セミノルム

Mathematical function

数学、特に関数解析において、半ノルムはノルムに似ていますが、必ずしも正定値である必要はありません。半ノルムは凸集合と密接に関係しています。すべての半ノルムは何らかの吸収円板のミンコフスキー関数であり、逆に、そのような集合のミンコフスキー関数は半ノルムです。

位相ベクトル空間が局所的に凸となるのは、その位相が半ノルムの族によって誘導される場合のみです。

意味

を実数または複素数上のベクトル空間とします。実 数値関数は、次の 2 つの条件を満たす場合、半ノルムと呼ばれます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. 劣加法性^[1] /三角不等式：すべての ${\displaystyle p(x+y)\leq p(x)+p(y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
2. 絶対同質性：^[1] すべてのおよびすべてのスカラーに対して ${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s.}$

これら2つの条件は、^[証明1]とすべての半ノルムが次の性質も持つことを意味します: ^[証明2] ${\displaystyle p(0)=0}$ ${\displaystyle p}$

3. 非負性：^[1] すべての ${\displaystyle p(x)\geq 0}$ ${\displaystyle x\in X.}$

一部の著者は、非負性を「セミノルム」（場合によっては「ノルム」）の定義の一部として含めていますが、これは他の 2 つの特性から導かれるため必須ではありません。

定義により、のノルムは点を分離する半ノルムであり、次の追加のプロパティを持つことを意味します。 ${\displaystyle X}$

4. 正定値/ 正^[1] /点分離：が を満たすでも ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$

あ半ノルム空間はベクトル空間と半ノルムペアです。半ノルムもノルムである場合、半ノルム空間はノルム空間と呼ばれます。 ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (X,p)}$

絶対同次性は正同次性を意味するため、すべての半ノルムは劣線型関数と呼ばれる関数の一種である。写像は、劣加法かつ正同次である場合に劣線型関数と呼ばれる。半ノルムとは異なり、劣線型関数は必ずしも非負ではない。劣線型関数は、ハーン・バナッハの定理の文脈でよく登場する。実数値関数が半ノルムとなるのは、それが劣線型かつ平衡関数である場合に限る。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

例

• 上の定数写像を参照する自明な半ノルムは、上の離散位相を誘導する。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$
• を空間 上の測度とする。任意の定数 に対して、が 存在し、 が有限であるような関数全体の集合を とすると、 はベクトル空間であることが示され、汎関数は 上の半ノルムとなる。しかし、 は常に を意味するわけではないため、ノルムとは限らない（例えば、および がルベーグ測度である場合） 。ノルムを作るには、を持つ関数の閉部分空間でを商とすればよい。結果として得られる空間 は、によって誘導されるノルムを持つ。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle c\geq 1}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lVert f\rVert _{c}:=\left(\int _{\Omega }|f|^{c}\,d\mu \right)^{1/c}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle h=0}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \lVert h\rVert _{c}=0}$ ${\displaystyle L^{c}(\mu )}$ ${\displaystyle \lVert \cdot \rVert _{c}}$
• がベクトル空間上の任意の線形形式である場合、によって定義されるその絶対値は半ノルムです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|,}$ ${\displaystyle x\mapsto |f(x)|,}$
• 実ベクトル空間上の部分線形関数 が半ノルムとなるのは、それが対称関数である場合のみである。つまり、すべての ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$
• 実ベクトル空間上のすべての実数値部分線形関数は、 ^[2]で定義される半ノルムを誘導する。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x):=\max\{f(x),f(-x)\}.}$
• 任意の半ノルムの有限和は半ノルムである。半ノルム（またはノルム）をベクトル部分空間に制限すると、再び半ノルム（またはノルム）となる。
• とがそれぞれ上の半ノルム（ノルム）であり、によって定義される写像は上の半ノルム（ノルム）である。特に、とによって定義される写像は両方とも上の半ノルムである。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle r:X\times Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r(x,y)=p(x)+q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto p(x)}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto q(y)}$ ${\displaystyle X\times Y.}$
• とが上の半ノルムであるならば、^[3]も半ノルムであり、^[4]と ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle (p\vee q)(x)=\max\{p(x),q(x)\}}$$ $${\displaystyle (p\wedge q)(x):=\inf\{p(y)+q(z):x=y+z{\text{ with }}y,z\in X\}}$$ ${\displaystyle p\wedge q\leq p}$ ${\displaystyle p\wedge q\leq q.}$
• 上の半ノルム空間は、一般には上記の演算に関して分配格子ではない。例えば、 上の半ノルム空間は 、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle p(x,y):=\max(|x|,|y|),q(x,y):=2|x|,r(x,y):=2|y|}$ $${\displaystyle ((p\vee q)\wedge (p\vee r))(x,y)=\inf\{\max(2|x_{1}|,|y_{1}|)+\max(|x_{2}|,2|y_{2}|):x=x_{1}+x_{2}{\text{ and }}y=y_{1}+y_{2}\}}$$ ${\displaystyle (p\vee q\wedge r)(x,y):=\max(|x|,|y|)}$
• が線型写像でが の半ノルムならばはの半ノルムである。が のノルムとなるのは、 が単射で がのノルムとなる場合のみである。 ${\displaystyle L:X\to Y}$ ${\displaystyle q:Y\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle q\circ L:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle q\circ L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q{\big \vert }_{L(X)}}$ ${\displaystyle L(X).}$

ミンコフスキー関数と半ノルム

ベクトル空間上の半ノルムは、ミンコフスキー汎関数を介して、凸、均衡、吸収であるの部分集合と密接に結びついています。のミンコフスキー汎関数のそのような部分集合が与えられた場合、 は半ノルムとなります。逆に、集合と の半ノルムが凸、均衡、吸収であり、さらに、これら2つの集合（および「それらの間」にある任意の集合）のミンコフスキー汎関数は^[5]です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle p.}$

代数的性質

すべての半ノルムは部分線形関数であり、したがって部分線形関数のすべての特性（凸性を含む）を満たし、すべてのベクトルに対して逆三角不等式が成り立ちます。^{[2] [6]}また、 [ ^{2] [6]} ${\displaystyle p(0)=0,}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ $${\displaystyle |p(x)-p(y)|\leq p(x-y)}$$ ${\textstyle 0\leq \max\{p(x),p(-x)\}}$ ${\displaystyle p(x)-p(y)\leq p(x-y).}$

任意のベクトルと正実数^[7]に対して 、さらに^[3]の吸収円板である。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle r>0:}$ $${\displaystyle x+\{y\in X:p(y)<r\}=\{y\in X:p(x-y)<r\}}$$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X.}$

が実ベクトル空間上の部分線形関数であるとき、が成り立つような線形関数が存在する。^[6]さらに、 が成り立つような任意の線形関数に対して、 が成り立つとき、かつその場合に限って、^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle g\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}=\varnothing .}$

半ノルムのその他の性質

すべての半ノルムはバランスのとれた関数である。半ノルムが のノルムである場合、かつ が非自明なベクトル部分空間を含まない場合に限ります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

が の半ノルムである場合、 はのベクトル部分空間であり、任意の に対して は集合上の定数であり、 に等しい^[証明3] ${\displaystyle p:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \ker p:=p^{-1}(0)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x+\ker p=\{x+k:p(k)=0\}}$ ${\displaystyle p(x).}$

さらに、任意の実数^[3] ${\displaystyle r>0,}$ $${\displaystyle r\{x\in X:p(x)<1\}=\{x\in X:p(x)<r\}=\left\{x\in X:{\tfrac {1}{r}}p(x)<1\right\}.}$$

が を満たす集合である場合、 はに吸収され、はに関連付けられたミンコフスキー汎関数（つまり のゲージ）を表す。^[5]特に、が上記と同じであり が上の任意の半ノルムである場合、 であることは^[5] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p=p_{D}}$ ${\displaystyle p_{D}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q=p}$ ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}\subseteq D\subseteq \{x\in X:q(x)\leq \}.}$

がノルム空間である場合、区間^[8]内のすべての ${\displaystyle (X,\|\,\cdot \,\|)}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \|x-y\|=\|x-z\|+\|z-y\|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle [x,y].}$

すべてのノルムは凸関数であるため、ノルムベースの目的関数のグローバル最大値を見つけることは、時には扱いやすい場合があります。

他の規範的概念との関係

を非負関数とする。以下は同値である。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$

1. ${\displaystyle p}$半正規分布です。
2. ${\displaystyle p}$は凸半 ノルムです。 ${\displaystyle F}$
3. ${\displaystyle p}$は凸バランスのとれたG半正規分布である。^[9]

上記の条件のいずれかが成立する場合、以下は同等です。

1. ${\displaystyle p}$は標準です。
2. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$非自明なベクトル部分空間を含まない。^[10]
3. には規範が存在し、それに関しては有界です。 ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$

が実ベクトル空間上の部分線形関数である場合、以下は同値である：^[6] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle p}$は線形関数です。
2. ${\displaystyle p(x)+p(-x)\leq 0{\text{ for every }}x\in X}$;
3. ${\displaystyle p(x)+p(-x)=0{\text{ for every }}x\in X}$;

半ノルムを含む不等式

が半ノルムである場合、次のようになります。 ${\displaystyle p,q:X\to [0,\infty )}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle p\leq q}$が意味する場合のみ^[11] ${\displaystyle q(x)\leq 1}$ ${\displaystyle p(x)\leq 1.}$
• とが成り立つような場合、すべての^[12]に対して成り立つ。 ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle p(x)<a}$ ${\displaystyle q(x)\leq b,}$ ${\displaystyle aq(x)\leq bp(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$
• とが正の実数で、任意のに対してとなる半ノルムであるとする。すると[ ^10] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle q,p_{1},\ldots ,p_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \max\{p_{1}(x),\ldots ,p_{n}(x)\}<a}$ ${\displaystyle q(x)<b.}$ ${\displaystyle aq\leq b\left(p_{1}+\cdots +p_{n}\right).}$
• が実数上のベクトル空間であり、が非零線形関数である場合、次の式が成り立つ。 ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle \varnothing =f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1\}.}$

が 上の半ノルムであり、が 上の線型汎関数である場合、次のようになります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle |f|\leq p}$オンの場合に限りオンとなる（証明については脚注を参照）。^{[13] [14]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle f\leq p}$の場合のみ^{[6] [11]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(1)\cap \{x\in X:p(x)<1=\varnothing \}.}$
• とが成り立つような場合、すべての^[12]に対して成り立つ。 ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle b>0}$ ${\displaystyle p(x)<a}$ ${\displaystyle f(x)\neq b,}$ ${\displaystyle a|f(x)|\leq bp(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

半ノルムに対するハーン・バナッハの定理

セミノルムはハーン・バナッハの定理を特に明確に定式化します。

が半ノルム空間のベクトル部分空間であり、が上の連続線型関数である場合、は[ 15 ^]と同じノルムを持つ上の連続線型関数に拡張できる。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f.}$

同様の拡張特性は半ノルムにも当てはまります。

定理^{[16] [12]}  (半ノルムの拡張) —が のベクトル部分空間であり、がの半ノルムであって となるとき、の半ノルムが存在し、となり、 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q{\big \vert }_{M},}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P{\big \vert }_{M}=p}$ ${\displaystyle P\leq q.}$

証明：を の凸包とする。すると はの吸収円板となり、ミンコフスキー汎関数はの半ノルムとなる。この半ノルムはおよびを満たす。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \{m\in M:p(m)\leq 1\}\cup \{x\in X:q(x)\leq 1\}.}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle p=P}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle P\leq q}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

半ノルム空間の位相

擬計量法と誘導位相幾何学

上の半ノルムは、標準的な並進不変擬計量を介して、半ノルム誘導位相と呼ばれる位相を誘導します。 この位相は、が計量である場合に限りハウスドルフであり、計量である場合に限りノルム が出現します。^[4] この位相により、 は局所凸擬計量化可能な位相ベクトル空間になります。この空間は、原点の有界近傍と、原点を中心とする次の開球（または閉球）で構成される原点における近傍基底を持ちます。は正の実数全体にわたる範囲です。特に断りのない限り、すべての半ノルム空間はこの位相を備えていると仮定する必要があります。何らかの半ノルムによって位相が誘導される位相ベクトル空間は、半ノルム可能と呼ばれます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d_{p}:X\times X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle d_{p}(x,y):=p(x-y)=p(y-x).}$ ${\displaystyle d_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}\quad {\text{ or }}\quad \{x\in X:p(x)\leq r\}}$$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle (X,p)}$

同様に、半ノルムを持つベクトル空間はすべてベクトル空間商を誘導する。ここで、はを持つすべてのベクトルからなる部分空間である。そして、はによって定義されるノルムを持つ 。結果として得られる位相は、によって誘導される位相と正確に一致する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X/W,}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0.}$ ${\displaystyle X/W}$ ${\displaystyle p(x+W)=p(x).}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p.}$

任意の半ノルム誘導位相は、以下のように局所的に凸となる。 が上の半ノルムであり、その集合を原点を中心とする半径の開球と呼ぶ。同様に、半径 の閉球は である。原点におけるすべての開（または閉） -球の集合は、 -位相において開（または閉）である凸均衡集合の近傍基底を形成する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle r\in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X.}$

より強い、より弱い、そして同等の半規範

より強い半ノルムとより弱い半ノルムの概念は、より強いノルムとより弱いノルムの概念に似ています。とが上の半ノルムである場合、以下の同値な条件のいずれかが成立する場合、はより強く、はより弱いと言えます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. によって誘導される位相は、によって誘導される位相よりも細かい。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. が のシーケンスである場合、はを意味する[ ^4] ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
3. がネットであれば、は​ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i\in I}\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$
4. ${\displaystyle p}$^は[4]で制限される ${\displaystyle \{x\in X:q(x)<1\}.}$
5. ならば、すべての^[4] ${\displaystyle \inf {}\{q(x):p(x)=1,x\in X\}=0}$ ${\displaystyle p(x)=0}$ ${\displaystyle x\in X.}$
6. ^[4]を満たす実数が存在する。 ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$ ${\displaystyle X.}$

半ノルムとが同値であるとは、両方が互いよりも弱い（または両方が強い）場合を指します。これは、以下の条件のいずれかを満たす場合に当てはまります。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

1. によって誘導される位相は、によって誘導される位相と同じである。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$
2. ${\displaystyle q}$より強い、より強い^[4] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q.}$
3. がシーケンスである場合、次の場合のみ ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q\left(x_{\bullet }\right):=\left(q\left(x_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }\to 0}$ ${\displaystyle p\left(x_{\bullet }\right)\to 0.}$
4. 正の実数が存在し、 ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle rq\leq p\leq Rq.}$

正規可能性と半正規可能性

位相ベクトル空間（TVS）は、半正規空間（それぞれ、ノルム可能空間) とは、その位相が単一の半ノルム（または単一のノルム）によって誘導される場合をいう。TVS がノルム可能であることと、それが半ノルム可能かつハウスドルフである場合に限り、またはそれと同値で、TVS が半ノルム可能かつT ₁である場合に限り、ノルム可能であることと、それが半ノルム可能かつ T 1 である場合に限り、ノルム可能であることと、それが半ノルム可能であることと、それがT ₁空間である場合に限り、ノルム可能であることと、それがハウスドルフである場合に限り、である。局所的に有界な位相ベクトル空間は、原点の有界な近傍を持つ位相ベクトル空間です。

位相ベクトル空間の正規可能性はコルモゴロフの正規可能性基準によって特徴付けられる。TVSが半正規化可能であるのは、原点の凸有界近傍を持つ場合のみである。^[17] したがって、局所凸TVSが半正規化可能であるのは、空でない有界開集合を持つ場合のみである。^{[18] TVSが正規化可能であるのは、} T ₁空間であり、原点の有界凸近傍を許容する場合のみである。

がハウスドルフの局所凸TVS である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle X}$規範的です。
2. ${\displaystyle X}$半正規分布である。
3. ${\displaystyle X}$原点の有界近傍を持ちます。
4. の強い双対 は規範可能である。^[19] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$
5. の強い双対は計量化可能である。^[19] ${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$ ${\displaystyle X}$

さらに、が有限次元である場合、かつ が規範可能である場合に限ります (ここで は弱 * 位相を備えていることを示します)。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$ ${\displaystyle X^{\prime }}$

無限個の半正規空間の積が再び半正規空間となるための必要十分条件は、これらの空間のうち有限個を除くすべてが自明（つまり0次元）であるときである。^[18]

位相的性質

• がTVSで、が上の連続半ノルムである場合、におけるの閉包は^[3]に等しい。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<r\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq r\}.}$
• 連続半ノルム族によって位相が定義される局所凸空間における閉包は^[11]に等しい。 ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle \bigcap _{p\in {\mathcal {P}}}p^{-1}(0).}$
• 半ノルム空間の部分集合が有界となるのは、が有界となる場合のみである。^[20] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p(S)}$
• が半ノルム空間であるとき、を誘導する局所凸位相は、すべての に対してで与えられる標準擬距離を持つ擬距離化可能なTVSとなる[ ^21]。 ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(x,y):=p(x-y)}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
• 無限個の半ノルム可能空間の積が再び半ノルム可能であるためには、これらの空間のうち有限個を除くすべてが自明（つまり0次元）である必要があります。^[18]

半規範の連続性

が位相ベクトル空間上の半ノルムである場合、以下は同値である：^[5] ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle p}$連続的です。
2. ${\displaystyle p}$0で連続である。^[3]
3. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1\}}$はで開かれている; ^[3] ${\displaystyle X}$
4. ${\displaystyle \{x\in X:p(x)\leq 1\}}$は0の閉近傍である；^[3] ${\displaystyle X}$
5. ${\displaystyle p}$は一様連続である；^[3] ${\displaystyle X}$
6. 連続半ノルムが存在し、^[3] ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\leq q.}$

特に、が半ノルム空間であるとき、上の半ノルムが連続であることと、が^[3]の正のスカラー倍数によって支配されることは同値である。 ${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p.}$

が実TVSで、が上の線型関数で、が上の連続半ノルム（またはより一般的には部分線型関数）であるとき、が上の場合、が連続であることを意味する。^[6] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

線形写像の連続性

が半ノルム空間間の写像であるとき、[ ^15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ $${\displaystyle \|F\|_{p,q}:=\sup\{q(F(x)):p(x)\leq 1,x\in X\}.}$$

が半ノルム空間間の線型写像である場合、以下は同値である。 ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$

1. ${\displaystyle F}$連続している。
2. ${\displaystyle \|F\|_{p,q}<\infty }$; ^[15]
3. となる実数が存在する。^[15] ${\displaystyle K\geq 0}$ ${\displaystyle p\leq Kq}$
   • この場合、 ${\displaystyle \|F\|_{p,q}\leq K.}$

が連続であれば、すべての^[15] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle q(F(x))\leq \|F\|_{p,q}p(x)}$ ${\displaystyle x\in X.}$

半ノルム空間間の連続線型写像全体の成す空間は、それ自体が半ノルムの下で半ノルム空間である。 この半ノルムは、がノルムであればノルムである。^[15] ${\displaystyle F:(X,p)\to (Y,q)}$ ${\displaystyle \|F\|_{p,q}.}$ ${\displaystyle q}$

一般化

合成代数におけるノルムの概念は、ノルムの通常の特性を共有しません。

合成代数は、体上の代数、対合、そして「ノルム」と呼ばれる二次形式から構成されます。多くの場合、 は等方二次形式となり、 は少なくとも1つの零ベクトルを持ちます。これは、この記事で議論する通常のノルムに必要な点の分離とは対照的です。 ${\displaystyle (A,*,N)}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle \,*,}$ ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle A}$

超半ノルムまたは非アルキメデス半ノルムは、以下の条件も満たす半ノルムである。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(x+y)\leq \max\{p(x),p(y)\}{\text{ for all }}x,y\in X.}$

弱加法性：準半ノルム

写像が（絶対的に）同次であり、かつ、となる写像が存在するとき、その写像は準半ノルムと呼ばれる。これが成り立つの最小値はの乗数と呼ばれる。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b\leq 1}$ ${\displaystyle p(x+y)\leq bp(p(x)+p(y)){\text{ for all }}x,y\in X.}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p.}$

点を分離する準半ノルムは準ノルムと呼ばれる。 ${\displaystyle X.}$

均質性の弱化 -セミノルム ${\displaystyle k}$

写像が劣加法的であり、かつすべてのスカラーおよびに対してとなるような写像が存在するとき、その写像は-半ノルムと呼ばれる。点を分割する-半ノルムは-ノルムと呼ばれる。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0<k\leq 1}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s,}$ $${\displaystyle p(sx)=|s|^{k}p(x)}$$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X.}$

準セミノルムと -セミノルムの間には次のような関係があります。 ${\displaystyle k}$

が乗数ベクトル空間上の準半ノルムであるとする。すると、等価な-半ノルムが存在する。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b.}$ ${\displaystyle 0<{\sqrt {k}}<\log _{2}b}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle q.}$

参照

• 非対称規範 – 規範の概念の一般化
• バナッハ空間 – 完備なノルムベクトル空間
• 縮約写像 – すべての点間の距離を縮める関数
• 最良局所凸位相 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ハーン・バナッハの定理 – 有界線形関数の拡張に関する定理Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ガワーズノルム – 加法組合せ論におけるノルムのクラス
• 局所凸位相ベクトル空間 – 凸開集合によって定義される位相を持つベクトル空間
• マハラノビス距離 – 統計的距離尺度
• 行列ノルム – 行列のベクトル空間上のノルム
• ミンコフスキー関数 – 集合から構成される関数
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• ノルムベクトル空間 – 距離が定義されるベクトル空間
• 規範と計量の関係 – 距離の概念を持つ数学的空間Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 劣線形関数 – 線形代数における関数の種類

注記

証明

1. が零ベクトル、が零スカラーを表す場合、絶対同次性は次を意味する。 ${\displaystyle z\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle p(z)=p(0z)=|0|p(z)=0p(z)=0.}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
2. が半ノルムで とすると、絶対同次性から次の式が成り立ちます。三角不等式から次の式が成り立ちます。は の任意のベクトルであるため、次の式が成り立ちます。つまり、 （両辺からを引くことにより） となります。したがって、 から（ に を掛けることによって） が成り立ちます。 ${\displaystyle p:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle p(-x)=p((-1)x)=|-1|p(x)=p(x).}$ ${\displaystyle p(0)=p(x+(-x))\leq p(x)+p(-x)=p(x)+p(x)=2p(x).}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle p(0)\leq 2p(0),}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)}$ ${\displaystyle p(0)}$ ${\displaystyle 0\leq p(0)\leq 2p(x)}$ ${\displaystyle 0\leq p(x)}$ ${\displaystyle 1/2}$ ${\displaystyle \blacksquare }$
3. とすると、次のことが示される。三角不等式は、次のことを意味する。期待どおりである。 ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle k\in p^{-1}(0).}$ ${\displaystyle p(x+k)=p(x).}$ ${\displaystyle p(x+k)\leq p(x)+p(k)=p(x)+0=p(x).}$ ${\displaystyle p(-k)=0,}$ ${\displaystyle p(x)=p(x)-p(-k)\leq p(x-(-k))=p(x+k),}$ ${\displaystyle \blacksquare }$

参考文献

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13. が実ベクトル空間であれば明らかである。非自明な方向については、が であり、がとなる実数であると仮定する。すると、 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f\leq p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X.}$ ${\displaystyle r\geq 0}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f(x)=re^{it}.}$ ${\displaystyle |f(x)|=r=f\left(e^{-it}x\right)=\operatorname {Re} \left(f\left(e^{-it}x\right)\right)\leq p\left(e^{-it}x\right)=p(x).}$
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外部リンク

• 部分線形関数
• 劣線形関数と超線形関数のサンドイッチ定理

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