パンデジタル数

Integer whose representation contains every digit in its number base

数学において、パンデジタル数とは、ある基数において、その有効数字の中にその基数で用いられる各桁が少なくとも1回含まれる整数のことです。例えば、1234567890（12億3456万7890）は、10進数ではパンデジタル数です。

最小のパンデジタル数

最初のいくつかのパンデジタル10進数は、次のとおりです（OEISのシーケンスA171102）。

1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689

与えられた基数bにおける最小のパンデジタル数は、次の形式の整数である。

${\displaystyle b^{b-1}+\sum _{d=2}^{b-1}db^{b-1-d}={\frac {b^{b}-b}{(b-1)^{2}}}+(b-1)\times b^{b-2}-1}$

次の表には、いくつかの選択された基数の最小のパンデジタル数がリストされています。

ベース	最小のパンデジタル	10進数の値
1	1	1
2	10	2
3	102	11
4	1023	75
5	10234	694
6	102345	8345
8	10234567	2177399
10	1023456789	1023456789
12	1023456789AB	754777787027
16	1023456789ABCDEF	1162849439785405935
36	1023456789ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ	2959962226643665039859858867133882191922999717199870715
ローマ 数字	MCDXLIV	1444

OEIS : A049363は、最初の 18 塩基の 10 進値を提供します。

自明な意味では、すべての正の整数は単進法（またはタリー法）ではパンデジタルです。二進法では、0と の形の数（メルセンヌ数）を除くすべての整数がパンデジタルです。基数が大きくなるほど、パンデジタル数は少なくなりますが、基数のすべての桁をまとめて書き（ただし、最上位桁としてゼロを先頭に置かず）、最後に最下位桁としてx + 1 個のゼロを追加することで、冗長な桁を持つ連続したパンデジタル数を見つけることは常に可能です。 ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle b^{x}}$

逆に、基数が小さいほど、冗長な桁のないパンデジタル数は少なくなります。2は基数2では唯一のパンデジタル数ですが、基数10ではより多くのパンデジタル数が存在します。式は です。^[1] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (b-1)(b-1)!}$

バリアントとプロパティ

この用語は、冗長な桁を持たないパンデジタル数のみを指すために使用される場合もあります。場合によっては、923456781のように、有効桁にゼロを持たない数であってもパンデジタル数と呼ばれることがあります（これらは「ペンホロデジタル数」^[2]または「ゼロレスパンデジタル数」とも呼ばれます）。

10進パンデジタル数は、冗長な桁がなければ素数にはなり得ません。0から9までの数字の合計は45で、 3と9の両方の割り切れる規則を満たします。最初の10進パンデジタル素数は10123457689です。OEIS : A050288にはさらに多くの素数がリストされています。

対称性の観点から、パンデジタル数（単進数を除く任意の基数）がその基数で回文数となるためには、冗長な桁も必要です。10進数における最小のパンデジタル回文数は1023456789876543201です。

冗長な桁がなく平方数でもある最大の全デジタル数は9814072356 = 99066 ²です。

ゼロのない全デジタルフリードマン数の 2 つは、 123456789 = ((86 + 2 × 7) ⁵ − 91) / 3 ⁴、および 987654321 = (8 × (97 + 6/2) ⁵ + 1) / 3 ⁴です。

冗長な桁のない全デジタルフリードマン数は平方数です: 2170348569 = 46587 ² + (0 × 139)。

「パンデジタル近似」の概念は、 2004年にエリック・フリードマンによって導入されました。1から9までの数字（それぞれ1回だけ使用）と数学記号+ – × / ( ) . および^を用いて、オイラー数 eはと近似することができ、これは小数点以下まで正確です。^[3]この変種は正しい数字を生成します。^[4] ${\displaystyle (1+9^{-4^{7\times 6}})^{3^{2^{85}}}}$ ${\displaystyle 1.8\cdot 10^{25}}$ ${\displaystyle (1+.2^{9^{7\times 6}})^{5^{3^{84}}}}$ ${\displaystyle 8.3\cdot 10^{39}}$

これまで述べてきたことの多くはローマ数字には当てはまりませんが、パンデジタル数字（MCDXLIV、MCDXLVI、MCDLXIV、MCDLXVI、MDCXLIV、MDCXLVI、MDCLXIV、MDCLXVI）が存在します。OEIS : A105416に記載されているこれらの数字は、各文字を一度だけ使用しますが、OEIS : A105417には繰り返しのあるパンデジタルローマ数字が記載されています。

パンデジタル番号は、フィクションや広告でよく使われます。社会保障番号987-65-4321は、広告用に予約されているゼロなしのパンデジタル番号です。一部のクレジットカード会社は、余分な桁を持つパンデジタル番号を架空のクレジットカード番号として使用しています（ゼロの文字列を使用する会社もあります）。

10進法の例

• 123456789 = 最初のゼロなしのパンデジタル数。
• 381654729 = 最初のn桁がnで割り切れる唯一のゼロなしのパンデジタル数。
• 987654321 = 冗長な桁のない最大のゼロなし全デジタル数。
• 1023456789 = 最初のパンデジタル数。
• 1234567890 = 数字が順番に並んだパンデジタル数。
• 3816547290 =多重割り切れるパンデジタル数。最初のn桁がnで割り切れる唯一のパンデジタル数。
• 9814072356 = 冗長な数字を含まない最大のパンデジタル平方数。99066の平方数です。
• 9876543210 = 冗長な桁のない最大の全数字。
• 12345678987654321 = 0以外のすべての桁が昇順と降順の両方で並んだパンデジタル数。111111111の平方です。デムロ数を参照してください。回文数でもあります。

参照

• シャンパーノーン定数
• パングラム、AからZまでのすべての文字を少なくとも1回使用する単語（または文）。

参考文献

1. ( OEISの配列A001563 )
2. Chai Wah Wu (2024). 「パンデジタル数とペンホロデジタル数」. arXiv : 2403.20304 [math.GM].
3. Weisstein, Eric W. "e approximations". Wolfram MathWorld . 2024年5月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年8月21日閲覧。
4. Friedman, Erich (2004). “Problem of the Month (August 2004)”. 2024年6月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2024年8月21日閲覧。

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「パンデジタル数」。MathWorld。
• デ・ギースト、P. 9桁のページ[1]
• Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA050278（パンデジタル数：0～9の数字を含む数。バージョン1：各数字は1回だけ出現する）」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
• Sloane, N. J. A. (編). 「数列A050288（パンデジタル素数）」.オンライン整数列百科事典. OEIS財団.
• Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA050289（ゼロレス・パンデジタル数：1～9の数字を含み、0を含まない数）」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS財団.
• Sloane, N. J. A. (編). 「数列A050290 (ゼロレス・パンデジタル素数)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団.

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