Decision that leads to the best outcome in decision theory

最適な意思決定とは、他のすべての利用可能な意思決定オプションと同等以上の既知または期待される結果をもたらす意思決定です。これは意思決定理論における重要な概念です。異なる意思決定結果を比較するために、通常、それぞれの結果に効用値を割り当てます。

結果がどうなるかは不確実であるが、その不確実性の分布に関する知識がある場合、フォン・ノイマン＝モルゲンシュテルンの公理によれば、最適な決定は期待効用（ある決定のあらゆる可能な結果に対する効用の確率加重平均）を最大化する。損失の期待値を最小化するという同等の問題が考えられることもある。ここで、損失は効用の(-1)倍である。また、期待後悔を最小化するという同等の問題もある。

「効用」とは、特定の意思決定結果の望ましさを定量化するための恣意的な用語に過ぎず、「有用性」とは必ずしも関連しません。例えば、スポーツカーは高価で汎用性に欠けるという前提に立っていても、別の基準（例えば、個人のイメージへの影響）の観点から結果がより望ましい場合、ステーションワゴンではなくスポーツカーを購入する方が最適な意思決定となる可能性があります。

最適な決定を見つける問題は、数学的な最適化問題です。実際には、自分の決定が最適であることを検証する人はほとんどいません。代わりに、ヒューリスティックや経験則を用いて「十分に良い」決定を下します。つまり、満足度の最適化（satisficing）に取り組んでいます。

意思決定が分析に時間をかけるほど重要である場合、または意思決定オプションが多く、意思決定と結果の関係が複雑であるなど、より単純で直感的なアプローチでは解決できないほど複雑な場合は、より正式なアプローチが使用されることがあります。

形式的な数学的記述

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利用可能な意思決定オプションの集合における各意思決定は、結果 につながる。すべての可能な結果が集合 を構成する。すべての結果に効用を割り当てると、特定の意思決定の効用は次のように定義できる。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle o=f(d)}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle U_{D}(d)\ =\ U_{O}(f(d)).\,}$

最適な決定とは、次のものを最大化する決定であると定義できます 。 ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}U_{D}(d).\,}$

したがって、問題の解決は次の 3 つのステップに分けられます。

1. あらゆる決定の結果を予測する ${\displaystyle o}$ ${\displaystyle d;}$
2. あらゆる結果に効用を割り当てる ${\displaystyle U_{O}(o)}$ ${\displaystyle o;}$
3. 最大化する決定を見つける ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle U_{D}(d).}$

結果の不確実性の下で

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特定の決定の結果を確実に予測できない場合は、確率論的なアプローチが必要になります。最も一般的な形では、次のように表現できます。

決定 が与えられた場合、条件付き確率密度で表される可能性のある結果の確率分布が分かります。を確率変数（ を条件とする）とみなすと、決定 の期待効用は次のように計算できます。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle p(o|d)}$ ${\displaystyle U_{D}(d)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)=\int {p(o|d)U(o)do}\,}$ 、

ここで積分は集合全体にわたって行われる（DeGroot、pp 121）。 ${\displaystyle O}$

最適な決定とは、上記のようにを最大化する決定です。 ${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }}$ ${\displaystyle {\text{E}}U_{D}(d)}$

${\displaystyle d_{\mathrm {opt} }=\arg \max \limits _{d\in D}{\text{E}}U_{D}(d).\,}$

一例としてはモンティ・ホール問題があります。

参照

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• 意思決定
• 意思決定ソフトウェア
• 二者択一の強制選択

参考文献

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• モリス・デグルート『最適統計的決定』マグロウヒル社、ニューヨーク、1970年、ISBN 0-07-016242-5。
• ジェームズ・O・バーガー著『統計的意思決定理論とベイズ分析』第2版、1980年、シュプリンガー統計シリーズ、ISBN 0-387-96098-8。

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