集合の代数

Identities and relationships involving sets

数学において、集合代数（集合代数の数学的構造と混同しないこと）は、集合の性質と法則、集合論的な演算である和集合、積集合、相補集合、そして集合の等式と包含集合の関係を定義する。また、これらの演算や関係を含む式の評価や計算を行うための体系的な手順も提供する。

集合論的演算の下で閉じた集合の任意の集合は、結合演算子が和集合、会合演算子が積集合、補集合演算子が補集合、底辺が⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$、上辺が検討中の集合全体であるブール代数を形成します。

基礎

集合代数は、数の代数の集合論的類似物です。算術的な加算と乗算が結合法則と可換法則を持つように、集合の和集合と積集合も結合法則と可換法則を持ちます。また、「以下」という算術関係が反射法則、反対称法則、推移法則を持つように、「部分集合」という集合関係も反射 法則、反対称法則、推移法則を持ちます。

集合論における和集合、積集合、補集合といった演算、そして等式と包含関係の代数です。集合の基本的な入門については集合に関する記事を、より詳しい説明については素朴集合論を、そして厳密な公理的扱いについては公理的集合論を参照してください。

集合代数の基本的性質

集合の和集合（⁠ ⁠）と積集合（⁠ ⁠）の二項演算は、多くの恒等式を満たします。これらの恒等式や「法則」のいくつかには、よく知られた名前が付けられています。^[2] ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cap }$

交換法則：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

結合法則：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

分配法則：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

集合の和と積は、数の加法と乗法に類似していると考えることができます。加法と乗法と同様に、和と積の演算は交換法則と結合法則を持ち、積は和に対して分配されます。しかし、加法と乗法とは異なり、和は積に対しても分配されます。

空集合 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$とユニバース集合 ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$と呼ばれる特別な集合には、補集合演算子（⁠ ⁠ は ${\displaystyle A^{\complement }}$⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$の補集合を表します。これは⁠ ⁠ ${\displaystyle A'}$とも表記され、「A prime」と読みます）を伴う、さらに2つのプロパティペアがあります。空集合にはメンバーが存在せず、ユニバース集合には（特定のコンテキストにおいて）すべての可能なメンバーが含まれます。

身元：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap {\boldsymbol {U}}=A}$

補体：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup A^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }$

恒等式 (および可換式) は、加算と乗算の 0 と 1 と同様に、和集合 ${\displaystyle \varnothing }$と積集合の ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$恒等元がそれぞれであることを示します。

加算や乗算とは異なり、和集合と積集合には逆元は存在しません。しかし、補集合法則は、集合補集合の、やや逆元的な単項演算の基本的な性質を与えます。

前述の 5 つの公式のペア (交換法則、結合法則、分配法則、恒等法則、補法則) は、集合代数のすべての有効な命題がそこから導き出されるという意味で、集合代数のすべてを包含します。

補論理式が規則⁠ ⁠に弱められると、これはまさに命題 ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$線形論理の代数になることに注意してください^{[説明が必要]}。

二重性の原理

上記の各アイデンティティは、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle \cup }$と⁠ ⁠を入れ替えたり、 ${\displaystyle \cap }$⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$と⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$を入れ替えたりすることで、互いに変換できるアイデンティティのペアの 1 つです。

これらは集合代数の極めて重要かつ強力な性質、すなわち集合の双対性原理の例です。これは、集合に関する任意の真な命題に対して、和集合と積集合を入れ替え、⁠ ⁠と⁠ ⁠を入れ替え、包含関係を逆にすることで得られる双対な命題も真であると主張します。ある命題がそれ自身の双対と等しい場合、 その命題は自己双対であると言われます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ${\displaystyle \varnothing }$

和集合と積集合に関するいくつかの追加法則

次の命題は、和集合と積集合を含む集合代数のさらに重要な法則を 6 つ述べています。

命題3 :宇宙集合⁠ ⁠の任意の部分集合 ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$について、次の恒等式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

べき等法則:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup A=A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap A=A}$

支配の法則:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$

吸収の法則：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$

上述のように、命題3で述べられている法則はそれぞれ、前述の5つの基本法則対から導出できます。例として、和集合のべき等法則の証明を以下に示す。

証拠：

⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup A}$	⁠ ⁠ ${\displaystyle =(A\cup A)\cap {\boldsymbol {U}}}$	交差の恒等法則によって
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =(A\cup A)\cap (A\cup A^{\complement })}$	和集合の補数法則によって
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =A\cup (A\cap A^{\complement })}$	交差に対する和の分配法則によって
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =A\cup \varnothing }$	交差の補数法則により
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =A}$	結合の同一性法則によって

次の証明は、上記の証明の双対が、和の冪等法則の双対、つまり積の冪等法則の証明であることを示しています。

証拠：

⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap A}$	⁠ ⁠ ${\displaystyle =(A\cap A)\cup \varnothing }$	結合の同一性法則によって
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =(A\cap A)\cup (A\cap A^{\complement })}$	交差の補数法則により
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =A\cap (A\cup A^{\complement })}$	交差と和の分配法則によって
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =A\cap {\boldsymbol {U}}}$	和集合の補数法則によって
	⁠ ⁠ ${\displaystyle =A}$	交差の恒等法則により

交差は差集合で表現できます。

⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$

補語に関する追加の法則

次の命題は、補集合を含む集合代数のさらに 5 つの重要な法則を述べています。

命題 4 : ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$と⁠ ⁠ を ${\displaystyle B}$宇宙⁠ ⁠のサブセットとすると、次のようになります。 ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

ド・モルガンの法則：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$

二重補数法則または反転法則:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$

宇宙集合と空集合の補集合法則：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing }$

二重補数法則は自己双対であることに注意してください。

次の命題も自己双対であり、集合の補集合は補集合則を満たす唯一の集合である、という命題である。言い換えれば、補集合は補集合則によって特徴付けられる。

命題 5 : ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$と⁠ ⁠ を ${\displaystyle B}$宇宙⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$のサブセットとすると、次のようになります。

補語の一意性:

• もし⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B={\boldsymbol {U}}}$、かつ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ならば⁠ ⁠ ${\displaystyle B=A^{\complement }}$

包含代数

次の命題は、包含、つまり1 つの集合が別の集合のサブセットであるという二項関係が半順序であることを示しています。

命題6 : ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$が集合である場合、以下が成り立ちます。

反射性：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq A}$

反対称性：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$そして⁠ ⁠ ${\displaystyle B\subseteq A}$の場合に限り⁠ ⁠ ${\displaystyle A=B}$

推移性：

• もし⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$かつ⁠ ⁠ ${\displaystyle B\subseteq C}$ならば⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq C}$

次の命題は、任意の集合Sに対して、包含順に並べられたSの冪集合は有界格子であり、したがって上記の分配法則と補法則とともに、それがブール代数 であることを示します。

命題 7 : ⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$が集合⁠ ⁠ ${\displaystyle S}$の部分集合である場合、以下が成り立ちます。

最小要素と最大要素の存在：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$

結合の存在:

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$
• もし⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq C}$かつ⁠ ⁠ ${\displaystyle B\subseteq C}$ならば⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

出会いの存在：

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• もし⁠ ⁠ ${\displaystyle C\subseteq A}$かつ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\subseteq B}$ならば⁠ ⁠ ${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

次の命題は、ステートメント⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$が、和集合、積集合、補集合を含むさまざまな他のステートメントと同等であることを示しています。

命題8 : 任意の2つの集合⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$と⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$について、以下は同値である。

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\subseteq B}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cap B=A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\cup B=B}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus B=\varnothing }$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle B^{\complement }\subseteq A^{\complement }}$

上記の命題は、集合包含の関係が集合の和または集合の積のいずれかの演算によって特徴付けることができることを示しており、これは集合包含の概念が公理的に不要であることを意味します。

相対補数の代数

次の命題は、相対的補集合と集合論的差異に関するいくつかの恒等式を列挙する。

命題 9 :任意の宇宙⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$とその部分集合⁠ ⁠ ${\displaystyle A}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle B}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle C}$について、次の恒等式が成り立ちます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

• ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle B\setminus A=A^{\complement }\cap B}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle (B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }}$
• ⁠ ⁠ ${\displaystyle A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing }$

参照

• σ-代数は、可算無限の演算を含むように完成された集合の代数です。
• 公理的集合論
• 画像（数学）§ プロパティ
• 集合体
• 集合の同一性と関係のリスト
• 素朴集合論
• 集合（数学）
• 位相空間— ⁠ ⁠ ${\displaystyle \wp (X)}$のサブセット、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$の冪集合、任意の和、有限交差に関して閉じており、⁠ ⁠ ${\displaystyle \varnothing }$と⁠ ⁠ ${\displaystyle X}$を含む。

参考文献

1. ポール・R・ハルモス (1968).素朴集合論. プリンストン: ノストランド.ここ: セクション4
2. 多くの数学者^[1]は、すべての集合演算は同等の優先順位を持つと仮定し、括弧を駆使します。この記事も同様です。

• ストール、ロバート・R.;集合論と論理、ミネオラ、ニューヨーク州：ドーバー出版（1979年）ISBN 0-486-63829-4「集合の代数」、pp 16—23。
• クーラント、リチャード、ハーバート・ロビンズ、イアン・スチュワート著『数学とは何か？：アイデアと方法への初歩的アプローチ』オックスフォード大学出版局、米国、1996年。ISBN 978-0-19-510519-3「第2章 集合の代数の補足」

外部リンク

• ProvenMathでの集合演算

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