基本行列

数学において、基本行列（げんぞくちょう、英: Elementary Matrix）とは、単位行列に単一の基本行演算を適用することで得られる正方行列である。基本行列は、F が体であるとき、一般線型群GL _n ( F )を生成する。基本行列の左乗算（前乗算）は対応する基本行演算を表し、右乗算（後乗算）は対応する基本列演算を表す。

基本的な行演算は、ガウス消去法において行列を行階段形に縮約するために使用されます。また、ガウス・ジョルダン消去法においても、行列をさらに縮約して行階段形 に縮約するために使用されます。

基本的な行演算

基本行列には 3 つの種類があり、それぞれ 3 種類の行演算 (列演算) に対応します。

行の切り替え

マトリックス内の行は別の行と入れ替えることができます。

${\displaystyle R_{i}\leftrightarrow R_{j}}$

行の乗算

行の各要素は、非ゼロの定数で乗算できます。これは行のスケーリングとも呼ばれます。

${\displaystyle kR_{i}\rightarrow R_{i},\ {\mbox{where }}k\neq 0}$

行の追加

行は、その行と別の行の倍数の合計に置き換えることができます。

${\displaystyle R_{i}+kR_{j}\rightarrow R_{i},{\mbox{where }}i\neq j}$

後述するように、 E が基本行列である場合、行列Aに基本行演算を適用するには、Aに左側の基本行列EAを乗じます。任意の行演算の基本行列は、単位行列に対して演算を実行することで得られます。この事実は、行列のカテゴリに適用された米田の補題の例として理解できます。^{[ 1 ]}

行切り替え変換

行列Aに対する最初のタイプの行演算は、 i行目のすべての行列要素を、異なるj行目の対応する要素と入れ替える操作です。対応する基本行列は、単位行列のi行目とj行目を入れ替えることによって得られます。

${\displaystyle T_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

したがって、T _i,j Aは、 Aの行iと行jを交換して生成された行列です。

係数に関しては、行列T _i,jは次のように定義されます。

${\displaystyle [T_{i,j}]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq i,k\neq j,k\neq l\\1&k\neq i,k\neq j,k=l\\0&k=i,l\neq j\\1&k=i,l=j\\0&k=j,l\neq i\\1&k=j,l=i\\\end{cases}}}$

プロパティ

• この行列の逆行列は次のようになります。 ${\displaystyle T_{i,j}^{-1}=T_{i,j}.}$
• 単位行列の行列式は1なので、 任意の正方行列A（正しい大きさ）に対して、 ${\displaystyle \det(T_{i,j})=-1.}$ ${\displaystyle \det(T_{i,j}A)=-\det(A).}$
• 理論的な考察として、行切り替え変換は、以下に紹介する行加算変換と行乗算変換から得られる。 ${\displaystyle T_{i,j}=D_{i}(-1)\,L_{i,j}(-1)\,L_{j,i}(1)\,L_{i,j}(-1).}$

行乗算変換

行列Aに対する次の行演算は、 i行目のすべての要素をm倍する演算です。ここでmは非ゼロのスカラー（通常は実数）です。対応する基本行列は対角行列であり、対角要素はi番目の位置を除くすべての位置で 1 です。i 番目の位置ではmです。

${\displaystyle D_{i}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&m&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

したがって、D _i ( m ) Aは、行iにmを掛けてAから生成された行列です。

係数に関しては、D _i ( m )行列は次のように定義されます。

${\displaystyle [D_{i}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l\\1&k=l,k\neq i\\m&k=l,k=i\end{cases}}}$

プロパティ

• この行列の逆行列は次のように与えられる。 ${\displaystyle D_{i}(m)^{-1}=D_{i}\left({\tfrac {1}{m}}\right).}$
• 行列とその逆行列は対角行列です。
• ${\displaystyle \det(D_{i}(m))=m.}$したがって、正方行列A（正しい大きさ）の場合、 ${\displaystyle \det(D_{i}(m)A)=m\det(A).}$

行加算変換

行列Aに対する行演算の最後の種類は、 j行目にスカラーmを乗じたものをi行目に加算するものです。対応する基本行列は単位行列ですが、mは( i, j )の位置に存在します。

${\displaystyle L_{ij}(m)={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&m&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

したがって、L _ij ( m ) Aは、 Aの行iに行jをm回加算して生成された行列です。また、AL _ij ( m )は、 Aの列iに列jをm回加算して生成された行列です。

係数に関しては、行列L _i,j ( m )は次のように定義されます。

${\displaystyle [L_{i,j}(m)]_{k,l}={\begin{cases}0&k\neq l,k\neq i,l\neq j\\1&k=l\\m&k=i,l=j\end{cases}}}$

プロパティ

• これらの変換は、せん断マッピングの一種であり、トランスベクションとも呼ばれます。
• この行列の逆行列は次のように与えられる。 ${\displaystyle L_{ij}(m)^{-1}=L_{ij}(-m).}$
• 行列とその逆行列は三角行列です。
• ${\displaystyle \det(L_{ij}(m))=1.}$したがって、正方行列A（正しい大きさ）の場合、 ${\displaystyle \det(L_{ij}(m)A)=\det(A).}$
• 行加算変換はSteinberg 関係を満たします。

参照

• ガウス消去法
• 線形代数
• 線形方程式のシステム
• 行列（数学）
• LU分解
• フロベニウス行列

参考文献

1. ペローネ (2024)、pp. 119–120

• アクラー、シェルドン・ジェイ（1997年）、線形代数を正しく理解する（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98259-0
• レイ、デイビッド・C.（2005年8月22日）「線形代数とその応用（第3版）」アディソン・ウェスレー、ISBN 978-0-321-28713-7
• マイヤー、カール・D.（2001年2月15日）「行列解析と応用線形代数」、産業応用数学協会（SIAM）、ISBN 978-0-89871-454-8、 2009年10月31日にオリジナルからアーカイブ
• ペローネ、パオロ（2024）、カテゴリー理論入門、World Scientific、doi：10.1142 / 9789811286018_0005、ISBN 978-981-12-8600-1
• プール、デイビッド（2006年）、線形代数：現代入門（第2版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-99845-3
• アントン・ハワード（2005年）、初等線形代数（応用版）（第9版）、ワイリー・インターナショナル
• レオン、スティーブン J. (2006)、『線形代数の応用』（第 7 版）、ピアソン プレンティス ホール
• ストラング、ギルバート（2016年）、線形代数入門（第5版）、ウェルズリー・ケンブリッジ出版、ISBN 978-09802327-7-6

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