セミグループ

数学において、半群は集合とその上の結合的な内部二項演算から構成される代数構造です。

半群の二項演算は、乗法的に表記されることが多い（単にと表記するだけで、必ずしも初等算術の乗算とは表記されない）。、あるいは単には、半群演算をの順序付きペアに適用した結果を表す。結合法則は、半群のすべての、、に対してと正式に表現される。 $x\cdot y$ $xy$ $(x,y)$ $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$ $x$ $y$ $z$

半群は、演算が結合的であるマグマの特殊なケース、または単位元や逆元の存在を必要とせずに群の一般化と考えることができる。 ^[a]群やマグマの場合と同様に、半群の演算は可換である必要はないので、はと必ずしも等しくなるわけではない。結合的だが非可換な演算のよく知られた例は、行列の乗算である。半群の演算が可換である場合、半群は可換半群と呼ばれるか、または（群の類似の場合ほど頻繁ではないが）アーベル半群と呼ばれることもある。 $x\cdot y$ $y\cdot x$

モノイドは、半群と群の中間の代数構造であり、単位元を持つ半群であるため、群の公理の1つを除いてすべてに従います。つまり、モノイドには逆元の存在は不要です。自然な例としては、連結を二項演算とし、空の文字列を単位元とする文字列があります。空でない文字列に制限すると、モノイドではない半群の例が得られます。正の整数を加算すると可換半群になりますが、これはモノイドではありません。一方、非負の整数はモノイドを形成します。単位元を持たない半群は、単位元を追加するだけで簡単にモノイドに変えることができます。したがって、モノイドは群論ではなく、半群の理論で研究されます。半群を、群の異なる方向への一般化である準群と混同しないでください。準群における演算は結合的である必要はないが、準群は群から除算の概念を保持する。半群（またはモノイド）における除算は一般には不可能である。

半群の正式な研究は20世紀初頭に始まった。初期の成果としては、任意の半群を変換半群として実現するケーリー定理が挙げられる。この定理では、群論における全単射の役割を任意関数が置き換える。有限半群の分類における深い結果はクローン＝ローズ理論であり、これは有限群のジョルダン＝ヘルダー分解に類似している。グリーン関係式など、半群を研究するための他の手法は、群論のどの手法とも類似していない。

有限半群の理論は、 1950年代以降、理論計算機科学において特に重要視されてきた。これは、有限半群と有限オートマトンが統語的モノイドを介して自然に結びついているためである。確率論では、半群はマルコフ過程と関連付けられている。^[1]応用数学の他の分野では、半群は線形時間不変システムの基本モデルである。偏微分方程式では、半群は空間発展が時間に依存しない任意の方程式と関連付けられる。

半群には数多くの特別なクラスがあり、これらは特定の用途で現れる追加の特性を持つ半群です。これらのクラスの中には、群のすべての特性ではないがいくつかの追加の特性を持つことにより、群にさらに近づくものもあります。これらのクラスには、正則半群、正統半群、反転半群、逆半群、相殺半群などがあります。また、自明な群以外の群を含まない興味深い半群のクラスもあります。後者の種類の例としては、バンドとその可換サブクラスである半格子があり、これらも順序付き代数構造です。

意味

半群とは、結合法則を満たす二項演算（つまり関数）を伴う集合である。 $S$ $\cdot$ $\cdot :S\times S\to S$

すべてのに対して、この方程式が成り立ちます。

a,b,c\in S

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)

もっと簡潔に言えば、半群は結合マグマです。

半群の例

空半群:空集合は、空関数を二項演算として半群を形成します。
1 つの要素を持つ半群: 本質的に 1 つだけ (具体的には、同型まで 1 つだけ) 存在し、演算を持つシングルトンです。 $\{a\}$ $a\cdot a=a$
2 つの要素を持つ半群: 本質的に異なるものが 5 つあります。
選択されたゼロを持つ任意の空でないセット上のヌル半群、または任意のセット上の左/右ゼロ半群。
「フリップフロップ」モノイド：スイッチの3つの操作（セット、リセット、何もしない）を表す3つの要素を持つ半群。このモノイドはクローン＝ローズ理論において中心的な役割を果たします。
加法を含む正の整数の集合。(0 を含めるとモノイドになります。)
最小値または最大値を持つ整数の集合。(正負の無限大を含むとモノイドになります。)
行列乗算による、指定されたサイズの正方非負行列。
環の乗算を伴う環の任意のイデアル。
文字列の連結を半群演算とする、固定されたアルファベット上の有限文字列全体の集合。これは上の自由半群と呼ばれる。空文字列を含めると、この半群は上の自由モノイドとなる。 $\Sigma$ $\Sigma$ $\Sigma$
畳み込みを演算とする、のすべての畳み込みべき乗を並べた確率分布。これは畳み込み半群と呼ばれる。 $F$ $F$
変換半群とモノイド。
位相空間からそれ自身への関数の合成を伴う連続関数の集合は、恒等関数を恒等関数とするモノイドを形成する。より一般的には、圏の任意の対象の自己準同型は合成に関してモノイドを形成する。
超平面の配置の面の積。

基本概念

アイデンティティとゼロ

半群（あるいはより一般的にはマグマ）の左恒等元とは、内のすべてのに対してとなる元です。同様に、右恒等元とは、内のすべてのに対してとなる元です。左恒等元と右恒等元はどちらも片側恒等元と呼ばれます。半群には1つ以上の左恒等元があり、右恒等元が存在しない場合もあります。またその逆もあります。 $S$ $e$ $x$ $S$ $e\cdot x=x$ $f$ $x$ $S$ $x\cdot f=x$

両側恒等元（または単に恒等元）は、左右両方の恒等元である。両側恒等元を持つ半群はモノイドと呼ばれる。半群は最大で1つの両側恒等元を持つことができる。半群が両側恒等元を持つ場合、その両側恒等元はその半群における唯一の片側恒等元である。半群が左恒等元と右恒等元の両方を持つ場合、その半群は両側恒等元を持つ（したがって、唯一の片側恒等元である）。

単位元を持たない半群は、に元を付加してをすべてのに対して定義することによって形成されるモノイドに埋め込むことができる。^[2]^[3]という表記は、から（モノイドに対して）必要なら単位元を付加して得られるモノイドを表す。^[3] $S$ $e\notin S$ $S$ $e\cdot s=s\cdot e=s$ $s\in S\cup \{e\}$ $S^{1}$ $S$ $S^{1}=S$

同様に、すべてのマグマは最大で1つの吸収元を持ち、これは半群論では零点と呼ばれます。上記の構成と同様に、すべての半群に対して、を埋め込む 0 を持つ半群を定義することができます。 $S$ $S^{0}$ $S$

部分半群とイデアル

半群演算は、その部分集合の集合に対する演算を誘導する。半群の部分集合とが与えられたとき、それらの積（一般にと表記）は集合となる。（この概念は、群の場合と同様に定義される。）この演算において、部分集合は次のように呼ばれる。 $A$ $B$ $S$ $A\cdot B$ $AB$ $\{ab\mid a\in A{\text{ and }}b\in B\}$ $A$

がの部分集合である場合、部分半群である。 $AA$ $A$
がの部分集合である場合、右イデアルであり、 $AS$ $A$
がのサブセットである場合、は左イデアルです。 $SA$ $A$

が左イデアルと右イデアルの両方である場合、それはイデアル（または両側イデアル）と呼ばれます。 $A$

が半群である場合、の部分半群の任意の集合の共通部分もまたの部分半群である。したがって、の部分半群は完全格子を形成する。 $S$ $S$ $S$ $S$

最小イデアルを持たない半群の例としては、加法のもとでの正の整数の集合が挙げられる。可換半群の最小イデアルが存在する場合、それは群である。

グリーン関係式は、要素が生成する主イデアルの観点から要素を特徴付ける5 つの同値関係のセットであり、半群のイデアルと関連する構造の概念を分析するための重要なツールです。

半群の任意の元が他の任意の元と可換であるという性質を持つ部分集合は、半群の中心^{と呼ばれる。 [4]}半群の中心は、実際には部分半群である。^[5]

準同型と合同

半群準同型とは、半群の構造を保存する関数である。2つの半群間の関数が準同型であるのは、次の式が成り立つときである。 $f:S\to T$

f(ab)=f(a)f(b)

。

は内のすべての要素に対して成り立ちます。つまり、マップを適用した後でも適用する前にも、半群演算を実行すると結果は同じになります。 $a$ $b$ $S$ $f$

モノイド間の半群準同型は、モノイド準同型である場合に恒等性を保つ。しかし、モノイド準同型ではない半群準同型も存在する。例えば、恒等性を持たない半群のへの標準埋め込みなどである。モノイド準同型を特徴付ける条件については、さらに説明する。を半群準同型とする。の像も半群である。が単位元を持つモノイドである場合、はの像の単位元である。も単位元を持つモノイドであり、の像に属する場合、、すなわちはモノイド準同型である。特に、が射影である場合、それはモノイド準同型である。 $S$ $S^{1}$ $f:S_{0}\to S_{1}$ $f$ $S_{0}$ $e_{0}$ $f(e_{0})$ $f$ $S_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ $f$ $f(e_{0})=e_{1}$ $f$ $f$

2つの半群とは、全単射な半群準同型が存在するとき、同型であるといわれる。同型半群は同じ構造を持つ。 $S$ $T$ $f:S\to T$

半群合同は、半群演算と両立する 同値関係である。つまり、同値関係であり、かつの任意のに対してが成り立つ部分集合である。他の同値関係と同様に、半群合同は合同類を導く。 $\sim$ $\sim \,\subseteq S\times S$ $x\sim y$ $u\sim v$ $xu\sim yv$ $x,y,u,v$ $S$ $\sim$

[a]=\{x\in S\mid x\sim a\}

そして半群演算は合同類に対する二項演算を誘導する。 $\circ$

[u]\circ [v]=[uv]

。

は合同なので、のすべての合同類の集合はを持つ半群を形成し、これは商半群または因子半群と呼ばれ、と表記される。写像は半群準同型であり、商写像、標準全射、または射影と呼ばれる。がモノイドであれば、商半群は恒等写像を持つモノイドである。逆に、任意の半群準同型の核は半群合同である。これらの結果は、普遍代数における最初の同型定理の特殊化にほかならない。合同類と因子モノイドは、文字列書き換えシステムにおける研究対象である。 $\sim$ $\sim$ $\circ$ $S/\!\sim$ $x\mapsto [x]$ $S$ $[1]$

の核合同とは、の準同型性の核となる合同である。^[6] $S$ $S$

半群が合同式の最大条件を満たすとは、包含順に並べられた上の任意の合同式族が最大元を持つ場合である。ツォルンの補題により、これは昇順連鎖条件が成立することを意味する。すなわち、上の合同式の無限厳密昇順連鎖は存在しない。^[7] $S$ $S$ $S$

半群のすべてのイデアルは、のいずれか、またはとの両方がにある場合、によって定義される合同を介して、因子半群、つまりリース因子半群を誘導します。 $I$ $\rho$ $x\rho y$ $x=y$ $x$ $y$ $I$

商と割り算

以下の概念^[8]は半群が他の半群に含まれるという考えを導入する。

半群Tが半群Sの商であるとは、 SからTへの射影半群射が存在する場合である。例えば、( Z /2 Z , +)は、整数の2を法とした剰余をとる射を用いて、 ( Z /4 Z , +)の商である。

半群Tは半群Sを割り切る。Tが部分半群Sの商であるとき、T ≼ Sと表記される。特に、Sの部分半群はTを割り切るが、必ずしもSの商が存在するとは限らない。

これら両方の関係は推移的です。

半群の構造

Sの任意の部分集合Aについて、 Aを含むSの最小の部分半群Tが存在し、A はT を生成するといいます。 Sの単一の元x は、部分半群 ${$ $x$ $n$ $|$ $n$ $\in$ $Z$ $+$ $}$ を生成します。これが有限であれば、xは有限位数であるとされ、そうでなければ無限位数であるとされます。半群のすべての元が有限位数である場合、その半群は周期的であるとされます。単一の元によって生成される半群は、単生成(または巡回) であると言われています。単生成半群が無限であれば、加算演算によって正の整数の半群と同型です。有限かつ空でない場合は、少なくとも 1 つのべき等性を含む必要があります。したがって、空でない周期半群はすべて、少なくとも 1 つのべき等性を持ちます。

部分半群が群でもある場合、それは部分群と呼ばれる。半群の部分群とその冪等元との間には密接な関係がある。各部分群には、その部分群の単位元である冪等元が1つだけ含まれる。半群の各冪等元eに対して、 e を含む唯一の最大部分群が存在する。各最大部分群はこのようにして生じるため、冪等元と最大部分群の間には1対1の対応関係がある。ここでの最大部分群という用語は、群論における標準的な用法とは異なる。

順序が有限である場合、より多くのことが言える。例えば、空でない有限半群はすべて周期的であり、最小イデアルと少なくとも1つの冪等元を持つ。与えられたサイズ（1より大きい）の有限半群の数は（明らかに）同じサイズの群の数よりも大きい。例えば、2つの要素からなる集合 ${a, b}に対して可能な16個の「掛け算表」のうち、8個は半群$ ^[b]を形成するが、そのうちモノイドとなるのは4個だけで、群となるのは2個だけだ。有限半群の構造の詳細については、クローン・ローズ理論を参照のこと。

半群の特別なクラス

モノイドは単位元を持つ半群です。
群とは、すべての要素に逆元が存在するモノイドです。
部分半群は、半群演算の下で閉じている半群の部分集合です。
相殺的半群とは、相殺性を持つ半群のことである。^[9] a · b = a · cならばb = cとなり、同様にb · a = c · aについても成立する。すべての群は相殺的半群であり、すべての有限相殺的半群は群である。
バンドとは、その演算がべき等である半群です。
半格子は、その演算がべき等かつ可換である半群です。
0 単純半群。
変換半群：任意の有限半群S は、最大| S | + 1個の状態からなる（状態）集合Qの変換によって表現できます。Sの各要素xは、 Q を自身にx : Q → Qに写像し、シーケンスxyはQの各qに対してq ( xy ) = ( qx ) yによって定義されます。シーケンスは明らかに結合演算であり、ここでは関数合成と同等です。この表現は、あらゆるオートマトンまたは有限状態機械（FSM）の基本です。
双環半群は実際にはモノイドであり、関係pq = 1の下で、 2 つの生成元pとq上の自由半群として記述できます。
C ₀半群。
正則半群。すべての元xには、 xyx = xおよびyxy = yを満たす少なくとも1つの逆元y があります。元xとyは「相互に逆」と呼ばれることもあります。
逆半群とは、すべての要素にちょうど1つの逆半群が存在する正則半群です。あるいは、正則半群が逆半群であるためには、任意の2つの冪等元が可換である必要があります。
^{アフィン半群: Z d}の有限生成部分半群と同型な半群。これらの半群は可換代数に応用される。

可換半群の構造定理

可換半群の構造定理は半格子の観点から成り立つ。^[10]半格子（より正確にはmeet-semilattice） $(L,\leq)は、$ $Lの要素$ $a$ $,$ $b\inL$ $の$ すべてのペアが $a\landb$ で示される最大下限を持つよう $な$ 半順序集合である。演算∧は、 $L$ $を追加のべき等性則a\landa$ = aを $満たす$ $半$ $群$ $に$ する。

任意の半群から半格子への準同型写像 $f : S \to Lが与えられたとき、各逆像$ $S a = f -1 {a}$ は（空であっても良い）半群となる。さらに、SはLによって次数付けされ、 $S$ $a$ $S$ $b$ $\subseteq$ $S$ $a$ $\land$ $b$ となる。

fが全射ならば、半格子Lは同値関係 ~ によってSの商と同型となり、 $x$ $~$ $yと$ $f$ $($ $x$ $) =$ $f$ $($ $y$ $)$ が等しい場合のみ同型となる。この同値関係は、上で定義した半群合同である。

可換半群を合同式で割ると、別の可換半群が得られる。構造定理によれば、任意の可換半群Sに対して、この同値関係によるSの商が半格子となるような最細合同 ~ が存在する。この半格子をLと表記すると、 SからLへの準同型写像fが得られる。前述のように、S はこの半格子によって次数化される。

さらに、成分S _{a は}すべてアルキメデスの半群である。アルキメデスの半群とは、任意の元x、y のペアに対して、元zと $n > 0が存在し、$ $x n = yz$ となる半群である。

アルキメデスの性質は、半格子Lの順序付けから直接導かれます。この順序付けでは、あるzと $n$ $> 0に対して$ $x$ $n$ $=$ $yz$ の場合にのみ $f (x) \leq f (y)$ が成り立つからです。

分数のグループ

半群Sの分数の群または群完備化は、 Sの元を生成元として、 Sで成り立つすべての方程式xy = zを関係として生成した群G = G ( S )です。^[11]Sの各元を対応する生成元に送る明らかな半群準同型j : S → G ( S ) があります。これは、 Sから群への射に対して普遍的な性質を持っています。 ^[12]任意の群Hと任意の半群準同型k : S → Hが与えられたとき、 k = fjとなる一意の群準同型f : G → Hが存在します。GはSの準同型像を含む「最も一般的な」群と考えることができます。

重要な問題は、この写像が埋め込みとなる半群を特徴付けることである。これは常に当てはまるとは限らない。例えば、集合論的交差を二項演算とする何らかの集合Xの部分集合の半群をSとする（これは半格子の例である）。A . A = AはSのすべての元に対して成り立つので、これはG ( S ) のすべての生成元に対しても成り立つはずであり、したがってG ( S ) は自明な群である。埋め込み可能であるためには、 Sが消去特性を持つことが明らかに必要である。Sが可換である場合、この条件は十分であり、^[13]分数の群は半群のグロタンディーク群として、または整域の分数の体の標準的な構成の小さな変形として構成することができる。 ^[14] 非可換半群の問題は、半群に関する最初の重要な論文にまで遡ることができる。^[15]^[16]アナトリー・マルツェフは1937年に埋め込み可能性の必要十分条件を与えた。^[17]

偏微分方程式における半群法

半群論は、偏微分方程式の分野におけるいくつかの問題を研究するために用いられる。大まかに言えば、半群論的アプローチとは、時間依存偏微分方程式を関数空間上の常微分方程式とみなすことである。例えば、空間区間(0, 1) ⊂ Rにおける、時刻t ≥ 0 における熱方程式の初期値/境界値問題を考えてみよう。

{\begin{cases}\partial _{t}u(t,x)=\partial _{x}^{2}u(t,x),&x\in (0,1),t>0;\\u(t,x)=0,&x\in \{0,1\},t>0;\\u(t,x)=u_{0}(x),&x\in (0,1),t=0.\end{cases}}

X = L ² ((0, 1) R )を区間(0, 1)を定義域とする実数値平方積分関数のL ^p空間とし、Aを定義域

D(A)={\big \{}u\in H^{2}((0,1);\mathbf {R} ){\big |}u(0)=u(1)=0{\big \}},

ここではソボレフ空間である。すると、上記の初期値/境界値問題は、空間X上の常微分方程式の初期値問題として解釈できる。 $H^{2}$

{\begin{cases}{\dot {u}}(t)=Au(t);\\u(0)=u_{0}.\end{cases}}

ヒューリスティックレベルでは、この問題の解は「こうあるべき」である。しかし、厳密な処理のためには、tAの指数関数に意味を与える必要がある。 tの関数として、 exp( tA ) は、 Xから自身への演算子の半群であり、時刻t = 0における初期状態u ₀から、時刻tにおける状態u ( t ) = exp( tA ) u ₀へと変化する。演算子Aは、この半群の無限小生成子と呼ばれる。 $u(t)=\exp(tA)u_{0}.$

歴史

半群の研究は、群や環といったより複雑な公理を持つ他の代数構造の研究に遅れをとっていました。多くの文献^[18]^[19]によると、この用語（フランス語）の最初の使用は、1904年のJ.-A. de Séguierの著書『抽象群論の要素』（ Élements de la Théorie des Groupes Abstraits ）であるとされています。この用語は英語では1908年のHarold Hintonの著書『有限順序群論』で使用されています。

アントン・スシュケヴィッチは、半群に関する最初の非自明な結果を得た。1928年の論文「Über die endlichen Gruppen ohne das Gesetz der eindeutigen Umkehrbarkeit」（一意可逆性の規則を持たない有限群について）は、有限単純半群の構造を決定し、有限半群の最小イデアル（またはグリーン関係J類）が単純であることを示した。^[19]その後、デイヴィッド・リース、ジェームズ・アレクサンダー・グリーン、エフゲニー・セルゲーヴィチ・リャピン [fr]、アルフレッド・H・クリフォード、ゴードン・プレストンによって半群論の基礎がさらに築かれた。後者の二人は、それぞれ1961年と1967年に半群論に関する2巻からなるモノグラフを出版した。 1970 年、 Semigroup Forum (現在はSpringer Verlag社が発行)という新しい定期刊行物が、半群論に特化した数少ない数学雑誌の 1 つとなりました。

半群の表現論は、1963年にボリス・シャインによって、集合A上の二項関係と半群積の関係の合成を用いて発展した。[ 20 ] 1972年の代数学会議^{でシャインは、}A上の関係の半群であるB _A に関する文献を調査した。^[21] 1997年、シャインとラルフ・マッケンジーは、すべての半群が二項関係の推移的半群と同型であることを証明した。^[22]

近年、この分野の研究者はより専門的になり、逆半群のような半群の重要なクラスに関する専用のモノグラフや、特に有限オートマトンに対する代数オートマトン理論や関数解析への応用に焦点を当てたモノグラフが登場しています。

一般化

グループのような構造
	合計	連想	身元	分割可能	可換性
部分的なマグマ	不要	不要	不要	不要	不要
半群体	不要	必須	不要	不要	不要
小規模カテゴリ	不要	必須	必須	不要	不要
群体	不要	必須	必須	必須	不要
マグマ	必須	不要	不要	不要	不要
準群	必須	不要	不要	必須	不要
ユニタルマグマ	必須	不要	必須	不要	不要
ループ	必須	不要	必須	必須	不要
セミグループ	必須	必須	不要	不要	不要
モノイド	必須	必須	必須	不要	不要
グループ	必須	必須	必須	必須	不要
アーベル群	必須	必須	必須	必須	必須

半群の結合公理が削除されると、結果はマグマになります。これは、閉じた二項演算M × M → Mを備えた集合Mに他なりません。

別の方向に一般化すると、n項半群（n 項半群、多項半群、多項半群とも呼ばれる）は、二項演算の代わりにn 項演算を使用する集合Gへの半群の一般化です。 ^[23]結合法則は次のように一般化されます。3 項結合法則は( abc ) de = a ( bcd ) e = ab ( cde ) 、つまり、任意の 3 つの隣接する要素を括弧で囲んだ文字列abcdeです。 n項結合法則は長さn + ( n − 1)の文字列で、任意のn個の隣接する要素を括弧で囲んだものです。2 項半群は単なる半群です。さらに公理によりn 項群が導かれます。

3つ目の一般化は半群体であり、二項関係が全関係であるという要件が取り除かれます。圏はモノイドを同様に一般化するため、半群体は圏とほぼ同様の振る舞いをしますが、恒等関係は持ちません。

可換半群の無限一般化は、様々な著者によって検討されてきた。^[c]

参照

注記

^ 閉包公理は集合上の二項演算の定義から暗黙的に導かれる。そのため、一部の著者はこれを省略し、群に対しては3つの公理を、半群に対しては1つの公理（結合性）のみを規定する。
^ すなわち、(すべてのxとyについて) $xy = aとなる自明な半群と、その対応する$ $xy = b$ となる半群、2 を法とする乗算に基づく半群 ( $単位元 1 としてa$ または $b$ を選択)、2 を法とする加算と等価な群 ( $単位元 0 としてa$ または $b$ を選択)、および要素が両方とも左単位元または両方とも右単位元である半群です。
^ Udo Hebisch と Hanns Joachim Weinert 著「半環と半体」、特に M. Hazewinkel 著『Handbook of Algebra』第 1 巻、Elsevier、1996 年のセクション 10「無限和を持つ半環」の参考文献を参照してください。この文脈では、著者は半群の代わりに半モジュールという用語を使用していることに注意してください。

引用

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参考文献

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[1] 閉包公理は集合上の二項演算の定義から暗黙的に導かれる。そのため、一部の著者はこれを省略し、群に対しては3つの公理を、半群に対しては1つの公理（結合性）のみを規定する。

[10] すなわち、(すべてのxとyについて) $xy = aとなる自明な半群と、その対応する$ $xy = b$ となる半群、2 を法とする乗算に基づく半群 ( $単位元 1 としてa$ または $b$ を選択)、2 を法とする加算と等価な群 ( $単位元 0 としてa$ または $b$ を選択)、および要素が両方とも左単位元または両方とも右単位元である半群です。

[26] Udo Hebisch と Hanns Joachim Weinert 著「半環と半体」、特に M. Hazewinkel 著『Handbook of Algebra』第 1 巻、Elsevier、1996 年のセクション 10「無限和を持つ半環」の参考文献を参照してください。この文脈では、著者は半群の代わりに半モジュールという用語を使用していることに注意してください。

[FOOTNOTEFeller1971-2] フェラー 1971

[FOOTNOTEJacobson200930ex._5-3] ジェイコブソン 2009、30ページ、例5

[FOOTNOTELawson1998[httpsbooksgooglecombooksid_F78nQEACAAJpgPA20dq22adjoininganidentity22_20]-4] ローソン 1998、20ページ

[KilpKilʹp2000-5] キルプ, マティ; クナウアー, U.; ミカレフ, アレクサンドル V. (2000). 『モノイド、行為、圏：花輪積とグラフへの応用：学生と研究者のためのハンドブック』ウォルター・デ・グリュイター. p. 25. ISBN 978-3-11-015248-7. Zbl 0945.20036。

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[FOOTNOTELothaire2011463-7] ロテール 2011、463ページ

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[9] Pin, Jean-Éric (2016年11月30日). オートマトン理論の数学的基礎(PDF) . p. 19.

[FOOTNOTECliffordPreston20103-11] クリフォード＆プレストン 2010、3ページ

[FOOTNOTEGrillet2001-12] グリエ 2001

[13] Farb, B. (2006).クラス群の写像に関する問題と関連トピック. アメリカ数学協会. p. 357. ISBN 978-0-8218-3838-9。

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[FOOTNOTESuschkewitsch1928-17] スシュケヴィッチ 1928

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[20] 「数学用語の最も古い使用例」。

[Hollings-21] 「クリストファー・ホリングスによるスーシュケヴィッチの論文解説」(PDF)。2009年10月25日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。

[22] BM Schein (1963)「二項関係による半群の表現」（ロシア語）、Matematicheskii Sbornik 60: 292–303 MR 0153760

[23] BM Schein (1972)半群理論に関するミニ会議、MR 0401970

[24] BM Schein & R. McKenzie (1997)「すべての半群は二項関係の推移半群に同型である」アメリカ数学会誌349(1): 271–85 MR 1370647

[25] Dudek, WA (2001). 「n元群におけるいくつかの古い問題について」. Quasigroups and Related Systems . 8 : 15– 36. 2009年7月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。