リャプノフ安定性

Property of a dynamical system where solutions near an equilibrium point remain so

微分方程式、あるいは力学系を記述する差分方程式の解については、様々なタイプの安定性が議論される可能性があります。最も重要なタイプは、平衡点付近の解の安定性に関するものです。これは、アレクサンドル・リャプノフの理論によって議論される可能性があります。簡単に言えば、平衡点付近から始まる解が永遠に平衡点付近に留まる場合、リャプノフ安定となります。より強く言えば、がリャプノフ安定であり、平衡点付近から始まるすべての解がに収束する場合、 は漸近安定であると言えます（漸近解析 を参照）。指数安定性の概念は、最小の減衰率、すなわち解が収束する速さの推定値を保証します。リャプノフ安定性の考え方は、無限次元多様体にも拡張でき、そこでは構造安定性として知られています。これは、微分方程式の異なるが「近傍の」解の挙動に関係します。入力状態安定性（ISS）は、リャプノフの概念を入力を持つシステムに適用します。 ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle x_{e}}$

歴史

リャプノフ安定性は、1892年にハリコフ大学（現在のVNカラジン・ハリコフ国立大学）で論文「運動の安定性の一般問題」を発表したロシアの数学者アレクサンドル・ミハイロヴィチ・リャプノフにちなんで名付けられました。 ^[1] AM リャプノフは、平衡点の周りでシステムを線形化する広く普及した局所的方法と比較して、非線形動的システムの安定性を分析するためのグローバルアプローチを開発する成功した取り組みの先駆者でした。彼の研究は、最初はロシア語で出版され、その後フランス語に翻訳されましたが、何年もの間ほとんど注目されませんでした。AM リャプノフによって確立された運動の安定性の数学的理論は、科学技術への実装の時期をかなり先取りしていました。また、リャプノフ自身はこの分野を応用しておらず、彼自身の関心は天文学への応用を伴う回転流体質量の安定性にありました。リャプノフには安定性の研究を続ける博士課程の学生がおらず、彼自身の運命も1918年の自殺という悲劇的なものとなった。^[2]数十年の間、安定性の理論は完全に忘れ去られていた。1930年代にカザン航空大学で働いていたソ連の数学者で機械学者のニコライ・グリエヴィチ・チェタエフは、A.M.リャプノフによる発見の驚くべき重要性を最初に認識した人物だった。N.G.チェタエフ^[3]による理論への貢献は非常に大きく、多くの数学者、物理学者、エンジニアが彼をリャプノフの直接の後継者であり、安定性の数学的理論の創造と発展における科学的後継者であると考えている。

冷戦期には、いわゆる「リャプノフ第二法」（下記参照）が、他の方法では扱えない強い非線形性を持つ航空宇宙誘導システムの安定性に適用可能であることが発見され、この分野への関心は急激に高まりました。制御およびシステムに関する文献では、当時からその後も多数の論文が発表されました。^{[4] [5] [6] [7] [8]近年では、}リャプノフ指数（リャプノフの安定性を論じる第一法に関連） の概念が、カオス理論との関連で広く注目を集めています。リャプノフの安定性法は、交通量配分問題における均衡解の探索にも応用されています。^[9]

連続時間システムの定義

自律非線形動的システムを考える

${\displaystyle {\dot {x}}=f(x(t)),\;\;\;\;x(0)=x_{0}}$、

ここで、 は系の状態ベクトルを表し、これは原点を含む開集合であり、は 上の連続ベクトル場である。が において平衡状態にあると仮定すると、 となる。この場合、 ${\displaystyle x(t)\in {\mathcal {D}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {D}}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle f(x_{e})=0}$

1. この均衡は、任意の に対して が存在し、 であれば任意の に対して が成り立つとき、リャプノフ安定であると言われます。 ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|<\epsilon }$
2. 上記のシステムの平衡は、それがリャプノフ安定であり、かつ が存在する場合、漸近的に安定していると言われます。 ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\|x(t)-x_{e}\|=0}$
3. 上記のシステムの平衡は、漸近的に安定しており、かつ の場合にすべての に対してとなるような状態が存在する場合、指数的に安定していると言われます。 ${\displaystyle \alpha >0,~\beta >0,~\delta >0}$ ${\displaystyle \|x(0)-x_{e}\|<\delta }$ ${\displaystyle \|x(t)-x_{e}\|\leq \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$ ${\displaystyle t\geq 0}$

概念的には、上記の用語の意味は次のとおりです。

1. 平衡のリアプノフ安定性とは、平衡に「十分近い」（平衡から一定の距離以内）状態から出発した解が、永遠に「十分近い」（平衡から一定の距離以内）状態を維持することを意味します。これは、選択しようとする解に対して必ず当てはまることに注意してください。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon }$
2. 漸近安定性とは、十分に近いところから始まる解が十分に近いままであるだけでなく、最終的に平衡に収束することを意味します。
3. 指数安定性とは、解が収束するだけでなく、特定の既知の速度よりも速く収束するか、少なくとも同じ速さで収束することを意味します。 ${\displaystyle \alpha \|x(0)-x_{e}\|e^{-\beta t}}$

軌道が（局所的に）魅力的であるのは、 ${\displaystyle \phi (t)}$

${\displaystyle \|x(t)-\phi (t)\|\rightarrow 0}$ として ${\displaystyle t\rightarrow \infty }$

に十分近いところから始まるすべての軌道に対して となり、この特性がすべての軌道に当てはまる場合は大域的に魅力的となります。 ${\displaystyle x(t)}$ ${\displaystyle \phi (t)}$

つまり、xがその安定多様体の内部に属している場合、それが引力と安定性の両方を備えているなら、xは漸近的に安定である。（引力が漸近安定性を意味しないことを示す例がある。^{[10] [11] [12]このような例は}ホモクリニック接続を使用して簡単に作成できる。）

平衡状態における動的システムのヤコビアンが安定行列である場合（つまり、各固有値の実部が厳密に負である場合）、平衡状態は漸近的に安定します。

逸脱のシステム

平衡点（定数解）付近の安定性のみを考える代わりに、任意の解 付近の安定性について同様の定義を定式化することができます。しかし、「偏差系」と呼ばれる変数変換によって、より一般的なケースを平衡点の場合に簡約することができます。 を、以下の微分方程式に従って定義します。 ${\displaystyle x(t)=x_{e}}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$ ${\displaystyle y=x-\phi (t)}$

${\displaystyle {\dot {y}}=f(t,y+\phi (t))-{\dot {\phi }}(t)=g(t,y)}$。

これはもはや自律システムではありませんが、安定性が元のソリューションの安定性と同等である保証された平衡点を持ちます。 ${\displaystyle y=0}$ ${\displaystyle x(t)=\phi (t)}$

リャプノフの安定性の第2法

リャプノフは1892年の論文で、安定性を証明する2つの方法を提案した^[1]。最初の方法は、解を級数的に展開し、限界内で収束することが証明された。現在リャプノフの安定性判定法、あるいは直接法と呼ばれている2つ目の方法は、古典力学のポテンシャル関数に類似したリャプノフ関数V(x)を利用する。これは、平衡点が である系に対して以下のように導入される。 ${\displaystyle {\dot {x}}=f(x)}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$

• ${\displaystyle V(x)=0}$ もし、そして、もし、 ${\displaystyle x=0}$
• ${\displaystyle V(x)>0}$ もし、そして、もし、 ${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle {\dot {V}}(x)={\frac {d}{dt}}V(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}f_{i}(x)=\nabla V\cdot f(x)\leq 0}$のすべての値について。注: 漸近安定性のためには、が必要です。 ${\displaystyle x\neq 0}$ ${\displaystyle {\dot {V}}(x)<0}$ ${\displaystyle x\neq 0}$

このとき、V(x)はリャプノフ関数と呼ばれ、システムはリャプノフの意味で安定である。（ただし、 が必要であることに注意。そうでなければ、例えば はが局所安定であることを「証明」することになる。）大域安定性を結論付けるためには、「固有性」または「ラジアル非有界性」と呼ばれる追加条件が必要である。大域漸近安定性（GAS）も同様に成り立つ。 ${\displaystyle V(0)=0}$ ${\displaystyle V(x)=1/(1+|x|)}$ ${\displaystyle {\dot {x}}(t)=x}$

この分析法は、物理システム（例えば、振動するバネと質量）を例に考え、そのシステムのエネルギーを考察することで、より容易に視覚化できます。システムが時間の経過とともにエネルギーを失い、そのエネルギーが回復しない場合、最終的にはシステムは停止し、最終的な静止状態に到達します。この最終的な状態はアトラクターと呼ばれます。しかし、物理システムの正確なエネルギーを与える関数を見つけることは困難な場合があり、抽象的な数学システム、経済システム、または生物システムでは、エネルギーの概念が適用できない場合があります。

リャプノフは、上記の制約を満たすリャプノフ関数が見つかれば、真の物理的エネルギーの知識を必要とせずに安定性を証明できることに気づきました。

離散時間システムの定義

離散時間システムの定義は連続時間システムの定義とほぼ同じです。以下では、数学的なテキストでよく使われる別の表現を用いて、この定義を示します。

( X , d )を計量空間とし、f ​​ : X → X を連続関数とする。X内の点xがリアプノフ安定であるとは、次の条件を満たすときである。

${\displaystyle \forall \epsilon >0\ \exists \delta >0\ \forall y\in X\ \left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \forall n\in \mathbf {N} \ d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)<\epsilon \right].}$

xが漸近的に安定であるとは、 x がその安定集合の内部に属する場合、つまり、

${\displaystyle \exists \delta >0\left[d(x,y)<\delta \Rightarrow \lim _{n\to \infty }d\left(f^{n}(x),f^{n}(y)\right)=0\right].}$

線形状態空間モデルの安定性

線形状態空間モデル

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}=A{\textbf {x}}}$、

は有限行列であり、の固有値の実部がすべて負であるとき、は漸近安定（実際には指数安定）となる。この条件は次の条件と同値である：^[13] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle A^{\textsf {T}}M+MA}$

は、ある正定値行列に対して負定値です。(関連するリアプノフ関数は です。) ${\displaystyle M=M^{\textsf {T}}}$ ${\displaystyle V(x)=x^{\textsf {T}}Mx}$

同様に、時間離散線形状態空間モデル

${\displaystyle {\textbf {x}}_{t+1}=A{\textbf {x}}_{t}}$

のすべての固有値の絶対値が1より小さい場合、 は漸近的に安定 (実際は指数的に安定) します。 ${\displaystyle A}$

この後者の条件は、スイッチングシステムに一般化されている：線形スイッチング離散時間システム（行列の集合によって支配される） ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

${\displaystyle {{\textbf {x}}_{t+1}}=A_{i_{t}}{\textbf {x}}_{t},\quad A_{i_{t}}\in \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

集合の共スペクトル半径が1 より小さい場合、漸近的に安定 (実際には指数的に安定) します。 ${\displaystyle \{A_{1},\dots ,A_{m}\}}$

入力のあるシステムの安定性

入力（または制御）を持つシステムは次のような形式をとる。

${\displaystyle {\dot {\textbf {x}}}={\textbf {f}}({\textbf {x}},{\textbf {u}})}$

ここで、（一般的に時間依存の）入力u(t)は、制御関数、外部入力関数、刺激関数、外乱関数、または強制関数として考えることができる。 ^[14]によれば、リャプノフ安定な平衡点の近くでは、システムは小さな外乱に対して安定を維持することが示されている。より大きな入力外乱に対しては、そのようなシステムの研究は制御理論の対象であり、制御工学に応用されている。入力を持つシステムの場合、入力がシステムの安定性に与える影響を定量化する必要がある。この解析には主に、BIBO安定性（線形システムの場合）と入力状態安定性（ISS）（非線形システムの場合） の2つのアプローチがある。

例

この例では、リアプノフ関数を用いてリアプノフ安定性を証明できるものの、漸近安定性を示すことができない系を示します。摩擦項を変更したファンデルポール振動子方程式に基づく次の式を考えてみましょう。

${\displaystyle {\ddot {y}}+y-\varepsilon \left({\frac {{\dot {y}}^{3}}{3}}-{\dot {y}}\right)=0.}$

させて

${\displaystyle x_{1}=y,x_{2}={\dot {y}}}$

対応するシステムは

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\dot {x}}_{1}=x_{2},\\&{\dot {x}}_{2}=-x_{1}+\varepsilon \left({\frac {x_{2}^{3}}{3}}-{x_{2}}\right).\end{aligned}}}$

原点は唯一の平衡点である。リアプノフ関数として ${\displaystyle x_{1}=0,\ x_{2}=0}$

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)}$

これは明らかに正定値である。その導関数は

${\displaystyle {\dot {V}}=x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=x_{1}x_{2}-x_{1}x_{2}+\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}=\varepsilon {\frac {x_{2}^{4}}{3}}-\varepsilon {x_{2}^{2}}.}$

パラメータが正の場合、 の安定性は に対して漸近的であるように思われますが、これは誤りです。は に依存せず、 は 軸上のどこでも 0 となるからです。平衡点はリャプノフ安定ですが、漸近安定ではありません。 ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle x_{2}^{2}<3.}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}}$

バルバラの補題と時間変動システムの安定性

リャプノフ安定性基準で要求される負定値微分を持つリャプノフ関数を見つけるのは難しいかもしれないが、負半定値微分のみを持つ関数は存在するかもしれない。自律システムにおいては、不変集合定理を用いて漸近安定性を証明できるが、この定理はダイナミクスが時間の関数である場合は適用できない。^[15] ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

代わりに、バルバラの補題は、これらの非自律系に対してリアプノフ的な解析を可能にする。この補題は、以下の観察に基づいている。f が時間のみの関数であると仮定すると、

• を持つことは、 がで極限を持つことを意味しません。たとえば、 です。 ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)=\sin(\ln(t)),\;t>0}$
• が極限に近づいても、となるわけではありません。たとえば、 です。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle f(t)=\sin \left(t^{2}\right)/t,\;t>0}$
• 下限があり、減少する ( ) ということは、極限に収束することを意味します。しかし、のときに収束するかどうかは分かりません。 ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\leq 0}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

バルバラの補題はこう述べています。

が として有限の極限を持ち、 が一様連続である場合（一様連続であるための十分な条件は が有界であること）としてとなる。^[16] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle {\dot {f}}}$ ${\displaystyle {\ddot {f}}}$ ${\displaystyle {\dot {f}}(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

別のバージョンは次のとおりです。

ととする。とならば、[ ^17] ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ ${\displaystyle q\in (1,\infty ]}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(0,\infty )}$ ${\displaystyle {\dot {f}}\in L^{q}(0,\infty )}$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty .}$

次の形式では、ベクトル値の場合でも補題が成り立ちます。

をバナッハ空間に値を持つ一様連続関数とし、が のとき有限極限を持つと仮定する。するととなる。^[18] ${\displaystyle f(t)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{t}f(\tau )\mathrm {d} \tau }$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle f(t)\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$

以下の例はSlotineとLiの著書「Applied Nonlinear Control」の125ページから引用したものです。^[15]

非自律システムを考える

${\displaystyle {\dot {e}}=-e+g\cdot w(t)}$

${\displaystyle {\dot {g}}=-e\cdot w(t).}$

入力は時間の関数であるため、これは非自律的です。入力は有限であると仮定します。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w(t)}$

受け取ることは与える ${\displaystyle V=e^{2}+g^{2}}$ ${\displaystyle {\dot {V}}=-2e^{2}\leq 0.}$

これは、最初の2つの条件と、したがって、とが有界であることを示しています。しかし、がゼロに収束することについては何も述べていません。なぜなら、は負の半定値であり（ =0のときはゼロ以外になる可能性がある）、ダイナミクスは非自律的だからです。 ${\displaystyle V(t)\leq V(0)}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

バルバラの補題を用いると：

${\displaystyle {\ddot {V}}=-4e(-e+g\cdot w)}$。

これは、、およびが有界であるため、有界です。これは、が有界であることを意味し、したがって です。これは誤差が収束することを証明しています。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\dot {V}}\to 0}$ ${\displaystyle t\to \infty }$ ${\displaystyle e\to 0}$

参照

• リアプノフ関数
• ラサールの不変性原理
• リャプノフ・マルキン定理
• マルクス・山部予想
• 秤動点軌道
• ハートマン・グロブマン定理
• 摂動論
• 安定性理論

参考文献

1. リャプノフ、AM 『運動の安定性の一般的な問題』（ロシア語）、博士論文、ハリコフ大学、1892年。英訳：(1) 『運動の安定性』、アカデミック・プレス、ニューヨーク＆ロンドン、1966年 (2) 『運動の安定性の一般的な問題』、（ATフラー訳）テイラー＆フランシス、ロンドン、1992年。スミルノフによる伝記とリャプノフの著作の広範な参考文献が含まれています。
2. シェルバコフ 1992.
3. Chetaev、NG 力学の安定した軌道について、Kazan Univ Sci Notes、vol.4 no.1 1936; 『運動の安定性』、元々は ОГИЗ によって 1946 年にロシア語で出版されました。 Гос。 изд-во технико-теорет。 лит.、Москва-Ленинград.モートン・ナドラー訳、オックスフォード、1961年、200ページ。
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8. Kalman, RE (1963). 「自動制御におけるLur'e問題に対するLyapunov関数」Proc Natl Acad Sci USA . 49 (2): 201– 205. Bibcode :1963PNAS...49..201K. doi : 10.1073/pnas.49.2.201 . PMC 299777 . PMID  16591048. 
9. Smith, MJ; Wisten, MB (1995). 「継続的な日々の交通量割り当てモデルと継続的な動的利用者均衡の存在」Annals of Operations Research . 60 (1): 59– 79. doi :10.1007/BF02031940. S2CID  14034490.
10. ハーン、ヴォルフガング（ 1967年）「運動の安定性」シュプリンガー社、pp.  191– 194、第40節。doi :10.1007/978-3-642-50085-5。ISBN 978-3-642-50087-9。
11. Braun, Philipp; Grune, Lars; Kellett, Christopher M. (2021). (In-)Stability of Differential Inclusions: Notions, Equivalences, and Lyapunov-like Characterizations. Springer. pp.  19– 20, Example 2.18. doi :10.1007/978-3-030-76317-6. ISBN 978-3-030-76316-9. S2CID  237964551。
12. Vinograd, RE (1957). 「非線形微分方程式の研究における特性指数法の不十分性」. Doklady Akademii Nauk (ロシア語). 114 (2): 239– 240.
13. Goh, BS (1977). 「多種生態系における地球規模の安定性」. The American Naturalist . 111 (977): 135– 143. Bibcode :1977ANat..111..135G. doi :10.1086/283144. S2CID  84826590.
14. マルキンIG『運動の安定性理論』モスクワ 1952年（ゴステヒズダート）第2章第4節（ロシア語）英訳、言語サービス局、ワシントンAEC -tr-3352；原著は『常に作用する擾乱下における安定性について』Prikl Mat 1944年第8巻第3号241-245頁（ロシア語）；アメリカ数学会訳第8号
15. スロティーン、ジャン＝ジャック E.;リー・ウェイピン (1991)。非線形制御を適用。ニュージャージー州: プレンティス・ホール。
16. I. Barbălat、Systèmes d'équations différentielles d'oscillations non Linéaires、Rev. Math。 Pures Appl. 4 (1959) 267–270、p. 269.
17. B. Farkas他「Barbălatの補題のバリエーション」Amer. Math. Monthly (2016) 128, no. 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, p. 827.
18. B. Farkas他「Barbălatの補題のバリエーション」Amer. Math. Monthly (2016) 128, no. 8, 825-830, DOI: 10.4169/amer.math.monthly.123.8.825, p. 826.

さらに読む

• Bhatia, Nam Parshad; Szegő, Giorgio P. (2002).動的システムの安定性理論. Springer. ISBN 978-3-540-42748-3。
• チャービン、ロバート (1971).二流体プラズマ系のリアプノフ安定性とフィードバック制御(PhD). コロンビア大学.
• ガンドルフォ、ジャンカルロ（1996年）『経済ダイナミクス』（第3版）ベルリン：シュプリンガー、pp.  407– 428. ISBN 978-3-540-60988-9。
• シェルバコフ、パベル・S.（1992）「アレクサンドル・ミハイロヴィチ・リャプノフ：運動の安定性に関する博士論文の100周年を記念して」、オートマティカ、28（5）：865-871、doi：10.1016/0005-1098（92）90140-B
• パークス, PC (1992). 「AM リャプノフの安定性理論 ― 100年後」. IMA Journal of Mathematical Control & Information . 9 (4): 275– 303. doi :10.1093/imamci/9.4.275.
• スロットイン、ジャン＝ジャック・Ｅ．リー・ウェイピン (1991)。非線形制御を適用。ニュージャージー州: プレンティス・ホール。
• テシュル, G. (2012). 『常微分方程式と動的システム』プロビデンス：アメリカ数学会ISBN 978-0-8218-8328-0。
• ウィギンズ, S. (2003). 応用非線形動的システムとカオス入門（第2版）. ニューヨーク: Springer Verlag . ISBN 978-0-387-00177-7。

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