ジャイレータ・コンデンサモデル

Model for magnetic circuits

単純な変圧器とそのジャイレータ・コンデンサモデル。Rは物理的な磁気回路の磁気抵抗です。

ジャイレータ・コンデンサモデル^[1]（コンデンサ・パーミアンスモデル^[2]とも呼ばれる）は、磁気回路の集中定数モデルであり、より一般的な抵抗・磁気抵抗モデルの代わりに使用できます。このモデルでは、パーミアンス素子を電気抵抗（磁気抵抗参照）ではなく電気容量（磁気容量の項を参照）に類似させます。巻線はジャイレータとして表され、電気回路と磁気モデルを繋ぎます。

磁気抵抗モデルと比較したジャイレータ・コンデンサモデルの主な利点は、エネルギーの流れ、蓄積、および散逸の正しい値を維持することです。^{[3] [4]}ジャイレータ・コンデンサモデルは、様々なエネルギー領域における変数のべき乗共役対を類推することで、複数のエネルギー領域にわたるエネルギーの流れを維持する類推の一例です。これは、機械領域におけるインピーダンス類推と同じ役割を果たします。

命名法

磁気回路は、物理的な磁気回路またはモデル磁気回路のいずれかを指します。モデル磁気回路を構成する要素および動的変数の名前は、形容詞「magnetic」で始まりますが、この規則は厳密には従いません。モデル磁気回路の要素または動的変数は、物理的な磁気回路の構成要素と1対1で対応しない場合があります。モデル磁気回路を構成する要素および変数の記号は、添え字Mを付けて表記される場合があります。例えば、モデル回路の磁気コンデンサは となります。 ${\displaystyle C_{M}}$

関連する電気回路内の電気要素を磁気モデルに取り込むことで、解析を容易にすることができます。磁気回路内の電気要素を表すモデル要素は、通常、電気要素の電気的双対となります。これは、このモデルにおける電気領域と磁気領域間の変換器が、通常、ジャイレータ（回転子）で表されるためです。ジャイレータは要素をその双対に変換します。例えば、磁気インダクタンスは電気容量を表すことができます。

磁気回路と電気回路の類似性のまとめ

次の表は、電気回路理論と磁気回路理論の間の数学的な類似性をまとめたものです。

ジャイレータ・コンデンサモデルにおける物理的な磁気量とその電気的類似物との対応

物理的な					モデル
名前	シンボル	式	ユニット		名前[a]	シンボル	式	ユニット
起磁力（MMF）	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \oint \mathbf {\vec {H}} \cdot \operatorname {d\ell } }$	A⋅t		起 電力[4] : p38	${\displaystyle v_{m}}$	${\displaystyle \oint \mathbf {\vec {E}} \cdot \operatorname {d\ell } }$	V
フラックス	${\displaystyle \Phi }$	${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {\vec {B}} \cdot \operatorname {d\mathbf {\vec {S}} } }$[4] : p41	Wb [b]		充電	${\displaystyle q_{m}}$	${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {\vec {D}} \cdot \operatorname {d\mathbf {\vec {S}} } }$	C
フラックス変化率	${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\Phi }$[4] : p41	Wb/s = V		現在[3] : p5	${\displaystyle i_{m}}$	${\displaystyle {\frac {d}{dt}}q_{m}}$	あ
充電	${\displaystyle q}$	${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {\vec {D}} \cdot \operatorname {d\mathbf {\vec {S}} } }$	C		フラックス	${\displaystyle \Phi _{m}}$	${\displaystyle \iint \limits _{S}\mathbf {\vec {B}} \cdot \operatorname {d\mathbf {\vec {S}} } }$	ワーブ
永続性	${\displaystyle P}$	${\displaystyle {\frac {\Phi }{\mathcal {F}}}}$	H		キャパシタンス	${\displaystyle C_{m}}$	${\displaystyle {\frac {q_{m}}{v_{m}}}}$	F
キャパシタンス	${\displaystyle C}$	${\displaystyle {\frac {q}{v}}}$	F		インダクタンス	${\displaystyle L_{m}}$	${\displaystyle {\frac {\Phi _{m}}{i_{m}}}}$	H
コンダクタンス	${\displaystyle G}$	${\displaystyle {\frac {i}{v}}}$	S		抵抗	${\displaystyle R_{m}}$	${\displaystyle {\frac {v_{m}}{i_{m}}}}$	Ω
アドミタンス	${\displaystyle Y}$	${\displaystyle G+j\omega C-{\frac {j}{\omega L}}}$	S		インピーダンス	${\displaystyle Z_{m}}$	${\displaystyle R_{m}+j\omega L_{m}-{\frac {j}{\omega C_{m}}}}$	Ω
インピーダンス	${\displaystyle Z}$	${\displaystyle R+j\omega L-{\frac {j}{\omega C}}}$	Ω		アドミタンス	${\displaystyle Y_{m}}$	${\displaystyle G_{m}+j\omega C_{m}-{\frac {j}{\omega L_{m}}}}$	S

ジャイレーター

ハミルがジャイレータ-コンデンサ アプローチの論文で使用したジャイレータの定義。

ジャイレータは、ネットワーク解析で使用される2ポート素子です。ジャイレータは変圧器の相補的な役割を担います。変圧器では、一方のポートの電圧がもう一方のポートの比例電圧に変換されますが、ジャイレータでは、一方のポートの電圧がもう一方のポートの電流に変換され、その逆も同様です。

ジャイレータ・コンデンサモデルにおいて、ジャイレータは電気エネルギー領域と磁気エネルギー領域間の変換器として機能します。電気領域の起電力は磁気領域の起電力に類似しており、このような変換を行う変換器は変圧器として表現されます。しかし、実際の電磁変換器は通常、ジャイレータとして動作します。磁気領域から電気領域への変換器はファラデーの電磁誘導の法則に従います。つまり、磁束（このアナロジーでは磁流）の変化率は、電気領域に比例した起電力を生成します。同様に、電気領域から磁気領域への変換器はアンペールの回路法則に従います。つまり、電流は起電力を生成します。

Nターンの巻線は、回転抵抗がNオームのジャイレータによってモデル化されます。^{[1] : 100}

磁気誘導に基づかないトランスデューサーは、ジャイレータで表現できない場合があります。例えば、ホール効果センサーはトランスでモデル化されます。

磁気電圧

磁気電圧（ ）は、起磁力（mmf）（SI単位系：Aまたはアンペアターン）の別名であり、電気回路における電圧に類似しています。 ^{[4] ：42  [3] ：5}すべての著者が磁気電圧という用語を使用しているわけではありません。点Aと点Bの間の要素に適用される起磁力は、磁場強度の成分を通る線積分に等しくなります。抵抗-磁気抵抗モデルでは、磁気電圧と起磁力の間に同様の等価性が使用されます。 ${\displaystyle v_{m}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mathbf {H} }$ $${\displaystyle v_{m}={\mathcal {F}}=-\int _{A}^{B}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} }$$

磁流

磁流 は、磁束の時間変化率( SI 単位: Wb /秒またはボルト)の別名であり、電気回路の電流に似ています。^{[2] : 2429  [4] : 37}物理回路では、 は磁気変位電流です。^{[4] : 37}断面積 の要素を流れる磁流 は、磁束密度 の面積積分です。 ${\displaystyle i_{m}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle i_{m}={\dot {\Phi }}={\frac {d}{dt}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }$$抵抗-磁気抵抗モデルでは、磁流を磁束の別名とみなすという異なる等価性を採用しています。この磁流の定義の違いが、ジャイレータ-コンデンサモデルと抵抗-磁気抵抗モデルの根本的な違いです。磁流と磁電圧の定義は、他の磁気要素の定義を暗示しています。^{[4] : 35} ${\displaystyle \Phi }$

磁気容量

直方体素子のパーミアンス

磁気容量はパーミアンス（SI単位：H ）の別名です。磁気回路モデルでは、磁気容量として表されます。磁気容量をパーミアンスと呼ぶ著者もいれば、容量をパーミアンスと呼ぶ著者もいます。素子のパーミアンスは、素子の断面積を通る磁束を素子の両端に働く起磁力で割った値として定義される、広義の特性です。 ^{[3] : 6} ${\displaystyle C_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ $${\displaystyle C_{\mathrm {M} }=P={\frac {\int \mathbf {B} \cdot d\mathbf {S} }{\int \mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} }}={\frac {\Phi }{\mathcal {F}}}}$$

均一な断面を持つ棒の場合、磁気容量は次のように表されます。 $${\displaystyle C_{\mathrm {M} }=P=\mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}{\frac {S}{l}}}$$

• ${\displaystyle \mu _{\mathrm {r} }\mu _{0}=\mu }$透磁率です。
• ${\displaystyle S}$は要素の断面積であり、
• ${\displaystyle l}$要素の長さです。

位相解析では透磁率^[5]とパーミアンスは複素値である。^{[5] [6]}

パーミアンスはリラクタンスの逆数です。

磁気インダクタンス

磁気インダクタンスと電気容量間の回路の等価性。

磁気回路のジャイレータ-コンデンサ モデルの文脈では、磁気インダクタンス ( SI 単位: F ) は電気回路のインダクタンスに類似しています。 ${\displaystyle L_{\mathrm {M} }}$

位相器解析の場合、磁気誘導リアクタンスは次のようになります。 $${\displaystyle x_{\mathrm {L} }=\omega L_{\mathrm {M} }}$$

• ${\displaystyle L_{\mathrm {M} }}$磁気インダクタンス
• ${\displaystyle \omega }$磁気回路の角周波数

複素形式では正の虚数になります。 $${\displaystyle jx_{\mathrm {L} }=j\omega L_{\mathrm {M} }}$$

磁気インダクタンスによって保持される磁気ポテンシャルエネルギーは、電界の振動周波数に応じて変化します。一定周期における平均電力はゼロです。磁気インダクタンスは周波数依存性があるため、主にVHFおよび/またはUHF周波数で動作する磁気回路で観測されます。^[要出典]

磁気インダクタンスの概念は、電気回路のインダクタンスと同様に、ジャイレータ-コンデンサ モデルにおける回路動作の解析と計算に使用されます。

磁気インダクタは電気コンデンサを表すことができる。^{[4] ：43}電気回路内のシャント容量、例えば巻線内容量は、磁気回路内の直列インダクタンスとして表すことができる。

例

三相変圧器

巻線と透磁率素子を備えた三相変圧器。

変圧器巻線にジャイレータ・コンデンサモデルを使用し、パーミアンス素子にコンデンサを使用した回路図

この例では、ジャイレータ・コンデンサ方式でモデル化された三相 変圧器を示します。この例の変圧器には、3つの一次巻線と3つの二次巻線があります。磁気回路は7つの磁気抵抗素子またはパーミアンス素子に分割されています。各巻線はジャイレータでモデル化されます。各ジャイレータの回転抵抗は、対応する巻線の巻数に等しくなります。各パーミアンス素子はコンデンサでモデル化されます。各コンデンサのファラッド単位の値は、対応するパーミアンス素子のインダクタンス（ヘンリー単位）と同じです。

N ₁、 N ₂、 N ₃は、3つの一次巻線の巻数です。N ₄、 N ₅、 N ₆は、3つの二次巻線の巻数です。Φ ₁、 Φ ₂、 Φ ₃は、3つの垂直素子の磁束です。ウェーバー単位の各パーミアンス素子の磁束は、クーロン単位の対応する静電容量の電荷と数値的に等しくなります。各パーミアンス素子のエネルギーは、対応するコンデンサのエネルギーと同じです。

回路図には、変圧器モデルの回路図に加えて、三相発電機と三相負荷が示されています。

ギャップと漏れ磁束のある変圧器

ギャップと漏れ磁束のある変圧器。

ギャップと漏れ磁束を持つ変圧器のジャイレータ コンデンサ モデル。

ジャイレータ・コンデンサ方式は、磁気回路内の漏れインダクタンスと空隙を考慮できます。空隙と漏れ磁束はパーミアンスを持ち、等価回路にコンデンサとして追加できます。空隙のパーミアンスは、比透磁率1を使用する点を除き、実体要素と同じ方法で計算されます。漏れ磁束のパーミアンスは、形状が複雑なため計算が困難な場合があります。測定値や仕様など、他の考慮事項から計算することも可能です。

C _PLと C _{SL は}それぞれ一次側と二次側の漏れインダクタンスを表します。C _{GAP は}エアギャップのパーミアンスを表します。

磁気インピーダンス

磁気複素インピーダンス

磁気インピーダンスと電気アドミタンス間の回路の等価性。

磁気複素インピーダンスは、全磁気抵抗とも呼ばれ、受動磁気回路にかかる複素正弦波磁気張力（起磁力、 ）と、その結果生じる回路内の複素正弦波磁気電流（）の商です。磁気インピーダンスは電気インピーダンスに類似しています。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\dot {\Phi }}}$

磁気複素インピーダンス（SI単位系：S ）は、次式で定義されます。ここで、はの係数、は位相です。複素磁気インピーダンスの偏角は、磁気張力と磁気電流の位相差に等しくなります。複素磁気インピーダンスは、次の式で表されます。ここで、は複素磁気インピーダンスの実部で有効磁気抵抗と呼ばれ、は複素磁気インピーダンスの虚部で無効磁気抵抗と呼ばれます。磁気インピーダンスは、次式で表されます。 $${\displaystyle Z_{M}={\frac {\mathcal {F}}{\dot {\Phi }}}=z_{M}e^{j\phi }}$$ ${\displaystyle z_{M}}$ ${\displaystyle Z_{M}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle Z_{M}=z_{M}e^{j\phi }=z_{M}\cos \phi +jz_{M}\sin \phi =r_{M}+jx_{M}}$$ ${\displaystyle r_{M}=z_{M}\cos \phi }$ ${\displaystyle x_{M}=z_{M}\sin \phi }$ $${\displaystyle z_{M}={\sqrt {r_{M}^{2}+x_{M}^{2}}},}$$ $${\displaystyle \phi =\arctan {\frac {x_{M}}{r_{M}}}}$$

磁気有効抵抗

磁気有効抵抗は複素磁気インピーダンスの実数成分です。これにより、磁気回路は磁気ポテンシャルエネルギーを失います。^{[7] [8]}磁気回路の有効電力は、磁気有効抵抗と磁流の2乗の積に等しくなります。 ${\displaystyle r_{\mathrm {M} }}$ ${\displaystyle I_{\mathrm {M} }^{2}}$

$${\displaystyle P=r_{\mathrm {M} }I_{\mathrm {M} }^{2}}$$

複素平面上の磁気有効抵抗は、交流磁気回路の抵抗三角形の辺として現れます。有効磁気抵抗は、磁気回路の全磁気インピーダンス である次式で表され、 有効磁気コンダクタンスと同値となります。 ${\displaystyle g_{\mathrm {M} }}$ $${\displaystyle g_{\mathrm {M} }={\frac {r_{\mathrm {M} }}{z_{\mathrm {M} }^{2}}}}$$ ${\displaystyle z_{\mathrm {M} }}$

磁気リアクタンス

磁気リアクタンスは、受動磁気回路のパラメータ、または回路の要素であり、磁気電流に対する磁気複素インピーダンスと磁気有効抵抗の二乗の差の平方根に等しくなります。磁気電流が磁気張力より位相的に遅れている場合はプラスの符号が付き、磁気電流が磁気張力より位相的に進んでいる場合はマイナスの符号が付きます。

磁気リアクタンス^{[7] [6] [8]は}交流回路の磁気複素インピーダンスの要素であり、回路内の磁流と磁気張力の間に位相シフトを生成します。 の単位で測定され、 (または)で表されます。 は誘導性または容量性であり、は磁流の角周波数、は回路の磁気インダクタンス、は回路の磁気容量です。 インダクタンスと容量が直列に接続された未開発回路の磁気リアクタンスは に等しくなります。 の場合、回路内で正味のリアクタンスと共振が発生します。 一般的な場合は です。 エネルギー損失がない場合 ( )、です。 磁気回路の位相シフトの角度 です。 複素平面上では、磁気リアクタンスは交流回路の抵抗三角形の辺として現れます。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Omega }}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{L}=\omega L_{M}}$ ${\displaystyle x_{C}={\tfrac {1}{\omega C_{M}}}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L_{M}}$ ${\displaystyle C_{M}}$ ${\textstyle x=x_{L}-x_{C}=\omega L_{M}-{\frac {1}{\omega C_{M}}}}$ ${\displaystyle x_{L}=x_{C}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\textstyle x={\sqrt {z^{2}-r^{2}}}}$ ${\displaystyle r=0}$ ${\displaystyle x=z}$ ${\textstyle \phi =\arctan {\frac {x}{r}}}$

類推の限界

磁気回路と電気回路の類似性には次のような限界があります。

• 典型的な電気回路では、電流は回路内に閉じ込められ、「漏れ」はごくわずかです。典型的な磁気回路では、透磁率は物質の外部にも存在するため（真空透磁率を参照）、磁場の全てが磁気回路内に閉じ込められるわけではありません。そのため、磁気コアの外側の空間には、かなりの「漏れ磁束」が存在する可能性があります。漏れ磁束が主回路に比べて小さい場合は、多くの場合、追加の要素として表すことができます。極端な場合には、集中要素モデルが全く適切ではない場合があり、代わりに場の理論が使用されます。
• 磁気回路は非線形です。磁気回路のパーミアンスは、電気回路の静電容量とは異なり一定ではなく、磁場に応じて変化します。高磁束では、磁気回路のコアに使用される強磁性材料が飽和し、磁束のさらなる増加が制限されるため、このレベルを超えるとパーミアンスは急激に低下します。さらに、強磁性材料の磁束はヒステリシスの影響を受けます。ヒステリシスは、瞬間的な起磁力（MMF）だけでなく、起磁力の履歴にも依存します。磁束源をオフにした後も、強磁性材料には残留磁気が残り、起磁力のない磁束が発生します。

参考文献

1. 多くの場合、「磁気」という用語が前に付く
2. ハミルは97ページに括弧内に「（ターンごとに）」と記している。^[1]

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7. ポール、RW (1960)。Elektrizitätslehre (ドイツ語)。ベルリン - ゲッティンゲン - ハイデルベルク: Springer - Verlag。
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