スペクトル配列

Tool in homological algebra

ホモロジー代数と代数位相幾何学において、スペクトル列は逐次近似によってホモロジー群を計算する手段である。スペクトル列は完全列の一般化であり、ジャン・ルレー(1946a, 1946b)によって導入されて以来、特に代数位相幾何学、代数幾何学、ホモロジー代数 において重要な計算ツールとなっている。

発見と動機

代数的位相幾何学の問題に動機づけられて、ジャン・ルレーは層の概念を導入し、層コホモロジー を計算する問題に直面した。層コホモロジーを計算するために、ルレーは現在ルレー スペクトル列として知られる計算手法を導入した。これは、層のコホモロジー群と層のプッシュフォワードのコホモロジー群との関係を示した。この関係には無限プロセスが含まれていた。ルレーは、プッシュフォワードのコホモロジー群が自然な連鎖複体を形成することを発見したので、コホモロジーのコホモロジーを取ることができた。これはまだ元の層のコホモロジーではなかったが、ある意味で一歩近づいた。コホモロジーのコホモロジーは再び連鎖複体を形成し、そのコホモロジーは連鎖複体を形成し、これを繰り返した。この無限プロセスの極限は、元の層のコホモロジー群と本質的に同じであった。

ルレイの計算手法は、より一般的な現象の一例であることがすぐに認識されました。スペクトル列は様々な状況で発見され、ファイブレーションなどの幾何学的状況や導来関手を含む代数的状況から生じるホモロジー群とコホモロジー群の間に複雑な関係を与えました。導来圏の導入以来、その理論的重要性は低下しましたが、それでもなお最も効果的な計算ツールです。これは、スペクトル列の項の多くが計算不可能な場合であっても当てはまります。

残念ながら、スペクトル列には膨大な情報量が含まれるため、その理解は困難です。この情報は通常、階数3のアーベル群または加群の格子に含まれています。最も扱いやすいケースは、スペクトル列が最終的に崩壊し、列の先へ進んでも新しい情報が得られない場合です。このようなケースが起こらない場合でも、様々なトリックを用いることでスペクトル列から有用な情報を得ることができる場合がよくあります。

正式な定義

コホモロジースペクトル列

環上の加群の圏のようなアーベル圏と非負整数を固定する。コホモロジースペクトル列とは、任意の ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$ ${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0}$、
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$、に関するのホモロジー。 ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}}$

通常、同型性は抑制され、代わりに と書きます。オブジェクトはシート（紙のシートのように）と呼ばれます が、ページや項と呼ばれることもあります。自己準同型は境界写像または微分と呼ばれます。 はの導出オブジェクトと呼ばれることもあります。^[要出典] ${\displaystyle E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$ ${\displaystyle E_{r}}$

二段階スペクトル列

実際には、スペクトル列は主に、環R上の二重次数付き加群(または環の層上の加群の二重次数付き層) のカテゴリで発生します。つまり、すべてのシートは二重次数付き R 加群です 。したがって、この場合、コホモロジー スペクトル列は二重次数付き R 加群の列であり、すべての加群について、 2 次数の自己準同型性の直和が成り立ち、すべての について次の式が成り立ちます。 ${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$ ${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$ ${\displaystyle \{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}}$ ${\displaystyle d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}}$ ${\displaystyle (r,1-r)}$ ${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0}$、
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$。

ここで用いられる表記法は 補次数と呼ばれます。一部の著者は 、代わりに と書きます。ここで は全次数です。スペクトル列に応じて、最初のシートの境界マップは、 r = 0、r = 1、またはr = 2に対応する次数を持つことができます。例えば、後述するフィルタ処理された複素スペクトル列ではr ₀ = 0ですが、グロタンディークスペクトル列ではr ₀ = 2です。通常、r ₀は0、1、または2です。前述の次数のない状況では、r ₀は無関係です。 ${\displaystyle E_{r}^{d,q}}$ ${\displaystyle d=p+q}$

ホモロジースペクトル列

ここで論じる対象は主に連鎖複体であり、これらは降順（上記のように）または昇順で出現します。後者の場合、を、（二次数）に置き換えることで、コホモロジーの場合と同様にホモロジースペクトル列の定義が得られます。 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$ ${\displaystyle d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}}$ ${\displaystyle (-r,r-1)}$

鎖状複合体からのスペクトル配列

次数付けされていない状況で最も基本的な例は、鎖複体 C • です_{。鎖複体のアーベル圏の対象 C • には、自然に微分 d が伴います。r 0} = 0_とし、E ₀をC •とします。_これにより_、 E 1 は複体_H ( C • ) になります。i ′番目_の位置では、これがC _•のi ′番目のホモロジー群です。この新しい複体で自然な微分はゼロ写像のみであるため、d ₁ = 0 とします。これにより はに等しくなり、この場合も自然な微分はゼロ写像のみになります。残りのシートすべてにゼロ微分を適用すると、次の項を持つスペクトル列が得られます。 ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

• E ₀ = C _•
• E _r = H ( C _• ) （すべてのr ≥ 1 について）

このスペクトル列の項は、唯一の非自明な微分が0番目のシートにあるため、最初のシートで安定します。したがって、以降のステップではそれ以上の情報を得ることができません。通常、以降のシートから有用な情報を得るには、 に追加の構造が必要です。 ${\displaystyle E_{r}}$

視覚化

コホモロジースペクトル列のE _2シート

二重次数スペクトル列には追跡すべき膨大な量のデータがありますが、スペクトル列の構造をより明確にする共通の視覚化手法があります。r、p、qの 3 つのインデックスがあります。オブジェクトは、本のr^番目の市松模様のページで考えることができます。これらのシートでは、 pを水平方向、qを垂直方向とします。各格子点にオブジェクトがあります。次のページに進むことはホモロジー、つまり^ページがr^番目のページのサブ商であることを意味します。合計次数n = p + q は、各シートを北西から南東に向かって対角線方向に走ります。ホモロジーの場合、微分は 2 次(− r、r − 1)を持つため、 nが 1減少します。コホモロジーの場合、nは 1 増加します。微分は、r に関して各ページに進むたびに方向が変わります。 ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle (r+1)}$

コホモロジースペクトル列の4ページ

赤い矢印は、第一象限列（下の例を参照）の場合を示しています。この場合は、第一象限の対象のみが非零です。ページをめくると、すべての微分の定義域または余域のいずれかが零になります。

プロパティ

カテゴリカルプロパティ

コホモロジースペクトル列の集合はカテゴリを形成する。スペクトル列の射とは、定義により、の微分、すなわち と、 のr^番目のステップのコホモロジーとEおよびE ′の⁠ ⁠^番目のシートとの間の同型とそれぞれ互換な写像の集合である。二階梯の場合、それらは次式も尊重する。 ${\displaystyle f:E\to E'}$ ${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E'_{r}}$ ${\displaystyle f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}}$ ${\displaystyle (r+1)}$ ${\displaystyle f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))}$ ${\displaystyle f_{r}(E_{r}^{p,q})\subset {E'_{r}}^{p,q}.}$

乗法構造

カップ積はコホモロジー群に環構造を与え、コホモロジー環となる。したがって、環構造を持つスペクトル列も自然に考えることができる。 をコホモロジー型のスペクトル列とする。(i)が（二重次数を持つ）微分次数代数であり、(ii) 上の乗法がコホモロジーへの通過を介し て上の乗法から誘導される場合、スペクトル列は乗法構造を持つという。 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$ ${\displaystyle E_{r}}$

典型的な例は、係数群が環Rであるファイバ化 のコホモロジー的セールスペクトル列である。これは、 -page 上のファイバと基底のカップ積によって誘導される乗法構造を持つ。^[1]しかし、一般に、極限項は次数代数として H( E ; R ) と同型ではない。^[2]この乗法構造は、列上の微分を計算する際に非常に有用である。^[3] ${\displaystyle F\to E\to B}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

スペクトル列の構築

スペクトル列は様々な方法で構成できます。代数位相幾何学においては、おそらく正確な対がスペクトル列を構成する最も一般的な手段です。代数幾何学においては、スペクトル列は通常、共鎖複体のフィルトレーションから構成されます。

正確なカップルのスペクトル列

スペクトル列を構成するもう一つの手法は、ウィリアム・マッセイの完全対法です。完全対法は代数位相幾何学において特に一般的です。しかし、スペクトル列のほとんどがフィルター複素数から得られる抽象代数学では、完全対法はあまり一般的ではありません。

完全対を定義するために、再びアーベル圏から始める。前述と同様に、実際にはこれは通常、環上の二重次数加群の圏である。完全対とは、対象の対 ( A , C ) と、それらの対象間の3つの準同型f  : A → A、g  : A → C 、 h  : C → Aから成り、特定の完全性条件を満たすものである。

• 画像 f =カーネル g
• 画像g = カーネルh
• 画像h = カーネルf

このデータを( A , C , f , g , h )と略記します。正確な対は通常、三角形で表されます。Cはスペクトル列のE ₀項に対応し、 Aは補助データであることがわかります。

スペクトル列の次のシートに進むために、導関数対を形成します。次のように設定します。

• d =ゴ o h
• A' = f ( A )
• C' = ケルd / イムd
• f ' = f | _A' 、 fのA'への制限
• h'  : C' → A'はhによって誘導されます。hがそのような写像を誘導することは容易にわかります。
• g'  : A' → C'は、元に関して次のように定義される：A'の各aに対し、aをAのあるbに対してf ( b )と書き表す。g ' ( a ) は、 g ( b )のC'における像として定義される。一般に、g' はアーベル圏の埋め込み定理のいずれかを用いて構成できる。

ここから、( A' , C' , f ' , g' , h' ) が正確な対であることは容易に確認できます。C ' はスペクトル列のE ₁項に対応します。この手順を繰り返すことで、正確な対 ( A ^{( n )} , C ^{( n )} , f ^{( n )} , g ^{( n )} , h ^{( n )} )を得ることができます。

スペクトル列を構築するために、E _{n を}C ^{( n )}、d _{n を}g ^{( n )} o h ^{( n )}とします。

この方法で構築されたスペクトルシーケンス

• セールスペクトル列^[4] - ファイブレーションの（コ）ホモロジーを計算するために使用される
• アティヤ・ヒルツェブルフスペクトル列- K理論などの異常コホモロジー理論の（コ）ホモロジーを計算するために使用される。
• ボックスシュタインスペクトル列。
• フィルタリングされた複合体のスペクトル列

フィルタリングされた複素スペクトルのシーケンス

非常に一般的なタイプのスペクトル列は、フィルタリングされたコチェーン複体から生じます。これは、自然に二段階オブジェクトを誘導するからです。コチェーン複体と下降フィルタリング を考えてみましょう。境界マップがフィルタリングと互換性があること、つまり であること、またフィルタリングが網羅的 であること、つまりすべての集合の和集合が全体のチェーン複体であることを要求します。すると、 およびとなるスペクトル列が存在します。^{[5]後で、フィルタリングが}ハウスドルフまたは分離 であること、つまりすべての集合の交差が0 であることも仮定します。 ${\displaystyle (C^{\bullet },d)}$ ${\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$ ${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subset F^{p}C^{n+1}}$ ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ ${\textstyle C^{\bullet }}$ ${\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$ ${\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })}$ ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

濾過はゼロへの近さの尺度を与えるため有用である。pが増加するにつれて、は ゼロにどんどん近づいていく。この濾過からスペクトル列を構築すると、後続のシートにおける共境界と共環は、元の複合体における共境界と共環にどんどん近づいていく。このスペクトル列は、濾過次数pと補次数q = n − pによって二重に段階分けされている。 ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

工事

${\displaystyle C^{\bullet }}$は単一の次数とフィルタリングのみを持つため、まずスペクトル列の最初のページに対して二重次数オブジェクトを構築します。2番目の次数を得るには、フィルタリングに関する次数オブジェクトを取ります。これは、以下の手順で説明される、通常とは異なる方法で記述します。 ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle B_{0}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}}$

${\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}}$

境界写像が濾過と両立すると仮定したので、は2次オブジェクトであり、上に自然な2次境界写像が存在する。 を得るには、 のホモロジーをとる。 ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}}$

${\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}}$

とはの... ${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}}$ ${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{0}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

そして、

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}}$は、まさに微分が濾過において1レベル押し上げる要素であり、まさに微分が濾過において0レベル押し上げる要素の像である。これは、微分が濾過においてrレベル押し上げる要素をと、微分が濾過においてr-1レベル押し上げる要素の像を とすべきであることを示唆している。言い換えれば、スペクトル列は次式を満たすべきである。 ${\displaystyle B_{1}^{p,q}}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle B_{r}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}}$

そして私たちは関係を築くべきです

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).}$

これが意味を成すためには、それぞれについて微分を求め、それが と同型なホモロジーにつながることを証明する必要がある。微分は ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$

${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}}$

は、 上で定義された元の微分を部分対象 に制限することによって定義されます。この微分に関するのホモロジーが であることは簡単に確認できるので、スペクトル列が得られます。残念ながら、この微分はあまり明示的ではありません。微分を決定したり、それを回避する方法を見つけたりすることは、スペクトル列をうまく適用するための主要な課題の一つです。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C^{p+q}}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$

この方法で構築されたスペクトルシーケンス

• ホッジ・ド・ラームスペクトル列
• 二重複合体のスペクトル列
• 混合ホッジ構造の構築に使用できる^[6]

二重複合体のスペクトル列

もう一つの一般的なスペクトル列は、二重複体のスペクトル列です。二重複体とは、すべての整数iとjに対するオブジェクトC _i,jの集合と、2つの微分d ^Iとd ^IIです。d I^はi を減少させ、d ^IIはjを減少させると仮定します。さらに、これらの微分はd ^I d ^II + d ^II d ^I = 0となるように、反交換であると仮定します。ここでの目標は、反復ホモロジーと を比較することです。そのために、二重複体を2つの異なる方法でフィルタリングします。フィルタリングは以下のとおりです。 ${\displaystyle H_{i}^{\textrm {I}}(H_{j}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$ ${\displaystyle H_{j}^{\textrm {II}}(H_{i}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {I}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{\textrm {II}})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}$

スペクトル列を得るために、前の例に帰着します。全複素数 T ( C _•,• )を、n ′番目の項が であり、その微分がd ^I + d ^IIである複素数と定義します。これは、 d ^Iとd ^IIが反交換微分であるため複素数です。C i _,j上の2つのフィルトレーションは、全複素数上の2つのフィルトレーションを与えます。 ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {II}}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}$

これらのスペクトル列が反復ホモロジーに関する情報を与えることを示すために、 T ( C _•,• )におけるIフィルトレーションのE ⁰、E ¹、E ²項を計算します。E 0項^は明らかです。

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},}$

ここでn = p + q です。

E ¹項を求めるには、 E ⁰上のd ^I + d ^IIを求める必要がある。この微分はnに関して次数 −1 でなければならないので、写像は次のようになる。

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{\textrm {I}}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{\textrm {I}}=C_{p,q-1}}$

したがって、 E ⁰上の微分は、d ^I + d ^IIによって誘導される写像C _{p , q} → C _{p , q −1}である。しかし、 d ^{I は}そのような写像を誘導するには次数が間違っているため、E ⁰上でd ^{I は}ゼロでなければならない。つまり、微分はまさにd ^IIであり、したがって、

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet }).}$

E ²を求めるには、次の式を定める必要がある。

${\displaystyle d_{p,q}^{\textrm {I}}+d_{p,q}^{\textrm {II}}:H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{\textrm {II}}(C_{p+1,\bullet })}$

E ^{1 は}d ^IIに関してまさにホモロジーなので、d ^IIはE ¹上ではゼロである。したがって、

${\displaystyle {}^{\textrm {I}}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

他のフィルタリングを使用すると、同様のE ²項を持つ異なるスペクトル シーケンスが得られます。

${\displaystyle {}^{\textrm {II}}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

残るは、これら2つのスペクトル系列の関係性を見つけることです。rが増加するにつれて、2つの系列は十分に類似し、有用な比較が可能になることがわかります。

収束、退化、および接合

サイクルと境界の濾過としての解釈

E _{r を}スペクトル列とし、r = 1 から始めるとする。すると、部分オブジェクトの列が存在する。

${\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}}$

となる。実際、再帰的に となり、 となるので、 は 核となり、 は像となる。 ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}}$ ${\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0}$ ${\displaystyle Z_{r},B_{r}}$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}}$ ${\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.}$

そして、 ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}}$

${\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }}$;

これは極限項と呼ばれます。(もちろん、そのような項がカテゴリ内に存在する必要はありませんが、例えば加群のカテゴリではそのような極限が存在するため、通常は問題になりません。また、実際にはスペクトル列は退化する傾向があるため、上記の列には包含項が有限個しかありません。) ${\displaystyle E_{\infty }}$

収束の条件

スペクトル列が弱収束するとは、任意の に対して の濾過 を持つ次数付きオブジェクトが存在し、任意の に対して同型 が存在する場合を言う。濾過がハウスドルフ、すなわち のとき、スペクトル列は に収束する。 ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}}$ ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$ ${\displaystyle \cap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}$

p + q = nのときはいつでもに収束することを意味する。スペクトル列が に接する（スペクトル列の接面 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$）は、任意の に対して が存在すること、そしてすべての に対して が存在すること、を条件とする。この場合、は極限項である。スペクトル列は、すべての に対して微分がゼロとなる場合、で正則となるか退化する。特に、 が存在し、シートが単一の行または単一の列に集中している場合、 が に収束すると言う。記号で表すと、次のようになる。 ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle r(p,q)}$ ${\displaystyle r\geq r(p,q)}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle r\geq r_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}\geq 2}$ ${\displaystyle r_{0}^{th}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$

p は濾過指数を表します。この項はほとんどのスペクトル列で最も有用な項であるため、接線の左側に記述するのが一般的です。濾過さ​​れていない鎖状錯体のスペクトル列は、最初のシートで縮退します（最初の例を参照）。0番目のシート以降は何も起こらないため、限界シートはと同じです。 ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{1}}$

スペクトル列の5項の正確な列は、特定の低次項とE _∞項を関連付けます。

退化の例

フィルターされた複合体のスペクトルシーケンス（続き）

包含の連鎖があることに注目してください:

${\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}}$

次のように定義するとどうなるか考えてみましょう。

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$は、このスペクトル列の橋渡しとなる自然な候補です。収束は自動的に起こるわけではありませんが、多くの場合起こります。特に、濾過が有限で、ちょうどr 個の非自明なステップからなる場合、スペクトル列はr番目のシート以降で退化します。また、複素数と濾過が両方とも下限値または上限値を持つ場合にも収束します。

スペクトル列の境界をより詳しく説明するために、次の式があることに注目してください。

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

これが の場合に何を意味するかを見るには、濾過が分離されていると仮定したことを思い出してください。これは、 r が増加するにつれて、カーネルが縮小し、最終的に が残ることを意味します。 の場合、濾過が網羅的であると仮定したことを思い出してください。これは、 rが増加するにつれて、像が拡大し、最終的に に達することを意味します。結論として ${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})}$ ${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$、

つまり、スペクトル列の隣接部は、Cの(p+q)番目のホモロジーのp番目の次数部分です。スペクトル列が収束する場合、次の結論が導かれます。

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$

長精度シーケンス

フィルターされた複体のスペクトル列を用いることで、長完全列の存在を導出できる。コチェーン複体の短完全列 0 → A ^• → B ^• → C ^• → 0 を選び、最初の写像をf ^•  : A ^• → B ^•と呼ぶ。ホモロジー対象H ⁿ ( A ^• ) → H ⁿ ( B ^• ) → H ⁿ ( C ^• ) の自然写像が得られ、これが中央で完全であることが分かる。フィルターされた複体のスペクトル列を用いて、接続準同型写像を見つけ、結果として得られる列が完全であることを証明しよう。まず、 B ^•をフィルターする。

${\displaystyle F^{0}B^{n}=B^{n}}$

${\displaystyle F^{1}B^{n}=A^{n}}$

${\displaystyle F^{2}B^{n}=0}$

これにより、次のようになります。

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

微分は二次微分(1, 0)なので、d _{0, q}  : H ^q ( C ^• ) → H ^{q +1} ( A ^• )となる。これらは蛇の補題から得られる接続準同型写像であり、写像A ^• → B ^• → C ^•と組み合わせると、以下の列を与える。

${\displaystyle \cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots }$

この系列がA点とC点において正確であることを示すことが残っています。このスペクトル系列はE ₂項で退化していることに注目してください。これは、微分が(2, −1)の2次関数であるためです。したがって、E _2項はE _∞項と同じです。

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

しかし、 E _2項をE ₁項のホモロジーとして直接記述することもできます。これら2つの記述は同型でなければなりません。

${\displaystyle H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })}$

${\displaystyle {\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))}$

前者はCスポットでの正確さを提供し、後者はAスポットでの正確さを提供します。

二重複合体のスペクトル列（続き）

濾過された複合体のアバットメントを使用すると、次のことがわかります。

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

一般的に、⁠ ⁠の2つの等級分けは明確に区別されます ${\displaystyle H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$。しかし、それでもなお、これら2つのスペクトル系列から有用な情報を得ることは可能です。

Torの可換性

Rを環、M を右R加群、N を左R加群とする。テンソル積の導来関数はTorと表記されることを思い出してほしい。Tor は、その第一引数の射影分解を用いて定義される。しかし、 となることが分かる。これはスペクトル列がなくても検証できるが、スペクトル列を用いると非常に簡単に検証できる。 ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)}$

MとNの射影分解と をそれぞれ選びます。これらは、それぞれ微分dとeを持つ負の次数がゼロの複体とします。項が で、微分が と である二重複体を構築できます。（微分が反交換となるように、係数は −1 です。）射影加群は平坦なので、射影加群とのテンソル積はホモロジーを取ることと交換であり、以下の式を得ます。 ${\displaystyle P_{\bullet }}$ ${\displaystyle Q_{\bullet }}$ ${\displaystyle C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}}$ ${\displaystyle d\otimes 1}$ ${\displaystyle (-1)^{\textrm {I}}(1\otimes e)}$

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(H_{q}^{\textrm {II}}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{\textrm {II}}(Q_{\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{\textrm {II}}(H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })}$

二つの複体は分解なので、相同性は零次以外では消滅する。零次では、

${\displaystyle H_{p}^{\textrm {I}}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)}$

${\displaystyle H_{q}^{\textrm {II}}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)}$

特に、これらの項は、 q = 0（Iスペクトル列の場合）およびp = 0（IIスペクトル列の場合）の線に沿っている場合を除いて消滅します。これは、スペクトル列が第2シートで退化していることを意味しており、E ^∞項はE ²項と同型です。 ${\displaystyle E_{p,q}^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

最後に、pとqが等しい場合、2 つの右辺は等しくなり、Tor の可換性が成り立ちます。

実例

第一象限シート

が、ある より小さいすべての に対して、またある より小さいすべての に対してゼロになるスペクトル列 を考えます。および をゼロに選択できる場合、これは第 1 象限スペクトル列と呼ばれます。および の場合、すべて に対して が成り立つため、列 は に隣接します。これを確認するには、検討対象のケースで、微分の定義域または余域のいずれかがゼロになることに注目してください。視覚的に言えば、シートは成長する長方形で安定します (上図を参照)。ただし、微分写像が一度にすべてゼロになるとは限らないため、スペクトル列は必ずしも退化する必要はありません。同様に、 が、ある より大きいすべての に対して、またある より大きいすべての に対してゼロになる場合も、スペクトル列は収束します。 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle r>p}$ ${\displaystyle r>q+1}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{0}}$

隣接する2つの非ゼロ列

を0, 1以外のすべてのpに対してとなるホモロジースペクトル列とする。視覚的に、これは-page のスペクトル列である。 ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{2}=0}$ ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}}$

2ページ目の微分は次数(-2, 1)なので、次の形式となる。

${\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}}$

これらのマップはすべてゼロなので、

${\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0}$、 ${\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0}$

したがってスペクトル列は退化する：。例えば、フィルタリングによって に収束する。 ${\displaystyle E^{\infty }=E^{2}}$ ${\displaystyle H_{*}}$

${\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}}$

となる。すると、、、、などとなる。したがって、正確な順序は次のようになる：[ ^7] ${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}}$ ${\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}}$ ${\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}}$ ${\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0}$ ${\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0}$

${\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0}$。

次に、 2ページ目が2本の直線q = 0, 1のみからなるスペクトル列を とする。これは2ページ目で必ずしも退化する必要はないが、3ページ目では微分次数が(-3, 2)であるため退化する。分母が0であるので に注意する。同様に、 である。したがって、 ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})}$ ${\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})}$

${\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0}$。

さて、スペクトル列が前例のようにフィルタリングFによってHに収束するとします。 、、などなので、次式が成り立ちます。これらをまとめると、次式が得られます。^[8] ${\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0}$ ${\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0}$ ${\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0}$

${\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .}$

王シーケンス

前の節の計算は直接的に一般化できます。球面上のファイブレーションを考えてみましょう。

${\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}}$

nは少なくとも2である。セールスペクトル列が存在する。

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)}$;

つまり、ある程度の濾過を伴います。 ${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)}$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$

はpがゼロかnでZに等しい場合にのみゼロでないため、 2行のみで構成されることがわかります。したがって、ページは次のように表されます。 ${\displaystyle H_{p}(S^{n})}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{2}}$ ${\displaystyle p=0,n}$ ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,0}^{2}&0&\cdots \\\end{matrix}}}$

さらに、

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))=H_{q}(F)}$

普遍係数定理により、ページは次のようになる。 ${\displaystyle p=0,n}$ ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}}$

ゼロでない微分はページ上にあるだけなので、 ${\displaystyle E^{n}}$

${\displaystyle d_{n,q}^{n}:E_{n,q}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}}$

それは

${\displaystyle d_{n,q}^{n}:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)}$

スペクトル列は に収束する。計算すると、正確な列が得られる。 ${\displaystyle E^{n+1}=E^{\infty }}$ ${\displaystyle E^{n+1}}$

${\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to E_{n,q-n}^{n}{\overset {d}{\to }}E_{0,q-1}^{n}\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.}$

これをホモロジー群を使って書き出すと、

${\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.}$

2つの項が何であるかを明らかにするために と書き、などなので、次の式が成り立ちます。したがって、 なので、 ${\displaystyle E^{\infty }}$ ${\displaystyle H=H(E)}$ ${\displaystyle F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0}$ ${\displaystyle E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}}$ ${\displaystyle F_{n}H_{q}=H_{q}}$

${\displaystyle 0\to E_{0,q}^{\infty }\to H_{q}\to E_{n,q-n}^{\infty }\to 0.}$

これは正確な順序です

${\displaystyle 0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0.}$

全ての計算をまとめると次のようになります: ^[9]

${\displaystyle \dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots }$

( Gysin 配列も同様の方法で得られます。)

低次項

明らかな記法の変更により、前例の計算はコホモロジースペクトル列に対しても実行できる。Hに収束し、減少するフィルタリングを持つ第一象限​​スペクトル列とする。 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

${\displaystyle 0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}H^{n}\subset \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}}$

pまたはqが負の場合は0となるので、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}.}$ ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$

${\displaystyle 0\to E_{\infty }^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to 0.}$

同じ理由で、そして ${\displaystyle E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}}$ ${\displaystyle F^{2}H^{1}=0,}$

${\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0}$。

なので、。シーケンスを積み重ねると、いわゆる5項完全シーケンスが得られます。 ${\displaystyle F^{3}H^{2}=0}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}}$

${\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to H^{2}.}$

エッジマップと違反

ホモロジースペクトル列

をスペクトル列とする。任意のq < 0に対して、r ≥ 2に対して、 ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{r}=0}$

${\displaystyle E_{p,0}^{r+1}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{r}\to E_{p-r,r-1}^{r})}$

分母がゼロなので、単射の列が存在する。

${\displaystyle E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}}$。

これらはエッジマップと呼ばれます。同様に、すべてのp < 0に対して、エピモーフィズム（エッジマップとも呼ばれます）の列が存在します。 ${\displaystyle E_{p,q}^{r}=0}$

${\displaystyle E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}}$。

違反は部分的に定義された写像（より正確には、部分対象から商への写像） である。

${\displaystyle \tau :E_{p,0}^{2}\to E_{0,p-1}^{2}}$

合成として与えられ、最初と最後の写像はエッジ写像の逆写像となる。^[10] ${\displaystyle E_{p,0}^{2}\to E_{p,0}^{p}{\overset {d}{\to }}E_{0,p-1}^{p}\to E_{0,p-1}^{2}}$

コホモロジースペクトル列

コホモロジー型のスペクトル列についても同様のことが成り立つ。任意のq < 0に対して、エピモーフィズムの列が存在する。 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}}$。

そして、すべてのp < 0に対して、単同型のシーケンスが存在する場合: ${\displaystyle E_{r}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}}$。

侵犯は必ずしも明確に定義された地図ではありません。

${\displaystyle \tau :E_{2}^{0,q-1}\to E_{2}^{q,0}}$

によって誘発される。 ${\displaystyle d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}}$

応用

これらのマップを決定することは、セールスペクトル列における多くの微分を計算する上で基礎となる。例えば、海進マップは微分^{[11]を決定する。}

${\displaystyle d_{n}:E_{n,0}^{n}\to E_{0,n-1}^{n}}$

ホモロジースペクトル列のスペクトル列に対して、したがって、ファイバー化のセールスペクトル列上では、写像 ${\displaystyle F\to E\to B}$

${\displaystyle d_{n}:H_{n}(B)\to H_{n-1}(F)}$。

その他の例

注目すべきスペクトル配列は次のとおりです。

位相幾何学

• 異常コホモロジー理論のアティヤ・ヒルツェブルッフスペクトル列
• グループの分類空間のホモロジーのバースペクトルシーケンス。
• mod p係数を持つホモロジーと mod pで縮小されたホモロジーを関連付けるBockstein スペクトル列。
• 商空間のホモロジーに収束するカルタン-ルレイ スペクトル列。
• ファイバリングの引き戻しの特異コホモロジーに対するアイレンベルグ・ムーアスペクトル列
• ファイバー化のセールスペクトル列

ホモトピー理論

• 安定ホモトピー理論におけるアダムススペクトル列
• アダムス・ノビコフスペクトル列、異常コホモロジー理論への一般化。
• コファイブレーションの初期空間のホモトピーに収束するバラット スペクトル列。
• 関数のホモトピー極限に収束する Bousfield–Kan スペクトル列。
• Adams-Novikov スペクトル列の初期項を計算するための色スペクトル列。
• コバールスペクトル列
• 球面の安定ホモトピー群に収束するEHPスペクトル列
• 関数空間のホモトピー群に収束するフェデラースペクトル列。
• ホモトピー固定点スペクトル列^[12]
• ホモトピーから空間のホモロジーを計算するための Hurewicz スペクトル列。
• 空間のmod p安定ホモロジーに収束するミラー スペクトル シーケンス。
• ミルナー スペクトル シーケンスは、バー スペクトル シーケンスの別名です。
• ムーア スペクトル シーケンスは、バー スペクトル シーケンスの別名です。
• 単体群のホモトピーを計算するためのQuillen スペクトル列。
• ローテンバーグ・スティーンロッド スペクトル列は、バー スペクトル列の別名です。
• 空間のくさびのホモトピーを計算するための van Kampen スペクトル列。

代数

• Čech コホモロジーから層コホモロジーへのČech-導来関手スペクトル列。
• モジュールの Tor グループと Ext グループを計算するためのリングスペクトルシーケンスの変更。
• 代数の巡回ホモロジーに収束するコヌスペクトル列。
• ゲルステン・ヴィットスペクトル列
• コシュルコホモロジーのグリーンスペクトル列
• 導来関手合成のためのグロタンディークスペクトル列
• ハイパーホモロジーを計算するためのハイパーホモロジー スペクトル シーケンス。
• 微分代数のテンソル積のホモロジーを計算するためのキュネス スペクトル列。
• 層のコホモロジーに収束するLeray スペクトル列。
• 局所から大域へのExtスペクトル系列
• 群（コ）ホモロジーにおけるリンドン・ホックシルト・セールスペクトル列
• 代数の Tor または Ext グループを計算するための5 月のスペクトル シーケンス。
• 微分フィルタリングされたグループのスペクトルシーケンス: この記事で説明されています。
• 二重複合体のスペクトル配列: この記事で説明されています。
• 正確なカップルのスペクトルシーケンス: この記事で説明されています。
• ユニバーサル係数スペクトル列
• 相対リー代数コホモロジーに収束する van Est スペクトル列。

複素幾何学と代数幾何学

• 特異点理論におけるアーノルドのスペクトル列。
• 代数的 K 体理論に収束するブロッホ-リヒテンバウム スペクトル列。
• ドルボオコホモロジーから始まり、多様体の代数的ド・ラームコホモロジーに収束するフレーリヒャースペクトル列。
• 多様体の代数的ド・ラームコホモロジーに収束するホッジ・ド・ラームスペクトル列。
• モチーフ理論からK理論へのスペクトル列

注記

1. McCleary 2001、p.  ^{[ページ必要]}。
2. ハッチャー、例1.17。
3. ハッチャー、例1.18。
4. 5月。
5. Serge Lang (2002)、代数、数学大学院テキスト 211 (ドイツ語) (Überarbeitete 3. ed.)、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 038795385X
6. Elzein, Fouad; Trang, Lê Dung (2013-02-23). 「混合ホッジ構造」. pp. 40, 4.0.2. arXiv : 1302.5811 [math.AG].
7. Weibel 1994、演習 5.2.1。少なくとも 1994 年版では、正確な順序に誤植があります。
8. Weibel 1994、演習 5.2.2。
9. Weibel 1994、アプリケーション5.3.5。
10. 5月、§1。
11. ハッチャー、540、564ページ。
12. Bruner, Robert R.; Rognes, John (2005). 「ホモロジー的ホモトピー不動点スペクトル列における微分」. Algebr. Geom. Topol . 5 (2): 653– 690. arXiv : math/0406081 . doi : 10.2140/agt.2005.5.653 .

参考文献

入門

• フォメンコ、アナトリー；フックス、ドミトリー、ホモトピー的位相幾何学
• ハッチャー、アレン。「代数的位相幾何学におけるスペクトル列」(PDF)。

参考文献

• Leray, Jean ( 1946a)、「L'anneau d'homologie d'une représentation」、Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences、222 : 1366–1368
• Leray, Jean ( 1946b)、「Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation」、Les Comptes rendus de l'Académie des Sciences、222 : 1419–1422
• コズル、ジャン＝ルイ(1947)。 「アノーの派生的な操作方法」。科学アカデミーのコンテス・レンドゥス。225：217～ 219
• マッシー, ウィリアム・S. (1952). 「代数的位相幾何学における完全対 I, II」. Annals of Mathematics . 第2集. 56 (2). Annals of Mathematics: 363– 396. doi :10.2307/1969805. JSTOR  1969805.
• マッシー, ウィリアム・S. (1953). 「代数的位相幾何学における完全対 III, IV, V」Annals of Mathematics . 第2集. 57 (2). Annals of Mathematics: 248–286 . doi :10.2307/1969858. JSTOR  1969858.
• May, J. Peter . 「スペクトルシーケンス入門」(PDF) . 2020年6月21日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2020年6月21日閲覧。
• マクリアリー、ジョン (2001). 『スペクトル列ユーザーズガイド』 ケンブリッジ数学高等研究誌 第58巻（第2版）ケンブリッジ大学出版局ISBN 978-0-521-56759-6. MR  1793722。
• モッシャー、ロバート; タンゴラ、マーティン (1968)、「コホモロジー演算とホモトピー理論への応用」、ハーパー・アンド・ロウ、ISBN 978-0-06-044627-7
• ワイベル、チャールズ・A. (1994).ホモロジー代数入門. ケンブリッジ高等数学研究. 第38巻. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-55987-4MR  1269324. OCLC 36131259  .

さらに読む

• チャウ、ティモシー・Y. (2006). 「スペクトル列は発明できたかもしれない」(PDF) .アメリカ数学会報. 53 : 15–19 .

外部リンク

• 「スペクトル列の何が『スペクトル的』なのか？」MathOverflow。
• 「SpectralSequences — フィルタリングされた複素数とスペクトルシーケンスを扱うためのパッケージ」Macaulay2。

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