相対速度

Velocity measured relative to an observer

電車に乗っている相対運動の男

観測者Aに対する物体Bの相対速度（ または とも表記）は、物体Aの静止系における物体Bの速度ベクトルである。相対速度は、相対速度のベクトルノルムである。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{BA}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}}$ ${\displaystyle v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|}$

古典力学

1次元（非相対論的）

まず、相対運動の古典的近似(または非相対論的近似、ニュートン力学近似)から始め、すべての速度は光速よりはるかに遅くなります。この極限はガリレイ変換と関連しています。図は、電車の後端に座っている男性を示しています。午後1時に、男性は時速10kmで歩き始めます。電車は時速40kmで移動しています。図は、男性と電車を2つの異なる時間、つまり旅が始まったときと、1時間後の午後2時の時点を示しています。図から、男性は1時間移動 (徒歩と電車で) した後、出発点から50kmの地点にいることがわかります。これは定義により時速50kmであり、この方法で相対速度を計算するには、2つの速度を加算すればよいということになります。

図には時計と定規が描かれていますが、これは読者に、この計算の背後にある論理は完璧に見えるものの、時計と定規の挙動については誤った仮定に基づいていることを思い出させるためです。（列車とプラットフォームの思考実験を参照してください。）この相対運動の古典的なモデルが特殊相対性理論に反することを認識するために、この例を次の方程式に一般化します。

${\displaystyle \underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\text{10 km/h}}+\underbrace {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 km/h}},}$

どこ：

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid E}}$は地球の東に対する地球の速度である。

${\displaystyle \mathbf {v} _{M\mid T}}$はTrainに対するManの速度であり、

${\displaystyle \mathbf {v} _{T\mid E}}$は、地球の東に対する雨の東の速度です。

「AのBに対する相対的な速度」を表す完全に正当な表現には、「Bに対するAの速度」や「Bが常に静止している座標系におけるAの速度」などがある。特殊相対性理論の破れは、この相対速度の式が、光の運動を観測する際に観測者によって測定される速度が異なると誤って予測することから生じる。 ^{[注 1]}

2次元（非相対論的）

古典力学における2つの粒子間の相対速度

図は、等速で運動する2つの物体AとBを示しています。運動方程式は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,}$

ここで、添え字のiは初期変位（時刻tが0の時点）を表します。2つの変位ベクトルの差は、Aから見たBの位置を表します。 ${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text{initial separation}}+\underbrace {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\text{relative velocity}}.}$

したがって:

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.}$

と を代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow }$   ${\displaystyle \mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.}$

ガリレイ変換（非相対論的）

特殊相対性理論と整合する相対運動理論を構築するには、異なる慣例を採用する必要がある。（非相対論的） ニュートン極限での作業を続けると、1次元におけるガリレイ変換から始める。 ^{[注 2]}

${\displaystyle x'=x-vt}$

${\displaystyle t'=t}$

ここで、x'は、速度vで動いている「プライムなしの」（x）基準系から見た位置です。^{[注 3]} 上記の2つの方程式の最初の方程式を微分すると、 となり、 ^{[注 4]}明らかと思われる となると、次の式が得られます。 ${\displaystyle dx'=dx-v\,dt}$ ${\displaystyle dt'=dt}$

${\displaystyle {\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v}$

相対速度に関する前述の式を復元するために、粒子Aがプライムなしの基準系でdx/dt（したがってプライム付き座標系ではdx ′/ dt ′）によって定義される経路をたどっていると仮定します。したがって、およびとなります。ここで、およびは、それぞれプライムなしの座標系とプライム付き座標系における観測者から見たAの運動を表します。vは、プライムなしの座標系から見た、プライム付き座標系における静止物体の運動であることを思い出してください。したがって、およびとなります。 ${\displaystyle dx/dt=v_{A\mid O}}$ ${\displaystyle dx'/dt=v_{A\mid O'}}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle O'}$ ${\displaystyle v=v_{O'\mid O}}$

${\displaystyle v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O'\mid O},}$

後者の形式は望ましい（簡単に習得できる）対称性を備えています。

特殊相対性理論

古典力学と同様に、特殊相対論における相対速度は、物体または観測者Bの、別の物体または観測者Aの静止系における速度である。しかし、古典力学の場合とは異なり、特殊相対論では、一般には ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }}$

この特異な対称性の欠如は、トーマス歳差運動と、2つの連続するローレンツ変換が座標系を回転させるという事実に関連しています。この回転はベクトルの大きさに影響を与えないため、相対速度は対称的です。

${\displaystyle \|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B|A} }=v_{\mathrm {A|B} }}$

平行速度

2 つの物体が平行方向に移動している場合、相対速度の相対論的式は、相対速度の加算の式と形式が似ています。

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

相対速度は次の式で求められます。

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\right|}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}}$

垂直速度

2 つの物体が垂直方向に移動している場合、相対速度は次の式で表されます。 ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }}$

どこ

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

相対速度は次の式で与えられる。

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}}$

一般的なケース

物体または観測者Bの静止系における別の物体または観測者Aの相対速度の一般的な式は、次の式で与えられる：^[1] ${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\gamma _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\right]}$

どこ

${\displaystyle \gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^{2}}}}}$

相対速度は次の式で与えられる。

${\displaystyle v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right)\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c}$

参照

• ドップラー効果
• 非ユークリッド幾何学 § 運動幾何学
• 特異速度
• 固有運動
• 距離速度
• 視線速度
• 迅速性
• 相対論的速度
• 宇宙速度（天文学）

注記

1. たとえば、「人間」を光速で移動する光子に置き換えます。
2. この結果は、すべての動きがx軸に制限されている場合にのみ有効ですが、最初の式を次のように置き換えることで簡単に一般化できます。 ${\displaystyle \mathbf {r} \,'=\mathbf {r} -\mathbf {v} t}$
3. vの前のマイナス記号、あるいはv がプライム座標系で定義されているのかプライムなし座標系で定義されているのかを混同しやすい。 x  =  vtならばx ′ = 0であるという事実を視覚的に捉えると分かりやすいだろう。これは、 x  =  vt の軌跡を辿る粒子は プライム座標系では静止していることを意味する。
4. 時間の遅れにより、 dt  =  dt ′ は速度が光速よりもはるかに遅いという近似においてのみ有効であることに留意してください。

参考文献

1. Fock 1964「時空と重力の理論」、https://archive.org/details/TheTheoryOfSpaceTimeGravitation から取得

さらに読む

• アロンソ＆フィン、基礎大学物理学ISBN 0-201-56518-8
• グリーンウッド、ドナルド T、「ダイナミクスの原理」。
• グッドマンとワーナー、ダイナミクス。
• ビアとジョンストン、「静力学と動力学」。
• McGraw Hill 物理数学辞典。
• リンドラー、W.、「Essential Relativity」。
• KHURMI RS、力学、工学力学、静力学、動力学

外部リンク

• HyperPhysicsにおける相対運動
• 相対速度を説明するJavaアプレット（Andrew Duffy作）
• Relatív mozgás (1)...(3) 2 つの列車 (1)...(3) の相対運動。ポータル FizKapu のビデオ。(ハンガリー語で)
• Sebességek összegzése 小川のマスの比較的静かな場所。ポータル FizKapu のビデオ。(ハンガリー語で)

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