確率公理

標準確率公理は、 1933年にロシアの数学者アンドレイ・コルモゴロフによって導入された確率論の基礎です。^[1]すべての公理系と同様に、それらは純粋数学や物理科学などの分野への確率の応用の根底にある基本的な仮定を概説し、論理的なパラドックスを回避します。^[2]

確率公理は、確率の特定の解釈を規定したり仮定したりするものではないが、確率の哲学的定義から出発し、その定義によって公理が満たされると主張することによって、その公理が導かれる可能性がある。例えば、

コックスの定理は、任意の論理命題の可能性または信憑性としての確率の「論理的」定義に基づいて確率の法則を導き出します。^[3]^[4]
オランダの本の議論は、合理的なエージェントは出来事の確率の主観的な尺度に比例した賭けをしなければならないことを示しています。

3つ目の公理であるσ加法性は比較的新しいもので、ルベーグ測度論に由来する。一部の研究者はこれを、より弱い有限加法性の公理に置き換えており、これはいくつかの応用には十分である。^[5]

コルモゴロフ公理

コルモゴロフの公理を述べるには、次のデータを指定する必要があります。

標本空間,は、すべての可能な結果または基本イベントの集合です。 ${\textstyle \Omega }$
すべての事象の空間。事象はそれぞれ結果の集合（つまりの部分集合）とみなされる。事象空間は上の $σ$ 代数でなければならない。 ${\textstyle \Omega }$ ${\textstyle F}$ ${\textstyle \Omega }$
各イベントにその確率を割り当てる確率尺度。 ${\textstyle P}$ $E\in F$ $P(E)$

これらの仮定を総合すると、は測度空間であることがわかる。さらにが仮定されるため、この三つ組は確率空間となる。^[1] $(\Omega ,F,P)$ $P(\Omega )=1$

第一公理

事象の確率は非負の実数である。この仮定は、が上の測度であるという事実から導かれる。 $P$ $F$

P(E)\geq 0\qquad \forall E\in F

負の確率を割り当てる理論は最初の公理を緩和します。

第二公理

これは単位測度の仮定、すなわち標本空間全体における基本事象の少なくとも 1 つが発生する確率が 1 であるという仮定です。この公理から、より一般的な測度論とは対照的に、は常に有限であることがわかります。 $P(\Omega )=1$ $P(E)$

第三公理

これはσ加法性の仮定である。互いに素な集合の可算な列（互いに排他的なイベントと同義）は、 $E_{1},E_{2},\ldots$

P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }P(E_{i}).

この性質は、が測度であるという事実からも示唆されます。すべてのに対してとをとることで、が導かれることに注目してください。これは、σ加法性が有限加法性を意味することを示しています。 $P$ $E_{1}=\Omega$ $E_{i}=\emptyset$ $i>1$ $P(\emptyset )=0$

一部の著者は単に有限加法的な確率空間を考察しており、その場合にはσ-代数ではなく集合の代数だけが必要である。^[6]準確率分布は一般に第3公理を緩和する。

基本的な結果

コルモゴロフ公理によって生成された理論が古典的な確率に対応することを証明するために、いくつかの基本的な結果が典型的に導出される。^[7]

は有限加法なので、となり、となります。 $P$ $P(A)+P(A^{c})=P(A\cup A^{c})=P(\Omega )=1$ $P(A^{c})=1-P(A)$
特に、が成り立ちます。空集合は「結果が発生しない」という事象として解釈されますが、これは不可能です。 $P(\emptyset )=0$
同様に、ならばとなる。言い換えれば、は単調である。^[8] $A\subseteq B$ $P(B)=P(A\cup (B\setminus A))=P(A)+P(B\setminus A)\geq P(A)$ $P$
いかなる事象についてもであるため、という結果が導かれます。 $\emptyset \subseteq E\subseteq \Omega$ $E$ $0\leq P(E)\leq 1$

を互いに素な集合、に分割することによって、包含排他原理の確率的バージョンに到達する。^{[9] が}有限の場合、2つの恒等式は等価である。 $A\cup B$ $A\setminus (A\cap B)$ $B\setminus (A\cap B)$ $A\cap B$ $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$ $\Omega$

が無限集合であるときの計算を実際に行うには、有限の標本空間から一般化することが有用な場合がある。例えば、が公平なコインを投げる無限の列からなる場合、特定の列の集合（すなわち事象）の確率をどのように計算するかは自明ではない。事象が「すべての投げが表」である場合、確率は次のように計算できることは直感的である。これを厳密にするためには、が以下の意味で連続であることを証明する必要がある。が別の事象へと増加（または減少）する事象の列である場合、^[10] $\Omega$ $\Omega$ $P({\text{infinite sequence of heads}})=\lim _{n\to \infty }P({\text{sequence of n heads}})=\lim _{n\to \infty }2^{-n}=0.$ $P$ $A_{j},\,\,j=1,2,\ldots$ $A$ $\lim _{n\to \infty }P(A_{n})=P(A).$

簡単な例：コイントス

コインを1回投げ、表（H）か裏（T）のどちらかが出ると仮定する（ただし、両方が出ることはない）。コインが公平かどうかについては仮定しない。^[11]

次のように定義できます。

\Omega =\{H,T\}

F=\{\varnothing ,\{H\},\{T\},\{H,T\}\}

コルモゴロフの公理は次のことを意味します。

P(\varnothing )=0

表でも裏でもない確率は0 です。

P(\{H,T\}^{c})=0

表か裏が出る確率は 1 です。

P(\{H\})+P(\{T\})=1

表が出る確率と裏が出る確率の合計は 1 です。

参照

ボレル代数 – 数学的集合のクラス
条件付き確率 – ある事象がすでに発生したことを前提として、ある事象が発生する確率
完全な確率論的設計
直感的な統計
準確率 – 統計学における概念
集合論 – 集合を研究する数学の分野
σ-代数 – 集合代数の代数的構造

参考文献

^ ab コルモゴロフ、アンドレイ (1950) [1933]. 確率論の基礎. ニューヨーク、米国: チェルシー出版社.
^ オルダス、デイヴィッド。「コルモゴロフの公理の重要性とは何か？」デイヴィッド・オルダス。 2019年11月19日閲覧。
^ Cox, RT (1946). 「確率、頻度、そして合理的な期待値」. American Journal of Physics . 14 (1): 1– 10. Bibcode :1946AmJPh..14....1C. doi :10.1119/1.1990764.
^ Cox, RT (1961). 『確率推論の代数』メリーランド州ボルチモア: ジョンズ・ホプキンス大学出版局.
^ Bingham, NH (2010). 「有限加法性と可算加法性：de FinettiとSavage」（PDF） . Electronic J. 確率統計史. 6 (1): 1– 6.
^ Hájek, Alan (2019年8月28日). 「確率の解釈」.スタンフォード哲学百科事典. 2019年11月17日閲覧。
^ Gerard, David (2017年12月9日). 「公理からの証明」(PDF) . 2019年11月20日閲覧。
^ ロス、シェルドン・M. (2014). 『確率論入門（第9版）』アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州. pp. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2 OCLC 827003384 。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
^ ジャクソン、ビル (2010). 「確率（講義ノート - 第3週）」(PDF) .ロンドン大学クイーン・メアリー校数学部. 2019年11月20日閲覧。
^ エヴァンス、マイケル、ローゼンタール、ジェフリー（2003年7月25日）『確率と統計：不確実性の科学』WHフリーマン・アンド・カンパニー、pp. 27– 29. ISBN 978-0716747420。
^ Diaconis, Persi; Holmes, Susan; Montgomery, Richard (2007). 「コイントスにおける動的バイアス」(PDF) . SIAM Review . 49 ( 211– 235): 211– 235. Bibcode :2007SIAMR..49..211D. doi :10.1137/S0036144504446436 . 2024年1月5日閲覧。

さらに読む

デグルート, モリス H. (1975). 確率と統計. 参考図書: アディソン・ウェスレー. pp. 12–16. ISBN 0-201-01503-X。
マコード, ジェームズ・R.; モロニー, リチャード・M. (1964). 「公理的確率」 .確率論入門. ニューヨーク: マクミラン. pp. 13–28.
ミザールシステムにおける確率の正式な定義、およびそれについて正式に証明された定理のリスト。

[:0-1] コルモゴロフ、アンドレイ (1950) [1933]. 確率論の基礎. ニューヨーク、米国: チェルシー出版社.

[2] オルダス、デイヴィッド。「コルモゴロフの公理の重要性とは何か？」デイヴィッド・オルダス。 2019年11月19日閲覧。

[3] Cox, RT (1946). 「確率、頻度、そして合理的な期待値」. American Journal of Physics . 14 (1): 1– 10. Bibcode :1946AmJPh..14....1C. doi :10.1119/1.1990764.

[4] Cox, RT (1961). 『確率推論の代数』メリーランド州ボルチモア: ジョンズ・ホプキンス大学出版局.

[5] Bingham, NH (2010). 「有限加法性と可算加法性：de FinettiとSavage」（PDF） . Electronic J. 確率統計史. 6 (1): 1– 6.

[6] Hájek, Alan (2019年8月28日). 「確率の解釈」.スタンフォード哲学百科事典. 2019年11月17日閲覧。

[7] Gerard, David (2017年12月9日). 「公理からの証明」(PDF) . 2019年11月20日閲覧。

[:1-8] ロス、シェルドン・M. (2014). 『確率論入門（第9版）』アッパー・サドル・リバー、ニュージャージー州. pp. 27, 28. ISBN 978-0-321-79477-2 OCLC 827003384 。{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)

[9] ジャクソン、ビル (2010). 「確率（講義ノート - 第3週）」(PDF) .ロンドン大学クイーン・メアリー校数学部. 2019年11月20日閲覧。

[10] エヴァンス、マイケル、ローゼンタール、ジェフリー（2003年7月25日）『確率と統計：不確実性の科学』WHフリーマン・アンド・カンパニー、pp. 27– 29. ISBN 978-0716747420。

[11] Diaconis, Persi; Holmes, Susan; Montgomery, Richard (2007). 「コイントスにおける動的バイアス」(PDF) . SIAM Review . 49 ( 211– 235): 211– 235. Bibcode :2007SIAMR..49..211D. doi :10.1137/S0036144504446436 . 2024年1月5日閲覧。