Highest rate quantum information can be sent through a noisy quantum channel
量子通信 の理論において 、 量子容量とは、ノイズのある 量子チャネル を多数の独立した使用を経て送信者から受信者に 量子情報 を通信できる 最高速度である。また、 チャネル上で エンタングルメントを生成できる最高速度に等しく、順方向の古典的通信ではこれを向上させることはできない。量子容量定理は 量子誤り訂正の理論にとって重要であり、より広くは 量子計算 の理論にとって重要である 。任意のチャネルの量子容量の下限を与える定理は、それを次第に厳密な基準で証明した著者の ロイド [1] 、 ショア [2] 、 およびデベタック [3] にちなんで、口語的にLSD定理として知られている。 [4]
パウリチャネルのハッシュ境界 LSD定理は、 量子通信路 の コヒーレント情報は 、信頼性の高い量子通信を実現可能な速度であることを述べています。パウリ通信路の場合、 コヒーレント情報は 単純な形式 （[ 要出典 ]） を持ち、それが達成可能であることの証明も非常に単純です。我々は [ 誰が？ ] 、ランダム スタビライザーコード を利用し 、通信路が生成する可能性のあるエラーのみを訂正することで、この特殊なケースにおける定理を証明します。
定理 （ハッシュ限界）。パウリ通信路のハッシュ限界 を次の形で達成する安定化 量子誤り訂正符号 が存在する。 ここで 、 は確率ベクトルのエントロピーである。 R = 1 − H ( p ) {\displaystyle R=1-H\left(\mathbf {p} \right)} ρ ↦ p I ρ + p X X ρ X + p Y Y ρ Y + p Z Z ρ Z , {\displaystyle \rho \mapsto p_{I}\rho +p_{X}X\rho X+p_{Y}Y\rho Y+p_{Z}Z\rho Z,} p = ( p I , p X , p Y , p Z ) {\displaystyle \mathbf {p} =\left(p_{I},p_{X},p_{Y},p_{Z}\right)} H ( p ) {\displaystyle H\left(\mathbf {p} \right)}
証明 。典型的な誤りのみを訂正することを考える。つまり、
典型的な 誤りの 集合 を次のように定義する。ここで は文字からなる何らかのシーケンスであり 、 はIIDパウリ通信路が何らかのテンソル積誤り を発行する確率である。この典型的な集合は 、すべての と十分に大きい に対して となるような、起こりうる誤りから構成される。 この場合の 安定化符号の 誤り訂正条件 [5] は、 が訂正可能な誤りの集合である場合
である。 T δ p n ≡ { a n : | − 1 n log 2 ( Pr { E a n } ) − H ( p ) | ≤ δ } , {\displaystyle T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\equiv \left\{a^{n}:\left\vert -{\frac {1}{n}}\log _{2}\left(\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\right)-H\left(\mathbf {p} \right)\right\vert \leq \delta \right\},} a n {\displaystyle a^{n}} { I , X , Y , Z } {\displaystyle \left\{I,X,Y,Z\right\}} Pr { E a n } {\displaystyle \Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}} E a n ≡ E a 1 ⊗ ⋯ ⊗ E a n {\displaystyle E_{a^{n}}\equiv E_{a_{1}}\otimes \cdots \otimes E_{a_{n}}} ∑ a n ∈ T δ p n Pr { E a n } ≥ 1 − ϵ , {\displaystyle \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\geq 1-\epsilon ,} ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} n {\displaystyle n} S {\displaystyle {\mathcal {S}}} { E a n : a n ∈ T δ p n } {\displaystyle \{E_{a^{n}}:a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\}}
E a n † E b n ∉ N ( S ) ∖ S , {\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\notin N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}},} と なる ような すべての誤りペアとに対して 、と なる。また、安定 化 コードをランダムに選択した場合の誤り確率の期待値も考える。 E a n {\displaystyle E_{a^{n}}} E b n {\displaystyle E_{b^{n}}} a n , b n ∈ T δ p n {\displaystyle a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}} N ( S ) {\displaystyle N({\mathcal {S}})} S {\displaystyle {\mathcal {S}}}
以下のように進めます。 最初の等式は定義により成り立ちます。 つまり、 は指示関数であり、 が訂正不可能な場合は1 、そうでない場合は0となります。最初の不等式は、非典型的エラー集合の確率質量が無視できるため、典型的エラーのみを訂正するため成り立ちます。2番目の等式は、期待値と和を入れ替えることで成り立ちます。3番目の等式は、指示関数の期待値が、選択されたイベントが発生する確率であるため成り立ちます。 E S { p e } = E S { ∑ a n Pr { E a n } I ( E a n is uncorrectable under S ) } ≤ E S { ∑ a n ∈ T δ p n Pr { E a n } I ( E a n is uncorrectable under S ) } + ϵ = ∑ a n ∈ T δ p n Pr { E a n } E S { I ( E a n is uncorrectable under S ) } + ϵ = ∑ a n ∈ T δ p n Pr { E a n } Pr S { E a n is uncorrectable under S } + ϵ . {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{p_{e}\right\}&=\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}\\&\leq \mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\mathbb {E} _{\mathcal {S}}\left\{{\mathcal {I}}\left(E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right)\right\}+\epsilon \\&=\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}{\text{ is uncorrectable under }}{\mathcal {S}}\right\}+\epsilon .\end{aligned}}} I {\displaystyle {\mathcal {I}}} E a n {\displaystyle E_{a^{n}}} S {\displaystyle {\mathcal {S}}}
続いて、次のようになります。 = ∑ a n ∈ T δ p n Pr { E a n } Pr S { ∃ E b n : b n ∈ T δ p n , b n ≠ a n , E a n † E b n ∈ N ( S ) ∖ S } {\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\right\}}
≤ ∑ a n ∈ T δ A n Pr { E a n } Pr S { ∃ E b n : b n ∈ T δ p n , b n ≠ a n , E a n † E b n ∈ N ( S ) } {\displaystyle \leq \sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{A^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\exists E_{b^{n}}:b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n},\ E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}} = ∑ a n ∈ T δ p n Pr { E a n } Pr S { ⋃ b n ∈ T δ p n , b n ≠ a n E a n † E b n ∈ N ( S ) } {\displaystyle =\sum _{a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{\bigcup \limits _{b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}} ≤ ∑ a n , b n ∈ T δ p n , b n ≠ a n Pr { E a n } Pr S { E a n † E b n ∈ N ( S ) } {\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}} ≤ ∑ a n , b n ∈ T δ p n , b n ≠ a n Pr { E a n } 2 − ( n − k ) {\displaystyle \leq \sum _{a^{n},b^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}},\ b^{n}\neq a^{n}}\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}2^{-\left(n-k\right)}} ≤ 2 2 n [ H ( p ) + δ ] 2 − n [ H ( p ) + δ ] 2 − ( n − k ) {\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(n-k\right)}} = 2 − n [ 1 − H ( p ) − k / n − 3 δ ] . {\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.} 最初の等式は、量子安定化コードの誤り訂正条件から導かれます。ここで、 は の正規化子です 。最初の不等式は、コード内の潜在的な退化を無視することで導かれます。つまり、誤りが正規化子内にある場合、その誤りは訂正不可能であると見なし 、 の場合にのみ確率が大きくなります 。2 番目の等式は、存在基準とイベントの和集合の確率が等しいことを認識することで導かれます。2 番目の不等式は、和集合の境界を適用することで導かれます。3 番目の不等式は、固定演算子が ランダム安定化子の安定化演算子と可換である確率は、次のように上限を定められるという事実から導かれます。 ここでの論拠は、安定化コードをランダムに選択することは、演算子 、... を固定し、一様ランダムなクリフォード ユニタリを実行することと等価であるということです。固定演算子が 、... と可換である確率は
、 正規化子内の非恒等演算子の数 ( ) を非恒等演算子の総数 ( ) で割ったものに過ぎません。上記の境界を適用した後、次の典型性境界を利用します。 レートが である限り 、エラー確率の期待値は任意に小さくなり、エラー確率の同じ境界を持つ安定化コードの選択肢が少なくとも 1 つ存在すると結論付けます。 N ( S ) {\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)} S {\displaystyle {\mathcal {S}}} N ( S ) {\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)} N ( S ) ∖ S ∈ N ( S ) {\displaystyle N\left({\mathcal {S}}\right)\backslash {\mathcal {S}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)} E a n † E b n {\displaystyle E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}} Pr S { E a n † E b n ∈ N ( S ) } = 2 n + k − 1 2 2 n − 1 ≤ 2 − ( n − k ) . {\displaystyle \Pr _{\mathcal {S}}\left\{E_{a^{n}}^{\dagger }E_{b^{n}}\in N\left({\mathcal {S}}\right)\right\}={\frac {2^{n+k}-1}{2^{2n}-1}}\leq 2^{-\left(n-k\right)}.} Z 1 {\displaystyle Z_{1}} Z n − k {\displaystyle Z_{n-k}} Z ¯ 1 {\displaystyle {\overline {Z}}_{1}} Z ¯ n − k {\displaystyle {\overline {Z}}_{n-k}} 2 n + k − 1 {\displaystyle 2^{n+k}-1} 2 2 n − 1 {\displaystyle 2^{2n}-1} ∀ a n ∈ T δ p n : Pr { E a n } ≤ 2 − n [ H ( p ) + δ ] , {\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},} | T δ p n | ≤ 2 n [ H ( p ) + δ ] . {\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.} k / n = 1 − H ( p ) − 4 δ {\displaystyle k/n=1-H\left(\mathbf {p} \right)-4\delta }
参照
参考文献 ^ Seth Lloyd (1997). 「ノイズのある量子通信路の容量」. Physical Review A. 55 ( 3): 1613– 1622. arXiv : quant-ph/9604015 . Bibcode :1997PhRvA..55.1613L. doi :10.1103/PhysRevA.55.1613. S2CID 5555850. ^ Peter Shor (2002). 「量子チャネル容量とコヒーレント情報」 (PDF) . 講義ノート, MSRI 量子計算ワークショップ . ^ Igor Devetak (2005). 「量子チャネルのプライベート古典容量と量子容量」. IEEE Transactions on Information Theory . 51 (1): 44– 55. arXiv : quant-ph/0304127 . Bibcode :2005ITIT...51...44D. doi :10.1109/TIT.2004.839515. S2CID 12246393. ^ ワイルド、マーク・M. (2017). 量子情報理論 （第2版）. ケンブリッジ、イギリス. ISBN 978-1-316-80997-6 . OCLC 972292559. {{cite book }}: CS1 maint: location missing publisher (link )^ ニールセン、マイケル・A. ; チュアン、アイザック・L. (2000) 『量子計算と量子情報 』 ケンブリッジ大学出版局 、 ISBN 978-0-521-63503-5 。
![{\displaystyle \leq 2^{2n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}2^{-\left(nk\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c66ef32a3a3c843db144c53d693171fbb1678c69)
![{\displaystyle =2^{-n\left[1-H\left(\mathbf {p} \right)-k/n-3\delta \right]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d18ea4d6e07d8514ca12d5e74afba673ceacaf)
![{\displaystyle \forall a^{n}\in T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}:\Pr \left\{E_{a^{n}}\right\}\leq 2^{-n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88fa7ba4f41c8d44846ab7dc2942ac7e2ed45044)
![{\displaystyle \left\vert T_{\delta }^{\mathbf {p} ^{n}}\right\vert \leq 2^{n\left[H\left(\mathbf {p} \right)+\delta \right]}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4a1fc1a4da120eb26ec23eeb19bd9a79c291a41)
