偏自己相関関数

Partial correlation of a time series with its lagged values

ヒューロン湖の水深の偏自己相関関数と信頼区間（青で0付近にプロット）

時系列分析において、偏自己相関関数（PACF）は、定常時系列とそのラグ値との偏相関を与え、より短いラグにおける時系列の値を回帰分析する。これは、他のラグを考慮しない 自己相関関数とは対照的である。

この関数は、自己回帰（AR）モデルにおけるラグの程度を特定することを目的としたデータ分析において重要な役割を果たします。この関数の使用は、時系列モデリングにおけるボックス・ジェンキンス法の一部として導入されました。この手法では、偏自己相関関数をプロットすることで、AR（p）モデルまたは拡張ARIMA（p、d、q ）モデルにおける適切なラグpを決定できます。

意味

時系列 が与えられた場合、ラグ の偏自己相関は、からまでの の線形依存性を除いた との間の自己相関です。同様に、 から までのラグ（両端を含む）を考慮しない との間の自己相関です。^[1]ここで、 と はそれぞれ との平均二乗誤差を最小化するの線形結合です。定常プロセスの場合、と の係数は同じですが、逆になります。^[2] ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \phi _{k,k}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t+k}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t+1}}$ ${\displaystyle z_{t+k-1}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle z_{t+k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle k-1}$ $${\displaystyle \phi _{1,1}=\operatorname {corr} (z_{t+1},z_{t}),{\text{ for }}k=1,}$$ $${\displaystyle \phi _{k,k}=\operatorname {corr} (z_{t+k}-{\hat {z}}_{t+k},\,z_{t}-{\hat {z}}_{t}),{\text{ for }}k\geq 2,}$$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t}}$ ${\displaystyle \{z_{t+1},z_{t+2},...,z_{t+k-1}\}}$ ${\displaystyle z_{t+k}}$ ${\displaystyle z_{t}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}}$ ${\displaystyle {\hat {z}}_{t}}$ $${\displaystyle {\hat {z}}_{t+k}=\beta _{1}z_{t+k-1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+1}\qquad {\text{and}}\qquad {\hat {z}}_{t}=\beta _{1}z_{t+1}+\cdots +\beta _{k-1}z_{t+k-1}.}$$

計算

定常時系列の理論的な偏自己相関関数は、ダービン・レビンソンアルゴリズムを用いて計算することができる。ここで、は自己相関関数である。^{[3] [4] [5]} $${\displaystyle \phi _{n,n}={\frac {\rho (n)-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (n-k)}{1-\sum _{k=1}^{n-1}\phi _{n-1,k}\rho (k)}}}$$ ${\displaystyle \phi _{n,k}=\phi _{n-1,k}-\phi _{n,n}\phi _{n-1,n-k}}$ ${\displaystyle 1\leq k\leq n-1}$ ${\displaystyle \rho (n)}$

上記の式は標本自己相関関数と組み合わせて使用​​することで、任意の時系列の標本偏自己相関関数を求めることができます。^{[6] [7]}

例

次の表は、さまざまなモデルの偏自己相関関数をまとめたものである。^{[5] [8]}

モデル	PACF
ホワイトノイズ	すべての遅れに対して偏自己相関は 0 です。
自己回帰モデル	AR( p )モデルの偏自己相関は、遅れがp以下の場合はゼロ以外になり、遅れがpより大きい場合は0になります。
移動平均モデル	の場合、偏自己相関は0 に振動します。 ${\displaystyle \phi _{1,1}>0}$
	の場合、偏自己相関は幾何学的に0 に減少します。 ${\displaystyle \phi _{1,1}<0}$
自己回帰移動平均モデル	ARMA( p , q ) モデルの部分自己相関は、 pよりも大きな遅れの後にのみ、0 に幾何学的に減少します。

偏自己相関関数の挙動は、自己回帰モデルおよび移動平均モデルの自己相関関数の挙動とよく似ています。例えば、AR( p )系列の偏自己相関関数は、ラグpの後にMA( q )系列のラグqの自己相関関数と同様に減衰します。さらに、AR( p )過程の自己相関関数は、MA( q )過程の偏自己相関関数と同様に減衰します。^[2]

自己回帰モデル識別

シミュレートされたAR(3)時系列の信頼区間を持つ偏自己相関関数のサンプル

偏自己相関は、自己回帰モデルの次数を識別するためによく使用されるツールです。^[6]前述のように、AR( p )プロセスの偏自己相関は、 pよりも大きなラグではゼロになります。^{[5] [8]} ARモデルが適切であると判断された場合、サンプルの偏自己相関プロットを調べて次数を特定します。

AR( p )時系列のpより大きいラグの偏自己相関は、ほぼ独立しており、平均0で正規分布する^。[9]したがって、信頼区間は、選択したZスコアをで割ることで構築できる。信頼区間外の偏自己相関を持つラグは、ARモデルの次数がラグ以上である可能性が高いことを示している。偏自己相関関数をプロットし、信頼区間の線を引くことは、ARモデルの次数を分析する一般的な方法である。次数を評価するには、プロットを調べて、偏自己相関がすべて信頼区間内になるラグを見つける。このラグがARモデルの次数である可能性が高いと判断される。^[1] ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$

参考文献

1. "6.4.4.6.3. 偏自己相関プロット". www.itl.nist.gov . 2022年7月14日閲覧。
2. Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (2017). 時系列分析とその応用：R言語による例題付き. Springer Texts in Statistics. 出版社: Springer International Publishing. pp.  97– 99. doi :10.1007/978-3-319-52452-8. ISBN 978-3-319-52451-1。
3. Durbin, J. (1960). 「時系列モデルのフィッティング」 .国際統計研究所レビュー. 28 (3): 233– 244. doi :10.2307/1401322. ISSN  0373-1138. JSTOR  1401322.
4. Shumway, Robert H.; Stoffer, David S. (2017). 時系列分析とその応用：R言語による例題付き. Springer Texts in Statistics. 出版社: Springer International Publishing. pp.  103– 104. doi :10.1007/978-3-319-52452-8. ISBN 978-3-319-52451-1。
5. Enders, Walter (2004).応用計量時系列（第2版）. ホーボーケン, ニュージャージー: J. Wiley. pp.  65– 67. ISBN 0-471-23065-0. OCLC  52387978。
6. Box, George EP; Reinsel, Gregory C.; Jenkins, Gwilym M. (2008).時系列分析：予測と制御（第4版）. ホーボーケン、ニュージャージー州: John Wiley. ISBN 9780470272848。
7. ブロックウェル, ピーター・J.; デイビス, リチャード・A. (1991). 『タイムシリーズ：理論と方法』（第2版）. ニューヨーク: シュプリンガー. pp. 102, 243– 245. ISBN 9781441903198。
8. Das, Panchanan (2019).計量経済学の理論と実践：Stata 15.1によるクロスセクション、時系列、パネルデータの分析.シンガポール：Springer. pp.  294– 299. ISBN 978-981-329-019-8. OCLC  1119630068.
9. Quenouille, MH (1949). 「時系列における相関の近似検定」 .王立統計学会誌, シリーズB (方法論) . 11 (1): 68– 84. doi :10.1111/j.2517-6161.1949.tb00023.x.

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