q-ガウス分布

Generalization of Gaussian distribution

q -ガウス分布
確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle q<3}$ 形状（実在）（実在） ${\displaystyle \beta >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$のために のために ${\displaystyle 1\leq q<3}$ ${\displaystyle x\in \left[\pm {1 \over {\sqrt {\beta (1-q)}}}\right]}$ ${\displaystyle q<1}$
PDF	${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta x^{2}})}$
CDF	テキストを参照
平均	${\displaystyle 0{\text{ for }}q<2}$、それ以外は未定義
中央値	${\displaystyle 0}$
モード	${\displaystyle 0}$
分散	${\displaystyle {1 \over {\beta (5-3q)}}{\text{ for }}q<{5 \over 3}}$ ${\displaystyle \infty {\text{ for }}{5 \over 3}\leq q<2}$ ${\displaystyle {\text{Undefined for }}2\leq q<3}$
歪度	${\displaystyle 0{\text{ for }}q<{3 \over 2}}$
過剰尖度	${\displaystyle 6{q-1 \over 7-5q}{\text{ for }}q<{7 \over 5}}$

q-ガウス分布は、適切な制約の下でTsallisエントロピーを最大化することによって生じる確率分布です。これはTsallis分布の一例です。q-ガウス分布はガウス分布の一般化であり、Tsallisエントロピーが標準的なボルツマン・ギブスエントロピーまたはシャノンエントロピーの一般化であるのと同じです。^[1]正規分布はq → 1で回復します 。

q-ガウス分布は、統計力学、地質学、解剖学、天文学、経済学、金融、機械学習の分野の問題に応用されています。^{[要出典] 1 <} q < 3の場合、ガウス分布と比較して裾が重いため、この分布が好まれることがよくあります。q-ガウス分布は、有界確率変数の PDF です。このため、生物学やその他の分野^[2]では、外部確率の影響をモデル化するのにガウス分布よりもq-ガウス分布の方が適しています。古典的な中心極限定理^[3]の一般化されたq類似体が2008 年に提案されました。この定理では、 iid 変数の独立性制約がqパラメーターで定義される範囲まで緩和され、 q → 1で独立性が回復されます。 ただし、このような定理の証明はまだありません。^[4] ${\displaystyle q<1}$

裾野が広い領域では、分布はqと自由度を直接マッピングするスチューデントのt分布と等価です。したがって、これらの分布のいずれかを使用する実務家は、同じ分布を2つの異なる方法でパラメータ化できます。qガウス分布形式が選択される可能性があるのは、システムが非示量的である場合、または小さなサンプルサイズとの関連性がない場合です。

キャラクター設定

確率密度関数

標準的なq-ガウス分布の確率密度関数は ^{[3]である。}

${\displaystyle f(x)={{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}(-\beta x^{2})}$

どこ

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]_{+}^{1 \over 1-q}}$

はq指数関数であり、正規化係数は次のように与えられる。 ${\displaystyle C_{q}}$

${\displaystyle C_{q}={{2{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({1 \over 1-q}\right)} \over {(3-q){\sqrt {1-q}}\Gamma \left({3-q \over 2(1-q)}\right)}}{\text{ for }}-\infty <q<1}$

${\displaystyle C_{q}={\sqrt {\pi }}{\text{ for }}q=1\,}$

${\displaystyle C_{q}={{{\sqrt {\pi }}\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)} \over {{\sqrt {q-1}}\Gamma \left({1 \over q-1}\right)}}{\text{ for }}1<q<3.}$

qの場合、ガウス分布は境界付き確率変数の PDF であることに注意してください。 ${\displaystyle q<1}$

累積密度関数

累積密度関数は^[5] ${\displaystyle 1<q<3}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {q-1}}\,\Gamma \left({1 \over q-1}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({3-q \over 2(q-1)}\right)}},}$

ここで、は超幾何関数です。超幾何関数は| z | < 1で定義されますが、xは無限大なので、Pfaff変換を使用できます。 ${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

のために、 ${\displaystyle q<1}$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x<-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\{\frac {1}{2}}+{\frac {{\sqrt {1-q}}\,\Gamma \left({5-3q \over 2(1-q)}\right)x{\sqrt {\beta }}\,{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{q-1}};{\tfrac {3}{2}};-(q-1)\beta x^{2}\right)}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma \left({2-q \over 1-q}\right)}}&-{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}<x<{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}},\\1&x>{\frac {1}{\sqrt {\beta (1-q)}}}.\end{cases}}}$$

エントロピ

正規分布が第 1 モーメントと第 2 モーメントの固定値 (正規化条件に対​​応する固定ゼロ モーメント) に対する最大情報エントロピー分布であるのと同様に、 qガウス分布はこれら 3 つのモーメントの固定値に対する最大Tsallis エントロピー分布です。 ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})}$ ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{0})=1}$

関連ディストリビューション

学生のt-分布

これは興味深いエントロピーの代替形態によって正当化される可能性があるが、統計的には、1908年にW.ゴセットが小規模サンプル統計を記述するために導入したスチューデントのt分布の尺度再パラメータ化である。ゴセットの元の提示では、自由度パラメータν はサンプルサイズに関連する正の整数に制限されていたが、ゴセットの密度関数はν のあらゆる実数値に対して有効であることが容易に観察される。^{[要出典]尺度再パラメータ化により、} νに関連する代替パラメータqとβが導入される。

自由度νのスチューデントのt分布が与えられた場合、同等のqガウス分布は

${\displaystyle q={\frac {\nu +3}{\nu +1}}{\text{ with }}\beta ={\frac {1}{3-q}}}$

逆数

${\displaystyle \nu ={\frac {3-q}{q-1}},{\text{ but only if }}\beta ={\frac {1}{3-q}}.}$

のときはいつでも、関数は単にスチューデントのt分布のスケールされたバージョンになります。 ${\displaystyle \beta \neq {1 \over {3-q}}}$

この分布は、スチューデントのt分布を負の自由度や非整数の自由度に一般化したものだと主張されることがある。しかし、スチューデントのt分布の理論は、実数の自由度すべてに自明に拡張され、 ν < 0の場合、分布の台は無限ではなくコンパクトになる。 ^[要出典]

3パラメータバージョン

ゼロを中心とする多くの分布と同様に、q-ガウス分布は位置パラメータμを含むように簡単に拡張できる。この場合、密度は次のように定義される。

${\displaystyle {{\sqrt {\beta }} \over C_{q}}e_{q}({-\beta (x-\mu )^{2}}).}$

ランダムな逸脱を生成する

ボックス・ミュラー変換は、q-ガウス分布からのランダムサンプリングを可能にするために一般化されている。^[6]標準的なボックス・ミュラー法は、次の形式の方程式から独立した正規分布変数のペアを生成する。

${\displaystyle Z_{1}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\cos(2\pi U_{2})}$

${\displaystyle Z_{2}={\sqrt {-2\ln(U_{1})}}\sin(2\pi U_{2})}$

一般化ボックス・ミュラー法は、独立ではないqガウス分布の偏差のペアを生成することができます。実際には、一様分布に従う変数のペアからは1つの偏差しか生成されません。以下の式は、指定されたパラメータqとqを持つqガウス分布から偏差を生成します。 ${\displaystyle \beta ={1 \over {3-q}}}$

${\displaystyle Z={\sqrt {-2{\text{ ln}}_{q'}(U_{1})}}{\text{ cos}}(2\pi U_{2})}$

ここでq対数であり、 ${\displaystyle {\text{ ln}}_{q}}$ ${\displaystyle q'={{1+q} \over {3-q}}}$

これらの偏差は、任意のqガウス分布からの偏差を生成するために変換することができる。

${\displaystyle Z'=\mu +{Z \over {\sqrt {\beta (3-q)}}}}$

アプリケーション

物理

散逸光格子中の冷たい原子の運動量分布はqガウス分布であることが示されている。^[7]

q-ガウス分布は、2つの力（無限ポテンシャル井戸を決定する型の決定論的力と確率的白色ノイズ力 ）を受ける質量の一次元運動の位置の漸近確率密度関数としても得られる。ここで、は白色ノイズである。過減衰/小質量近似では、最近示されたように、 に対して上記の収束が成立しないことに注意されたい。^[8] ${\textstyle F_{1}(x)=-2x/(1-x^{2})}$ ${\textstyle F_{2}(t)={\sqrt {2(1-q)}}\xi (t)}$ ${\displaystyle \xi (t)}$ ${\displaystyle q<0}$

ファイナンス

ニューヨーク証券取引所、ナスダックなどの金融収益分布はqガウス分布として解釈されている。^{[9] [10]}

参照

• コンスタンティノ・ツァリス
• Tsallis統計
• ツァリスエントロピー
• ツァリス分布
• q指数分布
• Qガウス過程

注記

1. Tsallis, C. 非加法エントロピーと非示量的統計力学：20年後の展望. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356
2. d'Onofrio A.（編）『物理学、生物学、工学における境界ノイズ』Birkhauser（2013）
3. Umarov, Sabir; Tsallis, Constantino; Steinberg, Stanly (2008). 「非示量的統計力学と整合するq中心極限定理について」(PDF) . Milan J. Math . 76. Birkhauser Verlag: 307– 328. doi :10.1007/s00032-008-0087-y. S2CID  55967725. 2011年7月27日閲覧.
4. q修正中心極限定理に関する注記」、 Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment、2010 (10) 10023、arXiv : 1008.4259、Bibcode :2010JSMTE..10..023H、doi :10.1088/1742-5468/2010/10/P10023、S2CID  119316670。
5. 「TsallisQGaussianDistribution—Wolfram言語ドキュメント」reference.wolframcloud.com . 2025年2月15日閲覧。
6. W. Thistleton、JA Marsh、K. Nelson、C. Tsallis、「 q-ガウス分布のランダム偏差を生成するための一般化ボックス・ミュラー法」、IEEE Transactions on Information Theory 53、4805 (2007)
7. Douglas, P.; Bergamini, S.; Renzoni, F. (2006). 「散逸光格子における調整可能なTsallis分布」(PDF) . Physical Review Letters . 96 (11) 110601. Bibcode :2006PhRvL..96k0601D. doi :10.1103/PhysRevLett.96.110601. PMID  16605807.
8. Domingo, Dario; d'Onofrio, Alberto; Flandoli, Franco (2017). 「Tsallis q統計量にリンクされたノイズの有界性と非有界性：過減衰近似の役割」. Journal of Mathematical Physics . 58 (3). AIP Publishing: 033301. arXiv : 1709.08260 . Bibcode :2017JMP....58c3301D. doi :10.1063/1.4977081. ISSN  0022-2488. S2CID  84178785.
9. Borland, Lisa (2002-08-07). 「非ガウス株価モデルに基づくオプション価格決定式」. Physical Review Letters . 89 (9) 098701. アメリカ物理学会 (APS). arXiv : cond-mat/0204331 . Bibcode :2002PhRvL..89i8701B. doi :10.1103/physrevlett.89.098701. ISSN  0031-9007. PMID  12190447. S2CID  5740827.
10. L. Borland, 株式オプションの価格設定, 非拡張的エントロピー - 学際的応用, M. Gell-Mann および C. Tsallis 編 (オックスフォード大学出版局, ニューヨーク, 2004)

さらに読む

• Juniper, J. (2007) 「ツァリス分布と一般化エントロピー：不確実性下における意思決定に関する今後の研究の展望」(PDF) 。 2011年7月6日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年6月24日閲覧。、ニューカッスル大学、完全雇用と公平性センター、オーストラリア

外部リンク

• Tsallis統計、非示量系および長距離相互作用の統計力学

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