Concept in combinatorics (part of mathematics)
数学の 分野の 組み合わせ 論において 、 q ポッホハンマー記号は q シフト階乗 とも呼ばれ、 との 積です。 これは 、 という意味で ポッホハンマー記号 の q 類似体 です。q
ポッホハンマー記号は、 q 類似体の構築における主要な構成要素です 。たとえば、 基本超幾何級数 の理論では、 一般化超幾何級数 の理論で通常のポッホハンマー記号が果たす役割を果たします 。 ( a ; q ) n = ∏ k = 0 n − 1 ( 1 − a q k ) = ( 1 − a ) ( 1 − a q ) ( 1 − a q 2 ) ⋯ ( 1 − a q n − 1 ) , {\displaystyle (a;q)_{n}=\prod _{k=0}^{n-1}(1-aq^{k})=(1-a)(1-aq)(1-aq^{2})\cdots (1-aq^{n-1}),} ( a ; q ) 0 = 1. {\displaystyle (a;q)_{0}=1.} ( x ) n = x ( x + 1 ) … ( x + n − 1 ) {\displaystyle (x)_{n}=x(x+1)\dots (x+n-1)} lim q → 1 ( q x ; q ) n ( 1 − q ) n = ( x ) n . {\displaystyle \lim _{q\to 1}{\frac {(q^{x};q)_{n}}{(1-q)^{n}}}=(x)_{n}.}
通常のポッホハンマー記号とは異なり、 q-ポッホハンマー記号は 無限積 まで拡張できます 。 これは 単位円 の内部における q の 解析関数 であり、 q の 形式的な冪級数 とも考えられます。この特殊なケース
は オイラー関数 として知られ 、 組合せ論 、 数論、 モジュラー形式 理論において重要です 。 ( a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) . {\displaystyle (a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k}).} ϕ ( q ) = ( q ; q ) ∞ = ∏ k = 1 ∞ ( 1 − q k ) {\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}
アイデンティティ 有限積は無限積で表すことができ、 これは定義を負の整数 n に拡張する。したがって、非負の n に対しては、 および と
なる。あるいは 、 これは分割関数の生成関数の一部に有用である。 ( a ; q ) n = ( a ; q ) ∞ ( a q n ; q ) ∞ , {\displaystyle (a;q)_{n}={\frac {(a;q)_{\infty }}{(aq^{n};q)_{\infty }}},} ( a ; q ) − n = 1 ( a q − n ; q ) n = ∏ k = 1 n 1 ( 1 − a / q k ) {\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {1}{(aq^{-n};q)_{n}}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{(1-a/q^{k})}}} ( a ; q ) − n = ( − q / a ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q / a ; q ) n . {\displaystyle (a;q)_{-n}={\frac {(-q/a)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q/a;q)_{n}}}.} ∏ k = n ∞ ( 1 − a q k ) = ( a q n ; q ) ∞ = ( a ; q ) ∞ ( a ; q ) n , {\displaystyle \prod _{k=n}^{\infty }(1-aq^{k})=(aq^{n};q)_{\infty }={\frac {(a;q)_{\infty }}{(a;q)_{n}}},}
qポッホハマー記号は 、 数多くの q 級数の恒等式の対象であり、特に無限級数展開と は、 どちらも q 二項定理 の特殊なケースです。Fridrikh Karpelevich は 次の恒等式を発見しました (証明については Olshanetsky と Rogov (1995) を参照)。 ( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n − 1 ) / 2 ( q ; q ) n x n {\displaystyle (x;q)_{\infty }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n-1)/2}}{(q;q)_{n}}}x^{n}} 1 ( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ x n ( q ; q ) n , {\displaystyle {\frac {1}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{(q;q)_{n}}},} ( a x ; q ) ∞ ( x ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( a ; q ) n ( q ; q ) n x n . {\displaystyle {\frac {(ax;q)_{\infty }}{(x;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a;q)_{n}}{(q;q)_{n}}}x^{n}.} ( q ; q ) ∞ ( z ; q ) ∞ = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n q n ( n + 1 ) / 2 ( q ; q ) n ( 1 − z q − n ) , | z | < 1. {\displaystyle {\frac {(q;q)_{\infty }}{(z;q)_{\infty }}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}q^{n(n+1)/2}}{(q;q)_{n}(1-zq^{-n})}},\ |z|<1.}
組み合わせ解釈 q -ポッホハマー記号は、分割の 列挙的組合せ論 と密接に関連しています。 における の係数は、 m を最大で n 個の部分に
分割する数です。分割の共役により、これは mを最大で n 個の部分に 分割する数と同じなので、生成級数の同一視により、 上記の節と同様に 恒等式が得られます
。 q m a n {\displaystyle q^{m}a^{n}} ( a ; q ) ∞ − 1 = ∏ k = 0 ∞ ( 1 − a q k ) − 1 {\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\prod _{k=0}^{\infty }(1-aq^{k})^{-1}} ( a ; q ) ∞ − 1 = ∑ k = 0 ∞ ( ∏ j = 1 k 1 1 − q j ) a k = ∑ k = 0 ∞ a k ( q ; q ) k {\displaystyle (a;q)_{\infty }^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {a^{k}}{(q;q)_{k}}}}
また、の 係数は、 mを n または n -1 個の異なる部分に 分割する数であることもわかります 。 q m a n {\displaystyle q^{m}a^{n}} ( − a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 + a q k ) {\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})}
このような分割から n − 1 個の部分を持つ三角形分割を除去すると、最大で n個の部分を持つ任意の分割が残る。これは、 n 個または n − 1 個の異なる部分への分割の集合と、 n − 1 個の部分を持つ三角形分割 と最大で n 個の部分を持つ分割からなるペアの集合との間に、重み保存の一対一の関係を与える。生成級数を同一視することにより、これは前述のセクションで説明した恒等式につながる 。関数の逆数は同様に、 分割関数 の生成関数 として現れ 、これも 以下に示す 2 番目の 2 つの q 級数展開によって展開される。 [1] ( − a ; q ) ∞ = ∏ k = 0 ∞ ( 1 + a q k ) = ∑ k = 0 ∞ ( q ( k 2 ) ∏ j = 1 k 1 1 − q j ) a k = ∑ k = 0 ∞ q ( k 2 ) ( q ; q ) k a k {\displaystyle (-a;q)_{\infty }=\prod _{k=0}^{\infty }(1+aq^{k})=\sum _{k=0}^{\infty }\left(q^{k \choose 2}\prod _{j=1}^{k}{\frac {1}{1-q^{j}}}\right)a^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {q^{k \choose 2}}{(q;q)_{k}}}a^{k}} ( q ) ∞ := ( q ; q ) ∞ {\displaystyle (q)_{\infty }:=(q;q)_{\infty }} p ( n ) {\displaystyle p(n)} 1 ( q ; q ) ∞ = ∑ n ≥ 0 p ( n ) q n = ∑ n ≥ 0 q n ( q ; q ) n = ∑ n ≥ 0 q n 2 ( q ; q ) n 2 . {\displaystyle {\frac {1}{(q;q)_{\infty }}}=\sum _{n\geq 0}p(n)q^{n}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}^{2}}}.}
q 二項定理自体も、同様の趣旨の 、 もう少し複雑な組み合わせ論的議論によって扱うことができます (次のサブセクションに示す展開も参照してください)。
同様に、 ( q ; q ) ∞ = 1 − ∑ n ≥ 0 q n + 1 ( q ; q ) n = ∑ n ≥ 0 q n ( n + 1 ) 2 ( − 1 ) n ( q ; q ) n . {\displaystyle (q;q)_{\infty }=1-\sum _{n\geq 0}q^{n+1}(q;q)_{n}=\sum _{n\geq 0}q^{\frac {n(n+1)}{2}}{\frac {(-1)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}
複数引数の規則 q- ポッホハマー記号を含む恒等式は多くの記号の積を含むことが多いため 、積を複数の引数を持つ単一の記号として記述するのが標準的な慣例です。 ( a 1 , a 2 , … , a m ; q ) n = ( a 1 ; q ) n ( a 2 ; q ) n … ( a m ; q ) n . {\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{m};q)_{n}=(a_{1};q)_{n}(a_{2};q)_{n}\ldots (a_{m};q)_{n}.}
q -シリーズ q 級数 とは、係数が q の関数、典型的には の式で表される 級数 である 。 [2]初期の成果は オイラー 、 ガウス 、 コーシー によるものである。体系的な研究は エドゥアルト・ハイネ （1843年）に始まる 。 [3] ( a ; q ) n {\displaystyle (a;q)_{n}}
他者との関係 q -関数 n の q 類似体 、つまり q 括弧 または n の q 数 は 次のように定義されます。 このことから 、 階乗 の q 類似体である q 階乗 は次のように定義できます。 [ n ] q = 1 − q n 1 − q . {\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}
[ n ] ! q = ∏ k = 1 n [ k ] q = [ 1 ] q ⋅ [ 2 ] q ⋯ [ n − 1 ] q ⋅ [ n ] q = 1 − q 1 − q 1 − q 2 1 − q ⋯ 1 − q n − 1 1 − q 1 − q n 1 − q = 1 ⋅ ( 1 + q ) ⋯ ( 1 + q + ⋯ + q n − 2 ) ⋅ ( 1 + q + ⋯ + q n − 1 ) = ( q ; q ) n ( 1 − q ) n {\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}
これらの数字は 、 lim q → 1 [ n ] q = n , {\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,} lim q → 1 [ n ] ! q = n ! . {\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}
極限値 n ! は、 n 要素の集合 S の 順列を 数えます。同様に、 ちょうど i 個の要素を含む入れ子集合のシーケンスの数を数えます 。 [4] 比較すると、 q が素数冪で、 V が q 個の要素を持つ体上の n 次元 ベクトル空間 である場合 、 q 類似体は V 内の 完全フラグ の数、つまり、 i 次元を持つ 部分空間の シーケンスの数です 。 [4]これまでの考察から、入れ子集合のシーケンスを、 1 つの要素を持つ推測体 上のフラグと見なすことができることがわかります 。 E 1 ⊂ E 2 ⊂ ⋯ ⊂ E n = S {\displaystyle E_{1}\subset E_{2}\subset \cdots \subset E_{n}=S} E i {\displaystyle E_{i}} [ n ] ! q {\displaystyle [n]!_{q}} V 1 ⊂ V 2 ⊂ ⋯ ⊂ V n = V {\displaystyle V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{n}=V} V i {\displaystyle V_{i}}
負の整数q 括弧の積は q 階乗 で次のように表すことができます。 ∏ k = 1 n [ − k ] q = ( − 1 ) n [ n ] ! q q n ( n + 1 ) / 2 {\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}
q 階乗から q二項係数（ ガウス二項係数 とも呼ばれる） を次のように定義することができる 。 [ n k ] q = [ n ] ! q [ n − k ] ! q [ k ] ! q , {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[n-k]!_{q}[k]!_{q}}},}
ここで、これらの係数の三角形が対称的であることは容易に分かる。
[ n m ] q = [ n n − m ] q {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}_{q}={\begin{bmatrix}n\\n-m\end{bmatrix}}_{q}} すべてについて 。 0 ≤ m ≤ n {\displaystyle 0\leq m\leq n}
[ n + 1 k ] q = [ n k ] q + q n − k + 1 [ n k − 1 ] q = [ n k − 1 ] q + q k [ n k ] q . {\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n+1\\k\end{bmatrix}}_{q}&={\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}+q^{n-k+1}{\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}\\&={\begin{bmatrix}n\\k-1\end{bmatrix}}_{q}+q^{k}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}.\end{aligned}}}
前述の再帰関係から、これらの係数に関して 次の二項定理の変形が展開されることも分かる。 [5] q {\displaystyle q} ( z ; q ) n = ∑ j = 0 n [ n j ] q ( − z ) j q ( j 2 ) = ( 1 − z ) ( 1 − q z ) ⋯ ( 1 − z q n − 1 ) ( − q ; q ) n = ∑ j = 0 n [ n j ] q 2 q j ( q ; q 2 ) n = ∑ j = 0 2 n [ 2 n j ] q ( − 1 ) j 1 ( z ; q ) m + 1 = ∑ n ≥ 0 [ n + m n ] q z n . {\displaystyle {\begin{aligned}(z;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-z)^{j}q^{\binom {j}{2}}=(1-z)(1-qz)\cdots (1-zq^{n-1})\\(-q;q)_{n}&=\sum _{j=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\j\end{bmatrix}}_{q^{2}}q^{j}\\(q;q^{2})_{n}&=\sum _{j=0}^{2n}{\begin{bmatrix}2n\\j\end{bmatrix}}_{q}(-1)^{j}\\{\frac {1}{(z;q)_{m+1}}}&=\sum _{n\geq 0}{\begin{bmatrix}n+m\\n\end{bmatrix}}_{q}z^{n}.\end{aligned}}}
さらに、 を満たす非負整数を 引数とする q 多項式係数
を定義することもできる。上記の係数は 、 を満たす q 個の要素を持つ体上の n 次元ベクトル空間
における部分空間の 旗の数を数える 。 [ n k 1 , … , k m ] q = [ n ] ! q [ k 1 ] ! q ⋯ [ k m ] ! q , {\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},} k 1 , … , k m {\displaystyle k_{1},\ldots ,k_{m}} ∑ i = 1 m k i = n {\displaystyle \sum _{i=1}^{m}k_{i}=n} V 1 ⊂ ⋯ ⊂ V m {\displaystyle V_{1}\subset \dots \subset V_{m}} dim V i = ∑ j = 1 i k j {\displaystyle \dim V_{i}=\sum _{j=1}^{i}k_{j}}
極限では、 通常の多項式係数 が得られ、これは 、それぞれが回 出現する n 個の異なるシンボル 内の単語をカウントします 。 q → 1 {\displaystyle q\to 1} ( n k 1 , … , k m ) {\displaystyle {n \choose k_{1},\dots ,k_{m}}} { s 1 , … , s m } {\displaystyle \{s_{1},\dots ,s_{m}\}} s i {\displaystyle s_{i}} k i {\displaystyle k_{i}}
ガンマ関数 のq 類似体 である q- ガンマ 関数も得られ 、次のように定義されます
。これは 、単位円の内側から q が 1 に近づく
につれて、通常のガンマ関数に収束します。任意の x に対して 、また n が非負の整数値に対して となることに注意してください。あるいは、これは q 階乗関数の実数系へ の拡張と見なすこともできます。 Γ q ( x ) = ( 1 − q ) 1 − x ( q ; q ) ∞ ( q x ; q ) ∞ {\displaystyle \Gamma _{q}(x)={\frac {(1-q)^{1-x}(q;q)_{\infty }}{(q^{x};q)_{\infty }}}} Γ q ( x + 1 ) = [ x ] q Γ q ( x ) {\displaystyle \Gamma _{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma _{q}(x)} Γ q ( n + 1 ) = [ n ] ! q {\displaystyle \Gamma _{q}(n+1)=[n]!_{q}}
参照
参考文献 ^ Berndt, BC「q シリーズとは何か?」 (PDF) 。 ^ Bruce C. Berndt、「q 級数とは何か?」、Ramanujan Rediscovered: Proceedings of a Conference on Elliptic Functions, Partitions, and q-Series in memory of K. Venkatachaliengar: Bangalore、2009 年 6 月 1 日～5 日、ND Baruah、BC Berndt、S. Cooper、T. Huber、MJ Schlosser 編、Ramanujan Mathematical Society、マイソール、2010 年、31 ～ 51 頁。 ^ ハイネ、E.「Untersuhungen über die Reihe」。 J. Reine Angew. Math. 34 (1847), 285–328. ^ ab スタンレー、リチャード・P. (2011)、 列挙的組合せ論 、第1巻（第2版）、ケンブリッジ大学出版局 、セクション1.10.2。 ^ Olver; et al. (2010). 「セクション17.2」. NIST 数学関数ハンドブック. p. 421. ジョージ・ガスパーと ミザン・ラーマン 著 『Basic Hypergeometric Series, 2nd Edition 』(2004年)、Encyclopedia of Mathematics and Its Applications、 96ページ 、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ 。ISBN 0-521-83357-4 。 Roelof Koekoek と Rene F. Swarttouw、 「直交多項式の Askey スキームとその q 類似体」 、セクション 0.2。 エクストン、H.（1983）、 q-超幾何関数とその応用 、ニューヨーク：ハルステッドプレス、チチェスター：エリスホーウッド、1983年、 ISBN 0853124914 、 ISBN 0470274530 、 ISBN 978-0470274538 MA Olshanetsky と VBK Rogov (1995)、「修正 q-ベッセル関数と q-ベッセル-マクドナルド関数」、arXiv:q-alg/9509013。
外部リンク 
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a02cf663202653dffbcf359ad685442e72a75986)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\left[n\right]!_{q}&=\prod _{k=1}^{n}[k]_{q}=[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}\\&={\frac {1-q}{1-q}}{\frac {1-q^{2}}{1-q}}\cdots {\frac {1-q^{n-1}}{1-q}}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}\\&=1\cdot (1+q)\cdots (1+q+\cdots +q^{n-2})\cdot (1+q+\cdots +q^{n-1})\\&={\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d26938d76845bcff73ee6612f306e2cd19058541)
![{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]_{q}=n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d15cd416f0370687faf3f6ddf957fc368221b202)
![{\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}[n]!_{q}=n!.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bd153773bc04b64f6307e7bc02c9873ab1d609c)
![{\displaystyle [n]!_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9908fef01f897a1326dac11c8c37a95c82e2c5f)
![{\displaystyle \prod _{k=1}^{n}[-k]_{q}={\frac {(-1)^{n}\,[n]!_{q}}{q^{n(n+1)/2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0806e622aed7b12e911b5cb92c1368cb1aac18)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[nk]!_{q}[k]!_{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17eff31be58d1f38def98147fe5371874424d6fc)
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}n\\k_{1},\ldots ,k_{m}\end{bmatrix}}_{q}={\frac {[n]!_{q}}{[k_{1}]!_{q}\cdots [k_{m}]!_{q}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76cd290d3c26c00450c21184f393c95e676f917b)
![{\displaystyle \Gamma_{q}(x+1)=[x]_{q}\Gamma_{q}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29921c6438088c00d12901a4db0e6efdeca3223)
![{\displaystyle \Gamma_{q}(n+1)=[n]!_{q}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b1ff24c5f806506fded5d4b097e1690fef89a47)
