関数の種類
凸解析 と 変分法という 数学 の分野 において、 擬凸関数 とは、 局所最小値 を求めることに関して 凸関数 のように振る舞う 関数 であるが、実際には凸である必要はない関数である。非公式には、微分可能関数は、正の 方向微分を 持つ任意の方向において増加する場合、擬凸関数である 。この性質は、近傍点だけでなく、関数の定義域全体で成立する必要がある。
有限次元 ユークリッド空間 の（空でない） 凸開 集合上に定義された 微分可能 関数 を考える。この関数は 、以下の性質が成り立つとき 擬凸関数 と呼ばれる。 [1] f : X ⊆ R n → R {\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } X {\displaystyle X} R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
すべての人のために × 、 y ∈ X : ∇ f （ × ） ⋅ （ y − × ） ≥ 0 ⇒ f （ y ） ≥ f （ × ） 。 {\displaystyle x,y\in X:\quad \nabla f(x)\cdot (yx)\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(x).} 同様に:
すべての人のために × 、 y ∈ X : f （ y ） < f （ × ） ⇒ ∇ f （ × ） ⋅ （ y − × ） < 0。 {\displaystyle x,y\in X:\quad f(y)<f(x)\Rightarrow \nabla f(x)\cdot (yx)<0.} ここで、 の 勾配 は 次のように定義されます。 ∇ f {\displaystyle \nabla f} f {\displaystyle f} ∇ f ＝ （ ∂ f ∂ × 1 、 … 、 ∂ f ∂ × n ） 。 {\displaystyle \nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}
この定義は、ベクトル によって与えられた方向における の 方向微分 によっても表すことができることに注意されたい 。これは、 が 微分可能であるため、この方向微分は次のように与えられるからである。 f {\displaystyle f} v ＝ y − × {\displaystyle v=yx} f {\displaystyle f}
∂ f ∂ v （ × ） ＝ ∇ f （ × ） ⋅ v ＝ ∇ f （ × ） ⋅ （ y − × ） 。 {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial v}}(x)=\nabla f(x)\cdot v=\nabla f(x)\cdot (yx).}
プロパティ
他のタイプの「凸性」との関係 全ての凸関数は擬凸関数ですが、その逆は成り立ちません。例えば、 は 擬凸関数ですが凸関数ではありません。同様に、全ての擬凸関数は 準凸関数 ですが、その逆は成り立ちません。なぜなら、 は 準凸関数ですが擬凸関数ではないからです。これは、図式的に次のように要約できます。 f （ × ） ＝ × + × 3 {\displaystyle f(x)=x+x^{3}} f （ × ） ＝ × 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}}
凸 擬凸 準凸 ⇒ {\displaystyle \Rightarrow} ⇒ {\displaystyle \Rightarrow} 関数 x^3（準凸関数だが擬凸関数ではない）と x^3 + x（擬凸関数であり、したがって準凸関数である）。どちらも凸関数ではない。 が擬凸でない ことを確認するには、 におけるその微分を考えます 。 が擬凸で あれば、次の式が得られます。 f （ × ） ＝ × 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}} × ＝ 0 {\displaystyle x=0} f ′ （ 0 ） ＝ 0 {\displaystyle f^{\prime }(0)=0} f （ × ） ＝ × 3 {\displaystyle f(x)=x^{3}}
f ′ （ 0 ） （ y − 0 ） ＝ 0 ≥ 0 ⇒ f （ y ） ≥ f （ 0 ） 、 た y ∈ R 。 \displaystyle f^{\prime }(0)(y-0)=0\geq 0\Rightarrow f(y)\geq f(0),\quad \forall \,y\in \mathbb {R} .} 特に、 については真となるはずです 。しかし、次の式のように、そうではありません 。 y ＝ − 1 {\displaystyle y=-1} f （ − 1 ） ＝ （ − 1 ） 3 ＝ − 1 < f （ 0 ） ＝ 0 {\displaystyle f(-1)=(-1)^{3}=-1<f(0)=0}
十分な最適性条件 任意の微分可能関数に対して、フェルマーの定理の 最適性の必要条件が成り立ちます 。これは、 開 領域で が局所的最小値を持つ場合 、 は の 停留点で ある必要があります (つまり、 )。 f {\displaystyle f} × ∗ {\displaystyle x^{*}} × ∗ {\displaystyle x^{*}} f {\displaystyle f} ∇ f （ × ∗ ） ＝ 0 {\displaystyle \nabla f(x^{*})=0}
擬凸性は最適化 の分野で大きな関心を集めています 。なぜなら、任意の擬凸関数に対して逆も成り立つからです。つまり、 [2] が 擬凸関数の 停留点 である 場合 、 は で 大域的最小値を持ちます 。また、この結果は（局所的だけでなく）大域的最小値を保証することにも注意してください。 × ∗ {\displaystyle x^{*}} f {\displaystyle f} f {\displaystyle f} × ∗ {\displaystyle x^{*}}
この最後の結果は凸関数にも当てはまりますが、準凸関数には当てはまりません。例えば、準凸関数を考えてみましょう。
f （ × ） ＝ e × × 2 + 1 + 1 e × 。 {\displaystyle f(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}+1}}+{\frac {1}{e^{x}}}.} この関数は擬凸関数ではありませんが、準凸関数です。また、 は の臨界点であり 、 となります 。しかし、 は において大域的最小値（局所的最小値さえも）を持ちません 。 × ＝ 0 {\displaystyle x=0} f {\displaystyle f} f ′ （ 0 ） ＝ 0 {\displaystyle f^{\prime }(0)=0} f {\displaystyle f} × ＝ 0 {\displaystyle x=0}
擬凸関数ではない準凸関数の例。この関数は に臨界点を持つが 、これは最小値ではない。 × ＝ 0 {\displaystyle x=0} 最後に、擬凸関数には臨界点が存在しない場合があることに注意してください。例えば、擬凸関数 を考えてみましょう。 この関数の導関数は常に正です 。 f （ × ） ＝ × 3 + × {\displaystyle f(x)=x^{3}+x} f ′ （ × ） ＝ 3 × 2 + 1 > 0 、 た × ∈ R {\displaystyle f^{\prime }(x)=3x^{2}+1>0,\,\forall \,x\in \mathbb {R} }
例 擬凸関数だが凸関数ではない関数の例は次の通りである。 図は、 の場合のこの関数を示している 。この例は、2つの変数に一般化できる。 f （ × ） ＝ × 2 × 2 + け 、 け > 0。 {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}}{x^{2}+k}},\,k>0.} け ＝ 0.2 {\displaystyle k=0.2}
f （ × ） ＝ × 2 + y 2 × 2 + y 2 + け 、 け > 0。 {\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}+k}},\,k>0.} 凸ではない擬似凸関数。 前の例を修正して、凸関数でも擬似凸関数でもない、準凸関数を得ることができます。
f （ × ） ＝ | × | p | × | p + け 、 け > 0 、 p ∈ （ 0 、 1 ） 。 {\displaystyle f(x)={\frac {|x|^{p}}{|x|^{p}+k}},\,k>0,\,p\in (0,1).} 図は、 の場合のこの関数を示しています 。見てわかるように、この関数は凹面であるため凸関数ではなく、 で微分不可能であるため擬凸関数でもありません 。 け ＝ 0.5 、 p ＝ 0.6 {\displaystyle k=0.5,p=0.6} × ＝ 0 {\displaystyle x=0}
凸関数でも擬似凸関数でもない準凸関数。
微分不可能な関数への一般化 擬凸性の概念は、次のように微分不可能な関数に一般化できる。 [3] 任意の関数 が与えられたとき、 の上 ディニ導関数を 次のように定義できる 。 f : X → R {\displaystyle f:X\rightarrow\mathbb{R}} f {\displaystyle f}
f + （ × 、 あなた ） ＝ リムサップ h → 0 + f （ × + h あなた ） − f （ × ） h ; {\displaystyle f^{+}(x,u)=\limsup _{h\to 0^{+}}{\frac {f(x+hu)-f(x)}{h}};} ここで、 u は任意の 単位ベクトル である。上ディニ微分が正となる任意の方向において関数が増加する場合、その関数は擬凸関数と呼ばれる。より正確には、これは以下のように 劣微分 によって特徴付けられる 。 ∂ f {\displaystyle \partial f}
すべて に対して : が となる場合 、 すべて に対して となります 。 × 、 y ∈ X {\displaystyle x,y\in X} × ∗ ∈ ∂ f （ × ） {\displaystyle x^{*}\in \partial f(x)} ⟨ × ∗ 、 y − × ⟩ ≥ 0 {\displaystyle \langle x^{*},yx\rangle \geq 0} f （ × ） ≤ f （ z ） {\displaystyle f(x)\leq f(z)} z ∈ [ × 、 y ] {\displaystyle z\in [x,y]} ここで、 は x と y に隣接する線分を表します 。 [ × 、 y ] {\displaystyle [x,y]}
あ 擬凹関数 とは、その負の部分が擬凸となる関数のことである。 擬似線型関数 とは、擬似凸関数かつ擬似凹関数である。 [4] 例えば、 線形分数計画問題は 目的関数 と 線形不等式制約 を持つ 単体法 ジョージ・B・ダンツィグ による の変種によって解くことができる 。 [5] [6] [7]
ベクトル値関数 が与えられた場合、より一般的な -擬似凸性 [8] [9] と-擬似線形性 の概念があります 。ここで、古典的な擬似凸性と擬似線形性は の場合に関係します 。 η {\displaystyle \eta} η {\displaystyle \eta} η {\displaystyle \eta} η （ × 、 y ） ＝ y − × {\displaystyle \eta (x,y)=yx}
参照
注記 ^ マンガサリアン 1965 ^ マンガサリアン 1965 ^ フロウダス＆パルダロス 2001 ^ ラプサック 1991 ^ 第5章： クレイヴン、BD（1988年） 分数計画法 、シグマ応用数学シリーズ第4巻、ベルリン：ヘルダーマン出版社、145ページ、 ISBN 3-88538-404-3 . MR 0949209。 ^ Kruk, Serge; Wolkowicz, Henry (1999). 「擬似線形計画法」. SIAM Review . 41 (4): 795– 805. Bibcode :1999SIAMR..41..795K. doi :10.1137/S0036144598335259. JSTOR 2653207. MR 1723002. ^ マティス, フランク・H.; マティス, レノラ・ジェーン (1995). 「病院経営のための非線形計画アルゴリズム」. SIAM Review . 37 (2): 230– 234. doi :10.1137/1037046. JSTOR 2132826. MR 1343214. S2CID 120626738. ^ アンサリ、カムルル・ハサン、ラリタ、CS、メタ、モニカ (2013). 一般化凸性、非平滑変分不等式、非平滑最適化. CRC Press. p. 107. ISBN 9781439868218 . 2019年 7月15日 閲覧 。 ^ Mishra, Shashi K.; Giorgi, Giorgio (2008). Invexity and Optimization. Springer Science & Business Media. p. 39. ISBN 9783540785613 . 2019年 7月15日 閲覧 。
参考文献 Floudas, Christodoulos A. ; Pardalos, Panos M. (2001)、「一般化単調多値マップ」、 Encyclopedia of Optimization 、Springer、p. 227、 ISBN 978-0-7923-6932-5 。 Mangasarian, OL (1965年1月). 「擬似凸関数」. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Series A: Control . 3 (2): 281– 290. doi :10.1137/0303020. ISSN 0363-0129. 。 ラプサック, T. (1991-02-15). 「擬似線形関数について」. ヨーロッパオペレーションズリサーチジャーナル . 50 (3): 353– 360. doi :10.1016/0377-2217(91)90267-Y. ISSN 0377-2217.
![{\displaystyle z\in [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/642b61ab2e74286962dfc2fcfe4f92687c04859a)
![{\displaystyle [x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b7bd6292c6023626c6358bfd3943a031b27d663)
