平行四辺形の法則

Sides and diagonals have equal sums of squares

平行四辺形ABCDの辺は青で、対角線は赤で示されています。青い正方形の面積の合計は、赤い正方形の面積の合計と等しくなります。

数学において、平行四辺形の法則（平行四辺形の恒等法とも呼ばれる）の最も単純な形は初等幾何学に属する。これは、平行四辺形の4辺の長さの平方の和が、2つの対角線の長さの平方の和に等しいことを述べている。辺はAB、BC、CD、DAと表記する。しかし、ユークリッド幾何学では平行四辺形の対辺は必ず等しい、つまりAB = CD、BC = DAとなるため、この法則は次のように表される。 $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2}\,}$$

平行四辺形が長方形の場合、2つの対角線の長さはAC = BDと等しいため、この式はピタゴラスの定理に簡約されます。一般的な四辺形（4辺の長さが必ずしも等しいとは限らない）の場合、オイラーの四辺形定理は、は対角線の中点を結ぶ線分の長さであると示します。図から、平行四辺形の場合 となり、したがって、この一般式は平行四辺形の法則に簡約されます。 $${\displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}$$ $${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=0}$

証拠

右側の平行四辺形で、 AD = BC = a、 AB = DC = bとすると、三角形の余弦定理を使用すると次のようになります。 ${\displaystyle \angle BAD=\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle BAD,}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )=BD^{2}.}$$

平行四辺形の場合、隣接する角度は補角なので、三角形に余弦定理を適用すると次の式が得られます。 ${\displaystyle \angle ADC=180^{\circ }-\alpha .}$ ${\displaystyle \triangle ADC,}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos(180^{\circ }-\alpha )=AC^{2}.}$$

前者に三角関数の恒等式 を適用すると次のことが証明されます。 ${\displaystyle \cos(180^{\circ }-x)=-\cos x}$ $${\displaystyle a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha )=AC^{2}.}$$

平方和は次のように表すことができます。 ${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\alpha )+a^{2}+b^{2}+2ab\cos(\alpha ).}$$

この式を簡略化すると次のようになります。 $${\displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}$$

内積空間における平行四辺形の法則

平行四辺形の法則に関係するベクトル。

ノルム空間では、平行四辺形法則の記述はノルムを関係付ける方程式である。 $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

平行四辺形の法則は、一見弱い命題と等価です。 なぜなら、 を、をに代入して簡約することで、逆不等式が得られるからです。同じ証明を用いると、平行四辺形の法則は次の命題とも等価です。 $${\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\leq \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y}$$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x+y\right)}$ ${\displaystyle x,}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(x-y\right)}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}\leq 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\quad {\text{ for all }}x,y.}$$

内積空間では、ノルムは内積を使用して決定されます。 $${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .}$$

この定義の結果として、内積空間では平行四辺形の法則は代数的な恒等式となり、内積の性質を使って容易に証明できる。 $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,}$$ $${\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .}$$

必要に応じて、次の 2 つの式を追加します 。 $${\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},}$$

が意味と直交する場合、和のノルムに関する上記の式は次のようになります。これはピタゴラスの定理です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0,}$ $${\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},}$$

平行四辺形則を満たすノルムベクトル空間

ほとんどの実および複素 ノルムベクトル空間は内積を持たないが、すべてのノルムベクトル空間は（定義により）ノルムを持つ。例えば、実座標空間におけるベクトルの一般的なノルムは-ノルムである。 ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$$

ノルムが与えられれば、上記の平行四辺形法則の両辺を評価することができる。注目すべき事実は、平行四辺形法則が成り立つ場合、ノルムは通常の方法で何らかの内積から生じなければならないということである。特に、-ノルムの場合、いわゆるユークリッドノルムまたは標準ノルムが成り立つ場合と同値である。^{[1] [2]} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2,}$

平行四辺形則を満たす任意のノルム（必然的に内積ノルム）に対して、そのノルムを生成する内積は、分極恒等式の結果として一意となる。実際のケースでは、分極恒等式は以下のいずれかの式で与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2}{\bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

複雑な場合には次のようになります。 $${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}+{\tfrac {1}{4}}i{\bigl (}\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2}{\bigr )}.}$$

たとえば、実数ベクトルと -ノルムを使用して内積の評価は次のように進行します。これは、2 つのベクトルの標準的なドット積です。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}{\bigr )}\\[8mu]&={\tfrac {1}{4}}{\Bigl (}\sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}{\Bigr )}\\[2mu]&={\tfrac {1}{4}}{\Bigl (}4\sum _{i}x_{i}y_{i}{\Bigr )}\\&=x\cdot y,\\\end{aligned}}}$$

与えられたノルムを誘導する内積が存在するためのもう一つの必要十分条件は、ノルムがプトレマイオスの不等式を満たすことである。任意の3つのベクトル⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠について、^[3] ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ $${\displaystyle \|x-y\|\,\|z\|~+~\|y-z\|\,\|x\|~\geq ~\|x-z\|\,\|y\|.}$$

参照

• フランソワ・ダヴィエ – サルデーニャ王国陸軍将校、数学者 (1734–1798)
• 内積空間 – 一般化された内積を持つベクトル空間
• ミンコフスキー距離 – pth累乗を用いたベクトル距離
• ノルムベクトル空間 – 距離が定義されるベクトル空間
• 分極恒等式 - 内積空間におけるノルムと内積の関係式
• プトレマイオスの不等式 – 4点間の距離の関係

参考文献

1. カントレル、サイラス・D. (2000). 物理学者とエンジニアのための現代数学的手法. ケンブリッジ大学出版局. p. 535. ISBN 0-521-59827-3p ≠ 2の場合、 pノルムが平行四辺形法則に違反するため、 となる内積は存在しません。 ${\textstyle {\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}}$
2. サックス、カレン(2002). 関数解析入門. シュプリンガー. p. 10. ISBN 0-387-95224-1。
3. アポストル, トム・M. (1967). 「プトレマイオスの不等式と弦距離」 .数学雑誌. 40 (5): 233– 235. doi :10.2307/2688275. JSTOR  2688275.

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「平行四辺形の法則」。MathWorld。
• Dreamshireブログで簡単に証明された平行四辺形の法則
• 平行四辺形の法則：言葉を使わない証明（cut-the-knot）

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