Physical system that responds to a restoring force inversely proportional to displacement
古典力学 では 、 調和振動子は 平衡 位置から変位すると 、 変位 x に 比例した 復元力 F が生じるシステムです。 F → = − k x → 、 {\displaystyle {\vec {F}}=-k{\vec {x}},} ここで、 kは 正の 定数 です 。
調和振動子モデルは物理学において重要です。なぜなら、安定平衡状態にある力を受けるあらゆる質量は、微小振動に対して調和振動子として作用するからです。調和振動子は自然界に広く存在し、 時計 や無線回路など、多くの人工デバイスに利用されています。
F が システムに作用する唯一の力である 場合、システムは 単振動子 と呼ばれ、 単振動運動 、 つまり一定の 振幅 と一定の 周波数 （振幅に依存しない）
で 平衡点の 周りを 正弦波状に 振動します。
速度 に比例する摩擦力（ 減衰 ） も存在する場合、調和振動子は 減衰振動子 として記述されます。摩擦係数に応じて、系は以下のようになります。
減衰不足振動子と減衰過剰振動子の間の境界 解は、 摩擦係数の特定の値で発生し、 臨界減衰 と呼ばれます。
外部から時間に依存する力が存在する場合、調和振動子は 駆動振動子 として記述されます。
機械的な例としては、 小さな変位角 を持つ 振り子、 バネ に接続された質量 、 音響システムなどが挙げられます。その他の類似システムとしては、 RLC回路 などの電気的な高調波発振器が挙げられます 。これらは、事実上すべての正弦波振動と波の源です。
単振動子 単振動子は、駆動も 減衰 も受けない振動子である。この振動子は、質量 1 個と、質量 2 個からなる。質量 1 個は 、質量 2 個を点の方向に引っ張る 単一の力 2 を受ける。この力は、 質量 2 個の 位置と定数 2 のみに依存する 。この振動子の力のつり合い（ ニュートンの第二法則 ）は、 m {\displaystyle m} F {\displaystyle F} x = 0 {\displaystyle x=0} x {\displaystyle x} k {\displaystyle k} F = m a = m d 2 x d t 2 = m x ¨ = − k x . {\displaystyle F=ma=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\ddot {x}}=-kx.}
この 微分方程式 を解くと、運動は関数 x ( t ) = A sin ( ω t + φ ) , {\displaystyle x(t)=A\sin(\omega t+\varphi ),} で記述されることがわかります。
ここで 、 ω = k m 。{\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}.}
この運動は 周期的であり、一定の振幅 A で 正弦 波状に繰り返されます 。単振動子の運動は、振幅に加えて、 周期 （1回の振動にかかる時間）または 周波数（単位時間あたりの振動数）によって特徴付けられます。特定の時刻 tにおける位置は 位相 にも依存し 、位相によって正弦波の開始点が決まります。周期と周波数は質量 m の大きさと力の定数 k によって決まり、振幅と位相は開始位置と 速度 によって決まります。 T = 2 π / ω {\displaystyle T=2\pi /\omega } f = 1 / T {\displaystyle f=1/T} φ {\displaystyle \varphi }
単振動子の速度と 加速度は 、位置と同じ周波数で振動しますが、位相がずれています。速度は変位がゼロのときに最大となり、加速度は変位と反対方向に作用します。
単純な調和振動子の位置x に蓄えられる位置エネルギーは U = 1 2 k x 2 である
。{\displaystyle U={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
減衰調和振動子 減衰されたスプリングブロックシステムと減衰されていないスプリングブロックシステムの位置の差を時間経過とともに示すシミュレーション（位置と時間のグラフは右側に表示） 減衰比ζ の値に対するシステム挙動の依存性 減衰振動子の位相図（減衰強度の増加とともに） 2つのバネの間に動力学カートを挟んだ減衰調和振動子を示すビデオクリップ。 カート上部の 加速度計が加速度の大きさと方向を表示します。 実際の振動子では、摩擦、あるいは減衰によって系の運動が遅くなります。摩擦力により、速度は作用する摩擦力に比例して減少します。駆動されていない単純な調和振動子では、質量に作用する力は復元力のみですが、減衰調和振動子では、さらに摩擦力が作用し、常に運動に反対方向に作用します。多くの振動系では、摩擦力 F f は 物体 の 速度 vに比例するものとしてモデル化できます。F f = − cv 、ここで cは 粘性減衰 係数 と呼ばれます 。
減衰調和振動子の 力の釣り合い（ ニュートンの第二法則）は [1] [2] [3] となり、
次の ように書き直すことができる。 F = − k x − c d x d t = m d 2 x d t 2 , {\displaystyle F=-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}},} d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x=0,}
ω 0 = k m {\textstyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}} これは「 振動子の非減衰 角周波数」と呼ばれる。 ζ = c 2 m k {\textstyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}} は「 減衰比 」と呼ばれます。 減衰調和振動子の ステップ応答。曲線は μ = ω 1 = ω 0 √ 1 − ζ 2 の3つの値に対してプロットされている。時間は減衰時間 τ = 1/( ζω 0 ) の単位である。 減衰比 ζ の値はシステムの挙動を決定的に決定する。減衰調和振動子は以下のように表される。
過減衰 （ ζ > 1）：システムは振動することなく定常状態（ 指数関数的に減衰 ）に戻る。減衰比 ζ の値が大きいほど、平衡状態への回復は遅くなる。 臨界減衰 （ ζ = 1）：システムは振動することなく、可能な限り速く定常状態に戻ります（ただし、初期速度がゼロでない場合はオーバーシュートが発生する可能性があります）。これは、ドアなどのシステムの減衰によく使用されます。 減衰不足 （ ζ < 1）：システムは（減衰なしの場合とはわずかに異なる周波数で）振動し、振幅は徐々にゼロに減少する。 減衰不足調和振動子の 角周波数 は次のように与えられる。減衰不足調和振動子の指数関数的減衰は次のように与え られる 。 ω 1 = ω 0 1 − ζ 2 , {\textstyle \omega _{1}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},} λ = ω 0 ζ . {\displaystyle \lambda =\omega _{0}\zeta .} 減衰振動子のQ値は次のように定義さ れる 。
Q = 2 π × energy stored energy lost per cycle . {\displaystyle Q=2\pi \times {\frac {\text{energy stored}}{\text{energy lost per cycle}}}.}
Q は減衰比と次の関係がある。 Q = 1 2 ζ . {\textstyle Q={\frac {1}{2\zeta }}.}
駆動調和振動子 方形波によって駆動される減衰調和振動子のシミュレーション例。 駆動調和振動子は、外部から加えられた力 F ( t )によってさらに影響を受ける減衰振動子です。
ニュートンの第二法則 は次の形をとる。 F ( t ) − k x − c d x d t = m d 2 x d t 2 . {\displaystyle F(t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}.}
これは通常、次のような形式に書き換えられる。 d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = F ( t ) m . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F(t)}{m}}.}
この方程式は、任意の駆動力に対して、非強制方程式を満たす 解 z ( t ) を用いて正確に解くことができる。 d 2 z d t 2 + 2 ζ ω 0 d z d t + ω 0 2 z = 0 , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}z=0,}
これは、 ζ ≤ 1 の場合 、減衰正弦波振動として表すことができます。 振幅 A と位相 φは 、初期条件を満たすために必要な挙動を決定します。 z ( t ) = A e − ζ ω 0 t sin ( 1 − ζ 2 ω 0 t + φ ) , {\displaystyle z(t)=Ae^{-\zeta \omega _{0}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right),}
ζ < 1 で x (0) = 0 の単位ステップ入力の場合 、 解は F ( t ) m = { ω 0 2 t ≥ 0 0 t < 0 {\displaystyle {\frac {F(t)}{m}}={\begin{cases}\omega _{0}^{2}&t\geq 0\\0&t<0\end{cases}}} x ( t ) = 1 − e − ζ ω 0 t sin ( 1 − ζ 2 ω 0 t + φ ) sin ( φ ) , {\displaystyle x(t)=1-e^{-\zeta \omega _{0}t}{\frac {\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{0}t+\varphi \right)}{\sin(\varphi )}},}
位相 φ は次のように与えられる。
cos φ = ζ . {\displaystyle \cos \varphi =\zeta .}
振動子が変化する外部条件に適応するのに必要な時間は、 τ = 1/( ζω 0 ) のオーダーである。物理学では、この適応は 緩和 と呼ばれ 、 τ は緩和時間と呼ばれる。
電気工学では、 τ の倍数は 整定時間 と呼ばれます 。これは、信号が最終値から一定の偏差（通常は10%以内）内に収まるために必要な時間です。オーバー シュート とは、応答の最大値が最終値を超える範囲を指し、 アンダーシュートと は、応答の最大値から一定時間後に応答が最終値を下回る範囲を指します。
正弦波駆動力 駆動された調和振動子の相対周波数と減衰 に対する振幅の定常変化 。このグラフは調和振動子スペクトルまたは運動スペクトルとも呼ばれます。 ω / ω 0 {\displaystyle \omega /\omega _{0}} ζ {\displaystyle \zeta } 正弦波駆動力の場合： は 駆動振幅、 は 正弦波駆動機構の 駆動 周波数です。このタイプのシステムは、 AC 駆動 RLC回路 （ 抵抗器 - インダクタ - コンデンサ ）や、内部機械抵抗または外部 空気抵抗 を持つ駆動ばねシステムに見られます。 d 2 x d t 2 + 2 ζ ω 0 d x d t + ω 0 2 x = 1 m F 0 sin ( ω t ) , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {1}{m}}F_{0}\sin(\omega t),} F 0 {\displaystyle F_{0}} ω {\displaystyle \omega }
一般解は 、初期条件に依存する過渡解と、 初期 条件に依存せず駆動振幅、駆動周波数 、非減衰角周波数 、および減衰比 のみに依存する 定常状態 の合計です。 F 0 {\displaystyle F_{0}} ω {\displaystyle \omega } ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} ζ {\displaystyle \zeta }
定常解は、誘起位相変化を伴う駆動力に比例する 。 ここで、 Z m = ( 2 ω 0 ζ ) 2 + 1 ω 2 ( ω 0 2 − ω 2 ) 2 {\displaystyle Z_{m}={\sqrt {\left(2\omega _{0}\zeta \right)^{2}+{\frac {1}{\omega ^{2}}}(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}
は インピーダンス または 線形応答関数 の 絶対値 であり 、 φ {\displaystyle \varphi } x ( t ) = F 0 m Z m ω sin ( ω t + φ ) , {\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{mZ_{m}\omega }}\sin(\omega t+\varphi ),} φ = arctan ( 2 ω ω 0 ζ ω 2 − ω 0 2 ) + n π {\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi }
は駆動力に対する振動の位相 です 。位相値は通常、-180°から0°の範囲でとられます（つまり、arctanの引数が正と負の両方の値の場合、位相の遅れを表します）。
共振 、または共振周波数 と呼ばれる特定の駆動周波数において 、振幅（与えられた に対して ）は最大になります。この共振効果は の場合にのみ発生します 。つまり、著しく減衰不足のシステムの場合です。強く減衰不足のシステムでは、共振周波数付近で振幅の値がかなり大きくなることがあります。 ω r = ω 0 1 − 2 ζ 2 {\textstyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}} F 0 {\displaystyle F_{0}} ζ < 1 / 2 {\displaystyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}
過渡解析は、強制されていない（）減衰調和振動子と同じであり 、以前に発生した他のイベントに対するシステムの応答を表します。 F 0 = 0 {\displaystyle F_{0}=0}
パラメトリック発振器 パラメトリック 発振器 は、駆動エネルギーが減衰力や復元力などの発振器のパラメータを変化させることによって供給される駆動調和発振器です。パラメトリック発振の身近な例としては、遊び場の ブランコ の「ポンピング」が挙げられます。 [4] [5] [6] 動いているブランコに乗っている人は、ブランコの振動に合わせて前後に揺れる（「ポンピング」）か、交互に立ったりしゃがんだりすることで、ブランコの慣性モーメントを変化させ、外部からの駆動力（押す力）を加えなくても、ブランコの振動の振幅を大きくすることができます。パラメータの変化がシステムを駆動します。変化させることができるパラメータの例としては、共振周波数 や減衰などが挙げられます 。 ω {\displaystyle \omega } β {\displaystyle \beta }
パラメトリック発振器は多くの用途で使用されています。古典的な バラクタ ・パラメトリック発振器は、 ダイオード の静電容量を周期的に変化させることで発振します。ダイオードの静電容量を変化させる回路は「ポンプ」または「ドライバ」と呼ばれます。マイクロ波エレクトロニクスでは、 導波管 / YAG ベースのパラメトリック発振器も同様の方法で動作します。設計者はパラメータを周期的に変化させることで発振を誘発します。
パラメトリック発振器は、特に無線およびマイクロ波周波数領域における低雑音増幅器として開発されてきました。抵抗ではなくリアクタンスを変化させるため、熱雑音は最小限に抑えられます。もう一つの一般的な用途は周波数変換であり、例えば音声周波数から無線周波数への変換などです。例えば、 光パラメトリック発振器は、 入力 レーザー 波を2つの低周波数出力波に変換します（ ）。 ω s , ω i {\displaystyle \omega _{s},\omega _{i}}
パラメトリック共振は、機械系がパラメトリック励起され、その共振周波数の1つで振動するときに発生します。パラメトリック励起は、作用がシステムパラメータの時間変化として現れるため、強制とは異なります。この効果は 不安定 現象を示すため、通常の共振とは異なります。
普遍振動子方程式 この方程式は 、すべての2次線形振動系がこの形式に簡約できるため、 普遍振動子方程式 として知られています。 [ 要出典 ]これは 無次元化 によって行われます 。 d 2 q d τ 2 + 2 ζ d q d τ + q = 0 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=0}
強制関数が f ( t ) = cos( ωt ) = cos( ωt c τ ) = cos( ωτ ) （ただし ω = ωt c ）の場合、方程式は次のようになる。 d 2 q d τ 2 + 2 ζ d q d τ + q = cos ( ω τ ) . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau ).}
この微分方程式の解には、「過渡状態」と「定常状態」の 2 つの部分が含まれます。
過渡解析 常微分方程式 を解くことに基づく解は 、任意の定数 c 1 と c 2についてである。
q t ( τ ) = { e − ζ τ ( c 1 e τ ζ 2 − 1 + c 2 e − τ ζ 2 − 1 ) ζ > 1 (overdamping) e − ζ τ ( c 1 + c 2 τ ) = e − τ ( c 1 + c 2 τ ) ζ = 1 (critical damping) e − ζ τ [ c 1 cos ( 1 − ζ 2 τ ) + c 2 sin ( 1 − ζ 2 τ ) ] ζ < 1 (underdamping) {\displaystyle q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (overdamping)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1{\text{ (critical damping)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\text{ (underdamping)}}\end{cases}}}
過渡解析は強制関数に依存しません。
定常解 以下の補助方程式 を解き 、その解の実部を求めることで、 「 複素変数法」を適用します。 d 2 q d τ 2 + 2 ζ d q d τ + q = cos ( ω τ ) + i sin ( ω τ ) = e i ω τ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}q}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}+2\zeta {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} \tau }}+q=\cos(\omega \tau )+i\sin(\omega \tau )=e^{i\omega \tau }.}
解が次の形式であると仮定する。 q s ( τ ) = A e i ( ω τ + φ ) . {\displaystyle q_{s}(\tau )=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}
0次から2次までの微分は q s = A e i ( ω τ + φ ) , d q s d τ = i ω A e i ( ω τ + φ ) , d 2 q s d τ 2 = − ω 2 A e i ( ω τ + φ ) . {\displaystyle q_{s}=Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} q_{s}}{\mathrm {d} \tau }}=i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )},\quad {\frac {\mathrm {d} ^{2}q_{s}}{\mathrm {d} \tau ^{2}}}=-\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}.}
これらの量を微分方程式に代入すると、 − ω 2 A e i ( ω τ + φ ) + 2 ζ i ω A e i ( ω τ + φ ) + A e i ( ω τ + φ ) = ( − ω 2 A + 2 ζ i ω A + A ) e i ( ω τ + φ ) = e i ω τ . {\displaystyle -\omega ^{2}Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+2\zeta i\omega Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}+Ae^{i(\omega \tau +\varphi )}=(-\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A)e^{i(\omega \tau +\varphi )}=e^{i\omega \tau }.}
左辺の指数項で割ると、 − ω 2 A + 2 ζ i ω A + A = e − i φ = cos φ − i sin φ . {\displaystyle -\omega ^{2}A+2\zeta i\omega A+A=e^{-i\varphi }=\cos \varphi -i\sin \varphi .}
実数部と虚数部を等しくすると、2つの独立した方程式が得られる。 A ( 1 − ω 2 ) = cos φ , 2 ζ ω A = − sin φ . {\displaystyle A(1-\omega ^{2})=\cos \varphi ,\quad 2\zeta \omega A=-\sin \varphi .}
振幅部分 理想的な調和振動子の周波数応答の ボード線図 両方の式を二乗して足し合わせると A 2 ( 1 − ω 2 ) 2 = cos 2 φ ( 2 ζ ω A ) 2 = sin 2 φ } ⇒ A 2 [ ( 1 − ω 2 ) 2 + ( 2 ζ ω ) 2 ] = 1. {\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega ^{2})^{2}&=\cos ^{2}\varphi \\(2\zeta \omega A)^{2}&=\sin ^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}]=1.}
したがって、 A = A ( ζ , ω ) = sgn ( − sin φ 2 ζ ω ) 1 ( 1 − ω 2 ) 2 + ( 2 ζ ω ) 2 . {\displaystyle A=A(\zeta ,\omega )=\operatorname {sgn} \left({\frac {-\sin \varphi }{2\zeta \omega }}\right){\frac {1}{\sqrt {(1-\omega ^{2})^{2}+(2\zeta \omega )^{2}}}}.}
この結果を、共振 に関する理論セクション 、および RLC回路 の「振幅部」と比較してください。この振幅関数は、2次システムの 周波数応答 の解析と理解において特に重要です。
フェーズ部分 φ を解くには 、両方の式を割って tan φ = − 2 ζ ω 1 − ω 2 = 2 ζ ω ω 2 − 1 ⟹ φ ≡ φ ( ζ , ω ) = arctan ( 2 ζ ω ω 2 − 1 ) + n π . {\displaystyle \tan \varphi =-{\frac {2\zeta \omega }{1-\omega ^{2}}}={\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}~~\implies ~~\varphi \equiv \varphi (\zeta ,\omega )=\arctan \left({\frac {2\zeta \omega }{\omega ^{2}-1}}\right)+n\pi .}
この位相関数は、2 次システムの 周波数応答 の分析と理解において特に重要です。
完全なソリューション 振幅と位相の部分を組み合わせると定常解が得られる。 q s ( τ ) = A ( ζ , ω ) cos ( ω τ + φ ( ζ , ω ) ) = A cos ( ω τ + φ ) . {\displaystyle q_{s}(\tau )=A(\zeta ,\omega )\cos(\omega \tau +\varphi (\zeta ,\omega ))=A\cos(\omega \tau +\varphi ).}
元の普遍振動子方程式の解は、 過渡解と定常解の 重ね合わせ（和）です。 q ( τ ) = q t ( τ ) + q s ( τ ) . {\displaystyle q(\tau )=q_{t}(\tau )+q_{s}(\tau ).}
同等のシステム 工学の様々な分野に見られる調和振動子は、その数学モデルが同一であるという意味で等価です（上記の普遍振動子方程式を参照）。下表は、機械工学と電子工学における4つの調和振動子系における類似した量を示したものです。表の同じ行にある類似のパラメータに数値的に等しい値を与えると、振動子の挙動（出力波形、共振周波数、減衰係数など）は同じになります。
並進機械 回転機械 直列RLC回路 並列RLC回路 位置 x {\displaystyle x} 角度 θ {\displaystyle \theta } 充電 q {\displaystyle q} 磁束鎖交 φ {\displaystyle \varphi } 速度 d x d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}} 角速度 d θ d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}} 現在 d q d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} q}{\mathrm {d} t}}} 電圧 d φ d t {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}} 質量 m {\displaystyle m} 慣性モーメント I {\displaystyle I} インダクタンス L {\displaystyle L} キャパシタンス C {\displaystyle C} 勢い p {\displaystyle p} 角運動量 L {\displaystyle L} 磁束鎖交 φ {\displaystyle \varphi } 充電 q {\displaystyle q} バネ定数 k {\displaystyle k} ねじり定数 μ {\displaystyle \mu } 弾力性 1 / C {\displaystyle 1/C} 磁気抵抗 1 / L {\displaystyle 1/L} 減衰 c {\displaystyle c} 回転摩擦 Γ {\displaystyle \Gamma } 抵抗 R {\displaystyle R} コンダクタンス G = 1 / R {\displaystyle G=1/R} 駆動 力 F ( t ) {\displaystyle F(t)} 駆動 トルク τ ( t ) {\displaystyle \tau (t)} 電圧 v {\displaystyle v} 現在 i {\displaystyle i} 非減衰 共振周波数 : f n {\displaystyle f_{n}} 1 2 π k m {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}} 1 2 π μ I {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {\mu }{I}}}} 1 2 π 1 L C {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}} 1 2 π 1 L C {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {1}{LC}}}} 減衰比 ： ζ {\displaystyle \zeta } c 2 1 k m {\displaystyle {\frac {c}{2}}{\sqrt {\frac {1}{km}}}} Γ 2 1 I μ {\displaystyle {\frac {\Gamma }{2}}{\sqrt {\frac {1}{I\mu }}}} R 2 C L {\displaystyle {\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}} G 2 L C {\displaystyle {\frac {G}{2}}{\sqrt {\frac {L}{C}}}} 微分方程式: m x ¨ + c x ˙ + k x = F {\displaystyle m{\ddot {x}}+c{\dot {x}}+kx=F} I θ ¨ + Γ θ ˙ + μ θ = τ {\displaystyle I{\ddot {\theta }}+\Gamma {\dot {\theta }}+\mu \theta =\tau } L q ¨ + R q ˙ + q / C = v {\displaystyle L{\ddot {q}}+R{\dot {q}}+q/C=v} C φ ¨ + G φ ˙ + φ / L = i {\displaystyle C{\ddot {\varphi }}+G{\dot {\varphi }}+\varphi /L=i}
保存力への応用 単純な調和振動子の問題は物理学で頻繁に発生します。これは、小さな運動の限界において、任意の 保存力 の影響下で平衡状態にある質量が単純な調和振動子として動作するからです。
保存力は 位置エネルギー と関連している力である。調和振動子の位置エネルギー関数は V ( x ) = 1 2 k x 2 . {\displaystyle V(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
任意のポテンシャルエネルギー関数 が与えられると 、 エネルギー最小値 ( ) の周り で の項による テイラー展開を 行って、平衡状態からの小さな摂動の挙動をモデル化することができます。 V ( x ) {\displaystyle V(x)} x {\displaystyle x} x = x 0 {\displaystyle x=x_{0}}
V ( x ) = V ( x 0 ) + V ′ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) + 1 2 V ″ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 + O ( x − x 0 ) 3 . {\displaystyle V(x)=V(x_{0})+V'(x_{0})\cdot (x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}
は最小値な ので、 で評価される最初の導関数は ゼロになる必要があり、線形項は省略されます。 V ( x 0 ) {\displaystyle V(x_{0})} x 0 {\displaystyle x_{0}} V ( x ) = V ( x 0 ) + 1 2 V ″ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) 2 + O ( x − x 0 ) 3 . {\displaystyle V(x)=V(x_{0})+{\tfrac {1}{2}}V''(x_{0})\cdot (x-x_{0})^{2}+O(x-x_{0})^{3}.}
定数 項 V ( x0 ) は任意のため省略することができ、座標変換により単振動子の形を取り戻すことができる 。 V ( x ) ≈ 1 2 V ″ ( 0 ) ⋅ x 2 = 1 2 k x 2 . {\displaystyle V(x)\approx {\tfrac {1}{2}}V''(0)\cdot x^{2}={\tfrac {1}{2}}kx^{2}.}
したがって、ゼロでない 2番目の導関数 を持つ任意のポテンシャルエネルギー関数が与えられた場合 、単純な調和振動子の解を使用して、平衡点の周りの小さな摂動の近似解を得ることができます。 V ( x ) {\displaystyle V(x)}
例
単振り子 単 振り子は、 減衰がなく振幅が小さい条件下では、ほぼ単振動運動を示します。 減衰がないと仮定すると、長さ（局所的な 重力加速度 ）の単純な振り子を支配する微分方程式 は、 d 2 θ d t 2 + g l sin θ = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0.} となります。 l {\displaystyle l} g {\displaystyle g}
振り子の最大変位が小さい場合は、近似を使用して 代わりに次の式を考える
ことができる。 sin θ ≈ θ {\displaystyle \sin \theta \approx \theta } d 2 θ d t 2 + g l θ = 0. {\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+{\frac {g}{l}}\theta =0.}
この微分方程式の一般解は、 で あり、 は初期条件に依存する定数です。 および を初期条件として 、 解は 次のように与えられます 。 は振り子が達成する最大角度です（つまり、 は振り子の振幅です）。 1回の完全な振動の時間である 周期 は、式 τ = 2 π l g = 2 π ω , {\displaystyle \tau =2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}={\frac {2\pi }{\omega }},} で与えられ、 が 小さい
場合の実際の周期の良い近似値となります 。 この近似値では、周期は 振幅 に依存しないことに注意してください 。 上記の式で、 は 角周波数を表します。 θ ( t ) = A cos ( g l t + φ ) , {\displaystyle \theta (t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t+\varphi \right),} A {\displaystyle A} φ {\displaystyle \varphi } θ ( 0 ) = θ 0 {\displaystyle \theta (0)=\theta _{0}} θ ˙ ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\dot {\theta }}(0)=0} θ ( t ) = θ 0 cos ( g l t ) , {\displaystyle \theta (t)=\theta _{0}\cos \left({\sqrt {\frac {g}{l}}}t\right),} θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} τ {\displaystyle \tau } θ 0 {\displaystyle \theta _{0}} ω {\displaystyle \omega }
バネ/質量システム バネ・質量系の平衡状態（A）、圧縮状態（B）、伸張状態（C） バネが質量によって伸縮されると、バネは復元力を生じます。 フックの法則は 、バネが一定の長さだけ伸縮されたときにバネが及ぼす力の関係を示しています。 ここで、 F は力、 k はバネ定数、 x は平衡位置に対する質量の変位です。式中のマイナス記号は、バネが及ぼす力が常に変位と反対方向に作用すること（つまり、力は常にゼロ位置に向かって作用すること）を示しており、質量が無限遠に飛び出すのを防いでいます。 F ( t ) = − k x ( t ) , {\displaystyle F(t)=-kx(t),}
力のバランスまたはエネルギー法のいずれかを使用することにより、このシステムの運動が次の微分方程式によって与えられることが容易に示されます。 後者は ニュートンの運動の第二法則 です。 F ( t ) = − k x ( t ) = m d 2 d t 2 x ( t ) = m a , {\displaystyle F(t)=-kx(t)=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=ma,}
初期変位が A で初期速度がない場合、この方程式の解は次のように表される。 x ( t ) = A cos ( k m t ) . {\displaystyle x(t)=A\cos \left({\sqrt {\frac {k}{m}}}t\right).}
理想的な質量ゼロのバネの場合、 バネの端の質量は です。バネ自体に質量がある場合、その 有効質量は に含める必要があります 。 m {\displaystyle m} m {\displaystyle m}
バネ・減衰システムにおけるエネルギー変化 エネルギーの観点から見ると、すべてのシステムは2種類のエネルギー、 すなわち位置エネルギー と 運動エネルギー を持っています。バネが伸びたり縮んだりすると、弾性位置エネルギーが蓄えられ、それが運動エネルギーに変換されます。バネ内の位置エネルギーは、以下の式で表されます。 U = 1 2 k x 2 . {\textstyle U={\frac {1}{2}}kx^{2}.}
バネが伸びたり縮んだりすると、質量の運動エネルギーはバネの位置エネルギーに変換されます。 エネルギー保存則 により、基準点が平衡位置に定義されていると仮定すると、バネが最大位置エネルギーに達したとき、質量の運動エネルギーはゼロになります。バネが解放されると、バネは平衡状態に戻ろうとし、その位置エネルギーはすべて質量の運動エネルギーに変換されます。
用語の定義 シンボル 意味 寸法 SI単位 a {\displaystyle a} 質量の加速 L T − 2 {\displaystyle {\mathsf {LT^{-2}}}} メートル/秒 2 A {\displaystyle A} 振動のピーク振幅 L {\displaystyle {\mathsf {L}}} メートル c {\displaystyle c} 粘性減衰係数 M T − 1 {\displaystyle {\mathsf {MT^{-1}}}} N·s/m f {\displaystyle f} 頻度 T − 1 {\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}} Hz F {\displaystyle F} 駆動力 M L T − 2 {\displaystyle {\mathsf {MLT^{-2}}}} 北 g {\displaystyle g} 地球表面における重力の加速 L T − 2 {\displaystyle {\mathsf {LT^{-2}}}} メートル/秒 2 i {\displaystyle i} 虚数単位、 i 2 = − 1 {\displaystyle i^{2}=-1} — — k {\displaystyle k} バネ定数 M T − 2 {\displaystyle {\mathsf {MT^{-2}}}} N/m μ {\displaystyle \mu } ねじりバネ定数 M L 2 T − 2 {\displaystyle {\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}} Nm/rad m , M {\displaystyle m,M} 質量 M {\displaystyle {\mathsf {M}}} kg Q {\displaystyle Q} 品質係数 — — T {\displaystyle T} 振動周期 T {\displaystyle {\mathsf {T}}} s t {\displaystyle t} 時間 T {\displaystyle {\mathsf {T}}} s U {\displaystyle U} 振動子に蓄えられた位置エネルギー M L 2 T − 2 {\displaystyle {\mathsf {ML^{2}T^{-2}}}} J x {\displaystyle x} 質量の位置 L {\displaystyle {\mathsf {L}}} メートル ζ {\displaystyle \zeta } 減衰比 — — φ {\displaystyle \varphi } 位相シフト — ラド ω {\displaystyle \omega } 角周波数 T − 1 {\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}} rad/s ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} 固有共振角周波数 T − 1 {\displaystyle {\mathsf {T^{-1}}}} rad/s
参照
注記 ^ ファウルズ＆キャシデイ（1986年、86ページ） ^ クレイシグ（1972年、65ページ） ^ ティプラー（1998年、369、389ページ） ^ ウィリアム・ケース「子供用ブランコの運転方法2選」。2011年12月9日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年 11月27日 閲覧 。 ^ Case, WB (1996). 「立った状態からのブランコのポンピング」. American Journal of Physics . 64 (3): 215– 220. Bibcode :1996AmJPh..64..215C. doi :10.1119/1.18209. ^ Roura, P.; Gonzalez, JA (2010). 「角運動量交換によるスイングポンピングのより現実的な記述に向けて」. European Journal of Physics . 31 (5): 1195– 1207. Bibcode :2010EJPh...31.1195R. doi :10.1088/0143-0807/31/5/020. S2CID 122086250.
参考文献
外部リンク ウィキメディア コモンズには、調和振動子 に関連するメディアがあります 。
Wikiquote には調和振動子 に関する引用があります 。
![{\displaystyle q_{t}(\tau )={\begin{cases}e^{-\zeta \tau }\left(c_{1}e^{\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}+c_{2}e^{-\tau {\sqrt {\zeta ^{2}-1}}}\right)&\zeta >1{\text{ (過減衰)}}\\e^{-\zeta \tau }(c_{1}+c_{2}\tau )=e^{-\tau }(c_{1}+c_{2}\tau )&\zeta =1{\text{ (臨界減衰)}}\\e^{-\zeta \tau }\left[c_{1}\cos \left({\sqrt {1-\ゼータ^{2}}}\tau \right)+c_{2}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\tau \right)\right]&\zeta <1{\text{ (underdamping)}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd653786f035970a17b47e3015316babc405831)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}A^{2}(1-\omega^{2})^{2}&=\cos^{2}\varphi \\(2\zeta\omega A)^{2}&=\sin^{2}\varphi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow A^{2}[(1-\omega^{2})^{2}+(2\zeta\omega)^{2}]=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f51f64c7377f3d6b2f875fb3d71d65d3cbcbaaf)
