プレシオヘドロン

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幾何学において、プレシオヘドロン（plesiohedron）は、空間充填多面体の一種であり、対称デローネ集合のボロノイセルとして定義されます。三次元ユークリッド空間は、これらの図形のいずれかのコピーによって、重なり合うことなく完全に埋めることができます。結果として得られるハニカム構造は、プレシオヘドロンのコピーを他のコピーに繋げる対称性を持ちます。

プレシオヘドロンには、立方体、六角柱、菱形十二面体、切頂八面体などが含まれます。プレシオヘドロンの最大面数は38です。

意味

17面体プレシオヘドロンとそのハニカム、ラーベスグラフのボロノイ図

ユークリッド空間の点の集合がデローネ集合であるとは、のすべての2点が互いに少なくとも距離離れており、のすべての空間点がの少なくとも1つの点からの距離内にあるような数が存在するとき、それは成り立つ。したがっては空間を埋めるが、その点が互いに近づきすぎることはない。これが真であるためには、は無限大でなければならない。さらに、のすべての2点とに対して、からへ、からへ移動する空間の剛体運動が存在するとき、その集合は対称的である（プレシオヘドロンを定義するために必要な意味で）。つまり、の対称性はに対して推移的に作用する。^[¹^] $S$ $\varepsilon >0$ $S$ $\varepsilon$ $1/\varepsilon$ $S$ $S$ $S$ $S$ $p$ $q$ $S$ $S$ $S$ $p$ $q$ $S$ $S$

任意の点集合のボロノイ図は、空間をボロノイセルと呼ばれる領域に分割します。ボロノイセルは、任意の点から他の点への距離よりも、ある点から近い距離にあります。がデローン集合である場合、内の各点のボロノイセルは凸多面体です。この多面体の面は、からの他の近傍点への線分を垂直に二等分する平面上にあります。^[²^] $S$ $S$ $S$ $p$ $S$ $p$ $S$

が対称かつデローネである場合、ボロノイセルはすべて互いに合同でなければならない。なぜなら、の対称性はボロノイ図の対称性でもあるからだ。この場合、ボロノイ図はハニカム構造を形成し、その中にはこれらのボロノイセルの形状である単一の原形のみが存在する。この形状はプレシオヘドロンと呼ばれる。このようにして生成されるタイリングは等面体であり、これは単一の原形（「単面体」）を持つだけでなく、タイリングの対称性によって、このタイルの任意のコピーを他の任意のコピーにコピーできることを意味する。^[¹^] $S$ $S$

他の空間充填多面体と同様に、プレシオヘドロンのデーン不変量は必然的にゼロとなる。 ^{[ 3 ]}

例

プレシオヘドラには5つの平行面体が含まれる。これらは多面体であり、各タイルが他のすべてのタイルと回転することなく並進対称性によって対称になるように空間を敷き詰めることができる。同様に、これらは並進対称なデローネ集合である格子のボロノイセルである。プレシオヘドラは立体面体の特殊なケースであり、より一般的には等面体タイルの原型である。^{[ 1 ]}このため（そしてボロノイ図がディリクレ・モザイクとも呼ばれることから）、これらは「ディリクレ立体面体」とも呼ばれる^{[ 4 ]。}

プレシオヘドロンには、組み合わせの種類が有限個しかありません。注目すべきプレシオヘドロンには、以下のものがあります。

5つの平行面体：立方体（より一般的には平行六面体）、六角柱、菱形十二面体、細長い十二面体、切頂八面体。^{[ 5 ]}
三角柱は、三角柱ハニカムの原型である。^{[ 6 ]}より一般的には、同型凸多角形による平面の11種類のラベスタイリング（および異なる対称群を持つこれらのタイリングのサブタイプ）は、平面内の対称デローネ集合のボロノイセルとして実現できる。^{[ 7 ]}したがって、これらの各形状上のプリズムはプレシオヘドラである。三角柱に加えて、これらには特定の四角形、五角形、六角形上のプリズムが含まれる。
ジャイロビファスティギウムは立体面体ではあるが、プレシオヘドロンではない。これは、面対面タイリングのセルの中心点（対称性によって配置を余儀なくされる点）のボロノイセルの形状が異なるためである。しかし、ジャイロビファスティギウムを平らにし、面を直角二等辺三角形と銀色の長方形で構成したものはプレシオヘドロンである。
三角切頂四面体、三角切頂四面体ハニカムの原型、およびダイヤモンド格子によって生成されるプレシオヘドロン^{[ 1 ]}
台形菱形十二面体、台形菱形十二面体ハニカムの原型、および六方最密充填によって生成されるプレシオヘドロン^{[ 8 ]}
ラーベスグラフの17面ボロノイセル^{[ 9 ]}

他にも多くのプレシオヘドロンが知られています。中でも最も大きな面数である38面を持つ2種類のプレシオヘドロンが、結晶学者ピーター・エンゲルによって発見されました。^{[ 1 ]}^{[ 10 ]} 長年、プレシオヘドロンの最大面数は未解決問題でしたが、^{[ 11 ]}^{[ 4 ]} 3次元空間における対称性の解析により、この数は最大38面であることが示されました。^{[ 12 ]}

らせん状に均一に配置された点のボロノイセルは空間を埋め、互いに合同であり、任意の数の面を持つことができる。^{[ 13 ]}しかし、らせん上の点はデローン集合ではなく、ボロノイセルは有界多面体ではない。

シュミットは近年の調査を行っている。^{[ 12 ]}

参考文献

^ ^a ^b ^c ^d ^e グリュンバウム、ブランコ；シェパード、GC（1980）、「同型タイルによるタイリング」、アメリカ数学会報、新シリーズ、3（3）：951–973、doi：10.1090/S0273-0979-1980-14827-2、MR 0585178。
^ Aurenhammer, Franz (1991年9月)、「ボロノイ図—基本的な幾何学的データ構造の概観」、ACM Computing Surveys、23 (3): 345– 405、doi : 10.1145/116873.116880特にセクション1.2.1「定期的に配置されるサイト」（354～355ページ）を参照してください。
^ Lagarias, JC ; Moews, D. (1995)、「合同を満たす多面体とはさみ合同」、離散幾何学と計算幾何学、13 ( 3–4 ): 573– 583、doi : 10.1007/BF02574064、MR 1318797 $\mathbb {R} ^{n}$ 。
^ ^a ^b Sabariego, Pilar; Santos, Francisco (2011), "On the number of facets of three-dimensional Dirichlet stereohedra IV: quarter cubic groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237– 263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007/s13366-011-0010-5 , MR 2842627 。
^ Erdahl, RM (1999)、「ゾノトープ、ダイシング、および平行面体に関するボロノイ予想」、European Journal of Combinatorics、20 (6): 527– 549、doi : 10.1006/eujc.1999.0294、MR 1703597 ボロノイは、単一の凸多面体の並進による高次元空間のすべてのタイリングは、ボロノイタイリングと組合せ論的に同値であると予想し、エルダールはゾノトープという特殊なケースにおいてこれを証明している。しかし、エルダールが述べているように（p. 429）、最大4次元までのボロノイ予想は既にドロネーによって証明されている。3次元平行面体をこれらの5つのタイプに分類する方法については、Grünbaum & Shephard (1980)を参照のこと。
^ Pugh, Anthony (1976)、「Close-packing polyhedra」、Polyhedra: a visual approach、University of California Press、Berkeley、California-London、pp. 48– 50、MR 0451161 。
^ デローネ、BN ;ドルビリン、NP;ミシガン州シュトグリン (1978)、「プラニゴンの組み合わせおよび計量理論」、Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova、148 : 109–140、275、MR 0558946 。
^ ラガリアス、ジェフリー・C. (2011)、「ケプラー予想とその証明」、ケプラー予想：ヘイルズ・ファーガソンの証明、シュプリンガー、ニューヨーク、p. 11、doi : 10.1007/978-1-4614-1129-1_1、ISBN 978-1-4614-1128-4、MR 3050907
^ Schoen, Alan H. (2008年6～7月)、「グラフ(10,3)-aについて」(PDF)、アメリカ数学会誌、55 (6):663 。
^ Engel, Peter (1981)、「Über Wirkungsbereichsreilungen von kubischer Symmetrie」、Zeitschrift für Kristallographie、Kristallgeometrie、Kristallphysik、Kristallchemie、154 ( 3–4 ): 199–215、Bibcode : 1981ZK....154..199E、土井：10.1524/zkri.1981.154.3-4.199、MR 0598811 。
^ Shephard, GC (1985)、「69.14 同一対称立体による空間充填」、The Mathematical Gazette、69 (448): 117– 120、doi : 10.2307/3616930、JSTOR 3616930 。
^ ^a ^b シュミット、モーリッツ（2016）、空間群とディリクレ-ボロノイ立体面体について。
^ Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), "Arbitrarily large neighborly families of congruent symmetric convex 3-polytopes", Discrete geometry , Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., vol. 253, Dekker, New York, pp. 267– 278, arXiv : math/0106095 , Bibcode : 2001math......6095E , MR 2034721 。

外部リンク

ワイススタイン、エリック W.、「空間充填多面体」、MathWorld

幾何学において、プレシオヘドロン（plesiohedron）は、空間充填多面体の一種であり、対称デローネ集合のボロノイセルとして定義されます。三次元ユークリッド空間は、これらの図形のいずれかのコピーによって、重なり合うことなく完全に埋めることができます。結果として得られるハニカム構造は、プレシオヘドロンのコピーを他のコピーに繋げる対称性を持ちます。

プレシオヘドロンには、立方体、六角柱、菱形十二面体、切頂八面体などが含まれます。プレシオヘドロンの最大面数は38です。

意味

17面体プレシオヘドロンとそのハニカム、ラーベスグラフのボロノイ図

ユークリッド空間の点の集合がデローネ集合であるとは、のすべての2点が互いに少なくとも距離離れており、のすべての空間点がの少なくとも1つの点からの距離内にあるような数が存在する場合です。したがって、は空間を満たしますが、その点が互いに近づきすぎることはありません。これが真であるためには、は無限でなければなりません。さらに、のすべての2点とに対して、からへ、からへ移動する空間の剛体運動が存在する場合、集合は対称です（プレシオヘドロンを定義するために必要な意味で）。つまり、の対称性はに対して推移的に作用します。^[1] $S$ $\varepsilon >0$ $S$ $\varepsilon$ $1/\varepsilon$ $S$ $S$ $S$ $S$ $p$ $q$ $S$ $S$ $S$ $p$ $q$ $S$ $S$

任意の点集合のボロノイ図は、空間をボロノイセルと呼ばれる領域に分割します。ボロノイセルは、の特定の点に最も近い領域です。がデローン集合である場合、の各点のボロノイセルは凸多面体です。この多面体の面は、からの他の近傍点への線分を垂直に二等分する平面上にあります。^[2] $S$ $S$ $S$ $p$ $S$ $p$ $S$

が対称かつデローネである場合、ボロノイセルはすべて互いに合同でなければならない。なぜなら、の対称性はボロノイ図の対称性でもあるからだ。この場合、ボロノイ図はハニカム構造を形成し、その中にはこれらのボロノイセルの形状である単一の原形のみが存在する。この形状はプレシオヘドロンと呼ばれる。このようにして生成されるタイリングは等面体であり、これは単一の原形（「単面体」）を持つだけでなく、タイリングの対称性によって、このタイルの任意のコピーを他の任意のコピーにコピーできることを意味する。^[1] $S$ $S$

他の空間充填多面体と同様に、プレシオヘドロンのデーン不変量は必然的にゼロとなる。 ^[3]

例

プレシオヘドラには、5つの平行面体が含まれます。これらは、回転することなく、すべてのタイルが他のすべてのタイルと並進対称性によって対称になるように空間を敷き詰めることができる多面体です。同様に、これらは並進対称なデローネ集合である格子のボロノイセルです。プレシオヘドラは、より一般的には等面体タイリングの原型である立体面体の特殊なケースです。^[1]この理由（およびボロノイ図がディリクレ・タイル分割とも呼ばれること）から、「ディリクレ立体面体」とも呼ばれています。^[4]

プレシオヘドロンには、組み合わせの種類が有限個しかありません。注目すべきプレシオヘドロンには、以下のものがあります。

5つの平行面体：立方体（より一般的には平行六面体）、六角柱、菱形十二面体、細長い十二面体、切頂八面体。^[5]
三角柱は、三角柱ハニカムの原型である。^[6]より一般的には、合同な凸多角形による平面の11種類のラベス・タイリング（およびこれらのタイリングの異なる対称群を持つサブタイプ）は、平面上の対称デローネ集合のボロノイセルとして実現できる。^[7]したがって、これらの各形状上のプリズムはプレシオヘドラである。三角柱に加えて、特定の四角形、五角形、六角形上のプリズムも含まれる。
ジャイロビファスティギウムは立体面体ではあるが、プレシオヘドロンではない。これは、面対面タイリングのセルの中心点（対称性によって配置を余儀なくされる点）のボロノイセルの形状が異なるためである。しかし、ジャイロビファスティギウムを平らにし、面を直角二等辺三角形と銀色の長方形で構成したものはプレシオヘドロンである。
三角切頂四面体、三角切頂四面体ハニカムの原型、およびダイヤモンド格子によって生成されるプレシオヘドロン^[1]
台形菱形十二面体、台形菱形十二面体ハニカムの原型、および六方最密充填によって生成されるプレシオヘドロン^[8]
ラーベスグラフの17面ボロノイセル^[9]

他にも多くのプレシオヘドロンが知られています。中でも最も大きな面数である38面を持つ2種類のプレシオヘドロンが、結晶学者ピーター・エンゲルによって発見されました。^[1]^[10] 長年、プレシオヘドロンの最大面数は未解決問題でしたが、^[11]^[4] 3次元空間における対称性の解析により、この数は最大で38面であることが示されました。^[12]

らせん状に均一に配置された点のボロノイセルは空間を埋め、互いに合同であり、任意の数の面を持つことができる。^[13]しかし、らせん上の点はデローン集合ではなく、ボロノイセルは有界多面体ではない。

シュミットは近年の概説を行っている。^[12]

参考文献

^ abcde Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980)、「同型タイルによるタイリング」、米国数学会報、新シリーズ、3 (3): 951– 973、doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2、MR 0585178。
^ Aurenhammer, Franz (1991年9月)、「ボロノイ図—基本的な幾何学的データ構造の概観」、ACM Computing Surveys、23 (3): 345– 405、doi :10.1145/116873.116880特にセクション1.2.1「定期的に配置されるサイト」（354～355ページ）を参照してください。
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^ ab サバリエゴ、ピラール; Santos、Francisco (2011)、「3 次元ディリクレ立体面体 IV のファセット数について: 四分の一立方体グループ」、Beiträge zur Algebra und Geometrie、52 (2): 237–263、arXiv : 0708.2114、doi :10.1007/s13366-011-0010-5、MR 2842627。
^ Erdahl, RM (1999)、「ゾノトープ、ダイシング、および平行面体に関するボロノイ予想」、European Journal of Combinatorics、20 (6): 527– 549、doi : 10.1006/eujc.1999.0294、MR 1703597ボロノイは、単一の凸多面体の並進による高次元空間のすべてのタイリングは、ボロノイタイリングと組合せ論的に同値であると予想し、エルダールはゾノトープという特殊なケースにおいてこれを証明している。しかし、エルダールが述べているように（p. 429）、最大4次元までのボロノイ予想は既にドロネーによって証明されている。3次元平行面体をこれらの5つのタイプに分類する方法については、Grünbaum & Shephard (1980) を参照のこと。
^ Pugh, Anthony (1976)、「Close-packing polyhedra」、Polyhedra: a visual approach、カリフォルニア大学出版局、バークレー、カリフォルニア州-ロンドン、pp. 48– 50、MR 0451161。
^ デローネ、BN ;ドルビリン、NP;ミシガン州シュトグリン (1978)、「プラニゴンの組み合わせおよび計量理論」、Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova、148 : 109–140、275、MR 0558946。
^ ラガリアス、ジェフリー・C. (2011)、「ケプラー予想とその証明」、ケプラー予想：ヘイルズ・ファーガソンの証明、シュプリンガー、ニューヨーク、p. 11、doi :10.1007/978-1-4614-1129-1_1、ISBN 978-1-4614-1128-4、MR 3050907
^ Schoen, Alan H. (2008年6～7月)、「グラフ(10,3)-aについて」(PDF)、アメリカ数学会誌、55 (6):663。
^ Engel、Peter (1981)、「Über Wirkungsbereichseilungen von kubischer Symmetrie」、Zeitschrift für Kristallographie、Kristallgeometrie、Kristallphysik、Kristallchemie、154 ( 3–4 ): 199–215、Bibcode :1981ZK....154..199E、土井:10.1524/zkri.1981.154.3-4.199、MR 0598811。
^ Shephard, GC (1985)、「69.14 同一対称立体による空間充填」、The Mathematical Gazette、69 (448): 117– 120、doi :10.2307/3616930、JSTOR 3616930。
^ ab Schmitt, Moritz (2016), 空間群とディリクレ-ボロノイ立体面体について。
^ Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), "Arbitrarily large neighborly families of congruent symmetric convex 3-polytopes", Discrete geometry , Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., vol. 253, Dekker, New York, pp. 267– 278, arXiv : math/0106095 , Bibcode :2001math......6095E, MR 2034721。

外部リンク

ワイススタイン、エリック W.、「空間充填多面体」、MathWorld

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[gs80-1] グリュンバウム、ブランコ；シェパード、GC（1980）、「同型タイルによるタイリング」、アメリカ数学会報、新シリーズ、3（3）：951–973、doi：10.1090/S0273-0979-1980-14827-2、MR 0585178。

[2] Aurenhammer, Franz (1991年9月)、「ボロノイ図—基本的な幾何学的データ構造の概観」、ACM Computing Surveys、23 (3): 345– 405、doi : 10.1145/116873.116880特にセクション1.2.1「定期的に配置されるサイト」（354～355ページ）を参照してください。

[3] Lagarias, JC ; Moews, D. (1995)、「合同を満たす多面体とはさみ合同」、離散幾何学と計算幾何学、13 ( 3–4 ): 573– 583、doi : 10.1007/BF02574064、MR 1318797 $\mathbb {R} ^{n}$ 。

[ss11-4] Sabariego, Pilar; Santos, Francisco (2011), "On the number of facets of three-dimensional Dirichlet stereohedra IV: quarter cubic groups", Beiträge zur Algebra und Geometrie , 52 (2): 237– 263, arXiv : 0708.2114 , doi : 10.1007/s13366-011-0010-5 , MR 2842627 。

[5] Erdahl, RM (1999)、「ゾノトープ、ダイシング、および平行面体に関するボロノイ予想」、European Journal of Combinatorics、20 (6): 527– 549、doi : 10.1006/eujc.1999.0294、MR 1703597 ボロノイは、単一の凸多面体の並進による高次元空間のすべてのタイリングは、ボロノイタイリングと組合せ論的に同値であると予想し、エルダールはゾノトープという特殊なケースにおいてこれを証明している。しかし、エルダールが述べているように（p. 429）、最大4次元までのボロノイ予想は既にドロネーによって証明されている。3次元平行面体をこれらの5つのタイプに分類する方法については、Grünbaum & Shephard (1980)を参照のこと。

[6] Pugh, Anthony (1976)、「Close-packing polyhedra」、Polyhedra: a visual approach、University of California Press、Berkeley、California-London、pp. 48– 50、MR 0451161 。

[7] デローネ、BN ;ドルビリン、NP;ミシガン州シュトグリン (1978)、「プラニゴンの組み合わせおよび計量理論」、Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova、148 : 109–140、275、MR 0558946 。

[lagarias-8] ラガリアス、ジェフリー・C. (2011)、「ケプラー予想とその証明」、ケプラー予想：ヘイルズ・ファーガソンの証明、シュプリンガー、ニューヨーク、p. 11、doi : 10.1007/978-1-4614-1129-1_1、ISBN 978-1-4614-1128-4、MR 3050907

[9] Schoen, Alan H. (2008年6～7月)、「グラフ(10,3)-aについて」(PDF)、アメリカ数学会誌、55 (6):663 。

[10] Engel, Peter (1981)、「Über Wirkungsbereichsreilungen von kubischer Symmetrie」、Zeitschrift für Kristallographie、Kristallgeometrie、Kristallphysik、Kristallchemie、154 ( 3–4 ): 199–215、Bibcode : 1981ZK....154..199E、土井：10.1524/zkri.1981.154.3-4.199、MR 0598811 。

[11] Shephard, GC (1985)、「69.14 同一対称立体による空間充填」、The Mathematical Gazette、69 (448): 117– 120、doi : 10.2307/3616930、JSTOR 3616930 。

[schmitt-12] シュミット、モーリッツ（2016）、空間群とディリクレ-ボロノイ立体面体について。

[13] Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), "Arbitrarily large neighborly families of congruent symmetric convex 3-polytopes", Discrete geometry , Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., vol. 253, Dekker, New York, pp. 267– 278, arXiv : math/0106095 , Bibcode : 2001math......6095E , MR 2034721 。

[gs80-1] Grünbaum, Branko ; Shephard, GC (1980)、「同型タイルによるタイリング」、米国数学会報、新シリーズ、3 (3): 951– 973、doi : 10.1090/S0273-0979-1980-14827-2、MR 0585178。

[2] Aurenhammer, Franz (1991年9月)、「ボロノイ図—基本的な幾何学的データ構造の概観」、ACM Computing Surveys、23 (3): 345– 405、doi :10.1145/116873.116880特にセクション1.2.1「定期的に配置されるサイト」（354～355ページ）を参照してください。

[3] Lagarias, JC ; Moews, D. (1995)、「合同を満たす多面体とはさみ合同」、離散幾何学と計算幾何学、13 ( 3–4 ): 573– 583、doi : 10.1007/BF02574064、MR 1318797 $\mathbb {R} ^{n}$ 。

[ss11-4] サバリエゴ、ピラール; Santos、Francisco (2011)、「3 次元ディリクレ立体面体 IV のファセット数について: 四分の一立方体グループ」、Beiträge zur Algebra und Geometrie、52 (2): 237–263、arXiv : 0708.2114、doi :10.1007/s13366-011-0010-5、MR 2842627。

[5] Erdahl, RM (1999)、「ゾノトープ、ダイシング、および平行面体に関するボロノイ予想」、European Journal of Combinatorics、20 (6): 527– 549、doi : 10.1006/eujc.1999.0294、MR 1703597ボロノイは、単一の凸多面体の並進による高次元空間のすべてのタイリングは、ボロノイタイリングと組合せ論的に同値であると予想し、エルダールはゾノトープという特殊なケースにおいてこれを証明している。しかし、エルダールが述べているように（p. 429）、最大4次元までのボロノイ予想は既にドロネーによって証明されている。3次元平行面体をこれらの5つのタイプに分類する方法については、Grünbaum & Shephard (1980) を参照のこと。

[6] Pugh, Anthony (1976)、「Close-packing polyhedra」、Polyhedra: a visual approach、カリフォルニア大学出版局、バークレー、カリフォルニア州-ロンドン、pp. 48– 50、MR 0451161。

[7] デローネ、BN ;ドルビリン、NP;ミシガン州シュトグリン (1978)、「プラニゴンの組み合わせおよび計量理論」、Trudy Matematicheskogo Instituta Imeni VA Steklova、148 : 109–140、275、MR 0558946。

[lagarias-8] ラガリアス、ジェフリー・C. (2011)、「ケプラー予想とその証明」、ケプラー予想：ヘイルズ・ファーガソンの証明、シュプリンガー、ニューヨーク、p. 11、doi :10.1007/978-1-4614-1129-1_1、ISBN 978-1-4614-1128-4、MR 3050907

[9] Schoen, Alan H. (2008年6～7月)、「グラフ(10,3)-aについて」(PDF)、アメリカ数学会誌、55 (6):663。

[10] Engel、Peter (1981)、「Über Wirkungsbereichseilungen von kubischer Symmetrie」、Zeitschrift für Kristallographie、Kristallgeometrie、Kristallphysik、Kristallchemie、154 ( 3–4 ): 199–215、Bibcode :1981ZK....154..199E、土井:10.1524/zkri.1981.154.3-4.199、MR 0598811。

[11] Shephard, GC (1985)、「69.14 同一対称立体による空間充填」、The Mathematical Gazette、69 (448): 117– 120、doi :10.2307/3616930、JSTOR 3616930。

[schmitt-12] Schmitt, Moritz (2016), 空間群とディリクレ-ボロノイ立体面体について。

[13] Erickson, Jeff; Kim, Scott (2003), "Arbitrarily large neighborly families of congruent symmetric convex 3-polytopes", Discrete geometry , Monogr. Textbooks Pure Appl. Math., vol. 253, Dekker, New York, pp. 267– 278, arXiv : math/0106095 , Bibcode :2001math......6095E, MR 2034721。

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