q指数分布

Generalization of exponential distribution

q指数分布
確率密度関数
パラメータ	${\displaystyle q<2}$ 形状（実数）レート（実数） ${\displaystyle \lambda >0}$
サポート	${\displaystyle x\in [0,\infty ){\text{ for }}q\geq 1}$ ${\displaystyle x\in \left[0,{\frac {1}{\lambda (1-q)}}\right){\text{ for }}q<1}$
PDF	${\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)}$
CDF	${\displaystyle 1-e_{q'}^{-\lambda x/q'}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda (3-2q)}}{\text{ for }}q<{\frac {3}{2}}}$ それ以外は未定義
中央値	${\displaystyle {\frac {-q'\ln _{q'}(1/2)}{\lambda }}{\text{ where }}q'={\frac {1}{2-q}}}$
モード	0
分散	${\displaystyle {\frac {q-2}{(2q-3)^{2}(3q-4)\lambda ^{2}}}{\text{ for }}q<{\frac {4}{3}}}$
歪度	${\displaystyle {\frac {2}{5-4q}}{\sqrt {\frac {3q-4}{q-2}}}{\text{ for }}q<{\frac {5}{4}}}$
過剰尖度	${\displaystyle 6{\frac {-4q^{3}+17q^{2}-20q+6}{(q-2)(4q-5)(5q-6)}}{\text{ for }}q<{\frac {6}{5}}}$

q指数分布は、定義域が正となる制約を含む適切な制約の下で、Tsallisエントロピーを最大化することによって生じる確率分布である。これはTsallis分布の一例である。q指数分布は指数分布の一般化であり、Tsallisエントロピーが標準的なボルツマン・ギブスエントロピーまたはシャノンエントロピーの一般化であるのと同様である。^[1]指数分布は次のように復元される。 ${\displaystyle q\rightarrow 1.}$

もともとは1964年に統計学者のジョージ・ボックスとデビッド・コックスによって提案され、^{[2]統計における}べき乗変換の特定のケースに対する逆ボックス・コックス変換として知られています。 ${\displaystyle q=1-\lambda ,}$

キャラクター設定

確率密度関数

q指数分布の確率密度関数は

${\displaystyle (2-q)\lambda e_{q}(-\lambda x)}$

どこ

${\displaystyle e_{q}(x)=[1+(1-q)x]^{1/(1-q)}}$

q ≠ 1の場合、q指数関数です。q = 1の場合、e _q (x) は exp( x ) と同じです。

導出

指数分布を導く方法と同様の手順（標準的なボルツマン-ギブスエントロピーまたはシャノンエントロピーを使用し、変数のドメインを正に制約する）で、適切な制約に従って Tsallis エントロピーを最大化することでq指数分布を導くことができます。

他のディストリビューションとの関係

q指数分布は、一般化パレート分布の特殊なケースであり、

${\displaystyle \mu =0,\quad \xi ={\frac {q-1}{2-q}},\quad \sigma ={\frac {1}{\lambda (2-q)}}.}$

q指数分布は、ロマックス分布（パレート分布II型）を有限台の場合に拡張した一般化分布です。ロマックスパラメータは以下のとおりです。

${\displaystyle \alpha ={\frac {2-q}{q-1}},\quad \lambda _{\mathrm {Lomax} }={\frac {1}{\lambda (q-1)}}.}$

ロマックス分布はパレート分布のシフト版であるため、q指数分布はパレート分布のシフトされた再パラメータ化された一般化です。q > 1の場合、q指数分布は、サポートが0から始まるようにシフトされたパレート分布と等価です。具体的には、

${\displaystyle X\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda ){\text{ and }}Y\sim \left[\operatorname {Pareto} \left(x_{m}={\frac {1}{\lambda (q-1)}},\alpha ={\frac {2-q}{q-1}}\right)-x_{m}\right],}$

それから ${\displaystyle X\sim Y.}$

ランダムな逸脱を生成する

ランダムな偏差は逆変換サンプリングを用いて抽出することができる。区間(0,1)に一様分布する変数Uが与えられれば、

${\displaystyle X={\frac {-q'\ln _{q'}(U)}{\lambda }}\sim \operatorname {{\mathit {q}}-Exp} (q,\lambda )}$

ここでq対数であり、 ${\displaystyle \ln _{q'}}$ ${\displaystyle q'={\frac {1}{2-q}}.}$

アプリケーション

べき乗変換は統計学において、分散を安定化させ、データをより正規分布に近づけ、変数間のピアソン相関などの関連指標の妥当性を向上させるための一般的な手法です。列車の遅延の正確なモデル化に有効であることが分かっています。^[3]また、原子物理学や量子光学においても、例えばフェシュバッハ共鳴を介した遷移による分子凝縮体生成過程などに用いられています。^[4]

参照

• コンスタンティノ・ツァリス
• Tsallis統計
• ツァリスエントロピー
• ツァリス分布
• q -コピュラ
• q -ガウス分布

注記

1. Tsallis, C. 非加法エントロピーと非示量的統計力学：20年後の展望. Braz. J. Phys. 2009, 39, 337–356
2. Box, George EP ; Cox, DR (1964). 「変換の分析」. Journal of the Royal Statistical Society, Series B. 26 ( 2): 211– 252. doi :10.1111/j.2517-6161.1964.tb00553.x. JSTOR  2984418. MR  0192611.
3. Keith Briggs and Christian Beck (2007). 「q指数関数を用いた列車遅延のモデリング」. Physica A. 378 ( 2): 498– 504. arXiv : physics/0611097 . Bibcode :2007PhyA..378..498B. doi :10.1016/j.physa.2006.11.084. S2CID  107475.
4. C. Sun; NA Sinitsyn (2016). 「Tavis-Cummings模型のLandau-Zener拡張：解の構造」. Phys. Rev. A . 94 (3) 033808. arXiv : 1606.08430 . Bibcode :2016PhRvA..94c3808S. doi :10.1103/PhysRevA.94.033808. S2CID  119317114.

さらに読む

• Juniper, J. (2007)「ツァリス分布と一般化エントロピー：不確実性下における意思決定に関する今後の研究の展望」2011年7月6日Wayback Machineにアーカイブ、オーストラリア、ニューカッスル大学、完全雇用・公平センター

外部リンク

• Tsallis統計、非示量系および長距離相互作用の統計力学

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