シングルトン（数学）

ちょうど1つの要素を持つ集合

数学において、シングルトン（単位集合^[1]または一点集合とも呼ばれる）は、ちょうど1つの要素を持つ集合です。たとえば、集合は、単一の要素がであるシングルトンです。 ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle 0}$

プロパティ

ツェルメロ＝フランケル集合論の枠組みにおいて、正則性公理は、いかなる集合もそれ自身の要素ではないことを保証します。これは、単集合はそれに含まれる要素とは必然的に異なることを意味します^[1]。したがって、1と1は同じものではなく、空集合は空集合のみを含む集合とは異なります。1のような集合は、単一の要素（それ自体は集合ですが、単集合ではありません）を含むため、単集合です。 ${\displaystyle \{1\}}$ ${\displaystyle \{\{1,2,3\}\}}$

集合が単集合である場合、その濃度は1です。フォン・ノイマンの自然数の集合論的構成において、数1は単集合として定義されています。 ${\displaystyle \{0\}.}$

公理的集合論において、単集合の存在は対合公理の帰結です。任意の集合Aに対して、 AとAに適用された公理は、単集合と同じものが存在することを主張します（ A を含み、他の集合を要素として含まないため）。 ${\displaystyle \{A,A\},}$ ${\displaystyle \{A\}}$

A が任意の集合でSが任意のシングルトンである場合、 AからSへの関数は正確に1つ存在し、その関数はAのすべての要素をSの単一の要素に送る。したがって、すべてのシングルトンは集合のカテゴリにおける終端オブジェクトである。

シングルトンは、そこから任意の集合へのすべての関数が単射であるという性質を持つ。この性質を持つ唯一の非シングルトン集合は空集合である。

すべてのシングルトン集合は超前置フィルタである。が集合であり、集合であるの上向き集合は上の主ウルトラフィルタである。さらに、 上のすべての主ウルトラフィルタは必然的にこの形式である。^[2]ウルトラフィルタ補題は、すべての無限集合上に主でないウルトラフィルタが存在することを意味する（これらは自由ウルトラフィルタと呼ばれる）。のシングルトン部分集合に値を持つすべてのネットは、 上のウルトラネットである ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \{S\subseteq X:x\in S\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

ベル数整数列は集合の分割数を数えます( OEIS : A000110 )。シングルトンを除外すると、その数は小さくなります ( OEIS : A000296 )。

圏論において

シングルトン上に構築された構造は、しばしば様々な圏の終端対象または零対象として機能します。

• 上記の記述は、シングルトン集合がまさに集合の圏における終端対​​象であることを示しています。他の集合は終端ではありません。
• 任意のシングルトンは、一意の位相空間構造を許容します（両方の部分集合が開）。これらのシングルトン位相空間は、位相空間と連続関数の圏における終端対​​象です。その圏において他の空間は終端ではありません。
• 任意のシングルトンは、一意の群構造を許容します（一意の元が単位元として機能します）。これらのシングルトン群は、群と群準同型の圏における零対象です。その圏において他の群は終端ではありません。

指示関数による定義

Sを指示関数によって定義されたクラスとする。Sがシングルトンと呼ばれるのは、すべてのに対してとなるものが存在するとき、かつその場合に限る。 $${\displaystyle b:X\to \{0,1\}.}$$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle x\in X,}$ $${\displaystyle b(x)=(x=y).}$$

定義プリンキピア・マテマティカ

以下の定義は、ホワイトヘッドとラッセルによってプリンキピア・マテマティカ^{[3]で導入されました。}

${\displaystyle \iota }$' Df. ${\displaystyle x={\hat {y}}(y=x)}$

記号'はシングルトンを表し、akaと同一のオブジェクトのクラスを表します。これは序論の定義として現れ、本文の議論を簡略化するために、命題51.01（同上、357ページ）として現れます。この命題はその後、基数1を次のよう に定義するために使用されます。 ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle {\hat {y}}(y=x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \{y:y=x\}}$

${\displaystyle 1={\hat {\alpha }}((\exists x)\alpha =\iota }$' Df. ${\displaystyle x)}$

つまり、1はシングルトンのクラスです。これは定義52.01（同上、363ページ）です。

参照

• クラス（集合論）  - 数学における集合の集まりで、そのメンバーの性質に基づいて定義できるもの
• 孤立点 - 部分集合Sの点であり、その周囲にSの他の点が存在しないもの
• 一意性量化 - 論理量化子
• 一意要素 - 集合論における概念

参考文献

1. Stoll, Robert (1961). Sets, Logic and Axiomatic Theories . WH Freeman and Company. pp.  5– 6.
2. Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Convergence Foundations of Topology . Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing. pp.  27– 54. doi :10.1142/9012. ISBN 978-981-4571-52-4. MR  3497013.
3. Whitehead, Alfred North; Bertrand Russell (1910). Principia Mathematica . Vol. I. p. 37.

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