明確なマトリックス

数学的行列の性質

数学において、実数要素 を持つ対称行列が正定値行列であるとは、実数がすべての非零の実列ベクトルに対して正であるときである。ここで、は行ベクトルの転置である^[1]。より一般的には、エルミート行列（つまり、その共役転置に等しい複素行列）が正定値行列であるとは、実数がすべての非零の複素列ベクトルに対して正であるときである。ここで、はの共役転置を表す。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} .}$

半正定値行列も同様に定義されますが、スカラーとが正またはゼロ（つまり非負）である必要があります。負定値行列と半負定値行列も同様に定義されます。半正定値でも半負定値でもない行列は、不定値行列と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$

一部の著者は、より一般的な正定性の定義を用いて、行列が非対称行列や非エルミート行列であっても許容する。これらの一般化された正定値行列の性質については、後述の「非エルミート正方行列への拡張」で考察するが、本稿の主題ではない。

定義

以下の定義では、は の転置、はの共役転置、 はn次元の零ベクトルを表します。 ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$

実数行列の定義

対称実行列は、すべての非ゼロの値が、正式には、 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

対称実行列は、すべてのに対してが成り立つとき、半正定値行列または非負定値行列であると言われる。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

対称実行列は、すべての非ゼロの値が負定値であるとは、正式には、 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} <0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

対称実行列は、すべての に対してであるとき、半負定値行列または非正定値行列であるといわれる。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$

半正定値でも半負定値でもない対称実数行列は不定行列と呼ばれます。 ${\displaystyle n\times n}$

複素行列の定義

以下の定義はすべてこの用語を含んでいます。これは、任意のエルミート正方行列に対して常に実数であることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} .}$ ${\displaystyle M.}$

エルミート複素行列は、すべての非ゼロの値が正定値であるとは、正式には、 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ positive-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

エルミート複素行列は、すべての に対してであるとき、半正定値行列または非負定値行列であると言われる。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ positive semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

エルミート複素行列は、すべての非ゼロの値が負定値であるとされる。正式には、 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ negative-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$

エルミート複素行列は、すべての に対して であるとき、負の半定値行列または非正定値行列であると言われる。正式には、 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

${\displaystyle M{\text{ negative semi-definite}}\quad \iff \quad \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0{\text{ for all }}\mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

半正定値でも半負定値でもないエルミート複素行列は不定値と呼ばれます。 ${\displaystyle n\times n}$

実数定義と複素数定義の一貫性

すべての実行列は複素行列でもあるため、2 つのクラスの「定性」の定義は一致する必要があります。

複素行列の場合、最も一般的な定義は、任意の非零複素列ベクトルに対して が実数かつ正である場合に限り、 が正定値行列である、というものである。 この条件は、がエルミート行列（すなわち、その転置が共役行列に等しい）であることを意味する。なぜなら、 が実数であるので、任意のに対してが共役転置に等しいからである。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} .}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M^{*}\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle M=M^{*}.}$

この定義によれば、正定値実数行列はエルミート行列であり、したがって対称行列である。また、すべての非零実列ベクトルに対しては正となる 。しかし、最後の条件だけでは、正定値行列であるためには十分ではない。例えば、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} .}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\\-1&1\end{bmatrix}},}$$

とを持つ任意の実ベクトルに対して、が成り立ち、が0でなければ常に正である。しかし、が1と⁠ ⁠を持つ複素ベクトルの場合、 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(a+b\right)a+\left(-a+b\right)b=a^{2}+b^{2},}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle i}$

$${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}1&-i\end{bmatrix}}M{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+i&1-i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\i\end{bmatrix}}=2+2i.}$$

これは実数ではない。したがって、正定値ではない。 ${\displaystyle M}$

一方、対称実数行列の場合、「すべての非ゼロ実数ベクトルに対して」という条件は、複素数の意味で正定値であることを意味します。 ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle M}$

表記

エルミート行列が半正定値行列である場合、 と書くことがあります。また、が正定値行列である場合は と書きます。が半負定値行列であることを示すには と書き、が負定値行列であることを示すには と書きます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\succeq 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\succ 0.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\preceq 0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\prec 0.}$

この概念は関数解析から来ており、半正定値行列は正の作用素を定義します。2つの行列と がを満たす場合、反射的、反対称的、推移的な非厳密な半順序を定義できます。ただし、これは全順序ではなく、一般に は不定となる場合があります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B-A\succeq 0,}$ ${\displaystyle B\succeq A}$ ${\displaystyle B-A,}$

一般的な代替表記法として、半正定値行列と正定値行列、半負定値行列と負定値行列をそれぞれ と と表記する。これは、非負行列（それぞれ非正定値行列）もこの表記法で表記されることがあるため、混乱を招く可能性がある。 ${\displaystyle M\geq 0,}$ ${\displaystyle M>0,}$ ${\displaystyle M\leq 0,}$ ${\displaystyle M<0}$

影響

上記の定義から、エルミート行列が正定値行列となるのは、それが正定値二次形式またはエルミート形式の行列である場合に限ります。言い換えれば、エルミート行列が正定値行列となるのは、それが内積を定義する場合に限ります。

正定値行列と半正定値行列は様々な方法で特徴付けることができ、数学の様々な分野におけるこの概念の重要性を説明できるかもしれません。エルミート行列Mが正定値行列であるためには、以下の同値な条件のいずれかを満たす必要があります。

• ${\displaystyle M}$は、正の実数要素を持つ対角行列と合同です。
• ${\displaystyle M}$はエルミート行列であり、その固有値はすべて実数かつ正です。
• ${\displaystyle M}$はエルミート行列であり、その主要な主マイナー行列はすべて正です。
• 共役転置を持つ可逆行列 が存在し、 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}}$ ${\displaystyle M=B^{*}B.}$

行列が半正定値行列であるとは、"正" を "非負" に置き換え、"可逆行列" を "行列" に置き換え、"先頭" という語を削除した同様の条件を満たす場合です。

正定値行列と半正定値実数行列は凸最適化の基礎となる。なぜなら、2回微分可能な複数の実変数の関数が与えられたとき、そのヘッセ行列（その2番目の偏導関数の行列）が点pで正定値であれば関数はpの近くで凸であり、逆に関数がpの近くで凸であればヘッセ行列はpで半正定値となるからである。 ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle p.}$

正定値行列の集合は開いた 凸錐であり、半正定値行列の集合は閉じた凸錐である。^[2]

例

• 単位行列 は正定値行列（したがって半正定値行列でもある）である 。これは実対称行列であり、実数要素aとbを持つ任意の非零列ベクトルzに対して、 ${\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$

  $${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a^{2}+b^{2}.}$$複素行列として見ると、複素要素aとbを持つ任意の非ゼロ列ベクトルzに対して、 $${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}I\mathbf {z} ={\begin{bmatrix}{\overline {a}}&{\overline {b}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}={\overline {a}}a+{\overline {b}}b=|a|^{2}+|b|^{2}.}$$

  いずれにしても、 はゼロベクトルではないため（つまり、との少なくとも 1 つはゼロではないため）、結果は正になります。 ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
• 実対称行列は、要素a、b 、およびcを持つ 任意の非ゼロ列ベクトルzに対して次が成り立つため、 正定値行列です。この結果は平方和であるため、非負です。また、 がゼロベクトルのときのみ、 はゼロになります。 $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {z} =\left(\mathbf {z} ^{\mathsf {T}}M\right)\mathbf {z} &={\begin{bmatrix}(2a-b)&(-a+2b-c)&(-b+2c)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}\\&=(2a-b)a+(-a+2b-c)b+(-b+2c)c\\&=2a^{2}-ba-ab+2b^{2}-cb-bc+2c^{2}\\&=2a^{2}-2ab+2b^{2}-2bc+2c^{2}\\&=a^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+b^{2}-2bc+c^{2}+c^{2}\\&=a^{2}+(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+c^{2}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle a=b=c=0,}$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$
• 任意の実逆行列 に対して、積は正定値行列となる（Aの列の平均が0の場合、これは共分散行列とも呼ばれる）。簡単な証明は、任意の非零ベクトルに対して、行列の逆行列性は次を意味するので、条件が成立することである。 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A^{\mathsf {T}}A}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}A\mathbf {z} =(A\mathbf {z} )^{\mathsf {T}}(A\mathbf {z} )=\|A\mathbf {z} \|^{2}>0,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\mathbf {z} \neq 0.}$
• 上の例は、一部の要素が負である行列でも正定値行列となる可能性があることを示しています。逆に、すべての要素が正である行列は必ずしも正定値行列とは限りません。例えば、 ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle N={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}N{\begin{bmatrix}-1&1\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=-2<0.}$

固有値

をエルミート行列とする（実対称行列を含む）。 のすべての固有値は実数であり、その符号はその正定性を特徴付ける： ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle M}$は、その固有値がすべて正である場合にのみ正定値です。
• ${\displaystyle M}$全ての固有値が非負である場合にのみ、半正定値となります。
• ${\displaystyle M}$は、その固有値がすべて負である場合にのみ負定値です。
• ${\displaystyle M}$すべての固有値が非正である場合に限り、半正定値となります。
• ${\displaystyle M}$正の固有値と負の固有値の両方を持つ場合にのみ不定となります。

を の固有分解とします。ここではユニタリ複素行列であり、その列は の固有ベクトルの直交基底から成り、は実対角行列であり、その主対角線には対応する固有値が含まれます。この行列は、 （固有ベクトル）基底の座標で再表現された対角行列とみなすことができます。言い換えれば、あるベクトルに を適用することは、を用いて基底を固有ベクトル座標系に変更することと同じです。結果に を引き伸ばし変換を適用し、 とし、その後 を用いて基底を元に戻します。 ${\displaystyle PDP^{-1}}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle P.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle M\mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle P^{-1},}$ ${\displaystyle P^{-1}\mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle DP^{-1}\mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle PDP^{-1}\mathbf {z} .}$

これを念頭に置くと、変数の一対一変換は、任意の複素ベクトルに対してが実数かつ正である場合と、任意の が実数かつ正である場合、言い換えればが正定値である場合に限り、ということが分かります。対角行列の場合、これは主対角線の各要素、つまり のすべての固有値が正である場合にのみ当てはまります。スペクトル定理により、エルミート行列のすべての固有値は実数であることが保証されるため、実対称行列の特性多項式が利用可能な場合、デカルトの符号交替則を用いて固有値の正性を確認できます。 ${\displaystyle \mathbf {y} =P\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {z} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{*}D\mathbf {y} }$ ${\displaystyle y;}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

分解

をエルミート行列とします。 が半正定値行列となるのは、共役転置行列との積として分解できる場合のみです。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M=B^{*}B}$$ ${\displaystyle B}$

が実数の場合、も実数となり、分解は次のように書ける。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle M=B^{\mathsf {T}}B.}$$

${\displaystyle M}$が正定値であることと、逆行列 を持つ分解が存在することは同値である。より一般的には、が階数 を持つ半正定値であることと、階数 を持つ分解が存在することは同値である。さらに、任意の分解^{[3]に対して} ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M=B^{*}B,}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B).}$

証拠

ならば、半正定値である。さらに、が逆であるならば、不等式は厳密であるので、正定値である。が階数であるならば、 ${\displaystyle M=B^{*}B,}$ ${\displaystyle x^{*}Mx=(x^{*}B^{*})(Bx)=\|Bx\|^{2}\geq 0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle x\neq 0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle \operatorname {rank} (M)=\operatorname {rank} (B^{*})=k.}$

逆に、が半正定値行列であると仮定する。 はエルミート行列なので、はユニタリ行列であり、の固有値を要素とする対角行列である。は半正定値行列な ので、固有値は非負の実数であるため、を の非負の平方根を要素とする対角行列として定義することができる。するとについてとなる。さらに が正定値行列である場合、固有値は（厳密に）正であるため、 は可逆であり、したがって も可逆である。が階数を持つ場合、 はちょうど正の固有値を持ち、その他はゼロであるため、 を除くすべての行がゼロになる。ゼロ行をカットすると、次のような行列が得られる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=Q^{-1}DQ}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle M=Q^{-1}DQ=Q^{*}DQ=Q^{*}D^{\frac {1}{2}}D^{\frac {1}{2}}Q=Q^{*}D^{{\frac {1}{2}}*}D^{\frac {1}{2}}Q=B^{*}B}$ ${\displaystyle B=D^{\frac {1}{2}}Q.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle B=D^{\frac {1}{2}}Q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B=D^{\frac {1}{2}}Q}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle B'}$ ${\displaystyle B'^{*}B'=B^{*}B=M.}$

の列は、それぞれ複素ベクトル空間または実ベクトル空間のベクトルとして見ることができます。すると、 の要素はこれらのベクトルの内積（つまり、実数の場合はドット積）です。言い換えれば、エルミート行列が半正定値行列となるのは、それがいくつかのベクトルのグラム行列である場合に 限ります。エルミート行列が半正定値行列となるのは、それがいくつかの線形独立ベクトルのグラム行列である場合に限ります。一般に、ベクトルのグラム行列の階数は、これらのベクトルが張る空間の次元に等しいです。^[4] ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k},}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle M_{ij}=\langle b_{i},b_{j}\rangle .}$$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}.}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

ユニタリ変換までの一意性

分解は一意ではない。ある行列に対して が成り立ち、が任意のユニタリ行列（つまり）であるとき、 ${\displaystyle M=B^{*}B}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle Q^{*}Q=QQ^{*}=I}$ ${\displaystyle M=B^{*}B=B^{*}Q^{*}QB=A^{*}A}$ ${\displaystyle A=QB.}$

しかし、これは2つの分解が異なる唯一の方法である。分解はユニタリ変換を除いて一意である。より正式には、が行列であり、が行列であって、となる場合、直交列（つまり）を持つ行列が存在し、^[5]となる。このとき、はユニタリであることを意味する。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \ell \times n}$ ${\displaystyle A^{*}A=B^{*}B,}$ ${\displaystyle \ell \times k}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q^{*}Q=I_{k\times k}}$ ${\displaystyle B=QA.}$ ${\displaystyle \ell =k}$ ${\displaystyle Q}$

この記述は、実数の場合、直感的な幾何学的解釈が可能です。つまり、と の列を のベクトルととします。実ユニタリ行列は直交行列であり、 0 点を保存する（つまり、 の回転と鏡映 を平行移動なしで）剛体変換（ユークリッド空間 の等長変換）を記述します。したがって、の何らかの剛体変換によってベクトルがに変換される（および 0 が 0 に変換される）場合にのみ、と の内積は等しくなります。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle a_{i}\cdot a_{j}}$ ${\displaystyle b_{i}\cdot b_{j}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}}$ ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$

平方根

エルミート行列が正半定値行列である必要十分条件は、次を満たす正半定値行列 （特に はエルミート行列なので）が存在することである。この行列は一意であり、^[6]は の非負平方根と呼ばれ、 で表される。が正定値行列であるとき、 は であるので、の正平方根とも呼ばれる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B^{*}=B}$ ${\displaystyle M=BB.}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle B=M^{\frac {1}{2}}.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}},}$ ${\displaystyle M.}$

非負の平方根を他の分解と混同しないでください。著者によっては、このような分解すべてに対して、または特にコレスキー分解 、または形式の分解すべてに対して、平方根という名前を使用する人もいます が、非負の平方根に対してのみこの名前を使用する人もいます。 ${\displaystyle M=B^{*}B.}$ ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle M=BB;}$

もしそうなら ${\displaystyle M\succ N\succ 0}$ ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}\succ N^{\frac {1}{2}}\succ 0.}$

コレスキー分解

エルミート正半正定値行列は と表すことができます。ここでは非負の対角成分を持つ下三角行列です（同様には上三角行列です）。これはコレスキー分解です。 が正定値行列である場合、 の対角成分は正であり、コレスキー分解は一意です。逆に が非負の対角成分を持つ下三角行列である場合、は半正定値行列です。コレスキー分解は、特に効率的な数値計算に役立ちます。密接に関連する分解はLDL 分解です。ここでは対角成分を持ち、は下一三角です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=LL^{*},}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle M=B^{*}B}$ ${\displaystyle B=L^{*}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle LL^{*}}$ ${\displaystyle M=LDL^{*},}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle L}$

ウィリアムソン定理

任意の正定値エルミート実行列は、シンプレクティック（実）行列を介して対角化できます。より正確には、ウィリアムソンの定理は、を満たすシンプレクティックおよび対角実正行列の存在を保証します。 ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\in \mathbf {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$ ${\displaystyle SMS^{T}=D\oplus D}$

その他の特徴

を実対称行列とし、を「単位球」と定義すると、次の式が得られる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle B_{1}(M)\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}:\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} \leq 1\}}$ ${\displaystyle M.}$

• ${\displaystyle B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})}$間に挟まれた固体の板 ${\displaystyle \pm \{\mathbf {w} :\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle =1\}.}$
• ${\displaystyle M\succeq 0}$が楕円体、または楕円柱である場合に限ります。 ${\displaystyle B_{1}(M)}$
• ${\displaystyle M\succ 0}$が有界である場合、つまり楕円体である場合に限ります。 ${\displaystyle B_{1}(M)}$
• もし、もし、もし、もし、もし、もし、もし ${\displaystyle N\succ 0,}$ ${\displaystyle M\succeq N}$ ${\displaystyle B_{1}(M)\subseteq B_{1}(N);}$ ${\displaystyle M\succ N}$ ${\displaystyle B_{1}(M)\subseteq \operatorname {int} {\bigl (}B_{1}(N){\bigr )}.}$
• ならば、すべてに対して が成り立つこと、そしてその場合のみ成り立つ。楕円体の極双対も、同じ主軸を持ち長さが逆である楕円体であるので、次の関係が成り立つ。すなわち、が正定値ならば、すべてに対して が成り立つこと、そしてその場合のみ成り立つ。 ${\displaystyle N\succ 0,}$ ${\displaystyle M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} }}}$ ${\displaystyle v\neq 0}$ ${\textstyle B_{1}(M)\subset \bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}).}$ $${\displaystyle B_{1}(N^{-1})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}B_{1}(\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})=\bigcap _{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} =1}\{\mathbf {w} :|\langle \mathbf {w} ,\mathbf {v} \rangle |\leq 1\}.}$$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\succeq {\frac {\mathbf {v} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}{\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {v} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} }$ ${\displaystyle M\succeq N^{-1}.}$

をエルミート行列とする。以下の性質は正定値行列であることと同等である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$

関連するセクスティリニア形式は内積である

によって定義されるセクスティ線形形式は、 からへの関数で、すべての およびにおいてとなるものです。ここで はの共役転置です。任意の複素行列に対して、この形式は で線形、 で半線形です。したがって、 が の内積となるのは、 が実数かつ正である場合に限ります。すべての非ゼロに対してとなるのは、 が正定値である場合に限ります。（実際、 のすべての内積は、エルミート正定値行列からこのように生じます。） ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \equiv \mathbf {y} ^{*}M\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {y} .}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {y} .}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \mathbf {z} ,\mathbf {z} \rangle }$ ${\displaystyle \mathbf {z} ;}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

主要マイナーはすべてプラス

行列のk番目の主要小行列式は、その左上部分行列の行列式です。行列が正定値行列であるためには、これらすべての行列式が正である必要があります。この条件はシルベスターの基準として知られており、対称実行列の正定値を効率的にテストできます。つまり、ガウス消去法の最初の部分と同様に、基本的な行操作を使用して、行列を上三角行列に簡約し、ピボット処理中に行列式の符号が保持されるように注意します。三角行列のk番目の主要小行列式は、行 までの対角要素の積であるため、シルベスターの基準は、対角要素がすべて正であるかどうかを確認することと同じです。この条件は、三角行列の新しい行が取得されるたびに確認できます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle k}$

半正定値行列が正定値行列となるのは、それが逆行列である場合に限ります。^[7]半正定値行列が負定値行列となるのは、それが正定値行列である場合に限ります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle -M}$

二次形式

実行行列に関連付けられた（純粋な）二次形式は、すべての に対してとなる関数です。これは、両面積で非対称部分はすべてゼロになるため、 と置き換えることで対称であると想定できます。 ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Q:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Q(\mathbf {x} )=\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right),}$

対称行列は、その二次形式が厳密に凸関数である場合に限り、正定値行列となります。 ${\displaystyle M}$

より一般的には、からへの任意の二次関数は、対称行列、実数ベクトル 、実定数で表すことができます。この場合、これは放物線であり、の場合と同様に、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +\mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} +c}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=1}$

定理:この二次関数は厳密に凸関数であるため、正定値関数である場合に限り、唯一の有限大域最小値を持ちます。 ${\displaystyle M}$

証明：が正定値関数である場合、関数は厳密に凸である。関数が厳密に凸であるため、その勾配は唯一の点においてゼロとなり、その点が大域的最小値となる。 が正定値関数でない場合、関数が直線または下向き放物線となるようなベクトルが存在するため、厳密に凸ではなく、大域的最小値を持たない。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {b} ,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \leq 0,}$ ${\displaystyle f(t)\equiv (t\mathbf {v} )^{\mathsf {T}}M(t\mathbf {v} )+b^{\mathsf {T}}(t\mathbf {v} )+c}$

このため、正定値行列は最適化問題において重要な役割を果たします。

同時対角化

対称行列と、対称かつ正定値行列である別の行列は、同時に対角化することができます。同時対角化は必ずしも相似変換によって行われるわけではありませんが、これは可能です。この結果は、3つ以上の行列の場合には適用されません。この節では実数の場合について記述します。複素数の場合への拡張は直ちに可能です。

を対称行列と対称正定値行列とする。一般化固有値方程式を次のように書く。ここで、正規化、すなわちを課す。ここで、コレスキー分解を用いての逆行列を と書く。を掛けて とすると、 となり、これは次のように書き直すことができる。ここで、 の操作により が得られる。ここで、 は一般化固有ベクトルを列として持つ行列であり、は一般化固有値の対角行列である。ここで を前置すると、最終結果は となり、ただし、これはもはや内積 に関して直交対角化ではないことに注意する。実際には、^[8]によって誘導される内積に関して対角化している。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \left(M-\lambda N\right)\mathbf {x} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} =1.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q^{\mathsf {T}}Q.}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} ,}$ ${\displaystyle Q\left(M-\lambda N\right)Q^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =0,}$ ${\displaystyle \left(QMQ^{\mathsf {T}}\right)\mathbf {y} =\lambda \mathbf {y} }$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.}$ ${\displaystyle MX=NX\Lambda }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle X^{\mathsf {T}}}$ ${\displaystyle X^{\mathsf {T}}MX=\Lambda }$ ${\displaystyle X^{\mathsf {T}}NX=I,}$ ${\displaystyle \mathbf {y} ^{\mathsf {T}}\mathbf {y} =1.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

この結果は、記事「対角化可能行列」における同時対角化に関する記述と矛盾しないことに注意してください。記事「対角化可能行列」では、相似変換による同時対角化について言及されています。ここでの私たちの結果は、2つの二次形式の同時対角化に近く、一方の形式をもう一方の形式に与えられた条件下で最適化する際に役立ちます。

プロパティ

誘導半順序

任意の正方行列について、すなわちが半正定値行列であるとき、 と書きます。これは、すべての正方行列の集合における半順序を定義します。同様に、厳密な半順序を定義することもできます。この順序はLoewner順序と呼ばれます。 ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\geq N}$ ${\displaystyle M-N\geq 0}$ ${\displaystyle M-N}$ ${\displaystyle M>N.}$

正定値行列の逆行列

すべての正定値行列は逆行列であり、その逆行列も正定値である。^[9]ならば^[10]さらに、最小最大定理により、のk番目に大きい固有値は、のk番目に大きい固有値以上である。 ${\displaystyle M\geq N>0}$ ${\displaystyle N^{-1}\geq M^{-1}>0.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

スケーリング

が正定値で実数であれば、は正定値である。^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle rM}$

追加

• とが正定値であれば、和も正定値である。^[11] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• および が半正定値である場合、和も半正定値です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$
• が正定値で が半正定値である場合、その合計も正定値になります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M+N}$

乗算

• と が正定値であれば、積も正定値です。 であれば、 も正定値です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle MNM}$ ${\displaystyle NMN}$ ${\displaystyle MN=NM,}$ ${\displaystyle MN}$
• が半正定値行列であれば、任意の（おそらく長方形の）行列に対して半正定値行列となる。が正定値行列であり、かつフル列ランクを持つ場合、半正定値行列となる。^[12] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A^{*}MA}$ ${\displaystyle A.}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{*}MA}$

トレース

半正定値行列の対角成分は実数かつ非負である。したがって、トレースは、さらに^[13] 、すべての主部分行列（特に2行2列）が半正定値行列であるため、 ${\displaystyle m_{ii}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (M)\geq 0.}$ $${\displaystyle \left|m_{ij}\right|\leq {\sqrt {m_{ii}m_{jj}}}\quad \forall i,j}$$ ${\displaystyle n\geq 1,}$ $${\displaystyle \max _{i,j}\left|m_{ij}\right|\leq \max _{i}m_{ii}}$$

エルミート行列が正定値行列であるとは、次のトレース不等式を満たす場合である。^[14] ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle \operatorname {tr} (M)>0\quad \mathrm {and} \quad {\frac {(\operatorname {tr} (M))^{2}}{\operatorname {tr} (M^{2})}}>n-1.}$$

もう 1 つの重要な結果は、任意の半正定値行列と半正定値行列に対して、次の式が成り立つことです。 行列は半正定値であるため、非負の固有値を持ち、その和であるトレースも非負になります。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)\geq 0.}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (MN)=\operatorname {tr} (M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}).}$ ${\displaystyle M^{\frac {1}{2}}NM^{\frac {1}{2}}}$

アダマール積

が必ずしも半正定値ではないとしても、アダマール積は、（この結果はしばしばシュアー積定理と呼ばれる）。^[15] ${\displaystyle M,N\geq 0,}$ ${\displaystyle MN}$ ${\displaystyle M\circ N\geq 0}$

2つの半正定値行列のアダマール積に関しては、2つの注目すべき不等式があります。 ${\displaystyle M=(m_{ij})\geq 0,}$ ${\displaystyle N\geq 0,}$

• オッペンハイムの不等式: ^[16] ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(N)\prod \nolimits _{i}m_{ii}.}$
• ${\displaystyle \det(M\circ N)\geq \det(M)\det(N).}$^[17]

クロネッカー積

必ずしも半正定値ではないが、クロネッカー積 ${\displaystyle M,N\geq 0,}$ ${\displaystyle MN}$ ${\displaystyle M\otimes N\geq 0.}$

フロベニウス積

が必ずしも半正定値ではない場合、フロベニウスの内積（ランカスター・ティスメネツキー著『行列理論』218 ページ）。 ${\displaystyle M,N\geq 0,}$ ${\displaystyle MN}$ ${\displaystyle M:N\geq 0}$

凸状性

半正定値対称行列の集合は凸行列である。つまり、と が半正定値行列であるならば、0から1までの任意の に対しても半正定値行列となる。任意のベクトル に対して、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha M+\left(1-\alpha \right)N}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ $${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}\left(\alpha M+\left(1-\alpha \right)N\right)\mathbf {x} =\alpha \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}N\mathbf {x} \geq 0.}$$

この特性により、半正定値計画問題がグローバルに最適な解に収束することが保証されます。

コサインとの関係

行列の正定値は、任意のベクトルとその像の間の角度が常に ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle A\mathbf {x} }$ ${\displaystyle -\pi /2<\theta <+\pi /2:}$

$${\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A\mathbf {x} }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }}={\frac {\langle \mathbf {x} ,A\mathbf {x} \rangle }{\lVert \mathbf {x} \rVert \lVert A\mathbf {x} \rVert }},\theta =\theta (\mathbf {x} ,A\mathbf {x} )\equiv {\widehat {\left(\mathbf {x} ,A\mathbf {x} \right)}}\equiv }$$と間の角度 ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle A\mathbf {x} .}$

その他の特性

1. が対称テプリッツ行列である場合、つまり、エントリが絶対インデックス差の関数として与えられ、厳密な不等式が成り立つ場合、は厳密に正定値です。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{ij}}$ ${\displaystyle m_{ij}=h(|i-j|),}$ ${\textstyle \sum _{j\neq 0}\left|h(j)\right|<h(0)}$ ${\displaystyle M}$
2. とエルミートとする。(それぞれ)ならば(それぞれ)。^[18] ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle MN+NM\geq 0}$ ${\displaystyle MN+NM>0}$ ${\displaystyle N\geq 0}$ ${\displaystyle N>0}$
3. が実数の場合、 が存在し、ここでは単位行列です。 ${\displaystyle M>0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle M>\delta I,}$ ${\displaystyle I}$
4. がリーディングマイナーを表す場合、はLU 分解中のk番目のピボットです。 ${\displaystyle M_{k}}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle \det \left(M_{k}\right)/\det \left(M_{k-1}\right)}$
5. が奇数のとき、そのk次の主小行列項が負であり、が偶数のとき、正である場合、その行列は負定値行列です。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
6. が実正定値行列である場合、任意のベクトルに対して、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {v} \geq m\|\mathbf {v} \|_{2}^{2}.}$
7. エルミート行列が半正定値行列であるための必要十分条件は、そのすべての主小行列が非負であることです。しかし、 0と-1の要素を持つ対角行列で確認されているように、主小行列のみを考慮するだけでは不十分です。

ブロック行列と部分行列

正の行列はブロックによって定義されることもあります。 ${\displaystyle 2n\times 2n}$ $${\displaystyle M={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$$

ここで各ブロックは正値条件を適用することにより、およびはエルミートであることが直ちに示され、 ${\displaystyle n\times n,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C=B^{*}.}$

私たちはすべての複雑なもの、特にThen についてそれを持っています ${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {z} =[\mathbf {v} ,0]^{\mathsf {T}}.}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} ^{*}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\B^{*}&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {v} \\0\end{bmatrix}}=\mathbf {v} ^{*}A\mathbf {v} \geq 0.}$$

同様の議論は にも適用でき、したがって と は両方とも正定値行列であると結論付けられます。この議論を拡張すると、の任意の主部分行列はそれ自体が正定値行列であることが示されます。 ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle M}$

逆の結果は、たとえば、シュアー補集合を使用して、ブロックに対するより強い条件で証明できます。

局所的極値

実変数の一般二次形式は 常に次のように表すことができます。ここで、はそれらの変数を含む列ベクトルであり、は対称実行列です。したがって、行列が正定値であるということは、がゼロのときに唯一の最小値（ゼロ）を持ち、それ以外の場合には正であることを意味します。 ${\displaystyle f(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle \mathbf {x} .}$

より一般的には、実変数の二回微分可能な実関数は、その勾配がゼロで、そのヘッセ行列（すべての二階微分行列）がその点で半正定値であるとき、引数において局所最小値を持つ。負定値行列と半正定値行列についても同様のことが言える。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$

共分散

統計学において、多変量確率分布の共分散行列は常に半正定値行列である。また、ある変数が他の変数の正確な線形関数でない限り、半正定値行列である。逆に、すべての半正定値行列は、何らかの多変量分布の共分散行列である。

非エルミート正方行列への拡張

正定値の定義は、任意の複素行列（例えば実非対称）を、すべての非零複素ベクトルに対して が成り立つとき、正定値であると定義することで一般化できる。ここで は複素数の実部を表す^[19]行列が正定値であるかどうかはエルミート部によってのみ決定され、これは上記の狭義の意味で評価される。同様に、と が実数であるとき、すべての非零実ベクトルに対してが成り立つことと、対称部が狭義の意味で正定値であるとき、かつその場合に限る。が の転置に対して無反応であることはすぐに明らかである。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {R_{e}}}\left\{\mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \right\}>0}$ ${\displaystyle \mathbf {z} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {R_{e}}}\{c\}}$ ${\displaystyle c.}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{*}\right)}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} >0}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}\left(M+M^{\mathsf {T}}\right)}$ ${\textstyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} =\sum _{ij}x_{i}M_{ij}x_{j}}$ ${\displaystyle M.}$

正の固有値のみを持つ非対称実行列は、負の固有値を持つ対称部分を持つ場合があります。その場合、行列は正（半）定値行列にはなりません。例えば、行列は正の固有値1と7を持ちますが、と選択します。 ${\textstyle M=\left[{\begin{smallmatrix}4&9\\1&4\end{smallmatrix}}\right]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {T}}M\mathbf {x} =-2}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =\left[{\begin{smallmatrix}-1\\1\end{smallmatrix}}\right]}$

まとめると、実数と複素数の場合の違いは、複素ヒルベルト空間上の有界正作用素は必然的にエルミート、つまり自己随伴であるという点です。この一般的な主張は分極恒等式を用いて論じることができます。しかし、実数の場合、これはもはや成り立ちません。

アプリケーション

熱伝導率マトリックス

熱伝導に関するフーリエの法則は、熱流束を温度勾配で表し、異方性媒体では と表されます。ここで は熱伝導率行列です。フーリエの法則に負の値が挿入されているのは、熱は常に高温から低温へ流れるという期待を反映しているためです。言い換えれば、温度勾配は常に低温から高温に向かうため、熱流束はとの内積が負になると考えられます。したがって、 となります。フーリエの法則を に代入すると、この期待は となり、伝導率行列は正定値行列となるはずです。通常は は対称ですが、熱ホール効果のように磁場が存在する場合は非対称になります。 ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} =\nabla T}$ ${\displaystyle \mathbf {q} =-K\mathbf {g} ,}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} }$ ${\displaystyle \mathbf {g} }$ ${\displaystyle \mathbf {q} ^{\mathsf {T}}\mathbf {g} <0.}$ ${\displaystyle \mathbf {g} ^{\mathsf {T}}K\mathbf {g} >0,}$ ${\displaystyle K}$

より一般的には、熱力学では、熱と粒子の流れは、オンサガーの逆関係で説明される完全に結合したシステムであり、エントロピー生成が非負になるためには、結合行列は半正定値（非対称の場合もある）である必要があります。

参照

• 共分散行列
• M行列
• 正定値関数
• 正定値カーネル
• シュール補数
• シルベスターの基準
• 数値範囲
• ウィリアムソン定理

参考文献

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2. Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004年3月8日).凸最適化. Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511804441. ISBN 978-0-521-83378-3。
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10. ホーン＆ジョンソン（2013）、p.495、補論7.7.4(a)
11. Horn & Johnson (2013)、p. 430、観察7.1.3
12. ホーン＆ジョンソン（2013）、p.431、観察7.1.8
13. ホーン＆ジョンソン（2013）、430ページ
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17. Styan, GP (1973). 「アダマール積と多変量統計解析」.線形代数とその応用. 6 : 217–240 . doi :10.1016/0024-3795(73)90023-2.、系3.6、p. 227
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出典

• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix Analysis (第2版). Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-54823-6。
• バティア、ラジェンドラ(2007).正定値行列. プリンストン応用数学シリーズ. ISBN 978-0-691-12918-1。
• バーンスタイン、B.トゥーパン、RA (1962)。 「厳密な凸関数のヘッセ行列のいくつかの特性」。数学に関するジャーナル。210 : 67– 72.土井:10.1515/crll.1962.210.65。

外部リンク

• 「正定値形式」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「正定値行列」。Wolfram MathWorld。Wolfram Research。

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