階段状行列

線形代数において、ガウス消去法の結果として得られる行列は階段行列形式です。すべての行列は、一連の基本的な行演算を適用することで階段行列形式にすることができます。階段行列という用語は、フランス語のéchelon（「レベル」またははしごの段）に由来し、階段行列形式の行列の非零要素が逆さまの階段のように見えることを指します

階段状の長方形行列の例

正方行列の場合、対角成分が非零の上三角行列は階段行列形式（行階段形式）であり、階段行列は（弱）上三角行列である。したがって、階段行列形式は、長方行列の上三角行列形式の一般化と見なすことができる。

行列が行階段形であるとは、行階段形において、各行の最初の非零要素がその列の唯一の非零要素と等しく、かつその列の唯一の非零要素であるという追加の特性を持つ場合です。行列の行階段形は一意であり、それを得るために用いられる基本行演算の順序に依存しません。行列を行階段形に変換するガウス消去法の一種は、ガウス・ジョルダン消去法と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle 1}$

行列の転置が行階段状である場合、その行列は列階段状である。したがって、列階段状の性質はすべて行階段状の性質から直ちに導かれるため、本稿ではこれ以降、行階段状のみを扱う。

階段状行列

行列が階段状になっているのは、

• エントリが0の行はすべて一番下に表示されます。^{[ 1 ]}
• ピボットと呼ばれる、すべての非ゼロ行の先頭エントリ（つまり、最も左の非ゼロエントリ）は、それより上のすべての行の先頭エントリの右側にあります。^{[ 2 ]}

いくつかのテキストでは、先頭の係数が1でなければならないという条件を追加していますが^{[ 3 ]、}他のテキストでは、これを簡約された階段状の形式でのみ要求しています。

これら2つの条件は、先頭の係数の下の列のすべてのエントリがゼロであることを意味します。^{[ 4 ]}

以下は、簡約階段状行列ではなく、階段状行列形式の行列の例です。 ${\displaystyle 4\times 5}$

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}\\0&0&2&a_{4}&a_{5}\\0&0&0&1&a_{6}\\0&0&0&0&0\end{array}}\right]}$

行列の多くの特性、例えば階数やカーネルなどは、その行階段形式から簡単に推測できます。

縮小列階段状

行列が以下の条件を満たすとき、その行列は縮約階段状行列（行標準形とも呼ばれる）である： ^{[ 5 ]}

• 列梯形になっています。
• 各非ゼロ行の先頭エントリは1です(先頭 1 と呼ばれます)。
• 先頭に1が含まれる各列の他のすべてのエントリには 0 が含まれます。

最初の 2 つの条件が検証された場合、最後の条件は次のようになります。

• 先頭に1が含まれる各列では、先頭の1より上のすべてのエントリが 0 になります。

行列は複数の階段状形式を持つことができるが、その簡約階段状形式は唯一である。^{[ 6 ]}

縮小された行階段形式の行列が与えられ、 i番目の行の先頭の1がi番目の列になるように列を並べ替えると、次のような形式の行列が得られる。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}I&X\\0&0\end{pmatrix}},}$

ここで、Iは行列全体の階数に等しい次元の 単位行列、 Xは行と列を持つ行列、そして 2 つの0は適切なサイズの零行列である。列の順列置換は行演算ではないため、結果として得られる行列は基本的な行演算の下では同値ではない。ガウス消去法では、これは元の線形システムにおける未知数の順列置換に対応し、行空間の線形パラメータ化を可能にする。この線形パラメータ化では、最初の係数は制約されず、残りの係数はそれらの線形結合として決定される。 ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle n-j}$

線形方程式のシステム

連立一次方程式は、その拡大行列が階段状である場合、階段状であるといわれます。同様に、連立一次方程式は、拡大行列が階段状である場合、縮小階段状または標準形であるといわれます。

正準形式は線形システムの明示的な解と見なすことができます。実際、このシステムは、正準形式の方程式の1つが0 = 1に簡約された場合、すなわち定数項の列の先頭に1がある場合に限り矛盾します。[ ^{7 ]それ}以外の場合、方程式の先頭の項を除くすべての項を右辺にまとめると、ピボットに対応する変数は定数、または他の変数（もしあれば）の線形関数として表されます。

階段状への変換

ガウス消去法は、あらゆる行列を階段行列に変換する主要なアルゴリズムです。ガウス・ジョルダン消去法と呼ばれる変種は、簡約階段行列を生成します。どちらも有限個の基本行演算のシーケンスで構成され、必要な基本行演算の数は、m行n列の行列に対して 最大でmnです。^{[ 8 ]} 与えられた行列に対して、階段行列形式が一意ではないにもかかわらず、簡約階段行列形式を含むすべての階段行列形式は同じ数の零行を持ち、ピボットは同じ位置に配置されます。^{[ 8 ]}

これは、簡約された階段状の行列の例であり、行列の左側の部分が必ずしも単位行列ではないことを示しています。

${\displaystyle \left[{\begin{array}{ccccc}1&0&a_{1}&0&b_{1}\\0&1&a_{2}&0&b_{2}\\0&0&0&1&b_{3}\end{array}}\right]}$

整数係数を持つ行列の場合、エルミート正規形は、ユークリッド除算またはベズーの恒等式を用いて、分母を導入することなく計算できる行階段形式です。整数要素を持つ行列の縮約階段形式には、階段形式の各行をその先頭の係数で割る必要があるため、通常、非整数要素が含まれます。

行列の階段状形式が一意でないことは、いくつかの基本的な行演算によって、階段状形式の行列が、同じく階段状形式の別の（等価な）行列に変換されるという事実から生じます。これらの基本的な行演算には、ある行に非ゼロのスカラーを乗算することや、ある行のスカラー倍数をその上の行のいずれかに加算することが含まれます。例えば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}{\xrightarrow {\text{add row 2 to row 1}}}{\begin{bmatrix}1&4&6\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

この例では、最初の行から 2 番目の行を 3 回減算することで、一意の簡約された階段状形式を取得できます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&-1\\0&1&7\\\end{bmatrix}}\xrightarrow {{\text{subtract 3}}\times {\text{(row 2) from row 1}}} {\begin{bmatrix}1&0&-22\\0&1&7\\\end{bmatrix}}.}$

縮小階段形式のアフィン空間

ここで、縮小階段行列の連続する行の先頭要素（ピボット）を含む列の位置を と表す。 ${\displaystyle k\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$

${\displaystyle 0<L_{1}\cdots <L_{j}\leq n,}$

ここで、 は行列の行空間の次元です。データはの形状と呼ばれます。これは、先頭に非ゼロの要素 を持ち 、その上下の列の要素は消え、同じ行内のその左側の要素もすべて消えます。また、 の場合、 番目の行の要素もすべて消えます。 ${\displaystyle j\leq k}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \{A_{i,L_{i}}=1\}_{i=1,\dots ,j}}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i>j}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{i,L_{i}}=1\qquad &{\text{for }}i=1,\dots ,j,\\A_{l,L_{i}}=0\qquad &{\text{for }}l\neq i,\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}l<L_{i},\\A_{i,l}=0\qquad &{\text{for }}i>j\end{aligned}}.}$

他のすべての要素は基底体の任意の元であるので、形状を持つすべての縮小階段状行列の集合は次元のKアフィン空間である^{[ 9 ] [ 10 ]} ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A(k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$ ${\displaystyle (k,n,L_{1},\ldots ,L_{j})}$

${\displaystyle {\text{dim}}(A(k,n,L_{1},\dots ,L_{j}))=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

これを理解するには、最初の行に含まれる可能性のある行列要素のうち、はピボットを含む 列にあるためおよびと決定されていることに注目してください。さらに も はピボットの左側にあるため で ある必要がありますが、これらのうち、 ${\displaystyle nj}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle j^{2}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{j}(L_{i}-1)}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{j-1}i={\frac {1}{2}}j(j-1)}$

列にも存在します。したがって、等しく固定されていない、または固定されていない エントリの総数は ${\displaystyle (L_{1},\dots ,L_{j})}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle nj-j^{2}+{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}+j=nj-{\frac {1}{2}}j(j-1)-\sum _{i=1}^{j}L_{i}.}$

注

1. Leon (2010 , p. 13)では、個々のゼロ行について次のように表現されています。「行列は行階段形式であると言われる… (iii) すべての要素がゼロの行がある場合、それらの行は非ゼロの要素を持つ行よりも下にあります。」
2. Leon (2010 , p. 13):「行列は行階段形式であると言われています... (ii) 行k がすべてゼロで構成されていない場合、行の先頭のゼロ項目の数は、行kの先頭のゼロ項目の数よりも大きくなります。」 ${\displaystyle k+1}$
3. Leon (2010 、p. 13)の行階段形式の定義の最初の節を参照してください: 「行列は、 (i) 各非ゼロ行の最初の非ゼロ要素が 1 である場合、行階段形式であると言われています。」
4. マイヤー 2000、44ページ
5. マイヤー 2000、48ページ
6. 「RREF Calculator - 行列の縮小された行階段形式を取得する」 . 2025年8月19日. 2025年10月30日閲覧。
7. チェイニー、ウォード、キンケイド、デイビッド・R. (2010年12月29日).線形代数：理論と応用. ジョーンズ＆バートレット出版社. pp.  47– 50. ISBN 9781449613525。
8. アントン、ハワード、ロレス、クリス (2013年10月23日).初等線形代数：応用編、第11版. Wiley Global Education. p. 21. ISBN 9781118879160。
9. フルトン、ウィリアム (1997). Young Tableaux. With Applications to Representation Theory and Geometry, Chapter 9.4 . ロンドン数学会学生テキスト. 第35巻. ケンブリッジ、イギリス: ケンブリッジ大学出版局. doi : 10.1017/CBO9780511626241 . ISBN 9780521567244。
10. クライマン, SL; ラクソフ, ダン (1972). 「シューベルト微積分」.アメリカ数学月刊. 79 (10). アメリカ数学会: 1061–1082 . doi : 10.1080/00029890.1972.11993188 . ISSN 0377-9017 

参考文献

• レオン、スティーブン・J.（2010）、リンチ、ディアドル、ホフマン、ウィリアム、セラーノ、キャロライン（編）、線形代数の応用（第8版）、ピアソン、ISBN 978-0-13-600929-0行列は、次の場合に行階段形式であると言われます。(i) 各非ゼロ行の最初の非ゼロ要素が1である場合。(ii) 行k がすべてゼロで構成されていない場合、行の先頭のゼロ要素の数は、行kの先頭のゼロ要素の数よりも大きい場合。(iii) すべての要素がゼロの行がある場合、それらの行は非ゼロ要素を持つ行よりも下にあります ${\displaystyle k+1}$。
• マイヤー、カール・D.（2000年）『行列解析と応用線形代数』SIAM、ISBN 978-0-89871-454-8.

外部リンク

• Kardi Teknomo博士によるインタラクティブな行エシェロンフォームチュートリアル

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