q指数関数

q指数分布という用語は2つの文脈で用いられます。Tsallisのq指数分布に基づくq指数分布については、別の箇所で議論されています。

組合せ 数学において、q指数関数は指数関数のq類似体、すなわちq微分の固有関数です。q 微分は数多く存在し 、例えば古典的な q微分、アスキー・ウィルソン演算子などがあります。したがって、古典的な指数関数とは異なり、q指数関数は一意ではありません。例えば、は古典的なq微分に対応する q指数関数であり、 はアスキー・ウィルソン演算子の固有関数です。 ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{q}(z)}$

q指数関数は量子二重対数としても知られています。^{[1] [2]}

意味

q指数は次のように定義される。 ${\displaystyle e_{q}(z)}$

${\displaystyle e_{q}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{[n]!_{q}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}{\frac {(1-q)^{n}}{(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}}}$

ここでq階乗であり、 ${\displaystyle [n]!_{q}}$

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

はq-ポッホハンマー記号である。これが指数関数のq-類似体であることは、次の性質からわかる。

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}e_{q}(z)=e_{q}(z)}$

ここで、左辺の微分はq微分である。上記は単項式のq微分を考えることで簡単に検証できる。

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}=z^{n-1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}=[n]_{q}z^{n-1}.}$

ここで、はq括弧です。q指数関数の他の定義については、Exton (1983)、Ismail & Zhang (1994)、Cieśliński (2011) を参照してください。 ${\displaystyle [n]_{q}}$

プロパティ

実数 の場合、関数は の整関数です。 の場合、関数 は円板 において正則です。 ${\displaystyle q>1}$ ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle q<1}$ ${\displaystyle e_{q}(z)}$ ${\displaystyle |z|<1/(1-q)}$

逆数に注意してください 。 ${\displaystyle ~e_{q}(z)~e_{1/q}(-z)=1}$

加算式

の類似は実数とには成立しない。しかし、これらが交換関係を満たす演算子である場合、が成立する。^[3] ${\displaystyle \exp(x)\exp(y)=\exp(x+y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle xy=qyx}$ ${\displaystyle e_{q}(x)e_{q}(y)=e_{q}(x+y)}$

関係

に関して 、密接に関係する関数は であり、これは基本超幾何級数 の特殊なケースである。 ${\displaystyle -1<q<1}$ ${\displaystyle E_{q}(z).}$

${\displaystyle E_{q}(z)=\;_{1}\phi _{1}\left({\scriptstyle {0 \atop 0}}\,;\,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(-z)^{n}}{(q;q)_{n}}}=\prod _{n=0}^{\infty }(1-q^{n}z)=(z;q)_{\infty }.}$

明らかに、

${\displaystyle \lim _{q\to 1}E_{q}\left(z(1-q)\right)=\lim _{q\to 1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{\binom {n}{2}}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}(-z)^{n}=e^{-z}.~}$

二重対数との関係

${\displaystyle e_{q}(x)}$次のような無限積表現を持つ。

${\displaystyle e_{q}(x)=\left(\prod _{k=0}^{\infty }(1-q^{k}(1-q)x)\right)^{-1}.}$

一方、が成り立つ。のとき、 ${\displaystyle \log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle |q|<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\log e_{q}(x)&=-\sum _{k=0}^{\infty }\log(1-q^{k}(1-q)x)\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(q^{k}(1-q)x)^{n}}{n}}\\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{(1-q^{n})n}}\\&={\frac {1}{1-q}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {((1-q)x)^{n}}{[n]_{q}n}}\end{aligned}}.}$

限界を取ることによって、 ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle \lim _{q\to 1}(1-q)\log e_{q}(x/(1-q))=\mathrm {Li} _{2}(x),}$

二重対数はどこですか？ ${\displaystyle \mathrm {Li} _{2}(x)}$

参考文献

1. Zudilin, Wadim (2006年3月14日). 「Quantum dilogarithm」(PDF) . wain.mi.ras.ru . 2017年7月5日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2021年7月16日閲覧。
2. Faddeev, Ld; Kashaev, Rm (1994-02-20). 「量子二対数」. Modern Physics Letters A. 09 ( 5): 427– 434. arXiv : hep-th/9310070 . Bibcode :1994MPLA....9..427F. doi :10.1142/S0217732394000447. ISSN  0217-7323. S2CID  119124642.
3. カック、V.; Cheung、P. (2011)。量子微積分学。スプリンガー。 p. 31.ISBN​ 978-1461300724。

• Cieśliński, Jan L. (2011). 「改良されたq指数関数とq三角関数」.応用数学レター. 24 (12): 2110– 2114. arXiv : 1006.5652 . doi : 10.1016/j.aml.2011.06.009 . S2CID  205496812.
• エクストン、ハロルド（1983年）『q-超幾何関数とその応用』ニューヨーク：ハルステッド・プレス、チチェスター：エリス・ホーウッド。ISBN 0853124914。
• ガスパー、ジョージ、ラーマン、ミザン・ラーマン(2004). 『Basic Hypergeometric Series』 ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0521833574。
• イスマイル、ムラド EH (2005). 『一変数における古典的および量子的直交多項式』ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/CBO9781107325982. ISBN 9780521782012。
• イスマイル, ムラド EH ; 張, ルイミン (1994). 「特定の積分演算子の対角化」.数学の進歩. 108 (1): 1– 33. doi : 10.1006/aima.1994.1077 .
• Ismail, Mourad EH ; Rahman, Mizan ; Zhang, Ruiming (1996). 「特定の積分演算子の対角化 II」. Journal of Computational and Applied Mathematics . 68 ( 1–2 ): 163– 196. CiteSeerX  10.1.1.234.4251 . doi : 10.1016/0377-0427(95)00263-4 .
• ジャクソン, FH (1909). 「q関数とある差分作用素について」.エディンバラ王立協会紀要. 46 (2): 253– 281. doi :10.1017/S0080456800002751. S2CID  123927312.

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