,q,}$ ${\displaystyle 1/p+1/p'=1}$ ${\displaystyle 1/q+1/q'=1.}$

ヒルベルト空間上の作用素

が実または複素ヒルベルト空間であるとする。が有界線型作用素である場合、 が成り立ち、 はの随伴作用素を表す（これは、標準的な内積を持つユークリッド空間では、行列 の共役転置に対応する）。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle A:H\to H}$ $${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}=\left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}}$$ $${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2},}$$ ${\displaystyle A^{*}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

一般に、のスペクトル半径はの演算子ノルムによって上方に制限されます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \rho (A)\leq \|A\|_{\text{op}}.}$$

等式が常に成立するとは限らない理由を理解するために、有限次元の場合の行列のジョルダン標準形を考えてみましょう。上対角成分に非零の要素が存在するため、等式が破れる可能性があります。準零作用素はそのような例の一つです。非零の準零作用素はスペクトルを持ちます。したがって、 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{0\}.}$ ${\displaystyle \rho (A)=0}$ ${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}>0.}$

しかし、行列が正規行列である場合、そのジョルダン標準形は（ユニタリ同値性を除き）対角行列となる。これはスペクトル定理である。その場合、次のことが容易に分かる。 ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \rho (N)=\|N\|_{\text{op}}.}$$

この式は、与えられた有界演算子の演算子ノルムを計算するために使われることがある。エルミート演算子を定義し、そのスペクトル半径を決定し、平方根をとって演算子ノルムを得る。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B=A^{*}A,}$ ${\displaystyle A.}$

作用素ノルムによって誘導される位相を持つ上の有界作用素の空間は分離不可能 である。例えば、ヒルベルト空間であるLp 空間を考える。を の特性関数とし、をによって与えられる乗算作用素とすると、 ${\displaystyle H,}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1],}$ ${\displaystyle 0<t\leq 1,}$ ${\displaystyle \Omega _{t}}$ ${\displaystyle [0,t],}$ ${\displaystyle P_{t}}$ ${\displaystyle \Omega _{t},}$ $${\displaystyle P_{t}(f)=f\cdot \Omega _{t}.}$$

すると、それぞれは演算子ノルム1を持つ有界演算子となり、 ${\displaystyle P_{t}}$ $${\displaystyle \left\|P_{t}-P_{s}\right\|_{\text{op}}=1\quad {\mbox{ for all }}\quad t\neq s.}$$

しかし、は非可算集合である。これは、 上の有界作用素の空間が作用素ノルムにおいて分離不可能であることを意味する。これは、列空間が分離不可能であるという事実と比較することができる。 ${\displaystyle \{P_{t}:0<t\leq 1\}}$ ${\displaystyle L^{2}([0,1])}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

ヒルベルト空間上のすべての有界演算子の結合代数は、演算子ノルムと随伴演算とともに、C*-代数を生成します。

参照

• Banach–Mazur COMPACTUM  – 機能解析における概念
• 連続線形作用素 – 位相ベクトル空間間の関数
• 縮約（作用素論）  - 部分単位ノルムを持つ有界作用素
• 不連続線形マップ
• 双対ノルム – ノルム付きベクトル空間上の測定
• 行列ノルム – 行列のベクトル空間上のノルム
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• ノルム空間 – 距離が定義されるベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 作用素代数 – 関数解析の分野
• 作用素論 – 数学の研究分野
• ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相
• 非有界演算子 – 稠密な線形部分空間上で定義された線形演算子

注記

1. (バティア 1997、7ページ)
2. Kreyszig, Erwin (1978),応用を伴う関数解析入門, John Wiley & Sons, p. 97, ISBN 9971-51-381-1
3. 例えば、Aliprantis & Border (2007) の補題 6.2 を参照。
4. Weisstein, Eric W.「Operator Norm」. mathworld.wolfram.com . 2020年3月14日閲覧。
5. ディーステル 1984年、6ページ。
6. Rudin 1991、92–115 ページ。
7. ジョエル・トロップ博士論文第4.3.1節、[1]

参考文献

• アリプランティス、チャラランボス D.; ボーダー、キム C. (2007) 『無限次元解析：ヒッチハイク・ガイド』、シュプリンガー、p. 229、ISBN 9783540326960。
• コンウェイ、ジョン・B. (1990)、「III.2 ノルム空間上の線型作用素」、関数解析講座、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、pp.  67– 69、ISBN 0-387-97245-5
• ディーステル、ジョー (1984).バナッハ空間における数列と級数. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-90859-5. OCLC  9556781.
• ルディン、ウォルター(1991). 関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277。
• バティア、ラジェンドラ (1997). 行列解析. 大学院数学テキスト. 第169巻. ニューヨーク: シュプリンガー・ニューヨーク. doi :10.1007/978-1-4612-0653-8. ISBN 978-1-4612-6857-4. ISSN  0072-5285.

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