σ有限測度

Concept in measure theory

数学において、可測空間上の正測度または符号 測度 が与えられたとき、有限部分集合とは、有限測度の可測部分集合の可算個数の和集合である可測部分集合である。集合が有限である場合、その測度は有限測度と呼ばれる。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma }$

有限測度、たとえば確率測度は常に-有限です。 ${\displaystyle \sigma }$

-有限性と混同してはならない、異なるが関連する概念はs-有限性です。 ${\displaystyle \sigma }$

意味

測定可能な空間とその上の測度をとします。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mu }$

次の 4 つの同等の基準のいずれかを満たす場合、その測度はσ 有限測度と呼ばれます。 ${\displaystyle \mu }$

1. 集合は、有限測度を持つ可測集合の可算個数以下で覆われる。これは、を満たすすべての集合に対してとなる集合が存在することを意味する。^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=X}$
2. 集合は、有限測度を持つ可測な素集合の可算個数以下で覆われる。これは、すべての に対して、に対してを満たす集合が存在することを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mu \left(B_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle B_{i}\cap B_{j}=\varnothing }$ ${\displaystyle i\neq j}$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }B_{n}=X.}$
3. 集合は、有限測度を持つ可測集合の単調な列で覆われることができる。これは、 を満たすすべての集合に対して、と を 持つ集合が存在することを意味する。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle C_{1}\subset C_{2}\subset \cdots }$ ${\displaystyle \mu \left(C_{n}\right)<\infty }$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \bigcup _{n\in \mathbb {N} }C_{n}=X}$
4. 積分が有限であるような厳密に正の測定可能な関数 が存在する。^[2]これは、すべてのおよびに対して ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)>0}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \int f(x)\mu (\mathrm {d} x)<\infty .}$

が有限測度である場合、測度空間は有限測度空間と呼ばれる。^[3] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \sigma }$

例

確率測定

が確率空間である場合、確率測度はσ 有限です。これは、 がそれ自身で自明に覆われているためです。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu (X)=1.}$

ルベーグ測度

例えば、実数上のルベーグ測度は有限ではありませんが、σ有限です。実際、すべての整数kに対して区間[ k ,  k  + 1)を考えてみましょう。このような区間は可算個存在し、それぞれ測度は 1 であり、それらの和は実数直線全体となります。

ルベーグ測度については、同様の分離被覆は単位体積のn立方体（基準2）を用いて構成できる。あるいは、単調に拡大するn球体（基準3）によって構成できる。あるいは、基準4を多変数正規密度とすることで、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \int f\,{\text{d}}\mu =1.}$

計量器

あるいは、計数測度を持つ実数を考えてみましょう。任意の有限集合の測度はその集合に含まれる要素の数であり、任意の無限集合の測度は無限大です。この測度はσ有限ではありません。なぜなら、有限測度を持つすべての集合は有限個の点しか含まず、実数直線全体を覆うにはそのような集合を無数個必要とするからです。しかし、計数測度を持つ自然数の集合はσ有限です。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

局所コンパクト群

σ-コンパクトである局所コンパクト群は、ハール測度の下でσ-有限である。例えば、連結な局所コンパクト群Gはすべてσ-コンパクトである。これを確かめるために、V を相対的にコンパクトで対称な（つまりV  =  V ⁻¹）恒等群の開近傍としよう。すると、

${\displaystyle H=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }V^{n}}$

はGの開部分群である。したがって、Hも閉群である。なぜなら、その補集合は開集合の和集合であり、Gの連結性により、 H はG自身であるからである。したがって、すべての連結リー群はハール測度に関してσ有限である。

非例

0 と の2つの値のみを取る非自明な測度は、明らかにσ有限ではありません。 における一例は、すべての に対して、A が空でない場合に限ります。別の例は、すべての に対して、A が非可算な場合に限り、そうでない場合は 0 です。ちなみに、どちらも並進不変です。 ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$ ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu (A)=\infty }$

プロパティ

σ-有限測度のクラスには、非常に便利な性質がいくつかある。この点において、σ-有限性は位相空間の可分性に例えることができる。解析学におけるいくつかの定理は、σ-有限性を仮定として必要とする。通常、ラドン・ニコディムの定理とフビニの定理は、関係する測度がσ-有限であるという仮定の下で述べられる。しかし、アーヴィング・シーガル^[4]が示したように、それらはより弱い条件、すなわち局所化可能性のみを必要とする。

σ有限でない測度は時として病的であると見なされることがあるが、実際には極めて自然に生じる。例えば、X がハウスドルフ次元rの距離空間であるとすると、 X上の測度として考えると、それより低次元のハウスドルフ測度はすべて非 σ 有限となる。

確率測度との同等性

空間X上の任意の σ 有限測度μ は、X上の確率測度と同値である。V n _, n  ∈  Nを有限μ測度の互いに素な可測集合によるXの被覆とし、w _n , n  ∈  Nを次の正の数（重み）の列とする。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }w_{n}=1.}$

νは次のように定義される。

${\displaystyle \nu (A)=\sum _{n=1}^{\infty }w_{n}{\frac {\mu \left(A\cap V_{n}\right)}{\mu \left(V_{n}\right)}}}$

は、 X上の確率測度であり、 μと まったく同じヌルセットを持ちます。

関連概念

中程度の対策

ボレル測度（ボレル代数^[5]上の局所有限測度の意味で）が中程度の測度と呼ばれるのは、すべての および に対して となる開集合が最大で可算個存在する場合である。^[6] ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}=X}$

すべての中程度の尺度は有限の尺度であり、その逆は真ではありません。 ${\displaystyle \sigma }$

分解可能な対策

測度は分解測度と呼ばれ、すべてのおよびに対して となる互いに素な可測集合が存在する。分解測度の場合、有限測度となる可測集合の数に制限はない。 ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mu \left(A_{i}\right)<\infty }$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}=X}$

すべての- 有限測度は分解可能な測度ですが、その逆は真ではありません。 ${\displaystyle \sigma }$

s有限測度

ある測度がs有限測度と呼ばれるのは、それが可算個以下の有限測度の和である場合である。^[2] ${\displaystyle \mu }$

すべてのσ有限測度はs有限であり、その逆は真ではない。証明と反例については、σ有限測度との関係を参照のこと。

参照

• 有限測定
• シグマ加法性

参考文献

1. クレンケ、アヒム (2008).確率論. ベルリン: シュプリンガー. p. 12. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6。
2. Kallenberg, Olav (2017).ランダム測定、理論と応用. スイス: Springer. p. 21. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3。
3. Anosov, DV (2001) [1994]、「空間の測定」、数学百科事典、EMSプレス
4. Segal, IE (1951). 「測度空間の同値性」.アメリカ数学誌. 73 (2): 275– 313. JSTOR  2372178.
5. エルストロッド、ユルゲン (2009)。Maß- und Integrationstheorie [測定と統合理論] (ドイツ語)。ベルリン: Springer Verlag。 p. 313.土井：10.1007/978-3-540-89728-6。ISBN 978-3-540-89727-9。
6. エルストロッド、ユルゲン (2009)。Maß- und Integrationstheorie [測定と統合理論] (ドイツ語)。ベルリン: Springer Verlag。 p. 318.土井：10.1007/978-3-540-89728-6。ISBN 978-3-540-89727-9。

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