q微分

Q-analog of the ordinary derivative

数学において、組合せ論と量子計算の分野において、q微分（またはジャクソン微分）は、フランク・ヒルトン・ジャクソンによって導入された通常の微分（またはジャクソン微分）のq版である。これはジャクソンのq積分の逆である。q微分の他の形式については、Chung et al. (1994) を参照のこと。

意味

関数f ( x )のq微分は次のように定義される^{[1] [2] [3]}

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

と表記されることも多い。q微分はジャクソン微分とも呼ばれる。 ${\displaystyle D_{q}f(x)}$

正式には、対数変数におけるラグランジュのシフト演算子で表すと、次の演算子となる。

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

これは、として、単純な導関数になります。 ${\displaystyle D_{q}\to {\frac {d}{dx}}}$ ${\displaystyle q\to 1}$

それは明らかに直線的であり、

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

これは通常の微分積の法則に類似した積の法則を持ち、2つの同値な形式がある。

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

同様に、商規則も満たしており、

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

通常の微分にも連鎖律に似た規則がある。 とする。すると ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

q微分の固有関数はq指数e _q ( x )です。

通常のデリバティブとの関係

Q微分は通常の微分に似ていますが、興味深い違いがあります。例えば、単項式のq微分は次のようになります。^[2]

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$

ここではnのq括弧です。この極限では通常の微分が再び得られることに注意してください。 ${\displaystyle [n]_{q}}$ ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$

関数のn次q導関数は次のように表される: [ 3 ^]

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]!_{q}}$

ただし、fの通常のn階微分はx = 0で存在するものとする。ここで、はq-ポッホハマー記号、はq-階乗である。が解析的であれば、テイラー公式をの定義に適用して、 ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ ${\displaystyle [n]!_{q}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

ゼロ付近の関数のテイラー展開のq類似体は次式で表される: [ 2 ^]

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}.}$

高次のq-デリバティブ

高階微分については次の表現が知られている: ^{[4] [5]} ${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {1}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}_{q}q^{{\binom {k}{2}}-(n-1)k}f(q^{k}x).}$

${\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}}$は二項係数である。和の順序を と入れ替えることで、次の式が得られる：^{[4] [6]} ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle r=n-k}$

${\displaystyle D_{q}^{n}f(x)={\frac {(-1)^{n}q^{-{\binom {n}{2}}}}{(1-q)^{n}x^{n}}}\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}{\binom {n}{r}}_{q}q^{\binom {r}{2}}f(q^{n-r}x).}$

高階の-微分は-テイラー公式と-ロドリゲス公式（ -直交多項式^[4]を構築するために使用される公式）に使用されます。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$

一般化

ポスト量子計算

ポスト量子計算は量子計算理論の一般化であり、次の演算子を使用する。^{[7] [8]}

${\displaystyle D_{p,q}f(x):={\frac {f(px)-f(qx)}{(p-q)x}},\quad x\neq 0.}$

ハーン差

ヴォルフガング・ハーンは次のような演算子（ハーン差）を導入した。^{[9] [10]}

${\displaystyle D_{q,\omega }f(x):={\frac {f(qx+\omega )-f(x)}{(q-1)x+\omega }},\quad 0<q<1,\quad \omega >0.}$

この演算子が - 微分に簡約される場合、またそれが前進差分に簡約される場合。これは、直交多項式の族を構築し、いくつかの近似問題を調査するための効果的なツールです。 ^{[11] [12] [13]} ${\displaystyle \omega \to 0}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q\to 1}$

β-導関数

${\displaystyle \beta }$-導関数は次のように定義される演算子である: ^{[14] [15]}

${\displaystyle D_{\beta }f(t):={\frac {f(\beta (t))-f(t)}{\beta (t)-t}},\quad \beta \neq t,\quad \beta :I\to I.}$

定義において、は与えられた区間であり、は厳密に単調増加する連続関数（すなわち）である。 のとき、この演算子は- 微分であり、 のとき、この演算子はハーン差である。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \beta (t)}$ ${\displaystyle t>s\rightarrow \beta (t)>\beta (s)}$ ${\displaystyle \beta (t)=qt}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \beta (t)=qt+\omega }$

アプリケーション

q計算は機械学習において確率的活性化関数の設計に利用されてきた。^[16]

参照

• 導関数（一般化）
• ジャクソン積分
• Q指数関数
• Q差多項式
• 量子計算
• ツァリスエントロピー

引用

1. ジャクソン 1908、253–281ページ。
2. カックとポクマン・チャン、2002.
3. エルンスト 2012より。
4. Koepf 2014.
5. ケプフ、ライコヴィッチ、マリンコヴィッチ、2007、621–638 ページ。
6. アナビー＆マンスール 2008年、472–483頁。
7. Gupta V., Rassias TM, Agrawal PN, Acu AM (2018)「ポスト量子計算の基礎」。構成的近似理論の最近の進歩。SpringerOptimization and Its Applications、第138巻。Springer。
8. デュラン 2016.
9. ハーン、W. (1949). 数学. ナヒリ. 2: 4-34.
10. Hahn、W. (1983) モナトシェフテ数学。 95：19-24。
11. フーポアニニ 1998.
12. Kwon, K.; Lee, D.; Park, S.; Yoo, B.: Kyungpook Math. J. 38, 259-281 (1998).
13. Alvarez-Nodarse, R.: J. Comput. Appl. Math. 196, 320-337 (2006).
14. Auch, T. (2013):離散時間スケールにおける差分法と分数法の開発と応用ネブラスカ大学リンカーン校博士論文。
15. ハムザ他 2015年、182頁。
16. ニールセン＆サン 2021、2782–2789頁。

参考文献

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• Chung, KS; Chung, WS; Nam, ST; Kang, HJ (1994). 「新しいq微分とq対数」. International Journal of Theoretical Physics . 33 (10): 2019– 2029. Bibcode :1994IJTP...33.2019C. doi :10.1007/BF00675167. S2CID  117685233.
• Duran, U. (2016). ポスト量子計算（修士論文）. ガズィアンテプ大学大学院自然科学・応用科学研究科数学部. 2022年3月9日閲覧– ResearchGate経由.
• エルンスト, T. (2012). q計算の包括的解説. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. ISBN 978-303480430-1。
• エルンスト、トーマス (2001). 「q-計算の歴史と新たな手法」(PDF) . 2009年11月28日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2022年3月9日閲覧。
• エクストン、H. (1983). q-超幾何関数とその応用. ニューヨーク: ハルステッド・プレス. ISBN 978-047027453-8。
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• ジャクソン, FH (1908). 「q関数とある差分作用素について」. Trans. R. Soc. Edinb . 46 (2): 253– 281. doi :10.1017/S0080456800002751. S2CID  123927312.
• カック、ビクター。ポクマン・チャン (2002)。量子微積分学。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-95341-8。
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• Koepf, W.; Rajković, PM; Marinković, SD (2007年7月). 「q-ホロノミック関数の特性」. Journal of Difference Equations and Applications . 13 (7): 621– 638. CiteSeerX  10.1.1.298.4595 . doi :10.1080/10236190701264925. S2CID  123079843.
• Koepf, Wolfram (2014).超幾何的総和．総和と特殊関数恒等式へのアルゴリズム的アプローチ．Springer．ISBN 978-1-4471-6464-7。
• Nielsen, Frank; Sun, Ke (2021). 「q-ニューロン：確率的ジャクソン微分演算子に基づくニューロン活性化」. IEEE Trans. Neural Netw. Learn. Syst . 32 (6): 2782– 2789. arXiv : 1806.00149 . Bibcode :2021ITNNL..32.2782N. doi :10.1109/TNNLS.2020.3005167. PMID:  32886614. S2CID  : 44143912.

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