Study of the effects of forces on undeformable bodies
ボルトン＆ワット蒸気エンジン（1784）の各コンポーネントの動きは、一連の運動学と運動力学の方程式で記述できます。 力学 という 物理 科学において 、 剛体力学は、 外力 の作用下における相互接続された 物体 の システム の運動を研究する学問です 。物体が 剛体で ある（つまり、外力の作用下で変形 しない ）という仮定は、システムの構成を記述するパラメータを 各物体に付随する 参照フレームの並進と回転にまで縮小することで、解析を簡素化します。 [1] [2]ただし、 流体挙動 、高 弾性挙動 、 塑性 挙動を示す物体は除きます 。
剛体システムの力学は、 運動学の法則と、ニュートン力学の第二法則（ 運動力学 ）またはその派生形である ラグランジュ力学 の適用によって記述されます 。これらの運動方程式の解は、システムの個々の構成要素の位置、運動、加速度、そしてシステム全体を 時間の関数として記述します。剛体力学の定式化と解は、 機械システム のコンピュータシミュレーションにおいて重要なツールです 。
平面剛体ダイナミクス 粒子系が固定された平面に平行に運動する場合、その系は平面運動に拘束されていると言われる。この場合、N個の粒子P i （ i =1,..., N ）からなる剛体系に対するニュートンの法則（運動力学）は、 k 方向への運動がないため単純化される 。 基準点 Rにおける 合力 と トルクを 求めると、次式が得られる
。 F = ∑ i = 1 N m i A i , T = ∑ i = 1 N ( r i − R ) × m i A i , {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {A} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times m_{i}\mathbf {A} _{i},}
ここで、 r i は 各粒子の平面軌道を表します。
剛体の 運動学で は、基準粒子の 位置 R と加速度 A 、および剛体粒子系の角速度ベクトル ω と 角加速度 ベクトル α を用いて、粒子P i の加速度の式が次のように表される。 A i = α × ( r i − R ) + ω × ( ω × ( r i − R ) ) + A . {\displaystyle \mathbf {A} _{i}={\boldsymbol {\alpha }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {A} .}
平面運動に制約されたシステムの場合、角速度ベクトルと角加速度ベクトルは運動面に垂直な k 方向に向くため、この加速度方程式は簡略化されます。この場合、加速度ベクトルは、基準点 R から点 r i への単位ベクトル e i と単位ベクトルを導入することで簡略化できます 。 t i = k × e i {\textstyle \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} \times \mathbf {e} _{i}} A i = α ( Δ r i t i ) − ω 2 ( Δ r i e i ) + A . {\displaystyle \mathbf {A} _{i}=\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} .}
これにより、システムにかかる合力は次のようになり 、トルクは次のようになる。 F = α ∑ i = 1 N m i ( Δ r i t i ) − ω 2 ∑ i = 1 N m i ( Δ r i e i ) + ( ∑ i = 1 N m i ) A , {\displaystyle \mathbf {F} =\alpha \sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i}\right)-\omega ^{2}\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)+\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\right)\mathbf {A} ,} T = ∑ i = 1 N ( m i Δ r i e i ) × ( α ( Δ r i t i ) − ω 2 ( Δ r i e i ) + A ) = ( ∑ i = 1 N m i Δ r i 2 ) α k + ( ∑ i = 1 N m i Δ r i e i ) × A , {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ={}&\sum _{i=1}^{N}(m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})\times \left(\alpha (\Delta r_{i}\mathbf {t} _{i})-\omega ^{2}(\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i})+\mathbf {A} \right)\\{}={}&\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}^{2}\right)\alpha \mathbf {k} +\left(\sum _{i=1}^{N}m_{i}\Delta r_{i}\mathbf {e} _{i}\right)\times \mathbf {A} ,\end{aligned}}}
ここで 、はすべての粒子P i の 平面に垂直な単位ベクトルです 。 e i × e i = 0 {\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {e} _{i}=0} e i × t i = k {\textstyle \mathbf {e} _{i}\times \mathbf {t} _{i}=\mathbf {k} }
質量中心 C を基準点とすると、ニュートンの法則のこれらの式は次のように簡略化される 。 F = M A , T = I C α k , {\displaystyle \mathbf {F} =M\mathbf {A} ,\quad \mathbf {T} =I_{\textbf {C}}\alpha \mathbf {k} ,}
ここで、 M は全質量、 I C は剛体システムの動きに垂直で質量中心を通る軸の周り の慣性モーメント です。
3次元の剛体
方向性や態度の説明 3次元における剛体の姿勢を記述する手法はいくつか開発されており、以下のセクションでそれらを要約する。
オイラー角 方向を表す最初の試みは、 レオンハルト・オイラー によるものとされています。彼は、互いに回転する3つの基準系を想像し、固定された基準系から始めて3回回転させることによって、空間内の他の任意の基準系を取得できることに気付きました（2回の回転で垂直軸を固定し、もう1回の回転で他の2つの軸を固定します）。これらの3回の回転の値は オイラー角 と呼ばれます。一般的に、オイラー角は歳差運動、 章動運動、および 固有回転を 表すために使用されます。 ψ {\displaystyle \psi } θ {\displaystyle \theta } ϕ {\displaystyle \phi }
オイラー角の図
固定軸を中心としたボールの固有回転
オイラー角におけるコマの運動
テイト・ブライアン角 テイト・ブライアン角、方向を記述する別の方法 これらは3つの角度で、ヨー角、ピッチ角、ロール角、ナビゲーション角、カルダン角とも呼ばれます。数学的には、これらはオイラー角の12通りの可能な組み合わせの中の6通りの可能性の集合を構成し、その順序は飛行機などの乗り物の向きを記述するのに最もよく使われる順序です。航空宇宙工学では、これらは通常オイラー角と呼ばれます。
方向ベクトル オイラーはまた、2つの回転の合成は、異なる固定軸を中心とした1つの回転に等しいことに気づいた（ オイラーの回転定理 ）。したがって、前述の3つの角度の合成は1つの回転に等しくなければならないが、その軸の計算は行列が開発されるまでは複雑であった。
この事実に基づき、彼は回転を記述するベクトル的方法を導入しました。ベクトルは回転軸上にあり、モジュールは角度の値に等しいとされています。したがって、任意の向きは、基準フレームからその向きに至る回転ベクトル（オイラーベクトルとも呼ばれます）で表すことができます。向きを表すために使用される場合、回転ベクトルは一般に方向ベクトルまたは姿勢ベクトルと呼ばれます。
軸角度表現 と呼ばれる同様の方法では、回転軸に沿った 単位ベクトル と、角度を示す別の値 を使用して回転または方向を記述します(図を参照)。
方向マトリックス 行列の導入により、オイラーの定理は書き換えられました。回転は、 回転行列または方向余弦行列と呼ばれる 直交行列によって記述されました。回転 行列は 、向きを表すために使用される場合、一般的に向き行列または姿勢行列と呼ばれます。
前述のオイラーベクトルは回転行列の 固有ベクトル です（回転行列は唯一の実 固有値 を持ちます）。2つの回転行列の積は回転の合成です。したがって、前述のように、方向は初期座標系からの回転として与えられ、記述したい座標系が得られます。
n 次元空間 における非対称物体 の 配置 空間 は SO( n ) × Rn で ある。物体の向きは、接線ベクトル の基底を物体に付与することで視覚化できる 。各ベクトルの向きが物体の向きを決定する。
方向クォータニオン 回転を記述する別の方法は、 回転四元数（ バーソルとも呼ばれる）を使用することです。回転四元数は回転行列および回転ベクトルと同等です。回転ベクトルと比較すると、行列との変換がより容易です。回転四元数は、向きを表すために使用される場合、通常、向き四元数または姿勢四元数と呼ばれます。
3次元におけるニュートンの第二法則 3 次元空間における剛体の力学を考慮するには、ニュートンの第 2 法則を拡張して、剛体の動きとそれに作用する力とトルクのシステムとの関係を定義する必要があります。
ニュートンは粒子に関する第二法則を次のように定式化した。「物体の運動の変化は、加えられた力に比例し、力が加えられた直線の方向に生じる。」 [3] ニュートンは一般的に質量×速度を粒子の「運動」と呼んでいたため、「運動の変化」という表現は質量×粒子の加速度を指し、したがってこの法則は通常、次のように表記される。 ここで、 F は粒子に作用する唯一の外力、 m は粒子の質量、 a は粒子の加速度ベクトルである。ニュートンの第二法則を剛体へ拡張するには、剛体粒子系を考察する必要がある。 F = m a , {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,}
粒子の剛体系 N個 の粒子P i （i=1,..., N ）からなる系が 剛体を構成する場合、ニュートンの第二法則は各粒子に適用される。 質量 m i を持つ粒子P i に 作用 する外力を Fi とすると、 Fij は粒子P i に作用する粒子P j の内力であり 、 これらの粒子間の距離を一定に保つ。 F i + ∑ j = 1 N F i j = m i a i , i = 1 , … , N , {\displaystyle \mathbf {F} _{i}+\sum _{j=1}^{N}\mathbf {F} _{ij}=m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad i=1,\ldots ,N,}
人体は幾何学的立体の剛体システムとしてモデル化されています。歩行中の人物をより視覚的に表現するために、代表的な骨が追加されています。 これらの力の方程式は、剛体に作用する 合力 と合トルクを導入することで、重要な簡略化が得られます。この合力と合トルクは、系内の粒子の1つを参照点 R として選択することで得られます。参照点 Rでは、各外力が対応するトルクとともに作用します。合力 F とトルク T は、以下の式で与えられます。 ここで、 R iは粒子 P i の位置を定義するベクトルです 。 F = ∑ i = 1 N F i , T = ∑ i = 1 N ( R i − R ) × F i , {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {F} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {F} _{i},}
ニュートンの粒子に関する第二法則は、これらの合力とトルクの式と組み合わさって、 内部力 F ijが 対になって打ち消し合う関係式となる。 剛体の 運動学は、粒子P i の加速度を、基準粒子の位置 R と加速度 a 、および剛体粒子系の角速度ベクトルωと角加速度ベクトルαを用いて次のように表す。 F = ∑ i = 1 N m i a i , T = ∑ i = 1 N ( R i − R ) × ( m i a i ) , {\displaystyle \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{N}m_{i}\mathbf {a} _{i},\quad \mathbf {T} =\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )\times (m_{i}\mathbf {a} _{i}),} a i = α × ( R i − R ) + ω × ( ω × ( R i − R ) ) + a . {\displaystyle \mathbf {a} _{i}=\alpha \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\omega \times (\omega \times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} ))+\mathbf {a} .}
質量特性 剛体の質量特性は、その 質量中心 と 慣性行列 によって表される。次の条件を満たすように 基準点 Rを選択する。 ∑ i = 1 N m i ( R i − R ) = 0 , {\displaystyle \sum _{i=1}^{N}m_{i}(\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )=0,}
それはシステムの質量中心として知られています。
基準点 R に対するシステムの慣性行列[I R ]は次のように定義される。 [ I R ] = ∑ i = 1 N m i ( I ( S i T S i ) − S i S i T ) , {\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}
ここで 、 は列ベクトル R i − R 、 はその転置行列、 は 3行3列の 単位行列 です。 S i {\displaystyle \mathbf {S} _{i}} S i T {\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}} I {\displaystyle \mathbf {I} }
S i T S i {\displaystyle \mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}} は と 自身のスカラー積であり 、 は と 自身 のテンソル積です。 S i {\displaystyle \mathbf {S} _{i}} S i S i T {\displaystyle \mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}} S i {\displaystyle \mathbf {S} _{i}}
力-トルク方程式 質量中心と慣性行列を使用すると、単一の剛体の力とトルクの方程式は次の形になり 、剛体に対するニュートンの運動の第二法則として知られています。 F = m a , T = [ I R ] α + ω × [ I R ] ω , {\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}
剛体 B i , j = 1, ..., M の相互接続系の力学は、各剛体を分離し、相互作用力を導入することによって定式化される。各剛体に作用する外力と相互作用力の合力は、力-トルク方程式となる。 F j = m j a j , T j = [ I R ] j α j + ω j × [ I R ] j ω j , j = 1 , … , M . {\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}
ニュートンの定式化により、 M個 の剛体システム の力学を定義する6つの M方程式が得られる。 [4]
3次元での回転 回転物体は、トルクの影響下にあるかどうかに関わらず、 歳差運動 と 章動 運動を示すことがあります。回転する固体の挙動を記述する基本方程式は、 オイラーの運動方程式 です。 ここで 、 擬似ベクトル τ と L はそれぞれ物体にかかる トルクと 角運動量 、スカラー I は 慣性モーメント 、ベクトル ω は角速度、ベクトル α は角加速度、Dは慣性座標系における微分、dは物体に固定された相対座標系における微分です。 τ = D L D t = d L d t + ω × L = d ( I ω ) d t + ω × I ω = I α + ω × I ω {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {D\mathbf {L} }{Dt}}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {L} ={\frac {d(I{\boldsymbol {\omega }})}{dt}}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}=I{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times {I{\boldsymbol {\omega }}}}
トルクが適用されていない場合のこの方程式の解については、 「オイラーの運動方程式」 および 「ポアンソの楕円体」の 記事で説明されています 。
オイラーの方程式から、回転軸に垂直、つまり L に垂直なトルク τを加えると、 τ と L の両方に垂直な軸の周りの回転が生じることが分かります。この運動は 歳差運動 と呼ばれます 。歳差運動の角速度 Ω Pは、 外積 で与えられます 。 [ 要出典 ] τ = Ω P × L . {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\boldsymbol {\Omega }}_{\mathrm {P} }\times \mathbf {L} .}
ジャイロスコープ の歳差運動 歳差運動は、コマの軸を水平にし、片方の端を緩く支え（歳差運動の方向に摩擦がない）にすることで実証できます。コマは予想通り落下する代わりに、軸を水平に保ち、重力に逆らっているように見えます。軸のもう一方の端は支えられておらず、軸の自由端は水平面内でゆっくりと円を描き、結果として歳差運動が起こります。この効果は上記の式で説明されます。コマにかかるトルクは、2つの力によって供給されます。1つはコマの質量中心に下向きに作用する重力、もう1つはコマの一端を支えるために上向きに作用する同じ力です。このトルクによって生じる回転は、直感的に予想されるように下向きではなく、コマを落下させる原因となります。回転は、重力トルク（水平で回転軸に垂直）と回転軸（水平で支持点から外側へ向かう）の両方に垂直、つまり垂直軸を中心に回転するため、支持点を中心にコマをゆっくりと回転させます。
大きさτ の一定トルクの下では 、歳差運動の速度 Ω P は、その角運動量の大きさ L に反比例します。 ここで、 θはベクトル Ω P と L の間の角度です 。したがって、コマの回転速度が（例えば摩擦によって）低下すると、角運動量が減少し、歳差運動の速度が増加します。この状態は、コマが自重を支えるのに十分な速度で回転できなくなるまで続きます。コマは歳差運動を停止し、支柱から落下します。これは主に、歳差運動に対する摩擦によって別の歳差運動が発生し、それが落下の原因となるためです。 τ = Ω P L sin θ , {\displaystyle \tau ={\mathit {\Omega }}_{\mathrm {P} }L\sin \theta ,}
慣例により、これら 3 つのベクトル (トルク、スピン、歳差運動) はすべて、右手の法則 に従って互いに対して方向付けられます 。
剛体に作用する力の仮想仕事 剛体に作用する力の 仮想仕事を 考慮することにより、多くの便利な機能を備えた剛体力学の代替定式化が得られます。
単一の剛体上の様々な点に作用する力の仮想仕事は、作用点の速度と、その 結果生じる力とトルク を用いて計算できます。これを確認するには、力 F 1 、 F 2 、 ... F n が 剛体上の 点 R 1 、 R 2 、 ... R nに作用するとします。
R i （ i = 1, ..., n） の軌道は 剛体の運動によって定義されます。 軌道上の
点 R i の速度は、 ωが 剛体の角速度ベクトルである とき、次の式で表されます。 V i = ω × ( R i − R ) + V , {\displaystyle \mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}
仮想作業 仕事は、各力とその接触点の変位の ドット積 から計算されます。 剛体の軌道が 一般化座標 q j , j = 1, ..., m で定義される場合、仮想変位 δ r i は次のように与えられます
。 この物体に作用する力のシステムの一般化座標における仮想仕事は、次のようになります。 δ W = ∑ i = 1 n F i ⋅ δ r i . {\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}.} δ r i = ∑ j = 1 m ∂ r i ∂ q j δ q j = ∑ j = 1 m ∂ V i ∂ q ˙ j δ q j . {\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} _{i}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}.} δ W = F 1 ⋅ ( ∑ j = 1 m ∂ V 1 ∂ q ˙ j δ q j ) + ⋯ + F n ⋅ ( ∑ j = 1 m ∂ V n ∂ q ˙ j δ q j ) {\displaystyle \delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{1}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)+\dots +\mathbf {F} _{n}\cdot \left(\sum _{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} _{n}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)}
またはδq j の係数を集める δ W = ( ∑ i = 1 n F i ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ 1 ) δ q 1 + ⋯ + ( ∑ 1 = 1 n F i ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ m ) δ q m . {\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{1}}}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(\sum _{1=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{m}}}\right)\delta q_{m}.}
一般化された力 簡単にするために、回転角のような単一の一般化座標qで指定される剛体の軌道を考えると、式は次のようになる。 δ W = ( ∑ i = 1 n F i ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ ) δ q = ( ∑ i = 1 n F i ⋅ ∂ ( ω × ( R i − R ) + V ) ∂ q ˙ ) δ q . {\displaystyle \delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {R} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} )}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}
合力 F とトルク T を導入すると、この式は次のようになります。 δ W = ( F ⋅ ∂ V ∂ q ˙ + T ⋅ ∂ ω ∂ q ˙ ) δ q . {\displaystyle \delta W=\left(\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q.}
Q は 次のように定義される。 Q = F ⋅ ∂ V ∂ q ˙ + T ⋅ ∂ ω ∂ q ˙ , {\displaystyle Q=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}},}
は、
仮想変位δqに関連する 一般化力 として知られています 。この式は、複数の一般化座標で定義される剛体の運動にも一般化されます。 δ W = ∑ j = 1 m Q j δ q j , {\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},} Q j = F ⋅ ∂ V ∂ q ˙ j + T ⋅ ∂ ω ∂ q ˙ j , j = 1 , … , m . {\displaystyle Q_{j}=\mathbf {F} \cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} \cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}
重力やバネ力などの保存力は、 ポテンシャルエネルギー として知られるポテンシャル関数 V ( q 1 , ..., q n ) から導出できることに留意すると有用である。この場合、一般化された力は次のように与えられる。 Q j = − ∂ V ∂ q j , j = 1 , … , m . {\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}
剛体力学系の運動方程式は、ダランベールの仮想仕事原理の形式を用いて決定することができます。仮想仕事原理は剛体系の静的平衡を研究するために使用されますが、ニュートンの法則に加速度項を導入することで、このアプローチは動的平衡を定義するために一般化されます。
静的平衡 剛体機械系の静的平衡は、系の任意の仮想変位に対して、作用する力の仮想仕事がゼロであるという条件によって定義されます。これは 仮想仕事の原理として知られています。 [5]これは、任意の仮想変位に対する一般化力がゼロ、すなわち Q i =0 であるという要件と同等です 。
n 個 の剛体 B i （ i = 1, ..., n ） から機械システムを構築し 、各剛体に作用する力の合力を力とトルクのペア F i と T i （ i = 1, ..., n ） とします。これらの作用力には、剛体が接続された部分の反作用力は含まれないことに注意してください。最後に、各剛体の速度 V i と角速度 ω i （ i = 1, ..., n ） が、単一の一般化座標 q によって定義されていると仮定します。このような剛体システムは、 自由度が 1 であると言われています。
この 1 自由度システムに適用される 力とトルク F i および T i の仮想仕事は、
この 1 自由度システムに作用する一般化された力 によって
与えられます。 δ W = ∑ i = 1 n ( F i ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ + T i ⋅ ∂ ω i ∂ q ˙ ) δ q = Q δ q , {\displaystyle \delta W=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta q=Q\delta q,} Q = ∑ i = 1 n ( F i ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ + T i ⋅ ∂ ω i ∂ q ˙ ) , {\displaystyle Q=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}}}\right),}
機械系がm個の一般化座標 q j , j = 1, ..., m で定義される場合、系はm個の自由度を持ち、仮想仕事は次のように与えられる。 ここで
、 は一般化座標 q j に関連付けられた一般化力である。仮想仕事の原理によれば、系に作用するこれらの一般化力がゼロのとき、静的平衡が生じる。すなわち、 δ W = ∑ j = 1 m Q j δ q j , {\displaystyle \delta W=\sum _{j=1}^{m}Q_{j}\delta q_{j},} Q j = ∑ i = 1 n ( F i ⋅ ∂ V i ∂ q ˙ j + T i ⋅ ∂ ω i ∂ q ˙ j ) , j = 1 , … , m . {\displaystyle Q_{j}=\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {F} _{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} _{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}+\mathbf {T} _{i}\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.} Q j = 0 , j = 1 , … , m . {\displaystyle Q_{j}=0,\quad j=1,\ldots ,m.}
これらの m 方程式は剛体システムの静的平衡を定義します。
一般化された慣性力 一般化座標q によって定義される1自由度を持つ、 合力 F とトルク Tの作用下で運動する単一の剛体を考える。合力とトルクの基準点を剛体の質量中心とすると、一般化座標 q に関連付けられた 一般化慣性力 Q* は次のように表される
。 Q ∗ = − ( M A ) ⋅ ∂ V ∂ q ˙ − ( [ I R ] α + ω × [ I R ] ω ) ⋅ ∂ ω ∂ q ˙ . {\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}
この慣性力は、次の式を使って 剛体の運動エネルギーから計算できる。 T = 1 2 M V ⋅ V + 1 2 ω ⋅ [ I R ] ω , {\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},} Q ∗ = − ( d d t ∂ T ∂ q ˙ − ∂ T ∂ q ) . {\displaystyle Q^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial T}{\partial q}}\right).}
m個の一般化座標を持つn 個の剛体 からなる系は、 m個の一般化慣性力を計算するために使用できる運動エネルギーを持つ [6] T = ∑ i = 1 n ( 1 2 M V i ⋅ V i + 1 2 ω i ⋅ [ I R ] ω i ) , {\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),} Q j ∗ = − ( d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j ) , j = 1 , … , m . {\displaystyle Q_{j}^{*}=-\left({\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right),\quad j=1,\ldots ,m.}
動的平衡 ダランベールの仮想仕事の原理は、剛体系が動的平衡にあるとき、作用力と慣性力の和による仮想仕事は、系の任意の仮想変位に対してゼロとなることを述べています。したがって、m個の一般座標を持つn個の剛体系の動的平衡には、任意の 仮想変位の集合 δq j に対して、 が成り立つことが必要です。この条件から m 個の方程式が得られ、 これらは次のようにも表すことができます 。結果として、剛体系のダイナミクスを定義するm個の運動方程式の集合が得られます。 δ W = ( Q 1 + Q 1 ∗ ) δ q 1 + ⋯ + ( Q m + Q m ∗ ) δ q m = 0 , {\displaystyle \delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,} Q j + Q j ∗ = 0 , j = 1 , … , m , {\displaystyle Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,} d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j = Q j , j = 1 , … , m . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.}
ラグランジュ方程式 一般化された力Q j が 位置エネルギー V ( q 1 , ..., q m ) から導出できる場合、これらの運動方程式は次の形になります。 d d t ∂ T ∂ q ˙ j − ∂ T ∂ q j = − ∂ V ∂ q j , j = 1 , … , m . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}
この場合、 ラグランジアン L = T − V を導入すると、これらの運動方程式は次のようになります
。これら は ラグランジュの運動方程式 として知られています 。 d d t ∂ L ∂ q ˙ j − ∂ L ∂ q j = 0 j = 1 , … , m . {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}=0\quad j=1,\ldots ,m.}
直線運動量と角運動量
粒子のシステム 剛体粒子系の線運動量と角運動量は、質量中心に対する粒子の位置と速度を測定することによって定式化される。粒子系P i , i = 1, ..., n が 座標r i と速度 v i にあるとする 。基準点 R を選択し、相対位置ベクトルと速度ベクトルを計算する。 r i = ( r i − R ) + R , v i = d d t ( r i − R ) + V . {\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} .}
基準点R に対する全直線運動量ベクトルと角運動量ベクトル は 、 p = d d t ( ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) ) + ( ∑ i = 1 n m i ) V , {\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,} L = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) + ( ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) ) × V . {\displaystyle \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)+\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\right)\times \mathbf {V} .}
R を質量中心として選択する と、これらの式は次のように簡略化される。 p = M V , L = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × d d t ( r i − R ) . {\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right)\times {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} \right).}
粒子の剛体系 これらの式を剛体に適用するには、粒子が互いに剛体結合していると仮定し、P i , i=1,...,n は座標 r i と速度 v i によって位置付けられるものとする。参照点 R を選択し、相対位置と速度ベクトルを計算する。 ここで、ω は系の角速度である。 [7] [8] [9] r i = ( r i − R ) + R , v i = ω × ( r i − R ) + V , {\displaystyle \mathbf {r} _{i}=(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {R} ,\quad \mathbf {v} _{i}=\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )+\mathbf {V} ,}
この剛体の質量中心 R を基準として測定した線形 運動量 と 角運動量 は、 p = ( ∑ i = 1 n m i ) V , L = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × v i = ∑ i = 1 n m i ( r i − R ) × ( ω × ( r i − R ) ) . {\displaystyle \mathbf {p} =\left(\sum _{i=1}^{n}m_{i}\right)\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times \mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )\times (\omega \times (\mathbf {r} _{i}-\mathbf {R} )).}
これらの方程式は次のように簡略化されます。 ここで、M はシステムの総質量であり、[I R ] は 次のように定義される 慣性モーメント行列 です。
ここで、[r i − R] はベクトルr i − R から構築された歪対称行列です 。 p = M V , L = [ I R ] ω , {\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,} [ I R ] = − ∑ i = 1 n m i [ r i − R ] [ r i − R ] , {\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}
アプリケーション ロボットシステムの分析 動物、人間、またはヒューマノイドシステムの生体力学的分析 宇宙物体の分析 剛体の奇妙な運動についての理解。 [10] ジャイロセンサーなどのダイナミクスベースのセンサーの設計と開発。 自動車のさまざまな安定性向上アプリケーションの設計と開発。 剛体を含むビデオゲームのグラフィックの改善
参照
参考文献 ^ B. ポール著『平面機械の運動学と動力学』、プレンティス・ホール、ニュージャージー州、1979年 ^ LW Tsai、「ロボット分析：シリアルおよびパラレルマニピュレータのメカニック」、John-Wiley、NY、1999年。 ^ ブリタニカ百科事典、ニュートンの運動の法則。 ^ KJ Waldron と GL Kinzel、「運動学と動力学、機械の設計」第 2 版、John Wiley and Sons、2004 年。 ^ トルビー、ブルース (1984). 「エネルギー法」. エンジニアのための高度ダイナミクス . HRWシリーズ機械工学. アメリカ合衆国: CBSカレッジ出版. ISBN 0-03-063366-4 。 ^ TR KaneとDA Levinson、「ダイナミクス、理論とアプリケーション」、McGraw-Hill、NY、2005年。 ^ マリオン, JB; ソーントン, ST (1995). システムと粒子の古典力学 （第4版）. トムソン. ISBN 0-03-097302-3 。 。 ^ Symon, KR (1971). 『力学』 （第3版）. Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7 。 。 ^ Tenenbaum, RA (2004). 応用力学の基礎. Springer. ISBN 0-387-00887-X 。 。 ^ Gomez, RW; Hernandez-Gomez, JJ; Marquina, V (2012年7月25日). 「傾斜面上の跳躍円筒」. Eur. J. Phys . 33 (5). IOP: 1359– 1365. arXiv : 1204.0600 . Bibcode :2012EJPh...33.1359G. doi :10.1088/0143-0807/33/5/1359. S2CID 55442794. 2016年 4月25日 閲覧 。
さらに読む E. レイマニス (1965). 『固定点の周りの結合剛体の運動の一般問題』 （ Springer , New York). WB Heard (2006). 剛体力学：数学、物理学、応用. ( Wiley-VCH ).
外部リンク クリス・ヘッカーの剛体力学に関する情報は、2007年3月12日に Wayback Machineにアーカイブされています。 物理ベースモデリング：原理と実践 Wayback Machine に 2008 年 11 月 20 日にアーカイブされた DigitalRune ナレッジ ベースに は、剛体ダイナミクスに関する修士論文とリソースのコレクションが含まれています。 F. クライン、「線幾何学と剛体力学の関係についての覚書」（英訳） F. クライン「サー・ロバート・ボールのねじ理論について」（英訳） E.コットン、「ケーリー幾何学の固定点周りの立体の変位の幾何学的研究への応用」（英訳）
![{\displaystyle [I_{R}]=\sum _{i=1}^{N}m_{i}\left(\mathbf {I} \left(\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\mathbf {S} _{i}\right)-\mathbf {S} _{i}\mathbf {S} _{i}^{\textsf {T}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d212d70cb031aa272e6fef3690439553a1a07450)
![{\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} ,\quad \mathbf {T} =[I_{R}]\alpha +\omega \times [I_{R}]\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04cb3ac3348dc67b9f1d15aa50079857a33a8dcf)
![{\displaystyle \mathbf {F} _{j}=m_{j}\mathbf {a} _{j},\quad \mathbf {T} _{j}=[I_{R}]_{j}\alpha _{j}+\omega _{j}\times [I_{R}]_{j}\omega _{j},\quad j=1,\ldots ,M.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb22fbde3580ac19702abca9caee8df4f187f576)
![{\displaystyle Q^{*}=-(M\mathbf {A} )\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} }{\partial {\dot {q}}}}-\left([I_{R}]{\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}\right)\cdot {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial {\dot {q}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df57abd9197f239cfcfa19770f34cfeeb699b1e3)
![{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} \cdot \mathbf {V} +{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9746f56c6d59a6412cccc00201d6b3846f7af724)
![{\displaystyle T=\sum _{i=1}^{n}\left({\tfrac {1}{2}}M\mathbf {V} _{i}\cdot \mathbf {V} _{i}+{\tfrac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}_{i}\cdot [I_{R}]{\boldsymbol {\omega }}_{i}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cab5ab8718b6844af72b9fa8b6ba4324a1152d60)
![{\displaystyle \mathbf {p} =M\mathbf {V} ,\quad \mathbf {L} =[I_{R}]\omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2ef7db20a056f0716e9e45d93ee4c733871f5fc)
![{\displaystyle [I_{R}]=-\sum _{i=1}^{n}m_{i}[r_{i}-R][r_{i}-R],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abe90de29df41040a0385f1f1f79d2f99af97e03)
