Surface created by rotating a curve about an axis
曲線x = 2 + cos( z )の z 軸 周りに回転した 部分 トーラス は 、正方形であり、その対角線の 1 つに平行な軸の周りを回転します。 回転面は 、 ユークリッド空間 において、 曲線 （ 母線 ）を回転軸（通常は端点を除いて母線と交差しない）の周りを1 回転 さ せる こと によって作られる面である。 [ 1 ] この 回転 によって 作ら れる面によって囲まれる体積が 回転立体 である。
直線によって生成される回転面の例としては、 直線が軸に平行かどうかによって 円筒面 と 円錐面があります。任意の直径の周りを円を回転させると球面が生成され、その球面は 大円に なります。また、円の内部と交わらない軸の周りを円を回転させると、 自身と交わらない トーラス（ 環状トーラス ）が生成されます。
プロパティ 回転軸を通る平面によって作られる回転面の断面は、 子午線断面 と呼ばれる。任意の子午線断面は、それと回転軸によって決まる平面における母線とみなすことができる。 [2]
回転軸に垂直な平面によって作られる回転面の断面は円です。
双曲面 （1枚または2枚）および 楕円放物面 の特殊なケースの中には、回転面となるものがあります。これらは 、軸に垂直な
すべての 断面が 円である二次曲面として考えられます。
曲線が 媒介変数 関数 x ( t ) 、 y ( t ) で表され、 t が区間 [ a 、 b ] にわたっており、回転軸が y 軸である場合、端点 a と bの間で x ( t ) が負にならない 限り、 表面積 A y は積分 で与えられます。この式は、 パップスの重心定理 の微積分学上の等価物です 。 [3] この量は ピタゴラスの定理 に由来し、 弧長の 式にあるように、曲線の円弧の小さな部分を表します 。量 2π x ( t ) は、パップスの定理で要求されるように、この小さな部分の経路（の重心）です。 A y = 2 π ∫ a b x ( t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t , {\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt,} ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle {\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt}
同様に、回転軸が x軸で y ( t ) が負にならないと仮定すると 、面積は [4]で与えられる。 A x = 2 π ∫ a b y ( t ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t . {\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y(t)\,{\sqrt {\left({dx \over dt}\right)^{2}+\left({dy \over dt}\right)^{2}}}\,dt.}
連続曲線が関数 y = f ( x ) , a ≤ x ≤ b で記述される場合、積分は x 軸
の周りの回転に対しては 、 y 軸
の周りの回転に対しては （ただし a ≥ 0 ）となる。これらは上記の式から導かれる。 [5] A x = 2 π ∫ a b y 1 + ( d y d x ) 2 d x = 2 π ∫ a b f ( x ) 1 + ( f ′ ( x ) ) 2 d x {\displaystyle A_{x}=2\pi \int _{a}^{b}y{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+{\big (}f'(x){\big )}^{2}}}\,dx} A y = 2 π ∫ a b x 1 + ( d y d x ) 2 d x {\displaystyle A_{y}=2\pi \int _{a}^{b}x{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}\,dx}
これは多変数積分からも導出できます。平面曲線が で与えられる場合、 x軸を中心に回転した際の対応する回転面は で与えられる直交座標を持ちます。この場合、 表面積 は で与えられます。 ⟨ x ( t ) , y ( t ) ⟩ {\displaystyle \langle x(t),y(t)\rangle } r ( t , θ ) = ⟨ y ( t ) cos ( θ ) , y ( t ) sin ( θ ) , x ( t ) ⟩ {\displaystyle \mathbf {r} (t,\theta )=\langle y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ),x(t)\rangle } 0 ≤ θ ≤ 2 π {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi } A x = ∬ S d S = ∬ [ a , b ] × [ 0 , 2 π ] ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t . {\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}
偏微分を計算すると
、三角関数の 恒等 式が用いられた部分で 外積 を計算すると、 この外積から、 同じ三角関数の恒等式が再び用いられた部分が得られます。y軸を中心に回転して得られる曲面の微分も同様です。 ∂ r ∂ t = ⟨ d y d t cos ( θ ) , d y d t sin ( θ ) , d x d t ⟩ , {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}=\left\langle {\frac {dy}{dt}}\cos(\theta ),{\frac {dy}{dt}}\sin(\theta ),{\frac {dx}{dt}}\right\rangle ,} ∂ r ∂ θ = ⟨ − y sin ( θ ) , y cos ( θ ) , 0 ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\langle -y\sin(\theta ),y\cos(\theta ),0\rangle } ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ = ⟨ y cos ( θ ) d x d t , y sin ( θ ) d x d t , y d y d t ⟩ = y ⟨ cos ( θ ) d x d t , sin ( θ ) d x d t , d y d t ⟩ {\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}=\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle =y\left\langle \cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}}\right\rangle } sin 2 ( θ ) + cos 2 ( θ ) = 1 {\displaystyle \sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1} A x = ∫ a b ∫ 0 2 π ‖ ∂ r ∂ t × ∂ r ∂ θ ‖ d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π ‖ y ⟨ y cos ( θ ) d x d t , y sin ( θ ) d x d t , y d y d t ⟩ ‖ d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π y cos 2 ( θ ) ( d x d t ) 2 + sin 2 ( θ ) ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d θ d t = ∫ a b ∫ 0 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d θ d t = ∫ a b 2 π y ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 d t {\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}
例えば、単位半径 の球面は、 t が [0,π] を超える とき、 y ( t ) = sin( t ) 、 x ( t ) = cos( t ) の曲線によって生成される 。したがって、その面積は A = 2 π ∫ 0 π sin ( t ) ( cos ( t ) ) 2 + ( sin ( t ) ) 2 d t = 2 π ∫ 0 π sin ( t ) d t = 4 π . {\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t){\sqrt {{\big (}\cos(t){\big )}^{2}+{\big (}\sin(t){\big )}^{2}}}\,dt\\&{}=2\pi \int _{0}^{\pi }\sin(t)\,dt\\&{}=4\pi .\end{aligned}}}
半径r の球面曲線の場合 、 y ( x ) = √ r 2 − x 2 をx 軸 の周りに回転させると、 A = 2 π ∫ − r r r 2 − x 2 1 + x 2 r 2 − x 2 d x = 2 π r ∫ − r r r 2 − x 2 1 r 2 − x 2 d x = 2 π r ∫ − r r d x = 4 π r 2 {\displaystyle {\begin{aligned}A&=2\pi \int _{-r}^{r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{r^{2}-x^{2}}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,{\sqrt {\frac {1}{r^{2}-x^{2}}}}\,dx\\&=2\pi r\int _{-r}^{r}\,dx\\&=4\pi r^{2}\,\end{aligned}}}
極小 回転面 とは、与えられた2点間の曲線の回転面のうち、 表面積 を最小にする面の ことである。 [6] 変分法 における基本的な問題 は、この極小回転面を生成する2点間の曲線を見つけることである。 [6]
回転の極小面 （ 回転面で ありながら極小面でもある面）は 平面 と カテノイドの 2つだけである 。 [7]
座標式 によって表される曲線をx軸の周り で回転させて得られる回転面は、最も簡単には で表すことができます。これにより、 および を 用いたパラメータ化は となります 。代わりに、曲線をy軸の周りで回転させると、曲線は で表され、 パラメータ および を 用い た式が得られます 。 y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} y 2 + z 2 = f ( x ) 2 {\displaystyle y^{2}+z^{2}=f(x)^{2}} x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta } ( x , f ( x ) cos ( θ ) , f ( x ) sin ( θ ) ) {\displaystyle (x,f(x)\cos(\theta ),f(x)\sin(\theta ))} y = f ( x 2 + z 2 ) {\displaystyle y=f({\sqrt {x^{2}+z^{2}}})} ( x cos ( θ ) , f ( x ) , x sin ( θ ) ) {\displaystyle (x\cos(\theta ),f(x),x\sin(\theta ))} x {\displaystyle x} θ {\displaystyle \theta }
x と y がパラメータ で定義されている場合、 および によるパラメータ化が得られます 。 および が の関数である場合 、曲線を x 軸の周りで回転して得られる回転面は で記述され 、曲線を y 軸の周りで回転して得られる回転面は で記述されます 。 t {\displaystyle t} t {\displaystyle t} θ {\displaystyle \theta } x {\displaystyle x} y {\displaystyle y} t {\displaystyle t} ( x ( t ) , y ( t ) cos ( θ ) , y ( t ) sin ( θ ) ) {\displaystyle (x(t),y(t)\cos(\theta ),y(t)\sin(\theta ))} ( x ( t ) cos ( θ ) , y ( t ) , x ( t ) sin ( θ ) ) {\displaystyle (x(t)\cos(\theta ),y(t),x(t)\sin(\theta ))}
測地線 子午線は常に回転面上の測地線である。その他の測地線は クレローの関係 式に従う 。 [8]
トロイド 正方形から生成されたトロイド 回転軸が面と交差しない、穴のある回転面はトーラスと呼ばれます。 [9] 例えば、長方形をその辺の一つに平行な軸を中心に回転させると、中空の正方形断面のリングが生成されます。回転した図形が 円である場合、その物体は トーラス と呼ばれます 。
参照
参考文献 ^ Middlemiss、Marks、Smart. 「15-4. 回転面」『 解析幾何学 』 （第3版）378頁。LCCN 68015472 。 ^ ウィルソン, WA; トレーシー, JI (1925), 『解析幾何学』 （改訂版）, DC Heath and Co., p. 227 ^ Thomas, George B. 「6.7: 回転面の面積; 6.11: パップスの定理」『 微積分 』 （第3版）pp. 206– 209, 217– 219. LCCN 69016407. ^ Singh, RR (1993). 工学数学 (第6版). Tata McGraw-Hill. p. 6.90. ISBN 0-07-014615-2 。 ^ スウォコウスキー, アール・W. (1983). 微積分学と解析幾何学 （別版）. プリンドル, ウェーバー & シュミット. p. 617. ISBN 0-87150-341-7 。 ^ ab Weisstein, Eric W. 「回転の最小面」 。MathWorld 。 ^ Weisstein, Eric W. 「カテノイド」 。MathWorld 。 ^ プレスリー、アンドリュー。「第9章 測地線」 初等微分幾何学 、第2版、シュプリンガー、ロンドン、2012年、227-230頁。 ^ Weisstein, Eric W. 「トロイド」. MathWorld .
外部リンク 
![{\displaystyle A_{x}=\iint _{S}dS=\iint _{[a,b]\times [0,2\pi ]}\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b6e20c212de99b253a52f3442b8f74ea73d61ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}A_{x}&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial t}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }\left\|y\left\langle y\cos(\theta ){\frac {dx}{dt}},y\sin(\theta ){\frac {dx}{dt}},y{\frac {dy}{dt}}\right\rangle \right\|\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\cos ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\sin ^{2}(\theta )\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}\int _{0}^{2\pi }y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ d\theta \ dt\\[1ex]&=\int _{a}^{b}2\pi y{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\ dt\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67ad143220b39defd5b72caa82d8beb7b47d4946)
