軌道周期

公転周期（または公転周期）とは、ある天体が別の天体の周りを一周するのにかかる時間です。天文学では、太陽を周回する惑星や小惑星、惑星を周回する衛星、他の恒星を周回する太陽系外惑星、あるいは連星に通常適用されます。また、惑星や衛星を周回する衛星が一周するのにかかる時間を指すこともあります。

一般に天体の場合、軌道周期は、地球が太陽の周りを公転するなど、ある天体が主天体の周りを360 度公転することによって決まります。

天文学における周期は、通常、時間、日、または年といった単位で表されます。その逆数は、公転周波数（一種の公転周波数）であり、単位はヘルツです。

中心天体を周回する小天体

ケプラーの第三法則によれば、円軌道または楕円軌道で互いの周りを回る2つの質点の軌道周期Tは次のように表される。^[1]

T = 2 π a 3 G M {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{GM}}}}

どこ：

aは軌道の長半径である
Gは重力定数であり、
Mは、質量の大きい方の物体の質量です。

与えられた長半径を持つすべての楕円の場合、軌道周期は離心率に関係なく同じです。

逆に、与えられた軌道周期Tを持つために物体が周回しなければならない距離を計算するには、次の式を用います。

a={\sqrt[{3}]{\frac {GMT^{2}}{4\pi ^{2}}}}

たとえば、質量 100 kgの天体の周りを 24 時間ごとに一周するには、小天体は中心天体の質量中心から 1.08 メートルの距離を周回する必要があります。

完全に円軌道の特別な場合、軌道長半径aは軌道半径に等しく、軌道速度は一定で

v o = G M r {\displaystyle v_{\text{o}}={\sqrt {\frac {GM}{r}}}}

どこ：

rは円軌道の半径（メートル）である。

これは脱出速度の1 ⁄ √2倍（≈ 0.707倍）に相当します。

中心天体の密度の影響

均一な密度の完全な球の場合、質量を測定せずに最初の方程式を次のように書き直すことができます。

T={\sqrt {{\frac {a^{3}}{r^{3}}}{\frac {3\pi }{G\rho }}}}

どこ：

rは球の半径である
aは軌道の長半径であり、
Gは重力定数であり、
ρは球の密度です。

例えば、半径50センチのタングステン球の表面から10.5センチ上空を円軌道で周回する小天体は、毎秒1ミリメートル強の速度で移動し、1 時間で1周します。同じ球を鉛で作った場合、同じ軌道周期を維持するためには、小天体は表面からわずか6.7ミリメートル上空を周回するだけで済みます。

非常に小さな物体が、任意の半径と平均密度ρ（kg/m ³ ）の球の表面からわずかに上の円軌道上にある場合、上記の式は次のように簡略化されます。

T={\sqrt {\frac {3\pi }{G\rho }}}

（rがaにほぼ等しいため）。したがって、低軌道における軌道周期は、中心天体の大きさに関わらず、中心天体の密度のみに依存します。

したがって、地球を中心天体（または同じ平均密度約5,515 kg/m ³を持つ他の球対称天体、^[2] 、例えば水星は5,427 kg/m ³、金星は5,243 kg/m ³）とすると、次の式が得られます。

T = 1.41時間

そして、水（ρ≈1,000 kg/m ³）^[3]や、同様の密度を持つ天体（例えば土星の衛星イアペトゥス（1,088 kg/m ^3）やテティス（984 kg/m ^3）の場合は、次の式が得られます。

T = 3.30時間

したがって、 Gのような非常に小さな数値を用いる代わりに、水などの基準物質を用いて万有引力の強さを表すことができます。球状の水面直上の軌道周期は3時間18分です。逆に、密度の単位があれば、これは一種の「普遍的な」時間単位として用いることができます。^[要出典]^{[原著論文？ ]}

二つの物体が互いに周回する

天体力学では、両方の軌道を回る天体の質量を考慮すると、軌道周期Tは次のように計算できる。^[4]

T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{G\left(M_{1}+M_{2}\right)}}}

どこ：

aは、物体の中心が移動する楕円の長半径の合計、または、原点にある他の物体を基準として一方の物体が移動する楕円の長半径（円軌道の場合は、それらの一定の距離に等しい）である。
M ₁ + M ₂は2つの物体の質量の合計であり、
Gは重力定数です。

放物線または双曲線の軌道では、動きは周期的ではなく、完全な軌道の持続時間は無限です。

恒星周期と朔望周期の例

地球を基準とした太陽系の朔望周期表：^[要出典]

物体	恒星周期		朔望周期
物体	（年）	（ニ）	（年）	（エ）^[8]
水銀	0.240846	87.9691日	0.317	115.88
金星	0.615	224.7日^[9]	1.599	583.9
地球	1	365.25636太陽日	—
火星	1.881	687.0 ^[9]	2.135	779.9
木星	11.86	4331 ^[9]	1.092	398.9
土星	29.46	10,747 ^[9]	1.035	378.1
天王星	84.01	30,589 ^[9]	1.012	369.7
ネプチューン	164.8	59,800 ^[9]	1.006	367.5
134340 冥王星	248.1	90,560 ^[9]	1.004	366.7
月	0.0748	27.32日	0.0809	29.5306
99942 アポフィス（地球近傍小惑星）	0.886		7.769	2,837.6
4 ベスタ	3.629		1.380	504.0
1 セレス	4.600		1.278	466.7
10 ヒュギエイア	5.557		1.219	445.4
2060年カイロン	50.42		1.020	372.6
50000 クワオアー	287.5		1.003	366.5
136199 エリス	557		1.002	365.9
90377 セドナ	12050		1.0001	365.3 ^[要出典]

惑星の衛星の場合、朔望周期は通常、太陽朔望周期、すなわち月が照明相を完了するのにかかる時間、つまり惑星表面の天文学者にとって太陽の相を完了するのにかかる時間を指します。地球の観測者は問題の衛星を周回していないため、他の惑星では地球の運動によってこの値は決定されません。例えば、デイモスの朔望周期は1.2648日で、デイモスの恒星周期1.2624日よりも0.18%長くなっています。^[要出典]

相対的な朔望周期

朔望周期の概念は地球だけでなく他の惑星にも適用されます。^{[引用が必要]}朔望周期の計算には上記と同じ式が適用されます。^{[引用が必要]}次の表は、いくつかの惑星の朔望周期を相対的に示しています。^{[独自の研究ですか? ]}^{[引用が必要]}

軌道周期（年）
相対的に	火星	木星	土星	2060年カイロン	天王星	ネプチューン	冥王星	クワオアー	エリス
太陽	1.881	11.86	29.46	50.42	84.01	164.8	248.1	287.5	557.0
火星		2.236	2.009	1.954	1.924	1.903	1.895	1.893	1.887
木星			19.85	15.51	13.81	12.78	12.46	12.37	12.12
土星				70.87	45.37	35.87	33.43	32.82	31.11
2060年カイロン					126.1	72.65	63.28	61.14	55.44
天王星						171.4	127.0	118.7	98.93
ネプチューン							490.8	386.1	234.0
冥王星								1810.4	447.4
50000 クワオアー									594.2

軌道周期の例：連星

連星	軌道周期。
AM カヌム・ヴェナティコルム	17.146分
こと座ベータ星AB	12.9075日
アルファケンタウリAB	79.91歳
プロキシマ・ケンタウリ–アルファ・ケンタウリAB	50万年以上

参照

注記

^ ベイト、ミューラー、ホワイト（1971年）、33ページ。
^ 地球の密度、wolframalpha.com
^ 水の密度、wolframalpha.com
^ Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie. 現代天体物理学入門. 第2版. Pearson 2007, p. 49 (式2.37は簡略化)。
^ オリバー・モンテンブルック、エバーハルト・ギル (2000). 衛星軌道：モデル、方法、および応用. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 50. ISBN 978-3-540-67280-7。
^ 「地球の軸の歳差運動 - Wolframデモンストレーションプロジェクト」。demonations.wolfram.com 。2019年2月10日閲覧。
^ ハンヌ・カルトトゥーネン;他。（2016年）。基礎天文学 (第 6 版)。スプリンガー。 p. 145.ISBN 9783662530450. 2018年12月7日閲覧。
^ 「質問と回答 - Stenの宇宙ブログ」www.astronomycafe.net。
^ abcdefg 「惑星ファクトシート」. nssdc.gsfc.nasa.gov .

参考文献

ベイト、ロジャー B.; ミューラー、ドナルド D.; ホワイト、ジェリー E. (1971)、『天体力学の基礎』、ドーバー

外部リンク

[FOOTNOTEBateMuellerWhite197133-1] ベイト、ミューラー、ホワイト（1971年）、33ページ。

[2] 地球の密度、wolframalpha.com

[3] 水の密度、wolframalpha.com

[4] Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie. 現代天体物理学入門. 第2版. Pearson 2007, p. 49 (式2.37は簡略化)。

[5] オリバー・モンテンブルック、エバーハルト・ギル (2000). 衛星軌道：モデル、方法、および応用. シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 50. ISBN 978-3-540-67280-7。

[6] 「地球の軸の歳差運動 - Wolframデモンストレーションプロジェクト」。demonations.wolfram.com 。2019年2月10日閲覧。

[7] ハンヌ・カルトトゥーネン;他。（2016年）。基礎天文学 (第 6 版)。スプリンガー。 p. 145.ISBN 9783662530450. 2018年12月7日閲覧。

[8] 「質問と回答 - Stenの宇宙ブログ」www.astronomycafe.net。

[auto-9] 「惑星ファクトシート」. nssdc.gsfc.nasa.gov .