弱演算子位相

Weak topology on function spaces

関数解析において、弱い作用素位相（よくWOTと略される^）[1]は、ヒルベルト空間上の有界作用素の集合における最も弱い位相であり、複素数に作用素を送る関数が任意のベクトルに対して、またヒルベルト空間において連続であるような位相である。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \langle Tx,y\rangle }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

明示的に、作用素 に対して、次の型の近傍基数が存在する：有限個のベクトル、連続関数、および同じ有限集合 で添字付けされた正の実定数を選択する。作用素 が近傍に含まれる場合、かつその場合のみ、すべての に対して となる。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle |y_{i}(T(x_{i})-S(x_{i}))|<\varepsilon _{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

同様に、すべてのおよびに対してネットがに収束する場合、有界演算子のネットは WOT で に収束します。 ${\displaystyle T_{i}\subseteq B(H)}$ ${\displaystyle T\in B(H)}$ ${\displaystyle y\in H^{*}}$ ${\displaystyle x\in H}$ ${\displaystyle y(T_{i}x)}$ ${\displaystyle y(Tx)}$

他のトポロジとの関係B（H）

WOT は、ヒルベルト空間上の有界演算子上のすべての一般的な位相 ${\displaystyle B(H)}$の中で最も弱い位相です。 ${\displaystyle H}$

強演算子トポロジー

上の強作用素位相、すなわちSOTは、点収束の位相です。内積は連続関数であるため、SOTはWOTよりも強い位相です。次の例は、この包含が厳密であることを示しています。 とし、右シフトの列を考えます。コーシー・シュワルツの法則を適用すると、WOTでは が収束することが示されます。しかし、 SOTではが に収束しないことは明らかです。 ${\displaystyle B(H)}$ ${\displaystyle H=\ell ^{2}(\mathbb {N} )}$ ${\displaystyle \{T^{n}\}}$ ${\displaystyle T^{n}\to 0}$ ${\displaystyle T^{n}}$ ${\displaystyle 0}$

強作用素位相において連続なヒルベルト空間上の有界作用素の集合上の線型関数は、WOTにおいて連続な線型関数と全く同じである（実際には、WOTはヒルベルト空間H上の有界作用素の集合上のすべての強連続線型関数を連続にする最も弱い作用素位相である）。この事実により、WOTにおける凸作用素集合の閉包は、SOTにおけるその集合の閉包と同じである。 ${\displaystyle B(H)}$

分極恒等式から、ネットがSOT に収束するのはWOT の場合のみであることが分かります。 ${\displaystyle \{T_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle T_{\alpha }^{*}T_{\alpha }\to 0}$

弱いスター演算子トポロジー

B ( H )の predual はトレース類作用素 C ₁ ( H ) であり、これは B ( H ) 上の w*-位相を生成する。これは弱スター作用素位相または σ-弱位相と呼ばれる。弱作用素位相と σ-弱位相は、  B ( H ) のノルム有界集合上で一致する。

ネット{ Tα _} ⊂B ( H )がWOTにおいてTに収束する場合、 Tr( TαF )_はすべての有限ランク作用素Fに対してTr( TF )に収束する。すべての有限ランク作用素Fはトレースクラスであるため、これはWOTがσ弱位相よりも弱いことを意味する。この主張が正しい理由を理解するには、すべての有限ランク作用素Fが有限和である ことを思い出すとよい。

${\displaystyle F=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*}.}$

つまり、{ Tα _}がWOTでTに収束するということは、

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }F\right)=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TF).}$

少し拡張すると、弱作用素位相とσ弱位相はB ( H )のノルム有界集合上で一致すると言える。すべてのトレースクラス作用素は次のような形をとる。

${\displaystyle S=\sum _{i}\lambda _{i}u_{i}v_{i}^{*},}$

ここで級数は収束する。WOTにおいてと を仮定する。すべてのトレースクラスSについて、 ${\displaystyle \sum \nolimits _{i}\lambda _{i}}$ ${\displaystyle \sup \nolimits _{\alpha }\|T_{\alpha }\|=k<\infty ,}$ ${\displaystyle T_{\alpha }\to T}$

${\displaystyle {\text{Tr}}\left(T_{\alpha }S\right)=\sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(T_{\alpha }u_{i}\right)\longrightarrow \sum _{i}\lambda _{i}v_{i}^{*}\left(Tu_{i}\right)={\text{Tr}}(TS),}$

たとえば、優勢収束定理を適用することによって。

したがって、バナッハ・アラオグルの定理により、すべてのノルム有界閉集合はWOTではコンパクトである。

その他の特性

随伴演算T → T*は、その定義の直接的な結果として、WOT では連続です。

WOTでは乗算は共連続ではありません。ここでも、 を片側シフトとします。コーシー＝シュワルツの法則を用いると、WOTではT ⁿとT* ^{n は}どちらも0に収束することが分かります。しかし、 T* ⁿ T ^{n は}すべての に対して恒等作用素です。（WOTは有界集合上のσ-弱位相と一致するため、σ-弱位相では乗算は共連続ではありません。） ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$

しかし、より弱い主張も成り立つ。WOTにおいて乗算は別々に連続である。WOTにおいて正味T _i → Tならば、 WOTにおいてST _i → ST、T _i S → TSとなる。

SOTとWOTオンB(X,Y)いつXそしてはいは正規化された空間である

SOTとWOTの定義をより一般的な設定に拡張することができる。この場合、 XとYはノルム空間であり、は形式 の有界線型作用素の空間である。この場合、 と の各ペアは、規則 によって上の半ノルムを定義する。結果として得られる半ノルムの族は、上の弱作用素位相を生成する。同様に、 上のWOTは、の形式 の集合を基本開近傍としてとることで形成される。 ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle T:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y^{*}\in Y^{*}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x,y^{*}}}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle \|T\|_{x,y^{*}}=|y^{*}(Tx)|}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle N(T,F,\Lambda ,\epsilon ):=\left\{S\in B(X,Y):\left|y^{*}((S-T)x)\right|<\epsilon ,x\in F,y^{*}\in \Lambda \right\},}$

ここで、は有限集合であり、も有限集合であり、である。この空間は、WOTが付与されているとき、局所凸位相ベクトル空間となる。 ${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$ ${\displaystyle \Lambda \subseteq Y^{*}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$

上の強作用素位相は、規則 によって半ノルム族から生成される。したがって、SOT の位相基底は、次の形式の開近傍によって与えられる。 ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{x},x\in X,}$ ${\displaystyle \|T\|_{x}=\|Tx\|}$

${\displaystyle N(T,F,\epsilon ):=\{S\in B(X,Y):\|(S-T)x\|<\epsilon ,x\in F\},}$

ここで、前述と同様に有限集合であり、 ${\displaystyle T\in B(X,Y),F\subseteq X}$ ${\displaystyle \epsilon >0.}$

異なるトポロジ間の関係B(X,Y)

上の様々な位相に対する異なる用語は、時に混乱を招くことがあります。例えば、ノルム空間におけるベクトルの「強収束」は、ノルム収束を指すことがありますが、これは、問題のノルム空間が である場合、SOT収束とは多くの場合異なる（そしてより強い）ものです。ノルム空間上の弱位相は、 における線型汎関数を連続にする最も粗い位相です。の代わりにをとった場合、弱位相は弱作用素位相とは大きく異なる可能性があります。また、WOTは形式的にはSOTよりも弱いですが、SOTは作用素ノルム位相よりも弱いです。 ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X^{*}}$ ${\displaystyle B(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$

一般的に、次の内容が含まれます。

${\displaystyle \{{\text{WOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{SOT-open sets in }}B(X,Y)\}\subseteq \{{\text{operator-norm-open sets in }}B(X,Y)\},}$

そして、これらの包含は、およびの選択に応じて厳密である場合もそうでない場合もあります。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

WOTはSOTよりも形式的には弱い位相ですが、それでもいくつかの重要な性質を共有しています。例えば、 ${\displaystyle B(X,Y)}$

${\displaystyle (B(X,Y),{\text{SOT}})^{*}=(B(X,Y),{\text{WOT}})^{*}.}$

その結果、が凸ならば ${\displaystyle S\subseteq B(X,Y)}$

${\displaystyle {\overline {S}}^{\text{SOT}}={\overline {S}}^{\text{WOT}},}$

言い換えれば、凸集合の場合、SOT 閉包と WOT 閉包は一致する。

参考文献

1. イリヤス・ファラー、「C*-代数の組合せ集合論」（2019年）、80ページ。

参照

• ヒルベルト空間上の作用素の集合上の位相
• 弱位相 – 数学用語
• 弱いスター演算子トポロジー

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