プレスタック

代数幾何学において、何らかのグロタンディーク位相を備えた圏C上のプレスタック Fは、関数p : F → Cを伴う圏であり、特定の持ち上げ条件を満たし、（ファイバーが群の場合）局所同型オブジェクトは同型である。スタックは有効な降下を持つプレスタックであり、局所オブジェクトをつなぎ合わせて大域オブジェクトになることができることを意味する

自然界に現れるプレスタックは典型的にはスタックですが、素朴に構築されたプレスタック（例えば、群状スキームや射影ベクトル束のプレスタック）はスタックではない場合があります。プレスタックは単独で研究することも、スタックに渡すこともできます。

スタックはプレスタックであるため、プレスタックに関するすべての結果はスタックにも当てはまります。本稿では、固定された基底圏Cを扱います。例えば、C は、あるグロタンディーク位相を備えたある固定スキーム上のすべてのスキームの圏となり得ます。

非公式な定義

Fを圏とし、それが関数を介して C 上にファイバー化されていると仮定する。これは、標準同型に至るまで、 Cの射に沿って引き戻しを構成できることを意味する $p:F\to C$

C内のオブジェクトUと内のオブジェクトx、yが与えられ、 C内の各射に対して、プルバックを固定した後、^[1]^[2] $F(U)=p^{-1}(U)$ $f:V\to U$ $f^{*}x,f^{*}y$

{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]

からまでのすべての射の集合とする。ここで括弧は、異なる引き戻しの選択から生じる異なるHom集合を正準的に識別することを意味する。U上の各に対して、 fからgへの制限写像を定義する。を合成とする。 $f^{*}x$ $f^{*}y$ $g:W\to V$ ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)\to {\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(W{\overset {f\circ g}{\to }}U)$

[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]{\overset {g^{*}}{\to }}[\operatorname {Hom} (g^{*}(f^{*}x),g^{*}(f^{*}y))]=[\operatorname {Hom} ((f\circ g)^{*}x,(f\circ g)^{*}y)]

ここで、右辺の = を得るために標準同型が用いられます。すると、はスライス圏（C内のUをターゲットとするすべての射の圏）の前層になります。 $g^{*}\circ f^{*}\simeq (f\circ g)^{*}$ ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ $C_{/U}$

定義により、各ペアx、yに対して、上の誘導グロタンディーク位相に関する集合の層である場合、 Fはプレスタックです。 ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ $C_{/U}$

この定義は次のように表現することもできる。^[3]まず、各被覆族に対して、カテゴリを次のように「定義」する。 $\{V_{i}\to U\}$ $F(\{V_{i}\to U\})$ $p_{1}:V_{i}\times _{U}V_{j}\to V_{i},\,p_{12}:V_{i}\times _{U}V_{j}\times _{U}V_{k}\to V_{i}\times _{U}V_{j}$

オブジェクトは、共循環条件を満たす、内のオブジェクトと同型からなるペアの集合です。 $\{(x_{i},\varphi _{ij})\}$ $x_{i}$ $F(V_{i})$ $\varphi _{ij}:p_{2}^{*}x_{j}{\overset {\sim }{\to }}p_{1}^{*}x_{i}$ $p_{13}^{*}\varphi _{ik}=p_{12}^{*}\varphi _{ij}\circ p_{23}^{*}\varphi _{jk}$
射は次のようなものから成り立つ $\{(x_{i},\varphi _{ij})\}\to \{(y_{i},\psi _{ij})\}$ $\alpha _{i}:x_{i}\to y_{i}$ $F(V_{i})$ $\psi _{ij}\circ p_{2}^{*}\alpha _{j}=p_{1}^{*}\alpha _{i}\circ \varphi _{ij}.$

このカテゴリの対象は降下データと呼ばれます。このカテゴリは明確に定義されていません。問題は、プルバックが正準同型性に関してのみ決定されることです。同様に、ファイバー積も、表記法の慣例とは反対に、正準同型性に関してのみ定義されます。実際には、プルバック、その合成、ファイバー積などについて、いくつかの正準的な同一視を行うだけで済みます。そのような同一視まで、上記のカテゴリは明確に定義されます（言い換えれば、カテゴリの正準同値性に関して定義されているということです）。

オブジェクトをそれが定義する降下データへ送る明らかな関手が存在する。このとき、「 Fがプレスタックであるための必要十分条件は、各被覆族に対して、その関手が完全忠実であることである」と言える。このような命題は、先に述べた標準的な同一視の選択とは独立である。 $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ $\{V_{i}\to U\}$ $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$

の本質的な像は、まさに有効な降下データ（「有効な」の定義そのもの）から構成される。したがって、Fがスタックであるためには、各被覆族に対して、がカテゴリの同値となる必要がある。 $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$ $\{V_{i}\to U\}$ $F(U)\to F(\{V_{i}\to U\})$

プレスタックとスタックの定義をこのように再定式化することで、これらの概念の直感的な意味が非常に明確になります。(1)「ファイバーカテゴリ」とは、プルバックを構成できることを意味します。(2)「群体におけるプレスタック」とは、さらに「局所同型」は「同型」を意味することを意味します。(3)「群体におけるスタック」とは、前述の性質に加えて、コサイクル条件を条件として、局所データからグローバルオブジェクトを構成できることを意味します。これらはすべて、標準同型性にまで及びます。

射

定義

固定された基底圏C上のプレスタックが与えられたとき、射とは(1)および(2)のようにカルティシアン射をカルティシアン射に写す関手である。(2)は、 G が群体でファイバー化されている場合、自動的に成立する。例えば、代数的スタック（その場合、すべての射はカルティシアンであるため）である $p:F\to C,q:G\to C$ $f:F\to G$ $q\circ f=p$

が基本カテゴリCのスキームSに付随するスタックである場合、ファイバーは構成により、CにおけるUからSへのすべての射の集合となる。同様に、 CのスキームUをスタック（すなわち）とみなし、 C上の群にファイバー化されたカテゴリFが与えられている場合、2-米田補題は、カテゴリ^{[4]の自然な同値性が存在することを示唆する。} $p:F_{S}\to C$ $p^{-1}(U)=F_{S}(U)$ $F_{U}$

\operatorname {Funct} _{C}(U,F){\overset {\chi \mapsto \chi (1_{U})}{\to }}F(U)

ここで、相対関手カテゴリを参照する。オブジェクトはC上のUからFへの関手であり、射は基底保存自然変換である。^[5] $\operatorname {Funct} _{C}$

ファイバー積

をプレスタックの射とする。すると、定義により、^[6]ファイバー積は、 $f:F\to B,g:G\to B$ $F\times _{B,f,g}G=F\times _{B}G$

オブジェクトは、 Fのオブジェクトx 、 Gのオブジェクトy （どちらもCの同じオブジェクト上）と、 Cの恒等射に対するGの同型写像からなる三つ組であり、 $(x,y,\psi )$ $\psi :f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)$
射はFとGから成り、どちらもCの同じ射上にあり、となる。 $(x,y,\psi )\to (x',y',\psi ')$ $\alpha :x\to x'$ $\beta :y\to y'$ $g(\beta )\circ \psi =\psi '\circ f(\alpha )$

これには、 FおよびGからの忘却関数p、qが付属しています。 $F\times _{B}G$

このファイバー積は、自然同型を除いて通常のファイバー積と同様に振舞います。これは以下の意味を持ちます。まず、自明な平方は可換ではありません。その代わりに、の各オブジェクトに対して、 $(x,y,\psi )$ $F\times _{B}G$

\psi :(f\circ p)(x,y,\psi )=f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)=(g\circ q)(x,y,\psi )

。

つまり、可逆な自然変換（＝自然同型性）が存在するということです

\Psi :f\circ p{\overset {\sim }{\to }}g\circ q

。

第二に、これは厳密な普遍性を満たす。すなわち、プレスタックH、射、自然同型が与えられたとき、自然同型およびが存在する。このような場合、となる。一般に、 B上のFとGのファイバー積は、上記のと標準同型なプレスタックである。 $u:H\to F$ $v:H\to G$ $f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v$ $w:H\to F\times _{B}G$ $u{\overset {\sim }{\to }}p\circ w$ $q\circ w{\overset {\sim }{\to }}v$ $f\circ u{\overset {\sim }{\to }}g\circ v$ $f\circ p\circ w{\overset {\sim }{\to }}g\circ q\circ w$ $F\times _{B}G$

Bが基底カテゴリC（それ自身のプレスタック）である場合、 Bは削除され、単にと書きます。この場合、のオブジェクトはすべて恒等関数であることに注意してください。 $F\times G$ $\psi$

例: 各プレスタックに対して、によって与えられる対角射が存在します。 $p:X\to C$ $\Delta :X\to X\times X$ $x\mapsto (x,x,1_{p(x)})$

例：、とすると。[ ^7] $F_{i}\to B_{i},G_{i}\to B_{i},\,i=1,2$ $(F_{1}\times F_{2})\times _{B_{1}\times B_{2}}(G_{1}\times G_{2})\simeq (F_{1}\times _{B_{1}}G_{1})\times (F_{2}\times _{B_{2}}G_{2})$

例:と対角射が与えられ、 $f:F\to B,g:G\to B$ $\Delta :B\to B\times B$

F\times _{B}G\simeq (F\times G)\times _{B\times B,f\times g,\Delta }B

;

この同型は単純に手作業で構築されます。

表現可能な射

プレスタックの射影は、 CのスキームSからプレスタックとして見たすべての射影に対して、プレスタックのファイバー積がCのスキームである場合に、強く表現可能であると言われます。 $f:X\to Y$ $S\to Y$ $X\times _{Y}S$

特に、定義は構造写像（基底圏Cは恒等写像を介してそれ自身にプレスタックする）に適用される。すると、pが強表現可能であることと、 p がCのスキームである場合に限り、 p は強表現可能である。 $p:X\to C$ $X\simeq X\times _{C}C$

この定義は対角射にも適用されます。が強表現可能であれば、任意のT → Xに対してが強表現可能であるため、スキームUからのあらゆる射は強表現可能です。 $\Delta :X\to X\times X$ $\Delta$ $U\to X$ $U\times _{X}T\simeq (U\times T)\times _{X\times X}X$

が強表現可能射である場合、任意の、S をプレスタックとして見たスキームに対して、射影はスキームの射となる。これにより、スキームの射に関する多くの特性の概念をスタックのコンテキストに移すことができる。つまり、P を、基底カテゴリCの射に関する特性で、基底変更に対して安定であり、 Cの位相（例えば、エタール位相または滑らかな位相）上で局所的であるとする。すると、プレスタックの強表現可能射が特性Pを持つとは、任意の射、T をプレスタックとして見たスキームに対して、誘導された射影が特性Pを持つということを意味する。 $f:X\to Y$ $S\to Y$ $X\times _{Y}S\to S$ $f:X\to Y$ $T\to Y$ $X\times _{Y}T\to T$

例: 代数群の作用によって与えられるプレスタック

G を体k上の有限型のスキームXに右から作用する代数群とする。すると、 GのXへの群作用は、 k -スキームのカテゴリC上のプレスタック（スタックではない）を以下のように決定する。Fを次のカテゴリとする。

オブジェクトは、C内のスキームUと集合内のxからなるペアである。 $(U,x)$ $X(U)=\operatorname {Hom} _{C}(U,X)$
射はCのとxg = y 'となるような要素から構成されます。ここではと書きました。 $(U,x)\to (V,y)$ $U\to V$ $g\in G(U)$ $y':U\to V{\overset {y}{\to }}X$

この圏FはCへの忘却関手を通して群体にファイバー化されており、作用群体または変換群体として知られている。これはXのGによる商前スタックとも呼ばれ、と表記される。なぜなら、そのスタック化は商スタックとなるからである。この構成は、#同値類の前スタックを形成する特別な場合であり、特にFは前スタックである。 $[X/G]^{pre}$ $[X/G]$

Xが点で、Gがアフィンの場合、商はGの分類前スタックであり、そのスタック化はGの分類スタックです。 $*=\operatorname {Spec} (k)$ $[*/G]^{pre}=BG^{pre}$

Xをプレスタック（実際にはスタック）として見ると、明らかな標準マップが存在する。

\pi :X\to F

C上; 明示的には、プレスタックX内の各オブジェクトはそれ自身に向かい、定義によりxが等しいことを満たす各射はG ( U )の単位群の元に向かいます。 $(U,x:U\to X)$ $(U,x)\to (V,y)$ $U\to V{\overset {y}{\to }}X$

上記の標準マップは、2共等化器(2 商) に適合します。

X\times G{\overset {s}{\underset {t}{\rightrightarrows }}}X{\overset {\pi }{\to }}F

,

ここで、 t :( x , g )→ xgは与えられた群作用であり、sは射影である。これは1-コイコライザーではない。なぜなら、等式の代わりに、次のように与えられているからである $\pi \circ s=\pi \circ t$ $\pi \circ s{\overset {\sim }{\to }}\pi \circ t$

g:(\pi \circ s)(x,g)=\pi (x){\overset {\sim }{\to }}(\pi \circ t)(x,g)=\pi (xg).

同値類のプレスタック

X を基底圏Cのスキームとする。定義により、同値前関係とはCの射であり、 Cの各スキームTに対して、関数の像が同値関係となるようなものである。接頭辞「前」は、が必ずしも単射関数である必要はないためである。 $R\to X\times X$ $f(T):R(T)=\operatorname {Hom} (T,R)\to X(T)\times X(T)$ $f(T)$

例：代数群Gが体k上の有限型のスキームXに作用するとする。そしてk上の任意のスキームTに対して $R=X\times _{k}G$

f(T):R(T)\to X(T)\times X(T),\,(x,g)\mapsto (x,xg).

米田の補題により、これは明らかに同値前関係である射fを決定します。

与えられた同値関係（+いくつかの追加データ）ごとに、以下のように定義される関連するプレスタックFが存在する。 ^[8]まず、Fは、以下の表記を用いるカテゴリである。 $f:R\to X\times X$ $s=p_{1}\circ f,\,t=p_{2}\circ f$

オブジェクトは、スキームTとCの射影x : T → Xからなるペアである。 $(T,x)$
射は、およびから成り、かつ $(T,x)\to (S,y)$ $T\to S$ $\delta :T\to R$ $s\circ \delta =x$ $t\circ \delta =y|_{T}:T\to S{\overset {y}{\to }}X$
の合成はから成り、次のように得られる。なので、普遍性により、誘導写像が存在する。 $(,\delta ):(T,x)\to (S,y)$ $(,\delta '):(S,y)\to (U,z)$ $T\to S\to U$ $\delta '':T\to R$ $t\circ \delta =y|_{T}=s\circ \delta '|_{T}$
$(\delta ,\delta '|_{T}):T\to R\times _{t,s}R$ 。
そして、乗算が続くとします。 $\delta ''$ $T\to R\times _{t,s}R$
オブジェクトの恒等写像は、恒等写像T → Tと、それに続くδで構成されます。後者は、反射性によって可能となる、fを通る対角写像を因数分解することによって得られます $(T,x)$ $x:T\to X$ $e:X\to R$

忘却関手を介して、圏Fは群体においてファイバー化される。最後に、 Fがプレスタックであることを確認する。 ^[9]そのために、次のことに注意する。F(U)内のオブジェクトx、yと、内のオブジェクトに対して、 $f:V\to U$ $C_{/U}$

{\begin{aligned}{\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)(V{\overset {f}{\to }}U)&=[\operatorname {Hom} (f^{*}x,f^{*}y)]\\&=[\{\delta :V\to R|s\circ \delta =f^{*}x,t\circ \delta =f^{*}y\}]\\&=[\{\delta :V\to R|(s,t)\circ \delta =(x,y)\circ f\}].\end{aligned}}

これは、がとのファイバー積であることを意味します。層のファイバー積は層なので、は層になります。 ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$ $(s,t):R\to X\times X$ $(x,y):U\to X\times X$ ${\underline {\operatorname {Hom} }}(x,y)$

上記のプレスタックFはと表記され、そのスタック化はと表記されます。 $[X/\sim _{R}]^{pre}$ $[X/\sim _{R}]$

X をスタックとして見ると、Xとは同じオブジェクト集合を持つことに注意する。射レベルでは、X は射として恒等射のみを持つのに対し、プレスタックは同値前関係fによって指定される追加の射を持つ。 $[X/\sim _{R}]^{pre}$ $[X/\sim _{R}]^{pre}$ $\delta$

この構成の重要性の 1 つは、代数空間のアトラスを提供することです。つまり、すべての代数空間は、いくつかのスキームU、R 、および各Tに対してが入射関数となるようなエタール同値前関係の形式です(「エタール」は、2 つの可能なマップがエタールであることを意味します)。 $[U/\sim _{R}]$ $f:R\to U\times U$ $f(T):R(T)\to U(T)\times U(T)$ $s,t:R\to U\times U\to U$

ドリーニュ・マンフォードスタックから出発して、いくつかのスキームR、Uに対する同値事前関係を見つけることができ、それはそれに関連付けられた事前スタックのスタック化である：[ ^10]これは次のように行われる。定義により、あるスキームUからエタール射影射が存在する。対角線は強表現可能であるため、ファイバー積はスキーム（つまり、スキームによって表現される）であり、 ${\mathfrak {X}}$ $f:R\to U\times U$ ${\mathfrak {X}}$ ${\mathfrak {X}}\simeq [U/\sim _{R}]$ $\pi :U\to {\mathfrak {X}}$ $U\times _{\mathfrak {X}}U=R$

s,t:R\rightrightarrows U

を第一および第二の射影とする。をとると、は同値関係の前提となる。大まかに言えば、次のように終わる。 $f=(s,t):R\to U\times U$ $f$

に拡張します(オブジェクトレベルでは何も変わりません。を送信する方法のみを説明する必要があります)。 $\pi :U\to {\mathfrak {X}}$ $\pi :[U/\sim _{R}]^{pre}\to {\mathfrak {X}}$ $\delta$
積み重ねの普遍的性質により、はを因数分解します。 $\pi$ $[U/\sim _{R}]\to {\mathfrak {X}}$
最後のマップが同型であることを確認します。

プレスタックに関連付けられたスタック

与えられたプレスタックにスタックを関連付ける方法があります。これはプレ層の層化に似ており、スタック化と呼ばれます。構築の考え方は非常に単純です。プレスタックが与えられたとき、HF を、オブジェクトが降下データであり、射が降下データの射であるような圏とします。（詳細はここでは省略します） $p:F\to C$

結局のところ、これはスタックであり、θが同型である場合にのみFがスタックになるという自然な射影を伴います。 $\theta :F\to HF$

いくつかの特殊なケースでは、スタック化はアフィン群スキームやその一般化に対するトルソルを用いて記述できる。実際、この観点からすると、群体のスタックはトルソルの圏に他ならず、プレスタックはトルソルの局所モデルである自明なトルソルの圏に他ならない。

注釈

^ Vistoli 2005, § 3.7.
^ Behrend et al. 2006, Ch. 4., § 1
^ Vistoli 2005、定義 4.6。
^ ヴィストリ 2005、§ 3.6.2。
^ Vistoli 2005、定義 3.33。
^ ベーレンドら。 2006 年、定義 2.25。
^ ベーレンドら。 2006 年、例 2.29。
^ ベーレンドら。 2006 年、定義 3.13。
^ ここでの議論は、M. Olsson のスタックに関する講義ノートの Lemma 25.6 です。
^ Behrend et al. 2006、命題 5.20。および Behrend et al. 2006、定理 4.35。編集者注: この参考文献では群素スキームの言語が使用されていますが、そこで使用されている群素スキームは、ここで使用されている同値事前関係と同じです。命題 3.6 と以下の検証を比較してください。

参考文献

ベーレンド、カイ、コンラッド、ブライアン、エディディン、ウィリアム、フルトン、ファンテチ、バーバラ、ゲッチェ、ローター、クレッシュ、アンドリュー (2006)、代数スタック、2008年5月5日にオリジナルからアーカイブ、 2017年6月13日取得
Vistoli, Angelo (2005), 「Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory」, Fundamental algebraic geometry , Math. Surveys Monogr., vol. 123, Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 1– 104, arXiv : math/0412512 , Bibcode :2004math.....12512V, MR 2223406

外部リンク

玉木大（2019年8月7日）「プレスタックとファイバー化カテゴリー」

[1] Vistoli 2005, § 3.7.

[2] Behrend et al. 2006, Ch. 4., § 1

[3] Vistoli 2005、定義 4.6。

[4] ヴィストリ 2005、§ 3.6.2。

[5] Vistoli 2005、定義 3.33。

[6] ベーレンドら。 2006 年、定義 2.25。

[7] ベーレンドら。 2006 年、例 2.29。

[8] ベーレンドら。 2006 年、定義 3.13。

[9] ここでの議論は、M. Olsson のスタックに関する講義ノートの Lemma 25.6 です。

[10] Behrend et al. 2006、命題 5.20。および Behrend et al. 2006、定理 4.35。編集者注: この参考文献では群素スキームの言語が使用されていますが、そこで使用されている群素スキームは、ここで使用されている同値事前関係と同じです。命題 3.6 と以下の検証を比較してください。