Concept in statistics
準 確率分布は 確率分布 に似た 数学的対象 であるが、 コルモゴロフの確率論における公理の 一部を緩和したものである。準確率分布は 、量子力学 の研究において、 位相空間定式化 で扱われる際に自然に現れ 、 量子光学 、 時間周波数解析 、 [1] などで一般的に用いられる。
準確率は、通常の確率といくつかの一般的な特徴を共有しています。例えば、 分布の重みに関する 期待値を 生成する能力など、重要な特徴があります。しかし、準確率は σ 加法性公理に違反する可能性があります。つまり、準 確率分布を積分しても、必ずしも互いに排他的な状態の確率が得られるとは限りません。また、準確率分布には 負の確率 密度領域があり 、これは直感に反し、 最初の公理 に反します。
導入 最も一般的な形式では、 量子力学システムのダイナミクスは、 ヒルベルト空間 の マスター方程式、つまりシステムの 密度演算子 （通常は と表記される）の 運動方程式 によって決まります。密度演算子は、 完全な 直交基底 に対して定義されます 。非常に小さなシステム（つまり、粒子や自由度の少ないシステム）に対してこの方程式を直接積分することは可能ですが、より大きなシステムに対してはすぐに扱いにくくなります。ただし、過剰完全基底 に対する密度演算子は常に対 角形 式で表記できることは証明できます [2] 。密度演算子がこのような過剰 完全 基底で表されている場合、関数が準確率分布の特徴を持つという犠牲を払って、通常の関数に似た方法で表記することができます。システムの発展は、準確率分布関数の発展によって完全に決定されます。 ρ ^ {\displaystyle {\widehat {\rho }}}
コヒーレント 状態、すなわち 消滅作用素 の 右 固有状態 は、上述の構成における過剰完備基底として働く。定義により、コヒーレント状態は以下の性質を持つ。 a ^ {\displaystyle {\widehat {a}}} a ^ | α ⟩ = α | α ⟩ ⟨ α | a ^ † = ⟨ α | α ∗ . {\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\[1ex]\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}}
これらにはさらに興味深い性質があります。例えば、2つのコヒーレント状態は直交しません。実際、 | α ⟩ と | β ⟩ がコヒーレント状態のペアである場合、 と なります。ただし、これらの状態は ⟨ α | α ⟩ = 1 で正しく 正規化されていることに注意してください。 フォック状態 の基底が完全であるため 、コヒーレント状態の基底の選択は過剰完全でなければなりません。 [3] クリックすると非公式な証明が表示されます。 ⟨ β ∣ α ⟩ = e − 1 2 ( | β | 2 + | α | 2 − 2 β ∗ α ) ≠ δ ( α − β ) . {\displaystyle \langle \beta \mid \alpha \rangle =e^{-{\frac {1}{2}}(\left|\beta \right|^{2}+\left|\alpha \right|^{2}-2\beta ^{*}\alpha )}\neq \delta (\alpha -\beta ).}
コヒーレント状態の過剰完全性の証明 複素平面上の積分は、 を用いて極座標で表すことができます 。 和と積分の入れ替えが可能な場合、 ガンマ関数 の単純な積分表現が得られます 。 d 2 α = r d r d θ {\displaystyle d^{2}\alpha =r\,dr\,d\theta } ∫ | α ⟩ ⟨ α | d 2 α = ∫ ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ e − | α | 2 ⋅ α n ( α ∗ ) k n ! k ! | n ⟩ ⟨ k | d 2 α = ∫ 0 ∞ ∫ 0 2 π ∑ n = 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ e − r 2 ⋅ r n + k + 1 e i ( n − k ) θ n ! k ! | n ⟩ ⟨ k | d θ d r = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ ∫ 0 2 π e − r 2 ⋅ r n + k + 1 e i ( n − k ) θ n ! k ! | n ⟩ ⟨ k | d θ d r = 2 π ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 ∞ ∑ k = 0 ∞ e − r 2 ⋅ r n + k + 1 δ ( n − k ) n ! k ! | n ⟩ ⟨ k | d r = 2 π ∑ n = 0 ∞ ∫ e − r 2 ⋅ r 2 n + 1 n ! | n ⟩ ⟨ n | d r = π ∑ n = 0 ∞ ∫ e − u ⋅ u n n ! | n ⟩ ⟨ n | d u = π ∑ n = 0 ∞ | n ⟩ ⟨ n | = π I ^ . {\displaystyle {\begin{aligned}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha &=\int \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{|\alpha |^{2}}}\cdot {\frac {\alpha ^{n}(\alpha ^{*})^{k}}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d^{2}\alpha \\&=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d\theta \,dr\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }\int _{0}^{2\pi }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}e^{i(n-k)\theta }}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,d\theta \,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{n+k+1}\delta (n-k)}{\sqrt {n!k!}}}|n\rangle \langle k|\,dr\\&=2\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int e^{-{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{2n+1}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,dr\\&=\pi \sum _{n=0}^{\infty }\int e^{-u}\cdot {\frac {u^{n}}{n!}}|n\rangle \langle n|\,du\\&=\pi \sum _{n=0}^{\infty }|n\rangle \langle n|\\&=\pi {\widehat {I}}.\end{aligned}}}
明らかに、状態を次のように書くことでヒルベルト空間を張ることができる。 | ψ ⟩ = 1 π ∫ | α ⟩ ⟨ α | ψ ⟩ d 2 α . {\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {1}{\pi }}\int |\alpha \rangle \langle \alpha |\psi \rangle \,d^{2}\alpha .}
一方、状態の正規化が正しく行われているにもかかわらず、π > 1 の係数は、この基底が過剰完全であることを証明します。
しかしながら、コヒーレント状態基底においては、 密度演算子を対角形式で表現することが
常に可能であり [2]、 ここで f は位相空間分布の表現である。この関数 f は、以下の性質を持つため、準確率密度とみなされる。 ρ ^ = ∫ f ( α , α ∗ ) | α ⟩ ⟨ α | d 2 α {\displaystyle {\widehat {\rho }}=\int f(\alpha ,\alpha ^{*})|\alpha \rangle \langle \alpha |\,d^{2}\alpha }
∫ f ( α , α ∗ ) d 2 α = tr ( ρ ^ ) = 1 {\displaystyle \int f(\alpha ,\alpha ^{*})\,d^{2}\alpha =\operatorname {tr} ({\widehat {\rho }})=1} （正規化） が、順序付けされたΩにおける生成演算子と消滅演算子の べき級数 として表現できる演算子である 場合、その期待値は （ 光学的等価定理 ）である。 g Ω ( a ^ , a ^ † ) {\displaystyle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })} ⟨ g Ω ( a ^ , a ^ † ) ⟩ = ∫ f ( α , α ∗ ) g Ω ( α , α ∗ ) d α d α ∗ {\displaystyle \langle g_{\Omega }({\widehat {a}},{\widehat {a}}^{\dagger })\rangle =\int f(\alpha ,\alpha ^{*})g_{\Omega }(\alpha ,\alpha ^{*})\,d\alpha \,d\alpha ^{*}} 異なる表現のファミリーが存在し、それぞれが異なる順序 Ω に関連付けられています。一般物理学の文献で最も人気があり、歴史的に最初のものは、 対称演算子順序付けに関連する ウィグナーの準確率分布です [4] 。特に量子光学では、対象となる演算子、特に 粒子数演算子 は、自然に 通常の順序 で表現されることがよくあります 。その場合、位相空間分布の対応する表現は、 グラウバー–スダルシャン P 表現です [5] 。これらの位相空間分布の準確率的性質は 、次の重要なステートメントにより、 P 表現で最もよく理解されます。 [6]
量子系がコヒーレント状態や 熱放射 などの古典的な類似物を持つ場合、 Pは 通常の確率分布と同様に、あらゆる点で非負となる。しかし、量子系が非コヒーレントな フォック状態 や エンタングルメント系 などの古典的な類似物を持たない場合、 Pはどこかで負となるか、 デルタ関数 よりも特異となる 。
この包括的な記述は他の表現には当てはまりません。例えば、 EPR 状態のウィグナー関数は正定値ですが、古典的な類似関数は存在しません。 [7] [8]
上記で定義した表現に加えて、位相空間分布の代替表現から生じる多くの準確率分布が存在する。もう一つの一般的な表現は Husimi Q表現 [9] であり、これは演算子が 反 正規順序である場合に有用である 。近年では、正 P 表現やより広範な一般化 P 表現が量子光学における複雑な問題を解くために用いられている。これらはすべて等価であり、相互に変換可能である。例えば、 コーエンの類分布関数など である。
特性関数 確率論と同様に、量子準確率分布は特性関数 で表すことができ 、 そこからすべての演算子期待値を導くことができる。Nモード系のウィグナー分布、 グラウバー分布 、Q分布の特性関数は 以下のとおりである。
χ W ( z , z ∗ ) = tr [ ρ exp ( i z ⋅ a ^ + i z ∗ ⋅ a ^ † ) ] {\displaystyle \chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\right]} χ P ( z , z ∗ ) = tr [ ρ exp ( i z ∗ ⋅ a ^ † ) exp ( i z ⋅ a ^ ) ] {\displaystyle \chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\right]} χ Q ( z , z ∗ ) = tr [ ρ exp ( i z ⋅ a ^ ) exp ( i z ∗ ⋅ a ^ † ) ] {\displaystyle \chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\right]} ここで 、およびは 、系の各モードにおける 消滅演算子と生成演算子 を含むベクトルです。これらの特性関数は、演算子モーメントの期待値を直接評価するために使用できます。これらのモーメントにおける消滅演算子と生成演算子の順序は、特定の特性関数に固有です。例えば、 通常の順序 （生成演算子が消滅演算子に先行する）のモーメントは、次のようにして評価できます 。 a ^ {\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}} a ^ † {\displaystyle {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }} χ P {\displaystyle \chi _{P}\,}
⟨ a ^ j † m a ^ k n ⟩ = ∂ m + n ∂ ( i z j ∗ ) m ∂ ( i z k ) n χ P ( z , z ∗ ) | z = z ∗ = 0 {\displaystyle \left\langle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger m}{\widehat {a}}_{k}^{n}\right\rangle =\left.{\frac {\partial ^{m+n}}{\partial (iz_{j}^{*})^{m}\partial (iz_{k})^{n}}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {z} ^{*}=0}}
同様に、反正規的順序および対称的順序を持つ消滅演算子と生成演算子の組み合わせの期待値は、それぞれQ分布とウィグナー分布の特性関数から評価できる。準確率関数自体は、上記の特性関数の フーリエ変換 として定義される。すなわち、
{ W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ ) = 1 π 2 N ∫ χ { W ∣ P ∣ Q } ( z , z ∗ ) e − i z ∗ ⋅ α ∗ e − i z ⋅ α d 2 N z . {\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2N}}}\int \chi _{\{W\mid P\mid Q\}}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})e^{-i\mathbf {z} ^{*}\cdot \mathbf {\alpha } ^{*}}e^{-i\mathbf {z} \cdot \mathbf {\alpha } }\,d^{2N}\mathbf {z} .}
ここで 、 とは、 グラウバーP分布およびQ分布の場合は コヒーレント状態 振幅として識別されますが、 ウィグナー関数の場合は単に c数として識別されます。 通常の空間 での微分はフーリエ空間では乗算となるため、これらの関数からモーメントは次のように計算できます。 α j {\displaystyle \alpha _{j}\,} α k ∗ {\displaystyle \alpha _{k}^{*}}
⟨ a ^ j † m a ^ k n ⟩ = ∫ P ( α , α ∗ ) α j n α k ∗ m d 2 N α {\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n}\rangle =\int P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{n}\alpha _{k}^{*m}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } } ⟨ a ^ j m a ^ k † n ⟩ = ∫ Q ( α , α ∗ ) α j m α k ∗ n d 2 N α {\displaystyle \langle {\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{\dagger n}\rangle =\int Q(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } } ⟨ ( a ^ j † m a ^ k n ) S ⟩ = ∫ W ( α , α ∗ ) α j m α k ∗ n d 2 N α {\displaystyle \langle ({\widehat {\mathbf {a} }}_{j}^{\dagger m}{\widehat {\mathbf {a} }}_{k}^{n})_{S}\rangle =\int W(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})\alpha _{j}^{m}\alpha _{k}^{*n}\,d^{2N}\mathbf {\alpha } } ここでは 対称的な順序を示します。 ( ⋯ ) S {\displaystyle (\cdots )_{S}}
これらの表現はすべて、 ガウス関数 、 ワイエルシュトラス変換 による 畳み込み を通じて相互に関連している。
W ( α , α ∗ ) = 2 π ∫ P ( β , β ∗ ) e − 2 | α − β | 2 d 2 β {\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta } Q ( α , α ∗ ) = 2 π ∫ W ( β , β ∗ ) e − 2 | α − β | 2 d 2 β {\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {2}{\pi }}\int W(\beta ,\beta ^{*})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta } あるいは畳み込みが結合的で あるという性質を利用して 、 Q ( α , α ∗ ) = 1 π ∫ P ( β , β ∗ ) e − | α − β | 2 d 2 β . {\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\int P(\beta ,\beta ^{*})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta ~.}
すると、 P ( α , α ∗ ) = 1 π 2 ∫ Q ( β , β ∗ ) e | λ | 2 + λ ∗ ( α − β ) − λ ( α − β ) ∗ d 2 β d 2 λ , {\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int Q(\beta ,\beta ^{*})e^{|\lambda |^{2}+\lambda ^{*}(\alpha -\beta )-\lambda (\alpha -\beta )^{*}}\,d^{2}\beta ~d^{2}\lambda ,}
しばしば発散する積分であり、 P はしばしば分布であることを示す。Q は 常に同じ密度行列に対して P よりも広い。 [10]
例えば、熱状態の場合 、 ρ ^ = 1 n ¯ + 1 ∑ n = 0 ∞ ( n ¯ 1 + n ¯ ) n | n ⟩ ⟨ n | , {\displaystyle {\hat {\rho }}={\frac {1}{{\bar {n}}+1}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {\bar {n}}{1+{\bar {n}}}}\right)^{n}|n\rangle \langle n|~,} P ( α ) = 1 π n ¯ e − | α | 2 n ¯ , Q ( α ) = 1 π ( 1 + n ¯ ) e − | α | 2 1 + n ¯ . {\displaystyle P(\alpha )={\frac {1}{\pi {\bar {n}}}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{\bar {n}}}},\qquad Q(\alpha )={\frac {1}{\pi (1+{\bar {n}})}}e^{-{\frac {|\alpha |^{2}}{1+{\bar {n}}}}}~.}
時間発展と演算子対応 ρ から分布関数への 上記の各変換は 線形 であるため、各分布の運動方程式は、同じ変換を に対して実行することで得ることができる 。さらに、 リンドブラッド形式 で表現できる マスター方程式はすべて、密度演算子に対する 消滅演算子と生成演算子 の組み合わせの作用によって完全に記述されるため 、そのような操作が各準確率関数に与える影響を考慮することは有用である。 [11] [12] ρ ˙ {\displaystyle {\dot {\rho }}}
例えば、 ρ に作用する消滅作用素を考えてみましょう 。P分布の特性関数は a ^ j {\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\,} tr ( a ^ j ρ e i z ∗ ⋅ a ^ † e i z ⋅ a ^ ) = ∂ ∂ ( i z j ) χ P ( z , z ∗ ) . {\displaystyle \operatorname {tr} ({\widehat {a}}_{j}\rho e^{i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }}e^{i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}})={\frac {\partial }{\partial (iz_{j})}}\chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*}).}
をフーリエ変換 して グラウバーP関数上の対応する作用を求める と、 z {\displaystyle \mathbf {z} \,} a ^ j ρ → α j P ( α , α ∗ ) . {\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \alpha _{j}P(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*}).}
上記の各分布に対してこの手順を実行すると、次の 演算子の対応を 識別できます。
a ^ j ρ → ( α j + κ ∂ ∂ α j ∗ ) { W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ ) {\displaystyle {\widehat {a}}_{j}\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})} ρ a ^ j † → ( α j ∗ + κ ∂ ∂ α j ) { W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ ) {\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}+\kappa {\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})} a ^ j † ρ → ( α j ∗ − ( 1 − κ ) ∂ ∂ α j ) { W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ ) {\displaystyle {\widehat {a}}_{j}^{\dagger }\rho \rightarrow \left(\alpha _{j}^{*}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})} ρ a ^ j → ( α j − ( 1 − κ ) ∂ ∂ α j ∗ ) { W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ ) {\displaystyle \rho {\widehat {a}}_{j}\rightarrow \left(\alpha _{j}-(1-\kappa ){\frac {\partial }{\partial \alpha _{j}^{*}}}\right)\{W\mid P\mid Q\}(\mathbf {\alpha } ,\mathbf {\alpha } ^{*})} ここで、 κは それぞれP分布、ウィグナー分布、Q分布に対して 0、1/ 2、1です。このように、 マスター方程式は 準確率関数の運動方程式として表すことができます。
例
コヒーレント状態 構成上、 コヒーレント状態の Pは 単純にデルタ関数である。 ウィグナー表現と Q 表現は、上記のガウス畳み込み式から直接導かれる。 | α 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha _{0}\rangle } P ( α , α ∗ ) = δ 2 ( α − α 0 ) . {\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})=\delta ^{2}(\alpha -\alpha _{0}).} W ( α , α ∗ ) = 2 π ∫ δ 2 ( β − α 0 ) e − 2 | α − β | 2 d 2 β = 2 π e − 2 | α − α 0 | 2 Q ( α , α ∗ ) = 1 π ∫ δ 2 ( β − α 0 ) e − | α − β | 2 d 2 β = 1 π e − | α − α 0 | 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}W(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}\\[1.5ex]Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.\end{aligned}}}
フシミ表現は、2つのコヒーレント状態の内積に対する上記の式を使用して求めることもできる。 Q ( α , α ∗ ) = 1 π ⟨ α | ρ ^ | α ⟩ = 1 π | ⟨ α 0 | α ⟩ | 2 = 1 π e − | α − α 0 | 2 {\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle \alpha _{0}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}}
フォック状態 フォック状態の P 表現 は | n ⟩ {\displaystyle |n\rangle } P ( α , α ∗ ) = e | α | 2 n ! ∂ 2 n ∂ α ∗ n ∂ α n δ 2 ( α ) . {\displaystyle P(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {e^{|\alpha |^{2}}}{n!}}{\frac {\partial ^{2n}}{\partial \alpha ^{*n}\,\partial \alpha ^{n}}}\delta ^{2}(\alpha ).}
n >0の場合 、これはデルタ関数よりも特異性が高いため、フォック状態には古典的な類似物はありません。ガウス畳み込みを進めるにつれて、非古典性はより明確ではなくなります。L n が n 次のラゲール多項式 である場合 、 W は 負 の 値 を 取る こともあります が、有界です。 W ( α , α ∗ ) = ( − 1 ) n 2 π e − 2 | α | 2 L n ( 4 | α | 2 ) , {\displaystyle W(\alpha ,\alpha ^{*})={\left(-1\right)}^{n}{\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha |^{2}}L_{n}{\left(4|\alpha |^{2}\right)}~,}
対照的に、 Qは常に正で有界であり、 Q ( α , α ∗ ) = 1 π ⟨ α | ρ ^ | α ⟩ = 1 π | ⟨ n | α ⟩ | 2 = 1 π n ! | ⟨ 0 | a ^ n | α ⟩ | 2 = | α | 2 n π n ! | ⟨ 0 | α ⟩ | 2 . {\displaystyle Q(\alpha ,\alpha ^{*})={\frac {1}{\pi }}\langle \alpha |{\widehat {\rho }}|\alpha \rangle ={\frac {1}{\pi }}|\langle n|\alpha \rangle |^{2}={\frac {1}{\pi n!}}|\langle 0|{\widehat {a}}^{n}|\alpha \rangle |^{2}={\frac {|\alpha |^{2n}}{\pi n!}}|\langle 0|\alpha \rangle |^{2}~.}
減衰量子調和振動子 次のマスター方程式を持つ 減衰 量子調和振動子を考えてみましょう。 d ρ ^ d t = i ω 0 [ ρ ^ , a ^ † a ^ ] + γ 2 ( 2 a ^ ρ ^ a ^ † − a ^ † a ^ ρ ^ − ρ a ^ † a ^ ) + γ ⟨ n ⟩ ( a ^ ρ ^ a ^ † + a ^ † ρ ^ a ^ − a ^ † a ^ ρ ^ − ρ ^ a ^ a ^ † ) . {\displaystyle {\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}\left(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}\right)+\gamma \langle n\rangle \left({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }\right).}
この結果、 フォッカー・プランク方程式 が得られます。 ここで、 P 、 W 、 Q 表現の場合、それぞれ κ = 0、1/2、1となります。 ∂ ∂ t { W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ , t ) = [ ( γ 2 + i ω 0 ) ∂ ∂ α α + ( γ 2 − i ω 0 ) ∂ ∂ α ∗ α ∗ + γ ( ⟨ n ⟩ + κ ) ∂ 2 ∂ α ∂ α ∗ ] { W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +\left({\frac {\gamma }{2}}-i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+\gamma \left(\langle n\rangle +\kappa \right){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),}
システムが最初にコヒーレント状態にある場合 、この方程式の解は次のようになる。 | α 0 ⟩ {\displaystyle |\alpha _{0}\rangle } { W ∣ P ∣ Q } ( α , α ∗ , t ) = 1 π [ κ + ⟨ n ⟩ ( 1 − e − γ t ) ] exp [ − | α − α 0 e − ( γ 2 + i ω 0 ) t | 2 κ + ⟨ n ⟩ ( 1 − e − γ t ) ] . {\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)\right]}}\exp \left[-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right)t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)}}\right]~.}
参照
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {a}}|\alpha \rangle &=\alpha |\alpha \rangle \\[1ex]\langle \alpha |{\widehat {a}}^{\dagger }&=\langle \alpha |\alpha ^{*}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85e39546ed22fa15c556da5f379f07bca2657140)
![{\displaystyle \chi _{W}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\演算子名 {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}+i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\右)\右]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66c476806c2f46304b0cd5c6ec3959371ca3f47d)
![{\displaystyle \chi _{P}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\演算子名 {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4545883c2f06aeb9550fc3bb26b2e554ca190889)
![{\displaystyle \chi _{Q}(\mathbf {z} ,\mathbf {z} ^{*})=\operatorname {tr} \left[\rho \exp \left(i\mathbf {z} \cdot {\widehat {\mathbf {a} }}\right)\exp \left(i\mathbf {z} ^{*}\cdot {\widehat {\mathbf {a} }}^{\dagger }\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ba92982b4bbc5425403171901259c1f6cd133a8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}W(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {2}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-2|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {2}{\pi }}e^{-2|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}\\[1.5ex]Q(\alpha ,\alpha ^{*})&={\frac {1}{\pi }}\int \delta ^{2}(\beta -\alpha _{0})e^{-|\alpha -\beta |^{2}}\,d^{2}\beta \\[1ex]&={\frac {1}{\pi }}e^{-|\alpha -\alpha _{0}|^{2}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5709d332ac99ca02a1f5d94b5c85ba048993d4bf)
![{\displaystyle {\frac {d{\widehat {\rho }}}{dt}}=i\omega _{0}[{\widehat {\rho }},{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}]+{\frac {\gamma }{2}}\left(2{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-\rho {\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}\right)+\gamma \langle n\rangle \left({\widehat {a}}{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}^{\dagger }+{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}-{\widehat {a}}^{\dagger }{\widehat {a}}{\widehat {\rho }}-{\widehat {\rho }}{\widehat {a}}{\widehat {a}}^{\dagger }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04e27a66f4c8231e16a1c59d429ad7ec37f2fc15)
![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)=\left[\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha }}\alpha +\left({\frac {\gamma }{2}}-i\omega _{0}\right){\frac {\partial }{\partial \alpha ^{*}}}\alpha ^{*}+\gamma \left(\langle n\rangle +\kappa \right){\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \,\partial \alpha ^{*}}}\right]\{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b17ed8b64d118270d14fa141eeb0b670f167e913)
![{\displaystyle \{W\mid P\mid Q\}(\alpha ,\alpha ^{*},t)={\frac {1}{\pi \left[\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)\right]}}\exp \left[-{\frac {\left|\alpha -\alpha _{0}e^{-\left({\frac {\gamma }{2}}+i\omega _{0}\right)t}\right|^{2}}{\kappa +\langle n\rangle \left(1-e^{-\gamma t}\right)}}\right]~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cf6714a9515c563e17a964e1d047e707d79c5c8)
