対称関係

推移的な二項関係

	対称的	反対称	接続	根拠がしっかりしている	結合あり	会う	反射的	非反射的	非対称
			トータル、セミコネックス					反反射的
同値関係	はい	✗	✗	✗	✗	✗	はい	✗	✗
予約注文（準注文）	✗	✗	✗	✗	✗	✗	はい	✗	✗
半順序	✗	はい	✗	✗	✗	✗	はい	✗	✗
合計予約数	✗	✗	はい	✗	✗	✗	はい	✗	✗
合計注文	✗	はい	はい	✗	✗	✗	はい	✗	✗
プレウェルオーダーリング	✗	✗	はい	はい	✗	✗	はい	✗	✗
準秩序性	✗	✗	✗	はい	✗	✗	はい	✗	✗
整然とした	✗	はい	はい	はい	✗	✗	はい	✗	✗
格子	✗	はい	✗	✗	はい	はい	はい	✗	✗
半格子結合	✗	はい	✗	✗	はい	✗	はい	✗	✗
ミートセミラティス	✗	はい	✗	✗	✗	はい	はい	✗	✗
厳密な半順序	✗	はい	✗	✗	✗	✗	✗	はい	はい
厳密な弱い順序	✗	はい	✗	✗	✗	✗	✗	はい	はい
厳密な全順序	✗	はい	はい	✗	✗	✗	✗	はい	はい
	対称的	反対称	接続	根拠がしっかりしている	結合あり	会う	反射的	非反射的	非対称
定義、すべての $a,b$ $S\neq \varnothing :$	${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}aRb{\text{ と }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ または }}&bRa\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\min S\\{\text{存在する}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{存在する}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$	$aRa$	${\text{not }}aRa$	${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$

列の特性が行の項（一番左）に対して常に真であることを示します。一方、 ✗は、その特性が
一般的には保証されていない（成り立つかどうかはわからない）ことを示します。例えば、すべての同値関係は対称的であるが、必ずしも反対称的であるとは限らないことは、「対称」列では、また「反対称」列では✗
で示されます。

すべての定義では、同次関係が推移的であることが暗黙的に要求されます。つまり、すべての条件が満たされ、条件が満たされると、用語の定義には、この表に記載されていない追加のプロパティが必要になる場合があります。 $R$ $a,b,c,$ $aRb$ $bRc$ $aRc.$

対称関係は二項関係の一種である。正式には、集合X上の二項関係Rが対称的であるとは、次の条件を満たす場合である。^[1]

\forall a,b\in X(aRb\Leftrightarrow bRa),

ここで、 aRbという表記は( a、b ) ∈Rを意味します。

一例として、「等しい」という関係が挙げられます。なぜなら、a = bが真ならば、b = aも真となるからです。R ^{T が}Rの逆を表す場合、R が対称となるのはR = R ^Tのときのみです。^[2]

対称性は、反射性および推移性とともに、同値関係を定義する3つの特性である。^[1]

例

数学では

「等しい」（等式）（一方、「より小さい」は対称的ではない）
半順序集合の要素に対して「〜に匹敵する」
「...と...は奇妙です」:

数学以外

「結婚している」（ほとんどの法制度において）
「完全に生物学的な兄弟である」
「は同音異義語です」
「〜の同僚です」
「は〜のチームメイトです」

非対称関係と反対称関係との関係

定義上、空でない関係は対称と非対称の両方になることはできません（つまり、 a がbと関連している場合、b はaと（同じように）関連することはできません）。ただし、関係は対称でも非対称でもないこともあり得ます。これは、「～以下」や「～を捕食する」の場合に当てはまります）。

これらの例が示すように、対称と反対称( a がbに関連し、 bがaに関連できる唯一の方法はa = bの場合) は、実際には互いに独立しています。

数学的な例
	対称的	対称ではない
反対称	平等	を割り算する、以下
反対称ではない	モジュラー算術における合同性	// (整数除算)、ほとんどの非自明な順列

数学以外の例
	対称的	対称ではない
反対称	同一人物であり、結婚している	はの複数形です
反対称ではない	実の兄弟である	捕食する

プロパティ

対称的かつ推移的な関係は常に準反射的である。^[a]
n要素の対称関係を数える1つの方法は、バイナリ行列表現において右上の三角形が関係を完全に決定し、それが任意に与えられるため、n × nバイナリ上三角行列と同じ数の対称関係、つまり2n ^{( n + 1)/2}が存在するというものである。^[3]

異なるタイプのn要素の二項関係の数
要素	どれでも	推移的	反射的	対称的	予約注文	半順序	合計予約数	合計注文	同値関係
0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	2	1	1	1	1	1
2	16	13	4	8	4	3	3	2	2
3	512	171	64	64	29	19	13	6	5
4	65,536	3,994	4,096	1,024	355	219	75	24	15
n	2n2		2 ^{n ( n −1)}	2 ^{n ( n +1)/2}			∑ⁿ _{k =0} k ! S ( n , k )	ん！	∑ⁿ _{k =0} S ( n , k )
OEIS	A002416	A006905	A053763	A006125	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

S ( n , k )は第2種スターリング数を指すことに注意してください。

注記

^ xRyならば、対称性によりyRxとなり、推移性によりxRxとなる。xRy ⇒ yRyの証明も同様である。

参考文献

^ ab ビッグス、ノーマン・L. (2002).離散数学. オックスフォード大学出版局. p. 57. ISBN 978-0-19-871369-2。
^ "MAD3105 1.2".フロリダ州立大学数学科. フロリダ州立大学. 2024年3月30日閲覧。
^ Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA006125」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.

参照

交換法則 – いくつかの数学演算の性質
数学における対称性
対称性 – 変換に対する数学的不変性

[3] xRyならば、対称性によりyRxとなり、推移性によりxRxとなる。xRy ⇒ yRyの証明も同様である。

[:0-1] ビッグス、ノーマン・L. (2002).離散数学. オックスフォード大学出版局. p. 57. ISBN 978-0-19-871369-2。

[Characterization_of_Symmetric_Relations-2] "MAD3105 1.2".フロリダ州立大学数学科. フロリダ州立大学. 2024年3月30日閲覧。

[4] Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA006125」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.