理想の過激派

Concept in algebra

数学の一分野である環論において、可換環のイデアルの根号は、根号の元が存在することと、その根号の何らかの冪が根号に存在することが同値であるという性質によって定義される別のイデアルである。イデアルの根号を取ることを根号化という。根号イデアル（または半素イデアル）とは、その根号に等しいイデアルである。素イデアルの根号は素イデアルである。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I}$

この概念は、半素環の記事で非可換環に一般化されています。

意味

可換環のイデアルの根基はまたはで表され、次のように定義される。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {rad} (I)}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

${\displaystyle {\sqrt {I}}=\left\{r\in R\mid r^{n}\in I\ {\hbox{for some}}\ n\in \mathbb {Z} ^{+}\!\right\},}$

（ に注意）。直感的に、は環内の の元の根をすべて取ることによって得られる。同様に、は商環の冪零元のイデアル（冪根基）の逆像である（自然写像 を介して）。後者はがイデアルであることを証明している。^{[注 1]} ${\displaystyle I\subseteq {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$

の根号 が有限生成である場合、 の何らかの冪はに含まれます。^[1]特に、と がネーター環のイデアルである場合、と が同じ根号を持つのは、が の何らかの冪を含み が の何らかの冪を含む場合であり、その場合のみ有効です。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle I}$

イデアルがそれ自身の根号と一致する場合、それは根号イデアルまたは半素イデアルと呼ばれます。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$

例

• 整数環を考えてみましょう。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$
  1. の整数倍のイデアルの根号は(偶数)です。 ${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$
  2. の根号はです。 ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 5\mathbb {Z} }$
  3. の根号はです。 ${\displaystyle 12\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$
  4. 一般に、 の根号はであり、 はのすべての異なる素因数の積であり、 の最大平方自由因数である（整数 の根号を参照）。実際、これは任意のイデアルに一般化される（「性質」の節を参照）。 ${\displaystyle m\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$
• 理想を考えてみましょう。 （基本的な性質を用いて）それを示すのは簡単です。 ${\displaystyle I=\left(y^{4}\right)\subseteq \mathbb {C} [x,y]}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}=(y)}$ ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$）、しかし、我々はいくつかの代替方法を提示する: ^{[説明が必要]}根号は商環 のnil 根号に対応し、これは商環のすべての素イデアルの共通部分である。これは、体への準同型の核であるすべての極大イデアルの共通部分であるヤコブソン根号に含まれます。任意の環準同型は、明確に定義された準同型を持つためには、核にがなければなりません(例えば、核がの合成であるべきだと言った場合、になり、これは を強制しようとするのと同じです)。は代数的に閉じているため、すべての準同型はを因数分解する必要があるため、の根号を計算するにはの共通部分を計算するだけで済みます。すると、次のことがわかります。 ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}}$ ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y]/\!\left(y^{4}\right)}$ ${\displaystyle R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y-1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \left(x,y^{4},y-1\right)}$ ${\displaystyle 1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R\to \mathbb {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \{\ker(\Phi ):\Phi \in \operatorname {Hom} (R,\mathbb {C} )\}}$ ${\displaystyle (0).}$ ${\displaystyle {\sqrt {0}}=(y)\subseteq R.}$

プロパティ

このセクションでは、可換環のイデアルであるという慣例を続けます。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$

• は常に真であり、つまり根号化はべき等演算である。さらに、は を含む最小の根号イデアルである。 ${\textstyle {\sqrt {\sqrt {I}}}={\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle I}$
• ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$は を含むのすべての素イデアルの共通部分であり、したがって素イデアルの根号はそれ自身に等しい。証明：一方では、すべての素イデアルは根号であるため、この共通部分は を含む。が の元で に含まれないものとし、を集合 とします。 の定義により、は と互いに素でなければなりません。は乗法的に閉じたでもあります。したがって、クルルの定理の変形により、を含み、かつ とは互いに素な素イデアルが存在する(素イデアルを参照)。は を含みますが は含まないので、は を含む素イデアルの共通部分には含まれないことがわかります。これで証明は終了です。この主張は少し強化されるかもしれません。 の根号はを含むものの中で最小となるのすべての素イデアルの共通部分です。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ $${\displaystyle {\sqrt {I}}=\bigcap _{\stackrel {{\mathfrak {p}}{\text{ prime}}}{R\supset {\mathfrak {p}}\supseteq I}}{\mathfrak {p}},}$$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left\{r^{n}\mid n=0,1,2,\ldots \right\}}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$
• 最後の点を特殊化すると、冪零元全体の集合である零根号は、すべての素イデアルの共通部分と等しくなります^{。[注 2]}この性質は、自然写像 を介して前者と等価であることが示され、一対一写像:によって定義されます。 ^{[2] [注 3]} ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\sqrt {0}}={\mathfrak {N}}_{R}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\subsetneq R{\text{ prime}}}{\mathfrak {p}}.}$$ ${\displaystyle \pi \colon R\to R/I}$ ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid R\supseteq J\supseteq I\right\rbrace \quad {\overset {u}{\rightleftharpoons }}\quad \left\lbrace {\text{ideals }}J\mid J\subseteq R/I\right\rbrace ,}$$ ${\displaystyle u\colon J\mapsto J/I=\lbrace r+I\mid r\in J\rbrace .}$
• 環のイデアルが根基となるのは、商環が約数化される場合に限ります。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R/I}$
• 同次イデアルの根号は同次である。
• イデアルの交差の根号は、それらの根号の交差に等しくなります。 ${\displaystyle {\sqrt {I\cap J}}={\sqrt {I}}\cap {\sqrt {J}}}$
• 一次イデアルの根号は素数である。イデアルの根号が最大値であれば、は一次である。^[3] ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• がイデアルである場合、 。素イデアルは根基イデアルであるため、任意の素イデアルに対して。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\sqrt {I^{n}}}={\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {{\mathfrak {p}}^{n}}}={\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$
• を環のイデアルとする。が共極大ならば、は共極大である。^{[注 4]} ${\displaystyle I,J}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}},{\sqrt {J}}}$ ${\displaystyle I,J}$
• をネーター環上の有限生成加群とする。[ ^4]において はの台であり、 はの付随素数全体の集合である。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\sqrt {\operatorname {ann} _{R}(M)}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {supp} M}{\mathfrak {p}}=\bigcap _{{\mathfrak {p}}\,\in \,\operatorname {ass} M}{\mathfrak {p}}}$$ ${\displaystyle \operatorname {supp} M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \operatorname {ass} M}$ ${\displaystyle M}$

アプリケーション

根基を研究する主な動機は、可換代数におけるヒルベルトの零定理である。この有名な定理の一つのバージョンは、代数的に閉体上の多項式環の任意のイデアルに対して、 ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {k} }$

${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (J))={\sqrt {J}}}$

どこ

${\displaystyle \operatorname {V} (J)=\left\{x\in \mathbb {k} ^{n}\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}f\in J\right\}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {I} (V)=\{f\in \mathbb {k} [x_{1},x_{2},\ldots x_{n}]\mid f(x)=0{\mbox{ for all }}x\in V\}.}$

幾何学的には、多様体が 多項式方程式によって切り出されると、 で消える他の多項式はイデアルの根号にある多項式だけになるということです。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{r}=0}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle (f_{1},\ldots ,f_{r})}$

別の言い方をすれば、合成は環のイデアルの集合上の閉包演算子です。 ${\displaystyle \operatorname {I} (\operatorname {V} (-))={\sqrt {-}}}$

参照

• ジェイコブソンラジカル
• 環のニルラジカル
• 真の過激派

注記

1. がイデアルであることの直接的な証明を示します。まず、のべき乗から始めます。 であることを示すために、二項定理（任意の可換環に対して成立する）を使います。 ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a,b\in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a^{n},b^{m}\in I}$ ${\displaystyle a+b\in {\sqrt {I}}}$

   ${\displaystyle \textstyle (a+b)^{n+m-1}=\sum _{i=0}^{n+m-1}{\binom {n+m-1}{i}}a^{i}b^{n+m-1-i}.}$

   各 について、または が成り立ちます。したがって、各項 において、指数の 1 つは、その因子が に含まれるのに十分大きくなります。 の任意の元と の元を掛け合わせたものは（はイデアルであるため） に含まれるため、この項は に含まれます。したがって となり、 となります。根号がイデアルであることを最後に確認するには、、および任意の を とします。すると となり、 となります。したがって、根号はイデアルです。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\geq n}$ ${\displaystyle n+m-1-i\geq m}$ ${\displaystyle a^{i}b^{n+m-1-i}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (a+b)^{n+m-1}\in I}$ ${\displaystyle a+b\in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a\in {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle a^{n}\in I}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle (ra)^{n}=r^{n}a^{n}\in I}$ ${\displaystyle ra\in {\sqrt {I}}}$
2. 直接的な証明については、環の nilradical の特徴付けも参照してください。
3. この事実は第4同型定理としても知られています。
4. 証明:を意味します。 ${\textstyle R={\sqrt {{\sqrt {I}}+{\sqrt {J}}}}={\sqrt {I+J}}}$ ${\displaystyle I+J=R}$

引用

1. アティヤとマクドナルド 1994、命題 7.14
2. アルフィ、パオロ (2009). 代数学: 第0章. AMS. p. 142. ISBN 978-0-8218-4781-7。
3. アティヤとマクドナルド 1994 年、命題 4.2
4. Lang 2002、第10章、命題2.10

参考文献

• アティヤ, マイケル・フランシス;マクドナルド, イアン・G. (1994). 『可換代数入門』 マサチューセッツ州レディング:アディソン・ウェスリー. ISBN 0-201-40751-5。
• アイゼンバッド、デイヴィッド（1995）『代数幾何学への視点から見た可換代数』『数学大学院テキスト』第150巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-94268-8. MR  1322960。
• ラング、セルジュ（2002）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4、MR  1878556、Zbl  0984.00001

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