Electrical resonant circuit
LC回路図 LC 回路は 、 共振回路 、 タンク回路 、 同調回路とも呼ばれ、 インダクタ （L）と コンデンサ（C）が接続された 電気回路 です。この回路は、 音叉 の電気的類似物 である電気 共振器 として機能し 、回路の 共振周波数 で振動するエネルギーを蓄えます。
LC回路は、特定の周波数の信号を生成するため、またはより複雑な信号から特定の周波数の信号を取り出すために用いられます。この機能は バンドパスフィルタ と呼ばれます。LC回路は多くの電子機器、特に無線機器の重要な部品であり、 発振器 、 フィルタ 、 チューナー 、 周波数ミキサー などの回路に用いられます。
LC回路は、抵抗 によるエネルギーの散逸がないと仮定しているため、理想的なモデルです 。LC回路を実際に実装する場合、部品や接続配線内の小さいながらもゼロではない抵抗によって生じる損失が必ず含まれます。LC回路の目的は通常、最小限の 減衰 で発振することであるため、抵抗は可能な限り低く抑えられます。実際の回路には損失が全くないものの、この理想的な回路形態を研究することは、理解と物理的な直観を得る上で有益です。抵抗を組み込んだ回路モデルについては、 RLC回路を 参照してください。
用語 上で説明した2素子LC回路は、 インダクタ・コンデンサ回路網 （ LC回路網）の中で最も単純なタイプです。これは、より多くのインダクタとコンデンサを含むより複雑な（高次）LC回路網と区別するために 、2次LC回路網 [1] [2] とも呼ばれます。 このような2つ以上のリアクタンスを持つLC回路網は、複数の 共振周波数 を持つ場合があります。
ネットワークの次数は、 複素周波数 変数 s におけるネットワークを記述する 有理関数 の次数です。一般に、次数は回路内のL要素とC要素の数に等しく、いかなる場合でもこの数を超えることはできません。
手術 同調回路 （LC回路）の動作を示すアニメーション図 。コンデンサCは 電界 E にエネルギーを蓄え、インダクタLは 磁界 B （ 緑色 ） にエネルギーを蓄えます。このアニメーションは、回路の振動の進行段階を示しています。振動は遅くなっていますが、実際の同調回路では、電荷は毎秒数千回から数十億回往復することがあります。 LC回路は、固有 共振周波数で振動することで 電気エネルギーを 蓄えることができます 。アニメーションをご覧ください。コンデンサは、両端の 電圧に応じてプレート間の 電界 （ E ）にエネルギーを蓄え、インダクタは 、流れる 電流に応じて 磁界 （ B ） にエネルギーを蓄えます。
充電されたコンデンサにインダクタを接続すると、コンデンサにかかる電圧によってインダクタに電流が流れ、周囲に磁場が発生します。電流によって電荷が消費されると、コンデンサにかかる電圧はゼロに低下します。この時点で、インダクタは電流の変化に抵抗するため、コイルの磁場に蓄えられたエネルギーによってコイルに電圧が発生します。この誘導電圧により、電流が流れ、元の電荷とは極性が逆の電圧でコンデンサを再充電し始めます。 ファラデーの法則 により、電流を駆動する 起電力 は磁場の減少によって発生するため、コンデンサを充電するために必要なエネルギーは磁場から抽出されます。磁場が完全に消散すると電流は止まり、以前と同じように極性が逆の電荷がコンデンサに再び蓄えられます。その後、このサイクルが再び始まり、電流がインダクタを逆方向に流れます。
電荷はインダクタを通ってコンデンサのプレート間を行き来します。エネルギーはコンデンサとインダクタの間を前後に振動しますが、（外部回路から補充されなければ）内部 抵抗 によって振動が止まります。同調回路の動作は数学的には 調和振動子と呼ばれ、 振り子が 前後に揺れたり、水槽の中で水が前後に跳ねたりする のと似ています。このため、この回路は タンク回路 とも呼ばれます。 [3] 固有周波数 （ つまり、上記のように他のシステムから分離された場合に振動する周波数）は、静電容量とインダクタンスの値によって決まります。ほとんどのアプリケーションでは、同調回路は 交流 を印加して連続振動を駆動する、より大きな回路の一部です。印加電流の周波数が回路の固有共振周波数（下記の 固有周波数 ）である場合、 共振 が発生し、小さな駆動電流で大きな振幅の振動電圧と電流を励起することができます。電子機器の一般的な同調回路では、振動は毎秒数千回から数十億回と非常に高速です。 [ 要出典 ] f 0 {\displaystyle f_{0}\,}
共鳴効果 共振は 、LC回路が外部電源から角周波数 ω 0 で駆動され、その角周波数において誘導性リアクタンスと容量性 リアクタンスの 大きさが等しくなるときに発生します。この等式が成り立つ特定の回路の周波数を共振周波数と呼びます。LC 回路の 共振周波数は
ω 0 = 1 L C , {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},} ここで、 L は ヘンリー単位 の インダクタンス 、 Cは ファラッド単位 の静 電容量 です 。 角周波数 ω 0 の単位は ラジアン /秒です。
等価周波数は ヘルツ 単位で
f 0 = ω 0 2 π = 1 2 π L C . {\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}.}
アプリケーション 1938年の 短波 ラジオ送信機 の出力同調回路 電波時計 の受信機の同調回路として使用されるフェライトコイルとコンデンサからなる LC回路 （左） LC 回路の共振効果は、信号処理および通信システムにおいて多くの重要な用途があります。
タンク回路の最も一般的な用途は、無線送信機と受信機の チューニング です。例えば、ラジオを特定の放送局に合わせる場合、LC回路は特定の 搬送周波数 に対して共振状態に設定されます。 直列 共振回路は電圧増幅を提供 し ます 。 並列 共振回路により 電流 増幅が 行われます。 並列共振回路は、RFアンプの出力回路の負荷インピーダンスとして使用できます。 高インピーダンス のため、共振周波数でアンプのゲインが最大になります。 誘導加熱 では並列共振回路と直列共振回路の両方が使用されます 。 LC 回路は電子 共振器 として動作し、多くのアプリケーションで重要なコンポーネントとなります。
時間領域ソリューション
キルヒホッフの法則 キルヒホッフの電圧法則 によれば 、コンデンサの両端の電圧 V C とインダクタの両端の 電圧 V L の合計はゼロに等しくなければなりません。
V C + V L = 0. {\displaystyle V_{C}+V_{L}=0.} 同様に、 キルヒホッフの電流法則 により、コンデンサを流れる電流はインダクタを流れる電流に等しくなります。
I C = I L . {\displaystyle I_{C}=I_{L}.} 回路要素の構成関係から、次のことも分かります。
V L ( t ) = L d I L d t , I C ( t ) = C d V C d t . {\displaystyle {\begin{aligned}V_{L}(t)&=L{\frac {\mathrm {d} I_{L}}{\mathrm {d} t}},\\I_{C}(t)&=C{\frac {\mathrm {d} V_{C}}{\mathrm {d} t}}.\end{aligned}}}
微分方程式 整理して代入すると2階 微分方程式が得られる。
d 2 d t 2 I ( t ) + 1 L C I ( t ) = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+{\frac {1}{LC}}I(t)=0.} 共振 角周波数の パラメータ ω 0 は次のように定義される。
ω 0 = 1 L C . {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.} これを使うと微分方程式を簡略化できます。
d 2 d t 2 I ( t ) + ω 0 2 I ( t ) = 0. {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}I(t)+\omega _{0}^{2}I(t)=0.} 関連する ラプラス変換 は
s 2 + ω 0 2 = 0 , {\displaystyle s^{2}+\omega _{0}^{2}=0,} したがって
s = ± j ω 0 , {\displaystyle s=\pm j\omega _{0},} ここで、 jは 虚数単位 です 。
解決 したがって、微分方程式の完全な解は
I ( t ) = A e + j ω 0 t + B e − j ω 0 t {\displaystyle I(t)=Ae^{+j\omega _{0}t}+Be^{-j\omega _{0}t}} 初期条件を考慮することで、 A と B について解くことができます 。指数関数は 複素数 なので、解は正弦波状の 交流電流 を表します。電流 Iは物理量なので、実数値でなければなりません。結果として、定数 A と Bは 複素共役 でなければならない ことが示されます 。
A = B ∗ . {\displaystyle A=B^{*}.} さて
A = I 0 2 e + j ϕ . {\displaystyle A={\frac {I_{0}}{2}}e^{+j\phi }.} したがって、
B = I 0 2 e − j ϕ . {\displaystyle B={\frac {I_{0}}{2}}e^{-j\phi }.} 次に、 オイラーの公式を使って、 振幅 I 0 、 角周波数 ω 0 = の実 正弦波 を得ることができます。 1 / √LC 、 位相角 。 ϕ {\displaystyle \phi }
したがって、結果として得られる解決策は次のようになります。
I ( t ) = I 0 cos ( ω 0 t + ϕ ) , {\displaystyle I(t)=I_{0}\cos \left(\omega _{0}t+\phi \right),} V L ( t ) = L d I d t = − ω 0 L I 0 sin ( ω 0 t + ϕ ) . {\displaystyle V_{L}(t)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \left(\omega _{0}t+\phi \right).}
初期条件 この結果を満たす初期条件は
I ( 0 ) = I 0 cos ϕ , {\displaystyle I(0)=I_{0}\cos \phi ,} V L ( 0 ) = L d I d t | t = 0 = − ω 0 L I 0 sin ϕ . {\displaystyle V_{L}(0)=L{\frac {\mathrm {d} I}{\mathrm {d} t}}{\Bigg |}_{t=0}=-\omega _{0}LI_{0}\sin \phi .}
直列回路 直列LC回路 LC回路の直列構成では、インダクタ（L）とコンデンサ（C）がここに示すように直列に接続されます。開放端子間の合計電圧 V は、インダクタの両端の電圧とコンデンサの両端の電圧の和です。回路の正極端子に流れ込む電流 Iは 、コンデンサとインダクタの両方に流れる電流に等しくなります。
V = V L + V C , I = I L = I C . {\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{L}+V_{C},\\I&=I_{L}=I_{C}.\end{aligned}}}
共振 誘導性リアクタンスは 周波数の上昇とともに増加しますが、 容量性リアクタンスは 周波数（ここでは正の値として定義）の上昇とともに減少します。ある特定の周波数において、これら2つのリアクタンスは等しく、それらの両端の電圧は等しく、符号が逆になります。この周波数は、与えられた回路の共振周波数 f 0 と呼ばれます。 X L = ω L {\displaystyle \ X_{\mathsf {L}}=\omega L\ } X C = 1 ω C {\displaystyle \ X_{\mathsf {C}}={\frac {1}{\ \omega C\ }}\ }
したがって、共鳴時に、
X L = X C , ω L = 1 ω C . {\displaystyle {\begin{aligned}X_{\mathsf {L}}&=X_{\mathsf {C}}\ ,\\\omega L&={\frac {1}{\ \omega C\ }}~.\end{aligned}}} ω について解くと 、
ω = ω 0 = 1 L C , {\displaystyle \omega =\omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,} これは回路の共振角周波数として定義されます。角周波数（ラジアン/秒）を周波数（ ヘルツ ）に変換すると、
f 0 = ω 0 2 π = 1 2 π L C , {\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,} そして
X L 0 = X C 0 = L C {\displaystyle X_{{\mathsf {L}}0}=X_{{\mathsf {C}}0}={\sqrt {{\frac {\ L\ }{C}}\;}}} で 。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
直列構成では、 X C と X L は 互いに打ち消し合います。理想化された部品ではなく、実際の部品では、主にコイル巻線の抵抗によって電流は逆方向に流れます。したがって、直列共振回路に供給される電流は共振時に最大になります。
f → f 0 の 極限では 電流は最大となり、回路インピーダンスは最小となる。この状態の回路は アクセプタ回路と呼ばれる [4]。 f < f 0 の場合 、 X L ≪ X C なので、回路は容量性です。 f > f 0 の場合 、 X L ≫ X C なので、回路は誘導性です。
インピーダンス 直列構成では、回路の複素電気インピーダンスがゼロに近づくと共振が発生します。
まず、直列LC回路の インピーダンスを 考えてみましょう。全体のインピーダンスは、誘導性インピーダンスと容量性インピーダンスの和で表されます。
Z = Z L + Z C . {\displaystyle Z=Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}~.} 誘導性インピーダンスを Z L = jωL 、容量性インピーダンスを Z C = と書きます。 1 / jωC そして代入すると
Z ( ω ) = j ω L + 1 j ω C . {\displaystyle Z(\omega )=j\omega L+{\frac {1}{\ j\omega C\ }}~.} この式を共通分母で書くと
Z ( ω ) = j ( ω 2 L C − 1 ω C ) . {\displaystyle Z(\omega )=j\left({\frac {\ \omega ^{2}LC-1\ }{\omega C}}\right)~.} 最後に、固有角周波数を次のように定義します。
ω 0 = 1 L C , {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,} インピーダンスは
Z ( ω ) = j L ( ω 2 − ω 0 2 ω ) = j ω 0 L ( ω ω 0 − ω 0 ω ) = j 1 ω 0 C ( ω ω 0 − ω 0 ω ) , {\displaystyle Z(\omega )=j\ L\ \left({\frac {\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }{\omega }}\right)=j\ \omega _{0}L\ \left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)=j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\ }}\left({\frac {\omega }{\ \omega _{0}\ }}-{\frac {\ \omega _{0}\ }{\omega }}\right)\ ,} ここで、 共振時のインダクタのリアクタンスを表します。 ω 0 L {\displaystyle \,\omega _{0}L\ \,}
分子は、 ω → ± ω 0 の極限では 全インピーダンス Z が ゼロになり、それ以外の場合はゼロにならないことを意味します。したがって、直列LC回路は、負荷と直列に接続されると、 LC回路の共振周波数においてインピーダンスがゼロとなる バンドパスフィルタ として動作します。
並列回路 並列LC回路 インダクタ（L）とコンデンサ（C）がここに示すように並列に接続されている場合、開放端子間の電圧 Vは 、インダクタの両端の電圧とコンデンサの両端の電圧の両方に等しくなります。回路の正極端子に流入する電流 Iは 、インダクタを流れる電流とコンデンサを流れる電流の合計に等しくなります。
V = V L = V C , I = I L + I C . {\displaystyle {\begin{aligned}V&=V_{\mathsf {L}}=V_{\mathsf {C}}\ ,\\I&=I_{\mathsf {L}}+I_{\mathsf {C}}~.\end{aligned}}}
共振 X L が X C に等しい 場合 、2 つの分岐電流は等しく、向きが反対です。これらの電流は互いに打ち消し合い、主線路の電流は最小になります（原理的には、有限の電圧 V の場合、電流はゼロです）。主線路の全電流が最小であるため、この状態では全インピーダンスは最大になります。また、コンデンサとインダクタで形成されるループには、より大きな電流が循環しています。有限の電圧 V の場合、この循環電流は有限であり、その値はコンデンサとインダクタのそれぞれの電圧と電流の関係によって決まります。ただし、主線路の全電流 I が 有限である場合、原理的には循環電流は無限大になります。実際には、この場合の循環電流は回路抵抗、特にインダクタ巻線の抵抗によって制限されます。
共振周波数は次のように与えられる。
f 0 = ω 0 2 π = 1 2 π L C . {\displaystyle f_{0}={\frac {\omega _{0}}{\ 2\pi \ }}={\frac {1}{\ 2\pi {\sqrt {LC\;}}\ }}~.} どの分岐電流も共振点では最小値にはなりませんが、それぞれの分岐電流は電源電圧（ V ）をリアクタンス（ Z ）で割ることで個別に与えられます 。したがって、 I = V / Z 、オームの法則 に従って 。
f 0 では 、線路電流は最小となり、全インピーダンスは最大となる。この状態の回路は リジェクタ回路 と呼ばれる。 [5] f 0 未満では 、回路は誘導性になります。 f 0 を超えると 、回路は容量性になります。
インピーダンス 同じ解析を並列LC回路にも適用すると、全体のインピーダンスは次のように表される。
Z = Z L Z C Z L + Z C , {\displaystyle Z={\frac {\ Z_{\mathsf {L}}Z_{\mathsf {C}}\ }{Z_{\mathsf {L}}+Z_{\mathsf {C}}}}\ ,} そして、 Z L = j ω L および Z C = を代入すると、 1 / jωC そして簡素化により、
Z ( ω ) = − j ⋅ ω L ω 2 L C − 1 . {\displaystyle Z(\omega )=-j\cdot {\frac {\omega L}{\ \omega ^{2}LC-1\ }}~.} 使用
ω 0 = 1 L C , {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\ {\sqrt {LC\;}}\ }}\ ,} さらに単純化すると
Z ( ω ) = − j ( 1 C ) ( ω ω 2 − ω 0 2 ) = + j 1 ω 0 C ( ω 0 ω − ω ω 0 ) = + j ω 0 L ( ω 0 ω − ω ω 0 ) . {\displaystyle Z(\omega )=-j\ \left({\frac {1}{\ C\ }}\right)\left({\frac {\omega }{\ \omega ^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\right)=+j\ {\frac {1}{\ \omega _{0}C\left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}=+j\ {\frac {\omega _{0}L}{\ \left({\tfrac {\omega _{0}}{\omega }}-{\tfrac {\omega }{\omega _{0}}}\right)\ }}~.} ご了承ください
lim ω → ω 0 Z ( ω ) = ∞ , {\displaystyle \lim _{\omega \to \omega _{0}}Z(\omega )=\infty \ ,} しかし、 ω の他のすべての値に対しては インピーダンスは有限です。
したがって、負荷と直列に接続された並列 LC 回路は、 LC 回路の共振周波数で無限のインピーダンスを持つ バンドストップ フィルタとして機能しますが、負荷と並列に接続された並列 LC 回路は バンドパス フィルタ として機能します 。
ラプラス解 LC 回路は ラプラス変換 を使用して解くことができます。
まず、通常の方法でコンデンサとインダクタの電流と電圧の関係を定義します。
v C ( t ) = v ( t ) , {\displaystyle v_{\mathrm {C} }(t)=v(t)\ ,~} i ( t ) = C d v C d t , {\displaystyle i(t)=C\ {\frac {\mathrm {d} \ v_{\mathrm {C} }}{\mathrm {d} t}}\ ,~} そして v L ( t ) = L d i d t . {\displaystyle ~v_{\mathrm {L} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}\;.} そして、キルヒホッフの法則を適用することで、システムを支配する微分方程式に到達する。
v i n ( t ) = v L ( t ) + v C ( t ) = L d i d t + v = L C d 2 v d t 2 + v . {\displaystyle v_{in}(t)=v_{\mathrm {L} }(t)+v_{\mathrm {C} }(t)=L\ {\frac {\mathrm {d} \ i}{\mathrm {d} t}}+v=L\ C\ {\frac {\mathrm {d} ^{2}\ v}{\mathrm {d} t^{2}}}+v\;.} 初期条件 と v ( 0 ) = v 0 {\displaystyle \ v(0)=v_{0}\ } i ( 0 ) = i 0 = C ⋅ v ′ ( 0 ) = C ⋅ v 0 ′ . {\displaystyle \ i(0)=i_{0}=C\cdot v'(0)=C\cdot v'_{0}\;.}
以下のように定義すると、
ω 0 ≡ 1 L C {\displaystyle \omega _{0}\equiv {\frac {1}{\ {\sqrt {L\ C\ }}}}~} そして f ( t ) ≡ ω 0 2 v i n ( t ) {\displaystyle ~f(t)\equiv \omega _{0}^{2}\ v_{\mathrm {in} }(t)} 与える
f ( t ) = d 2 v d t 2 + ω 0 2 v . {\displaystyle f(t)={\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\;.} ここでラプラス変換を適用します。
L [ f ( t ) ] = L [ d 2 v d t 2 + ω 0 2 v ] , {\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,} F ( s ) = s 2 V ( s ) − s v 0 − v 0 ′ + ω 0 2 V ( s ) . {\displaystyle F(s)=s^{2}\ V(s)-s\ v_{0}-v'_{0}+\omega _{0}^{2}\ V(s)\;.} ラプラス変換により、微分方程式は代数方程式に変換されます。s 領域（ 周波数 領域 ）で V を解くのははるかに簡単です。
V ( s ) = s v 0 + v 0 ′ + F ( s ) s 2 + ω 0 2 {\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}+v'_{0}+F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}} V ( s ) = s v 0 s 2 + ω 0 2 + v 0 ′ s 2 + ω 0 2 + F ( s ) s 2 + ω 0 2 , {\displaystyle V(s)={\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\,,} これは逆ラプラス変換によって時間領域に戻すことができます。
v ( t ) = L − 1 [ V ( s ) ] {\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]} v ( t ) = L − 1 [ s v 0 s 2 + ω 0 2 + v 0 ′ s 2 + ω 0 2 + F ( s ) s 2 + ω 0 2 ] , {\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],} 2番目の加数には、同等の分数が 必要です。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
v ( t ) = v 0 L − 1 [ s s 2 + ω 0 2 ] + v 0 ′ L − 1 [ ω 0 ω 0 ( s 2 + ω 0 2 ) ] + L − 1 [ F ( s ) s 2 + ω 0 2 ] , {\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],} 2番目の加数には、同等の分数が 必要です。 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}}
v ( t ) = v 0 L − 1 [ s s 2 + ω 0 2 ] + v 0 ′ ω 0 L − 1 [ ω 0 ( s 2 + ω 0 2 ) ] + L − 1 [ F ( s ) s 2 + ω 0 2 ] , {\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],} v ( t ) = v 0 cos ( ω 0 t ) + v 0 ′ ω 0 sin ( ω 0 t ) + L − 1 [ F ( s ) s 2 + ω 0 2 ] {\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]} 最後の項は入力電圧の正確な形状に依存します。一般的な例としては、 ヘビサイドのステップ関数 と 正弦波 があります。ヘビサイドのステップ関数の場合、以下の式が得られます。
v i n ( t ) = M u ( t ) , {\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=M\ u(t)\,,} L − 1 [ ω 0 2 V i n ( s ) s 2 + ω 0 2 ] = L − 1 [ ω 0 2 M 1 s ( s 2 + ω 0 2 ) ] = M ( 1 − cos ( ω 0 t ) ) , {\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,} v ( t ) = v 0 cos ( ω 0 t ) + v 0 ′ ω 0 sin ( ω 0 t ) + M ( 1 − cos ( ω 0 t ) ) . {\displaystyle v(t)=v_{0}\ \cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)+M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\;.} 正弦関数を入力とした場合、次のようになります。
v i n ( t ) = U sin ( ω f t ) ⇒ V i n ( s ) = U ω f s 2 + ω f 2 {\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)=U\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\Rightarrow V_{\mathrm {in} }(s)={\frac {\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\,} ここで、は適用された関数の 振幅と 周波数です。 U {\displaystyle U} ω f {\displaystyle \omega _{f}}
L − 1 [ ω 0 2 1 s 2 + ω 0 2 U ω f s 2 + ω f 2 ] {\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]} 部分分数法を使用する:
L − 1 [ ω 0 2 U ω f 1 s 2 + ω 0 2 1 s 2 + ω f 2 ] = L − 1 [ ω 0 2 U ω f A + B s s 2 + ω 0 2 + C + D s s 2 + ω f 2 ] {\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]} 双方の簡素化
1 = ( A + B s ) ( s 2 + ω f 2 ) + ( C + D s ) ( s 2 + ω 0 2 ) {\displaystyle 1=(A+Bs)(\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C+Ds)(\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ )} 1 = ( A s 2 + A ω f 2 + B s 3 + B ω f 2 ) + ( C s 2 + C ω 0 2 + D s 3 + D s ω 0 2 ) {\displaystyle 1=(A\ s^{2}+\ A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ B\ s^{3}+\ B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ )+(C\ s^{2}+\ C\ \omega _{0}^{2}\ +\ D\ s^{3}+\ D\ s\omega _{0}^{2}\ )} 1 = s 3 ( B + D ) + s 2 ( A + C ) + s ( B ω f 2 + D ω 0 2 ) + ( A ω f 2 + C ω 0 2 ) {\displaystyle 1=s^{3}(B\ +\ D\ )+s^{2}(A\ +\ C)+s(B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2})+(A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2})} A、B、Cについて方程式を解きます。
A + C = 0 ⇒ C = − A {\displaystyle A+C=0\Rightarrow C=-A} A ω f 2 + C ω 0 2 = 1 ⇒ A ω f 2 − A ω 0 2 = 1 {\displaystyle A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ +\ C\ \omega _{0}^{2}=1\Rightarrow A\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\ A\ \omega _{0}^{2}=1} ⇒ A = 1 ( ω f 2 − ω 0 2 ) {\displaystyle \Rightarrow A\ ={\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}} ⇒ C = − 1 ( ω f 2 − ω 0 2 ) {\displaystyle \Rightarrow C\ =-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}} B + C = 0 {\displaystyle B+C=0} B ω f 2 + D ω 0 2 = 0 ⇒ B ω f 2 − B ω 0 2 = 0 ⇒ B ( ω f 2 − ω 0 2 ) = 0 {\displaystyle B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}+\ D\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\ B\ \omega _{0}^{2}=0\Rightarrow B\ (\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2})=0} ⇒ B = 0 , D = 0 {\displaystyle \Rightarrow B=0,\ D=0} A、B、Cの値を代入します。
L − 1 [ ω 0 2 U ω f 1 ( ω f 2 − ω 0 2 ) s 2 + ω 0 2 + − 1 ( ω f 2 − ω 0 2 ) s 2 + ω f 2 ] {\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]} 定数を分離し、同等の分数を使用して分子の不足を調整します。
ω 0 2 U ω f ω f 2 − ω 0 2 L − 1 [ ( ω 0 ω 0 ( s 2 + ω 0 2 ) − ω f ω f ( s 2 + ω f 2 ) ) ] {\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,} 各加数に対して逆ラプラス変換を実行します。
ω 0 2 U ω f ω f 2 − ω 0 2 ( L − 1 [ 1 ω 0 ω 0 ( s 2 + ω 0 2 ) ] − L − 1 [ 1 ω f ω f ( s 2 + ω f 2 ) ] ) {\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,} ω 0 2 U ω f ω f 2 − ω 0 2 ( 1 ω 0 L − 1 [ ω 0 ( s 2 + ω 0 2 ) ] − 1 ω f L − 1 [ ω f ( s 2 + ω f 2 ) ] ) {\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right]\right)\,} v i n ( t ) = ω 0 2 U ω f ω f 2 − ω 0 2 ( 1 ω 0 sin ( ω 0 t ) − 1 ω f sin ( ω f t ) ) , {\displaystyle v_{\mathrm {in} }(t)={\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }\ }{\omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}}}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;,} ラプラス解における初期条件の使用:
v ( t ) = v 0 cos ( ω 0 t ) + v 0 ′ ω 0 sin ( ω 0 t ) + ω 0 2 U ω f ω f 2 − ω 0 2 ( 1 ω 0 sin ( ω 0 t ) − 1 ω f sin ( ω f t ) ) . {\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+{\frac {\omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\ \sin(\omega _{0}\ t)-{\frac {1}{\ \omega _{\mathrm {f} }\ }}\ \sin(\omega _{\mathrm {f} }\ t)\right)\;.}
歴史 コンデンサとインダクタが電気振動を生成できるという最初の証拠は、1826年にフランスの科学者 フェリックス・サヴァリ によって発見されました。 [6] [7] 彼は、 ライデン瓶 に鉄の針を巻いた導線を通して放電させると、針が一方向に磁化され、反対方向に磁化されることを発見しました。彼は、これが導線内の減衰振動放電電流によって引き起こされ、針の磁化が影響を及ぼさないほど小さくなるまで前後に反転し、針がランダムな方向に磁化されることを正しく推測しました。アメリカの物理学者 ジョセフ・ヘンリーは 1842年にサヴァリの実験を繰り返し、明らかに独立して同じ結論に達しました。 [8] [9]
アイルランドの科学者 ウィリアム・トムソン （ケルビン卿）は1853年に、インダクタンスを通じたライデン瓶の放電は振動的であるはずであることを数学的に示し、その共振周波数を導出した。 [6] [8] [9] イギリスの無線研究者 オリバー・ロッジは 、ライデン瓶の大きな電池を長い導線を通して放電させることで、共振周波数が可聴範囲にある同調回路を作り出し、放電時に火花から楽音を発生させた。 [8] 1857年、ドイツの物理学者 ベレント・ヴィルヘルム・フェダーセンは 、回転鏡の中で共振するライデン瓶回路によって発生した火花を写真に撮り、振動の目に見える証拠を示した。 [6] [8] [9] 1868年、スコットランドの物理学者 ジェームズ・クラーク・マクスウェルは 、インダクタンスと静電容量を持つ回路に交流電流を流す効果を計算し、共振周波数で応答が最大になることを示した。 [6] 電気 共振 曲線の最初の例は、1887年にドイツの物理学者 ハインリッヒ・ヘルツ が電波の発見に関する先駆的な論文の中で発表したもので、スパークギャップLC共振器検出器から得られるスパークの長さを周波数の関数として示していました。 [6]
同調回路間の共振 を初めて実証した例の一つは、 1889年頃のロッジによる「シントニック・ジャー」実験である [6] [8]。 彼は2つの共振回路を隣り合わせに設置した。それぞれの共振回路は、スパークギャップを有する調整可能な1ターンコイルに接続されたライデン瓶で構成されていた。 誘導コイル から高電圧を一方の同調回路に印加すると、スパークが発生し、それによって振動電流が発生する。すると、もう一方の同調回路では、回路が共振するように調整された場合にのみスパークが励起された。ロッジや一部のイギリスの科学者はこの効果を「 シントニー」という用語で表現したが、最終的には「 共振 」という用語が定着した [6] 。LC 回路が初めて実用化されたのは1890年代、 スパークギャップ無線送信機 において受信機と送信機を同じ周波数に同調させるのに用いられた時であった。同調を可能にする無線システムの最初の特許は、1897年にロッジによって出願されたが、最初の実用的なシステムは1900年にイタリアの無線の先駆者である グリエルモ・マルコーニによって発明された [6] 。
参照
参考文献 ^ マカロフ, セルゲイ・N.; ルートヴィヒ, ラインホールド; ビタール, スティーブン・J. (2016). 実用電気工学. シュプリンガー. pp. X-483. ISBN 9783319211732 。 ^ Dorf, Richard C.; Svoboda, James A. (2010). 『電気回路入門』第8版. John Wiley and Sons. p. 368. ISBN 9780470521571 。 ^ Rao, B. Visvesvara; et al. (2012). 電子回路解析. インド: Pearson Education India. p. 13.6. ISBN 978-9332511743 。 ^ 「アクセプタ回路とは何か？」 qsstudy.com . 物理学. ]。 ^ 「rejector circuit」. Oxford Dictionaries. 英語 . 2018年9月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2018年9月20日 閲覧 。 ^ abcdefgh ブランチャード、ジュリアン（1941年10月）「電気共鳴の歴史」 ベルシステム技術ジャーナル 20 （ 4）米国：アメリカン・テレフォン・アンド・テレグラフ社： 415–433 . doi :10.1002/j.1538-7305.1941.tb03608.x. S2CID 51669988 . 2011年3月 29日閲覧 。 ^ サヴァリー、フェリックス (1827)。 「愛の回想録」。 アナール・ド・シミーとフィジーク 。 ３４ ．パリ: マソン: 5–37 。 ^ abcde キンボール、アーサー・ラランヌ (1917). 『大学物理学教科書（第2版）』 ニューヨーク: ヘンリー・ホールド. pp. 516–517. ^ abc Huurdeman、アントン A. (2003)。電気通信の世界史。米国: ワイリー-IEEE。ページ 199–200。ISBN 0-471-20505-2 。
外部リンク Wikibook の Circuit Ideaには 、「正弦波振動をどのように作成するのか」 というトピックに関するページがあります。
トニー・クファルトによる電気振り子は、LCタンクの操作に関する古典的な物語です。 並列 LC 回路がどのようにエネルギーを蓄えるかは、もう 1 つの優れた LC リソースです。
![{\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} \left[\ f(t)\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} \left[\ {\frac {\ \mathrm {d} ^{2}\ v\ }{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega _{0}^{2}\ v\ \right]\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a391201008414c25df88394832e0e490f5414931)
![{\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ V(s)\ \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a286ba7a8f365b2724eb89bb6ad217caa8fe947)
![{\displaystyle v(t)=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\ s\ v_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {v'_{0}}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}+{\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a4229c5d05bf427ed221c6c3911ae604e5499bb)
![{\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+v'_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8385d18852dd4d0d38118f760f6a8aa29f185b7b)
![{\displaystyle v(t)=v_{0}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {s}{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right]+{\frac {v'_{0}}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\ \right]+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)\ }{s^{2}+\omega _{0}^{2}}}\ \right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfb54d7a9f9266012226de6643d132b674f04c09)
![{\displaystyle v(t)=v_{0}\cos(\omega _{0}\ t)+{\frac {v'_{0}}{\ \omega _{0}\ }}\ \sin(\omega _{0}\ t)+\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {F(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c2ef1eafa05753fffef7f563bef8b22e5fad66)
![{\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}{\frac {V_{\mathrm {in} }(s)}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ \right]~=~\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ M\ {\frac {1}{\ s\ (s^{2}+\omega _{0}^{2})\ }}\ \right]~=~M\ {\Bigl (}1-\cos(\omega _{0}\ t){\Bigr )}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4deb350b123d98247ee26edffdf81935a85f33c5)
![{\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {U\ \omega _{\mathrm {f} }}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af9b048599ea749e3673f24d3d5ceefd057dbc8b)
![{\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ {\frac {1}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]=\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {A+Bs}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}\ +{\frac {C+Ds}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199234d94c6b13a25c021004335472ce4c4fc976)
![{\displaystyle \operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ \omega _{0}^{2}\ U\ \omega _{\mathrm {f} }{\frac {\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}{\ s^{2}+\omega _{0}^{2}\ }}+{\frac {-{\frac {1}{(\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ -\omega _{0}^{2})}}}{\ s^{2}+\omega _{\mathrm {f} }^{2}\ }}\ \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39df4491a04b15cd672143f62788ed65fca87956)
![{\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\left({\frac {\omega _{0}}{\omega _{0}(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}-{\frac {\omega _{f}}{\omega _{f}(s^{2}+\omega _{f}^{2})}}\right)\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e83ba5307c7b33b9a7d51255bf3ac2a073c4895)
![{\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left(\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[\ {\frac {1}{\omega _{0}}}{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\オメガ_{f}^{2})}}\right]\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2929522b3329bab4c98745741d4c87e4241be080)
![{\displaystyle {\frac {\ \omega _{0}^{2}\ U\omega _{\mathrm {f} }\ }{\ \omega _{\mathrm {f} }^{2}-\omega _{0}^{2}\ }}\left({\frac {1}{\omega _{0}}}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{0}}{(s^{2}+\omega _{0}^{2})}}\right]-{\frac {1}{\omega _{\mathrm {f} }\ }}\operatorname {\mathcal {L}} ^{-1}\left[{\frac {\omega _{\mathrm {f} }\ }{(s^{2}+\オメガ_{f}^{2})}}\right]\right)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b0cdfb2a4990ef9d8d5047e4128aaa0ed484dc)
