分布（数学的解析）

Generalization of the concept of a function

シュワルツ分布とも呼ばれる超関数は、数学解析における一般化関数の一種です。超関数は、古典的な意味での微分が存在しない関数の微分を可能にします。特に、局所的に積分可能な関数は、超関数微分を持ちます。

偏微分方程式の理論では、分布解（弱解）の存在を証明する方が古典解よりも容易であったり、適切な古典解が存在しないような場合に、分布は広く用いられています。また、物理学や工学においても、多くの問題がディラックのデルタ関数のように、解や初期条件が特異な微分方程式に自然につながるため、分布は重要です。

関数は 通常、関数定義域内の点を点⁠ ⁠に「送る」ことによって、関数定義域内の点に作用すると考えられています。分布理論では、点に作用する代わりに、関数などの関数を、特定の方法でテスト関数に作用するものと再解釈します。物理学や工学への応用では、テスト関数は通常、コンパクトサポートを持つ無限微分可能な複素値（または実数）関数であり、与えられた空でない開部分集合⁠ ⁠上で定義されます。（バンプ関数はテスト関数の例です。）このようなテスト関数全体の集合は、または⁠ ⁠で表されるベクトル空間を形成します。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$

を用いる場合のすべての連続写像を含む、最も一般的に遭遇する関数は、 「テスト関数に対する積分」を介して作用するものとして正準的に再解釈できます。明示的には、このような関数は、テスト関数をしばしば⁠ ⁠で表される数に「送る」ことによってテスト関数に「作用」することを意味します。この新しい作用は、テスト関数⁠ ⁠の空間を定義域とするスカラー値写像を定義します。この関数は、上の分布として知られる2つの定義特性を持つことがわかります。それは線型であり、また、 が正準LF位相と呼ばれる特定の位相を与えられた場合に連続です。この分布のテスト関数への作用（積分）は、単一の点における分布の値が明確に定義されていない場合でも、テスト関数のサポート上の分布の加重平均として解釈できます。このように関数から生じる分布は、分布の典型的な例ですが、どの関数に対する積分でも定義できない分布も数多く存在します。後者の例としては、ディラックのデルタ関数や、 ⁠ ⁠上の特定の測度に対するテスト関数の積分によって作用するように定義された分布などが挙げられます。しかしながら、任意の分布を、そのような積分作用によって生じるより単純な関連分布族に還元することは常に可能です。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle U:=\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx,}$ ${\displaystyle D_{f}(\psi )}$ ${\textstyle \psi \mapsto D_{f}(\psi )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{\mathbb {R} }f\,\psi \,dx}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\textstyle \psi \mapsto \int _{U}\psi d\mu }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U}$

より一般的には、上の超関数 ${\displaystyle U}$は定義により、が標準LF位相を持つとき連続となる上の線型汎関数である。 上の超関数全体の成す空間は通常⁠ ⁠で表される。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)=C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

検定関数および超関数の空間上の適切な位相の定義は、検定関数および超関数の空間に関する記事で与えられています。この記事では、主に超関数の定義、その性質、そしていくつかの重要な例について扱います。

歴史

分布の実用化は、1830年代にグリーン関数を用いて常微分方程式を解くことにまで遡りますが、形式化されるのはずっと後になってからでした。コルモゴロフとフォミン（1957）によると、一般化関数はセルゲイ・ソボレフ （1936）による二階双 曲型偏微分方程式の研究に端を発し、その概念は1940年代後半にローラン・シュワルツによって幾分拡張された形で発展しました。自伝によると、シュワルツは電荷分布（おそらく点電荷だけでなく双極子なども含む）との類推から「分布」という用語を導入しました。ゴーディング（1997）は、シュワルツ（1951）の画期的な著書における概念は全く新しいものではないものの、分布が解析のほぼあらゆる場面で有用であるというシュワルツの広範なアプローチと確信こそが、大きな違いをもたらしたと述べています。分布理論の詳細な歴史は、Lützen (1982) によって説明されています。

表記

この記事では、以下の表記法を使用します。

• ${\displaystyle n}$は固定された正の整数であり、ユークリッド空間⁠ ⁠の固定された空でない開部分集合です。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}=\{0,1,2,\ldots \}}$自然数を表します。
• ${\displaystyle k}$は負でない整数または⁠ ⁠ ${\displaystyle \infty }$を表します。
• が関数の場合、その定義域を表し、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$で表されるのサポートは⁠⁠における集合の閉包として定義されます。 ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f),}$ ${\displaystyle \{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Dom} (f)}$
• 2 つの関数の場合、次の表記法は標準的なペアリングを定義します。 ${\displaystyle f,g:U\to \mathbb {C} ,}$ $${\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.}$$
• サイズのマルチインデックス はの要素です（ が固定であると仮定し、マルチインデックスのサイズが省略された場合は、サイズは とみなされます）。マルチインデックスの長さは と定義され、 ⁠ ⁠で表されます。マルチインデックスは、複数の変数の関数を扱うときに特に便利です。具体的には、特定のマルチインデックス⁠ ⁠に対して次の表記を導入します。また、すべての⁠ ⁠に対してである場合にのみ、すべてのマルチインデックスの半順序を によって導入します。マルチインデックスの二項係数を と定義すると、 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \vert \alpha \vert }$ ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ ${\displaystyle \beta _{i}\geq \alpha _{i}}$ ${\displaystyle 1\leq i\leq n}$ ${\displaystyle \beta \geq \alpha }$ $${\displaystyle {\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.}$$

検定関数と分布の定義

この節では、 U上の実数値超関数を定義するために必要ないくつかの基本的な概念と定義を導入する。テスト関数と超関数の空間上の位相に関する詳細な議論は、テスト関数と超関数の空間に関する記事で述べる。

表記法：

1. させて ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$
2. U上のすべてのk回連続微分可能な実数値または複素数値関数のベクトル空間をとします。 ${\displaystyle C^{k}(U)}$
3. 任意のコンパクト部分集合について、と の両方が、 ⁠ ⁠となるすべての関数のベクトル空間を表すものとします。 ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq K}$
   • の場合、 の定義域はUであり、Kではありません。したがって、 はKとU の両方に依存しますが、通常はKのみが示されます。この一般的な慣習の正当性については、以下で詳しく説明します。この表記法は、表記が曖昧になる可能性がある場合にのみ使用されます。 ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$
   • ⁠ ⁠の場合でも、すべてに定数0マップが含まれます。 ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K=\varnothing }$
4. Uの何らかのコンパクト部分集合Kに対して となるすべての集合をと表記します。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(K)}$
   • 同様に、はコンパクト サポートを持つすべての の集合です。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$
   • ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$は、 ⁠ ⁠のすべてのコンパクト部分集合上の範囲としての全ての和集合に等しい。 ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle U}$
   • が⁠ ⁠上の実数値関数である場合、はの元であり、かつ がバンプ関数である場合に限ります。 ⁠ ⁠ 上のすべての実数値テスト関数は、⁠ ⁠上の複素数値テスト関数でもあります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C^{k}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

バンプ関数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mapsto \Psi (r)}$のグラフ。ここで、⁠ ⁠です。この関数は ⁠ ⁠ 上のテスト関数であり、 ⁠ ⁠の元です。この関数の台は⁠ ⁠内の閉単位円板です。開単位円板上では非ゼロであり、その外側ではどこでも0です。 ${\displaystyle r=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{1/2}}$ ${\displaystyle \Psi (r)=e^{-1/(1-r^{2})}\cdot \mathbf {1} _{\{\vert r\vert <1\}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

⁠ ⁠のすべてのコンパクト部分集合および任意のコンパクト部分集合について、次が成り立ちます。 ${\displaystyle j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{\text{c}}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{if }}j\leq k\\C_{\text{c}}^{k}(U)&\subseteq C_{\text{c}}^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{if }}j\leq k\\\end{aligned}}}$$

定義： の元はU上のテスト関数と呼ばれ、はU上のテスト関数の空間と呼ばれます。この空間を表すためにと の両方を使用します。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$

U上の超関数は、このベクトル空間が標準 LF-位相と呼ばれる特定の位相を持つとき、上の連続線型関数となる。以下の命題は、 上の線型関数の連続性に関する2つの必要十分条件を述べているが、これらは多くの場合簡単に検証できる。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$

命題:上の線形関数 Tが連続であり、したがって分布であるためには、次の同値な条件のいずれかが満たされる必要があります。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$

1. 任意のコンパクト部分集合に対して、定数と（ に依存）が存在し、に含まれる台を持つすべての に対して、^{[1] [2]} ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.}$$
2. すべてのコンパクト部分集合と、そのサポートが⁠ ⁠に含まれるすべてのシーケンスについて、すべてのマルチインデックス⁠ ⁠に対して が一様にゼロに収束する場合、 ⁠ ⁠となります。 ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0}$

トポロジーオンC^け（あなた）

ここで、⁠ ⁠上の位相を定義する半ノルムを導入します。著者によって半ノルムの族は異​​なる場合があるため、以下に最も一般的な族を列挙します。ただし、どの族を使用しても、結果として得られる位相は同じです。 ${\displaystyle C^{k}(U)}$

と⁠ ⁠の任意のコンパクト部分集合を仮定します。は整数で^{[注 1]}、 は長さ⁠ ⁠の多重インデックスであると仮定します。⁠ ⁠に対して、次を定義します。 ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \vert p\vert \leq k}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}}$$

一方、⁠ ⁠ ${\displaystyle K=\varnothing }$の場合は、上記のすべての関数を定数0マップとして定義します。

上記の関数はすべて、⁠ ⁠上の非負 -値^{[注 2]の}半ノルムです。この記事で説明したように、ベクトル空間上のすべての半ノルムの集合は、局所凸ベクトル位相を誘導します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$

次の各半ノルムの集合は、 上で同じ局所凸ベクトル位相を生成します（したがって、たとえば、 の半ノルムによって生成される位相は、の半ノルムによって生成される位相と等しくなります）。 $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

ベクトル空間は、上述の4つの半ノルム族のいずれかによって誘導される局所凸位相を持つ。この位相は、 ⁠ ⁠におけるすべての半ノルムによって誘導されるベクトル位相とも等しい。 ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A,B,C,D}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$

この位相では、は局所凸フレシェ空間になりますが、これはノルム可能ではありません。 のすべての元は⁠ ⁠上で連続半ノルムです。 この位相では、のネットが に収束することと、 を持つすべての多重インデックスとすべてのコンパクト ⁠ ⁠ に対して、偏微分のネットが上で一様収束することとは同値です^[3]の任意の任意の(フォン ノイマン) 有界部分集合はの相対的にコンパクト部分集合です^[4]特に、 の部分集合が有界であることと、それがすべて に対してで有界であることとは同値です^[4]空間がモンテル空間であることと、同値です^[5] ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle A\cup B\cup C\cup D}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle f\in C^{k}(U)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle |p|<k+1}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle \partial ^{p}f}$ ${\displaystyle K.}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},}$ ${\displaystyle C^{k+1}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle k=\infty .}$

のサブセットがこの位相で開いている場合、かつその場合に限り、 ⁠ ⁠によってその上に誘導される部分空間位相が備わっているときに が開いているようなが存在する。 ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{i}(U)}$

トポロジーオンC^け（K）

前回と同様に、 が の任意のコンパクト部分集合である場合、 ${\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).}$

仮定：任意のコンパクト部分集合に対して、フレシェ空間から継承する部分空間位相を備えていると仮定する。 ${\displaystyle K\subseteq U,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$

が有限ならば、ノルムによって定義される位相を持つバナッハ空間^[6]である。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ $${\displaystyle r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).}$$

自明な拡張と独立性C^け（K）のトポロジーからあなた

が の開集合でがコンパクト部分集合であるとする。定義により、 の元は定義域を持つ関数(記号では) であるので、空間とその位相は に依存します。この開集合への依存性を明確にするために、一時的にを と表記します 。重要なのは、集合を( を持つ)別の開集合に変更すると、集合が から に変更されることです^{[注 3]。}したがって、 の元はではなく定義域を持つ関数になります。開集合 ( ) に依存するに もかかわらず、 の標準的な表記法ではこれについて何も触れられていません。このサブセクションで説明するように、空間はのサブスペースとして標準的に識別されるため、これは正当化されます(代数的にも位相的にも)。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U;}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle K\subseteq U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U'),}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle U{\text{ or }}U'}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$

とのいずれかが他方の部分集合である場合、どのように正準的にと を同一視するかを説明すれば十分です。その理由は、と がの任意の開部分集合で を含む場合、その開集合も を含むため、とのそれぞれがと正準的に同一視され、推移性により も と同一視されるからです。したがって、が の開部分集合で を含むと仮定し ます。 ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U:=V\cap W}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V\cap W)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;V)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;W).}$ ${\displaystyle U\subseteq V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K.}$

への自明な拡張を考えると、関数は次のように定義されます。 ${\displaystyle f\in C_{\text{c}}^{k}(U),}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F:V\to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

この自明な拡大は に属し（はコンパクトサポートを持つため）、 で表記される（つまり）。したがって、この割り当てにより、 の自明な拡大に の関数を写像する写像が誘導される。この写像は、のコンパクト部分集合に対して線型射影であり、 である（ただし はのコンパクト部分集合でもあるため）。 ${\displaystyle C^{k}(V)}$ ${\displaystyle f\in C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle I(f)}$ ${\displaystyle I(f):=F}$ ${\displaystyle f\mapsto I(f)}$ ${\displaystyle I:C_{\text{c}}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle K\subseteq U\subseteq V}$ $${\displaystyle I\left(C^{k}(K;U)\right)=C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\qquad I\left(C_{\text{c}}^{k}(U)\right)\subseteq C_{\text{c}}^{k}(V).}$$

が に制限されている場合、次の誘導線型写像は同相写像です（線型同相写像はTVS 同型写像と呼ばれます）。したがって、次の写像は位相的埋め込みです。 ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}C^{k}(K;U)&\to C^{k}(K;V)\\f&\mapsto I(f)\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}C^{k}(K;U)&\to C^{k}(V)\\f&\mapsto I(f).\end{alignedat}}}$$

注入法を用いると、ベクトル空間はの像と正準的に同一視される。この同一視により、はのサブセットとも考えられるからである。したがって、 の位相はの開サブセットとは独立であり、は^[7]を含むため、 の代わりに と書くという慣習が正当化される。 $${\displaystyle I:C_{\text{c}}^{k}(U)\to C^{k}(V)}$$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)\subseteq C_{\text{c}}^{k}(U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle C^{k}(V).}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U).}$

標準的なLFトポロジ

は、 でコンパクト サポートされるのすべての関数を表すことを思い出してください。ここで、 は、のすべてのコンパクト サブセット上の値域としてすべての の和集合であることに留意してください。さらに、各 に対して は、の稠密サブセットです。 の特別なケースでは、 はテスト関数の空間を与えます。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U)}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle k,\,C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle C^{k}(U).}$ ${\displaystyle k=\infty }$

${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$は、上のテスト関数の空間 ${\displaystyle U}$と呼ばれ、 と表記されることもあります。特に断りのない限り、この空間には標準 LF 位相と呼ばれる位相が備わっており、その定義は「テスト関数と超関数の空間」の記事に記載されています。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

正準LF位相は計量化不可能であり、重要な点として、 を誘導する部分空間位相よりも厳密に微細である。しかし、正準LF位相は完全な反射核[8]モンテル[9]ボルノロジー樽型マッキー空間を形成する。同じこと^は、その^強双対空間（つまり、通常の位相を持つすべての超関数の空間）にも当てはまる。正準LF位相は様々な方法で定義できる。 ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$

配布

前述のように、上の連続線形関数は上の超関数として知られています。その他の同等の定義については以下で説明します。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$

定義により、上の超関数 ${\displaystyle U}$は上の連続 線型関数です。言い換えると、 上の超関数は、に標準的な LF 位相が備わっている場合の の連続双対空間の要素です。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$

上の分布と検定関数の間には標準的な双対関係があり、これは山括弧を使って次のように表記される。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U),}$ $${\displaystyle {\begin{cases}{\mathcal {D}}'(U)\times C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}}$$

この表記は、分布が検定関数に作用してスカラーを与えると解釈される。あるいは対称的に、検定関数が分布に作用すると解釈される。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T.}$

分布の特徴

命題: が上の線形関数である場合、以下は同値です。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$

1. Tは分布です。
2. Tは連続です。
3. Tは原点で連続である。
4. Tは一様連続である。
5. Tは有界演算子です。
6. Tは連続的である。
   • 明示的には、 の任意の列が何らかの[^{注 4]}に収束する場合、 ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U),}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);}$
7. Tは原点で連続的である。言い換えれば、Tはヌルシーケンス^[注5]をヌルシーケンスにマッピングする。
   • 明示的には、内の任意のシーケンスが内で原点に収束する場合（このようなシーケンスはヌルシーケンスと呼ばれます）、 ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\textstyle \lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0;}$
   • ヌルシーケンスとは、定義により原点に収束するシーケンスです。
8. T はヌルシーケンスを境界付きサブセットにマッピングします。
   • 明示的に言えば、内の原点に収束するすべてのシーケンスに対して、シーケンスは有界です。 ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
9. Tは Mackey 収束ヌルシーケンスを境界付きサブセットにマッピングします。
   • 明示的には、シーケンス内のすべての Mackey 収束ヌル シーケンスは有界です。 ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle \left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }}$
   • 数列が原点にMackey 収束するとは、その数列が有界となるような正の実数の発散数列が存在する場合である。原点に Mackey 収束する数列はすべて、必然的に原点に収束する (通常の意味で)。 ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty }$ ${\displaystyle \left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$
10. Tの核は、 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U);}$
11. Tのグラフは閉じています。
12. 連続半ノルムが存在し、 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq g;}$
13. 定数と有限部分集合（ここでは 上の標準LF位相を定義する連続半ノルムの任意の集合）が存在し、^[注6] ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle \{g_{1},\ldots ,g_{m}\}\subseteq {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle |T|\leq C(g_{1}+\cdots +g_{m});}$
14. あらゆるコンパクト部分集合に対して定数とが存在し、すべての^[1]に対して ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(K),}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\};}$$
15. あらゆるコンパクト部分集合に対して定数とが存在し、^[10]に含まれる台を持つすべてのものに対して ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle C_{K}>0}$ ${\displaystyle N_{K}\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle f\in C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle K,}$ $${\displaystyle |T(f)|\leq C_{K}\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\};}$$
16. 任意のコンパクト部分集合と任意のシーケンスがすべての多重インデックスに対して一様にゼロに収束する場合、 ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle C^{\infty }(K),}$ ${\displaystyle \{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle p,}$ ${\displaystyle T(f_{i})\to 0;}$

超関数空間上の位相と弱*位相との関係

上のすべての超関数の成す集合は、強双対位相が与えられたときの連続双対空間で表される。重要な点として、特に断りのない限り、上の位相は強双対位相である。位相が弱*位相である場合は、その旨が示される。どちらの位相も計量化可能ではないが、弱*位相とは異なり、強双対位相は完全核空間となる。これは、その望ましい性質のほんの一例である。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

もその強双対もシーケンシャル空間ではないため、どちらの位相もシーケンスで完全に記述することはできません (言い換えると、これらの空間でどのシーケンスが収束するかを定義するだけでは、位相を完全に/正しく定義するのに不十分です)。ただし、のシーケンスが強双対位相で収束するのは、それが弱 * 位相で収束する場合のみです (このため、多くの著者が分布のシーケンスの収束を定義するのに点ごとの収束を使用しています。これはシーケンスの場合は問題ありませんが、分布のネットの収束にまで拡張できるとは限りません。ネットは点ごとに収束するかもしれませんが、強双対位相では収束しないことがあるからです)。 に備わっている位相に関する詳細は、テスト関数と分布の空間に関する記事と、極位相と双対システムに関する記事に記載されています。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

から他の局所凸位相ベクトル空間（任意のノルム空間など）への線型写像が連続であることと、それが原点において連続であることは同値である。しかし、写像が線型でない場合、あるいはより一般的な位相空間（例えば、局所凸位相ベクトル空間ではない）を値とする写像の場合、これはもはや保証されない。同じことは からの写像にも当てはまる（より一般的には、任意の局所凸位相ベクトル空間からの写像にも当てはまる）。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$

分布の局所化

Uの特定の点における超関数の値を定義する方法はない。しかし、関数の場合と同様に、U上の超関数はUの開部分集合上の超関数を与えるように制限される。さらに、超関数は局所的に決定される。これは、 U全体上の超関数は、重なり合う部分における適合条件を満たすUの開被覆上の超関数から組み立てられるという意味である。このような構造は層と呼ばれる。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

オープンサブセットの拡張と制限

を の開部分集合とする。すべて の関数は、その定義域VからU上の関数へ、補集合上で を と等しくすることで、ゼロ拡張できる。この拡張は、から への自明拡張と呼ばれる滑らかでコンパクトに支えられた関数であり、 と表記される。この割り当ては、の連続的な単射線型写像である自明拡張演算子 を定義する。これはのベクトル部分空間（位相的部分空間ではない）として 標準的に識別するために使用される。その転置（ここで説明） は と呼ばれる。 ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle U\setminus V.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle E_{VU}(f).}$ ${\displaystyle f\mapsto E_{VU}(f)}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ $${\displaystyle \rho _{VU}:={}^{\text{t}}\!E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),}$$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$^[11]における超関数のへの制限であり、その名前が示すように、この写像による超関数のへの制限と呼ばれる制限の定義条件はある。場合、（連続単射線型）自明な拡大写像はではない（言い換えると、この線型単射が のサブセットとしてのは が誘導するサブスペース位相よりも厳密に細かくなる位相的サブスペースでない）。また、その値域はその余域ない^[11]結果として、の場合、制限写像は単射でも射影でもない。^[11]超関数が の転置の値域に属する場合、その超関数はUに拡張可能と言われに拡張可能であれば拡張可能と呼ばれる^[11]。 ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle V.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}(T)}$ $${\displaystyle \langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).}$$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle V\neq U}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle E_{VU}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

ただし、Vへの制約が単射でも射影でもない場合には、射影性の欠如が導かれる。これは、超関数がVの境界に向かって爆発する可能性があるためである。例えば、 の場合、超関数は に含まれるが、 への拡張は許されない。 ${\displaystyle U=V,}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle V=(0,2),}$ $${\displaystyle T(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n\,\delta \left(x-{\frac {1}{n}}\right)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

集合内で消滅する接着と分布

定理^[12] —を の開部分集合の集合とする。各と に対し、へのすべての制約がへのすべての制約に等しいと仮定する（両方の制約は の要素であることに注意）。すると、へのすべての制約がに等しい が唯一存在する。 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}\in {\mathcal {D}}'(U_{i})}$ ${\displaystyle i,j\in I,}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle T_{j}}$ ${\displaystyle U_{i}\cap U_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U_{i}\cap U_{j})}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}.}$

V をUの開集合とする。Vが消滅するとは、すべてのに対して、 TがVで消滅する場合、 TのVへの制限が0 に等しい場合、または、T が制限写像の核に含まれる場合、ということになります。 ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f)\subseteq V}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle \rho _{VU}.}$

系^[12] —を の開部分集合の集合とし、各に対してTから への制約が0 に等しい場合とします。 ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\textstyle T\in {\mathcal {D}}'(\bigcup _{i\in I}U_{i}).}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle U_{i}}$

系^[12] —分布TがゼロとなるUのすべての開部分集合の和集合は、TがゼロとなるUの開部分集合である。

ディストリビューションのサポート

この最後の系は、U上の任意の超関数Tに対して、 Uの唯一の最大部分集合Vが存在し、 T はVで消える（そしてVに含まれないUの任意の開部分集合では消えない）ことを意味する。この唯一の最大開部分集合のUにおける補集合はTの台と呼ばれる。^[12]したがって $${\displaystyle \operatorname {supp} (T)=U\setminus \bigcup \{V\mid \rho _{VU}T=0\}.}$$

がU上の局所的に積分可能な関数であり、がそれに関連付けられた超関数である場合、 の台は、の補集合においてほぼどこでも0 に等しいUの最小の閉部分集合です。^[12]が連続である場合、 の台は、が 0 にならないU内の点の集合の閉包に等しくなります。^[12]ある点におけるディラック測度に関連付けられた超関数の台は、集合^[12]です。テスト関数の台が超関数Tの台と交差しない場合、超関数Tが 0 となるのは、その台が空である場合に限ります。 が超関数 Tの台を含むある開集合上で 1 と等価である場合、 超関数Tの台がコンパクトである場合、超関数は有限の位数を持ち、次の定数と負でない整数が存在します。^[7] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Tf=0.}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle fT=T.}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle |T\phi |\leq C\|\phi \|_{N}:=C\sup \left\{\left|\partial ^{\alpha }\phi (x)\right|:x\in U,|\alpha |\leq N\right\}\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

Tがコンパクト台を持つ場合、上の連続線型関数への一意な拡張を持つ。この関数は によって定義される。ここではTの台を含む開集合上で 1 として定まる任意の関数である。^[7] ${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\widehat {T}}(f):=T(\psi f),}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U)}$

であり、したがって、与えられた部分集合に台を持つ超関数は、ベクトル部分空間^[13]を形成する。さらに、がUの微分作用素である場合、U上のすべての超関数Tとすべての超関数に対して、および^[13] ${\displaystyle S,T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S+T)\subseteq \operatorname {supp} (S)\cup \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\lambda T)=\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle A\subseteq U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (P(x,\partial )T)\subseteq \operatorname {supp} (T)}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (fT)\subseteq \operatorname {supp} (f)\cap \operatorname {supp} (T).}$

コンパクトサポートを備えたディストリビューション

点集合のサポートとディラック測度

任意のに対して、におけるディラック測度によって誘導される分布を表す。任意の分布と分布に対して、 Tの台が に含まれる場合、かつその場合に限り、Tは におけるディラック測度の導関数の有限線形結合である^[14]。さらに、Tの位数が である場合、定数が存在し、次のようになる: ^[15]。 ${\displaystyle x\in U,}$ ${\displaystyle \delta _{x}\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x_{0}\in U}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \{x_{0}\}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle \alpha _{p}}$ $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\alpha _{p}\partial ^{p}\delta _{x_{0}}.}$$

言い換えれば、T が単一の点で台を持つ場合、Tは実際にはPにおける関数の超微分の有限線型結合である。つまり、整数mと複素定数が存在し、ここで は変換演算子である。 ${\displaystyle \{P\},}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle a_{\alpha }}$ $${\displaystyle T=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }\partial ^{\alpha }(\tau _{P}\delta )}$$ ${\displaystyle \tau _{P}}$

コンパクトサポートによる配布

定理^[7] — TがU上のコンパクト台Kを持つ超関数であるとする。U上に定義された連続関数と多重添字pが存在し、導関数は超関数の意味で理解される。つまり 、 U上のすべてのテスト関数に対して、 ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle T=\partial ^{p}f,}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle T\phi =(-1)^{|p|}\int _{U}f(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

開集合にサポートを持つ有限順序の超関数

定理^[7] — TがU上の超関数でコンパクト台がKであり、V がKを含むUの開部分集合であるとする。コンパクト台を持つ超関数はすべて有限位数を持つので、NをTの位数とし、次のように定義する。U上に定義され、 Vに台を持つ連続関数の族が存在し、その 導関数は超関数の意味で理解される。つまり、 U上のすべてのテスト関数に対して、 ${\displaystyle P:=\{0,1,\ldots ,N+2\}^{n}.}$ ${\displaystyle (f_{p})_{p\in P}}$ $${\displaystyle T=\sum _{p\in P}\partial ^{p}f_{p},}$$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle T\phi =\sum _{p\in P}(-1)^{|p|}\int _{U}f_{p}(x)(\partial ^{p}\phi )(x)\,dx.}$$

分布のグローバル構造

超関数の正式な定義では、超関数は非常に大きな空間、つまり の位相双対(または緩和超関数のシュワルツ空間) の部分空間として表されます。定義から、超関数がどの程度エキゾチックであるかはすぐにはわかりません。この疑問に答えるには、より小さな空間、つまり連続関数の空間から構築された超関数を見ることが有益です。大まかに言えば、任意の超関数は局所的に連続関数の (多重) 微分です。この結果の正確なバージョンは、以下に示すように、コンパクト サポートの超関数、緩和超関数、および一般超関数に当てはまります。一般に、超関数の空間の適切な部分集合は、すべての連続関数を含み、微分に関して閉じているものではありません。これは、超関数が特にエキゾチックなオブジェクトではなく、必要なだけの複雑さしかないことを示しています。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

配布物として束

定理^[16] — T をU上の超関数とする。Tに列が存在し、各T _{i は}コンパクト台を持ち、すべてのコンパクト部分集合は有限個の台とのみ交差し、Tによって定義される部分和の列はTに収束する。言い換えると、次が成り立つ。列が（その強双対位相で）収束する場合、かつその列が点ごとに収束する場合に限る。 ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle K\subseteq U}$ ${\displaystyle T_{i},}$ ${\displaystyle (S_{j})_{j=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle S_{j}:=T_{1}+\cdots +T_{j},}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }T_{i}.}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$

連続関数の導関数の和としての分布の分解

上記の結果を組み合わせることで、U上の任意の分布は、コンパクト台を持つ分布の級数の和として表すことができます。ここで、これらの分布はそれぞれ、U上の連続関数の分布微分の有限和として表すことができます。言い換えれば、任意の に対して、次のように書くことができます。ここで、は多重添字の有限集合であり、関数は連続です。 ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{\infty }\sum _{p\in P_{i}}\partial ^{p}f_{ip},}$$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},\ldots }$ ${\displaystyle f_{ip}}$

定理^[17] — TをU上の超関数とする。任意の多重添字pに対して、 U上の連続関数が存在し、 ${\displaystyle g_{p}}$

1. Uの任意のコンパクト部分集合Kは有限個のサポートとのみ交差し、 ${\displaystyle g_{p},}$
2. ${\displaystyle T=\sum \nolimits _{p}\partial ^{p}g_{p}.}$

さらに、T が有限の順序を持​​つ場合、有限個の T のみが非ゼロとなるような方法で選択することができます。 ${\displaystyle g_{p}}$

上記の無限和は分布として明確に定義されていることに注意されたい。与えられたTの値は、その台と交差する有限個の点を用いて計算できる。 ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle g_{\alpha }}$ ${\displaystyle f.}$

分布の操作

コンパクトな台を持つ滑らかな関数上で定義される多くの演算は、超関数に対しても定義できる。一般に、 が弱位相に関して連続な線型写像である場合、位相幾何学や線型関数解析の古典的な拡張定理によって常に写像に拡張できるわけではない。 ^{[注 7]}上記の線型連続作用素 A の「分布的」拡張は、A がシュワルツ随伴作用素、すなわち、すべてのテスト関数のペアに対して となる同じ型の別の線型連続作用素 B を許容する場合に限り可能である。その条件では、 B は一意であり、拡張 A' はシュワルツ随伴作用素 B の転置である。^{[要出典] [18] [要説明]} ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A':{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \langle Af,g\rangle =\langle f,Bg\rangle }$

準備：線形演算子の転置

超関数および超関数空間上の演算は、線型作用素の転置を用いて定義されることが多い。これは、転置によって超関数理論における多くの定義を統一的に表現できるためであり、また、その性質が関数解析においてよく知られているためでもある。^[19]例えば、ヒルベルト空間間の線型作用素のよく知られたエルミート随伴は、まさにその作用素の転置である（ただし、各ヒルベルト空間をその連続双対空間と同一視するためにリースの表現定理が用いられる）。一般に、連続線型写像の転置は線型写像 、あるいは同値に、すべておよびすべて を満たす唯一の写像である（ におけるプライム記号はいかなる種類の導関数も表さず、単に が連続双対空間 の元であることを示している）。 は連続であるため、両方の双対にそれぞれ強い双対位相 が備わっている場合も転置は連続である。 また、両方の双対にそれぞれ弱い*位相 が備わっている場合も転置は連続である（ ${\displaystyle A:X\to Y}$ $${\displaystyle {}^{\text{t}}\!A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{\text{t}}\!A(y'):=y'\circ A,}$$ ${\displaystyle \langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{\text{t}}\!A(y'),x\right\rangle }$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y'\in Y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!A:Y'\to X'}$

超関数の文脈では、転置関数の特徴付けを少し洗練させることができます。を連続線型写像とします。定義により、転置関数は次を満たす唯一の線型作用素です。 ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!A:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle {}^{\text{t}}\!A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).}$$

は（ここでは実際には分布の集合を指す）稠密なので、定義等式が の形のすべての分布に対して成立すれば十分である。明示的には、連続線型写像がに等しいのは、以下の条件が成立する場合のみであることを意味する。ここで、右辺は に等しい。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}}$ ${\displaystyle T=D_{\psi }}$ ${\displaystyle \psi \in {\mathcal {D}}(U).}$ ${\displaystyle B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!A}$ $${\displaystyle \langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{\text{t}}\!A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)}$$ ${\displaystyle \langle {}^{\text{t}}\!A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.}$

微分演算子

分布の差別化

を偏微分演算子とします。拡張するには転置を計算します。 ${\displaystyle A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\langle {}^{\text{t}}\!A(D_{\psi }),\phi \rangle &=\int _{U}\psi (A\phi )\,dx&&{\text{(See above.)}}\\&=\int _{U}\psi {\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\,dx\\[4pt]&=-\int _{U}\phi {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}}\,dx&&{\text{(integration by parts)}}\\[4pt]&=-\left\langle {\frac {\partial \psi }{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle \\[4pt]&=-\langle A\psi ,\phi \rangle =\langle -A\psi ,\phi \rangle \end{aligned}}}$$

したがって、座標に関する偏微分は次式で定義される。 ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!A=-A.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x_{k}}$ $${\displaystyle \left\langle {\frac {\partial T}{\partial x_{k}}},\phi \right\rangle =-\left\langle T,{\frac {\partial \phi }{\partial x_{k}}}\right\rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

この定義によれば、あらゆる分布は無限微分可能であり、方向の微分は線形演算子である。 ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$

より一般的には、が任意の多重指数である場合、分布の偏微分は次のように定義される。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle \partial ^{\alpha }T,\phi \rangle =(-1)^{|\alpha |}\langle T,\partial ^{\alpha }\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

分布の微分は連続演算子であり、これは他のほとんどの微分の概念では共有されていない重要かつ望ましい特性です。 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U);}$

がにおける超関数である場合、はの微分であり、は による平行移動であるので、の微分は商の極限として見ることができる。^[20] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {T-\tau _{x}T}{x}}=T'\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ),}$$ ${\displaystyle T'}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{x}}$ ${\displaystyle x;}$ ${\displaystyle T}$

滑らかな関数に作用する微分作用素

滑らかな係数を持つにおける線型微分作用素は、における滑らかな関数の空間に作用します。このような作用素が与えられたとき 、におけるの作用をにおける超関数に拡張する連続線型写像を定義します。言い換えれば、次の図が と交換するように を定義します。 ここで、垂直写像は、 によって定義されるその標準超関数を割り当てることによって与えられます。 この表記法を用いると、図の交換は次の式と等価になります。 ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\textstyle P:=\sum _{\alpha }c_{\alpha }\partial ^{\alpha },}$ ${\displaystyle D_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle D_{P}}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {D}}'(U)&{\stackrel {D_{P}}{\longrightarrow }}&{\mathcal {D}}'(U)\\[2pt]\uparrow &&\uparrow \\[2pt]C^{\infty }(U)&{\stackrel {P}{\longrightarrow }}&C^{\infty }(U)\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle D_{f}\in {\mathcal {D}}'(U),}$ $${\displaystyle D_{f}(\phi )=\langle f,\phi \rangle :=\int _{U}f(x)\phi (x)\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$ $${\displaystyle D_{P(f)}=D_{P}D_{f}\qquad {\text{ for all }}f\in C^{\infty }(U).}$$

によって定義される連続誘導写像の転置を求めることは、以下の補題で考察される。これは、次のように定義される微分作用素の形式転置と呼ばれる定義につながる。この転置写像は、次のように定義される転置写像との混同を避けるために、と表記される。 ${\displaystyle D_{P},}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!P:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P(\phi )}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle P_{*}}$ $${\displaystyle P_{*}:=\sum _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\quad {\text{ where }}\quad b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }.}$$

補題—を滑らかな係数を持つ線型微分作用素とすると、すべてのに対して次式が成り立ち、 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U)}$ $${\displaystyle \left\langle {}^{\text{t}}\!P(D_{f}),\phi \right\rangle =\left\langle D_{P_{*}(f)},\phi \right\rangle ,}$$ $${\displaystyle {}^{\text{t}}\!P(D_{f})=D_{P_{*}(f)}.}$$

証拠

上で説明したように、任意の転置は次のように計算できます。 ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{\text{t}}\!P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\int _{U}f(x)P(\phi )(x)\,dx\\&=\int _{U}f(x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\right]\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }\int _{U}f(x)c_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }\phi )(x)\,dx\\&=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\end{aligned}}}$$ 最後の行では、部分積分と、したがってすべての関数がコンパクトサポートを持つという事実を組み合わせたものを使用しました。[注 8]上記の計算を続けると、すべての ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle f(x)c_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }\phi (x)}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U):}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{\text{t}}\!P(D_{f}),\phi \right\rangle &=\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}\int _{U}\phi (x)(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx&&{\text{As shown above}}\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum \nolimits _{\alpha }(-1)^{|\alpha |}(\partial ^{\alpha }(c_{\alpha }f))(x)\,dx\\[4pt]&=\int _{U}\phi (x)\sum _{\alpha }\left[\sum _{\gamma \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Leibniz rule}}\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\sum _{\gamma \leq \alpha }(-1)^{|\alpha |}{\binom {\alpha }{\gamma }}(\partial ^{\gamma }c_{\alpha })(x)(\partial ^{\alpha -\gamma }f)(x)\right]\,dx\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum _{\alpha }\left[\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\left(\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\right)(x)\right](\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&{\text{Grouping terms by derivatives of }}f\\&=\int _{U}\phi (x)\left[\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }(x)(\partial ^{\alpha }f)(x)\right]\,dx&&b_{\alpha }:=\sum _{\beta \geq \alpha }(-1)^{|\beta |}{\binom {\beta }{\alpha }}\partial ^{\beta -\alpha }c_{\beta }\\&=\left\langle \left(\sum \nolimits _{\alpha }b_{\alpha }\partial ^{\alpha }\right)(f),\phi \right\rangle \end{aligned}}}$$

この補題と、形式的転置の形式的転置が元の微分作用素であるという事実、つまり^[21]とを組み合わせると、正しい定義に到達できます。つまり、形式的転置は、次のように定義される(連続) 標準線形作用素を誘導します。この写像の転置は、次のように取ることができると主張します。これを確認するには、任意のに対して、の形式の分布に対するその作用素を計算します。 ${\displaystyle P_{**}=P,}$ ${\displaystyle P_{*}:C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi \mapsto P_{*}(\phi ).}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle D_{P}.}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(U),}$ ${\displaystyle D_{f}}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle {}^{\text{t}}\!P_{*}\left(D_{f}\right),\phi \right\rangle &=\left\langle D_{P_{**}(f)},\phi \right\rangle &&{\text{Using Lemma above with }}P_{*}{\text{ in place of }}P\\&=\left\langle D_{P(f)},\phi \right\rangle &&P_{**}=P\end{aligned}}}$$

連続線型作用素をを拡張する超関数上の微分作用素と呼ぶ。^[21]任意の超関数に対するその作用素は次のように定義される。 ${\displaystyle D_{P}:={}^{\text{t}}\!P_{*}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle D_{P}(S)(\phi )=S\left(P_{*}(\phi )\right)\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

が収束する場合、すべての多重インデックスは収束する。 ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \alpha ,(\partial ^{\alpha }T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle \partial ^{\alpha }T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

滑らかな関数による分布の乗算

0階微分作用素は、滑らかな関数の乗算に等しい。逆に、 が滑らかな関数ならば は0階微分作用素であり、その形式的な転置は 自身（つまり）である。誘導微分作用素は、分布を で表される分布に写す。このようにして、分布と滑らかな関数の乗算を定義した。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P:=f(x)}$ ${\displaystyle P_{*}=P}$ ${\displaystyle D_{P}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle fT:=D_{P}(T).}$

ここで、滑らかな関数による分布の積の別の表現を示す。積は次のように定義される。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle m:U\to \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle mT}$ $${\displaystyle \langle mT,\phi \rangle =\langle T,m\phi \rangle \qquad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

この定義は転置定義と一致する。なぜなら、が関数の乗算演算子（つまり）である場合、 ${\displaystyle M:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (M\phi )(x)=m(x)\phi (x)}$ $${\displaystyle \int _{U}(M\phi )(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}m(x)\phi (x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)m(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)(M\psi )(x)\,dx,}$$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!M=M.}$

滑らかな関数による乗法の下で、は環上の加群である。この滑らかな関数による乗法の定義により、微積分の通常の積の法則は依然として有効である。しかし、いくつかの特異な恒等式も生じる。例えば、が上のディラックのデルタ分布であるとき、がデルタ分布の微分であるとき、 ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle m\delta =m(0)\delta ,}$ ${\displaystyle \delta ^{'}}$ $${\displaystyle m\delta '=m(0)\delta '-m'\delta =m(0)\delta '-m'(0)\delta .}$$

によって与えられる双線型乗法写像は連続ではないが、亜連続である。^[22] ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto fT}$

例：任意の分布と、その関数が1であるものの積は、 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle T.}$

例: が定数関数に収束する関数列であるとする。任意の分布が^[23]に収束する。 ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1\in C^{\infty }(U).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle (f_{i}T)_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U).}$

が収束し、が収束すると、が収束する。 ${\displaystyle (T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle (f_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle (f_{i}T_{i})_{i=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle fT\in {\mathcal {D}}'(U).}$

分布の乗算の問題

滑らかな関数を持つ分布の積、あるいはより一般的には、特異台が互いに素である2つの分布の積を定義するのは容易である。^{[24]もう少し努力すれば、各点における}波面集合が適合する限り、複数の分布の良好な積を定義することも可能である。分布（および超関数）理論の限界は、1950年代にローラン・シュワルツによって証明されたように、滑らかな関数によって分布の積を拡張した2つの分布の結合積が存在しないことである。例えば、がコーシー主値によって得られる分布である場合、 ${\displaystyle \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}}$ $${\displaystyle \left(\operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)(\phi )=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{|x|\geq \varepsilon }{\frac {\phi (x)}{x}}\,dx\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ).}$$

がディラックのデルタ分布である場合、しかし、分布と滑らかな関数（常に明確に定義されている）の積は、分布の空間上の結合積に拡張することはできません。 ${\displaystyle \delta }$ $${\displaystyle (\delta \times x)\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}=0}$$ $${\displaystyle \delta \times \left(x\times \operatorname {p.v.} {\frac {1}{x}}\right)=\delta }$$

したがって、非線形問題は一般には提起できず、したがって分布理論だけでは解決できない。しかし、量子場の理論の文脈においては、解決策を見出すことができる。時空次元が2次元を超える場合、この問題は発散の正則化に関連する。ここで、アンリ・エプスタインとウラジミール・グレイザーは、数学的に厳密な（しかし極めて専門的である）因果摂動論を展開した。この理論は他の状況では問題を解決しない。流体力学のナビエ・ストークス方程式など、他の多くの興味深い理論は非線形である。

一般化関数の代数に関する完全に満足できるとは言えない理論がいくつか開発されてきたが^{（要出典） 、その中でも}コロンボーの（簡略化された）代数は今日最もよく使われているかもしれない。

ライオンズのラフパス理論^{[25]に触発され、} マーティン・ヘアラーは、確率解析、特に確率偏微分方程式の多くの例で利用可能な、特定の構造（正則構造^[26] ）を持つ分布を乗算する一貫した方法を提案した。また、フーリエ解析におけるボニーのパラプロダクトに基づく関連する展開については、Gubinelli–Imkeller–Perkowski (2015)も参照のこと。

スムーズな機能を備えた構成

を上の分布とし、を上の開集合とし、を沈み込みとすると、次のように定義できる。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle F:V\to U.}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle T\circ F\in {\mathcal {D}}'(V).}$$

これはの分布の合成 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$であり、 に沿った の引き戻しとも呼ばれ、と表記される ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle F}$こと もある。 $${\displaystyle F^{\sharp }:T\mapsto F^{\sharp }T=T\circ F.}$$

プルバックはよく表記されますが、この表記法は、線形マッピングの随伴を表す '*' の使用と混同しないでください。 ${\displaystyle F^{*},}$

が沈み込みであるという条件は、 のヤコビ微分が任意の に対して射影線型写像であるという要求と同等である。を超関数に拡張するための必要条件（十分条件ではない）は、 が開写像であるということである。^[27]逆関数定理は沈み込みがこの条件を満たすことを保証する。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle dF(x)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle x\in V.}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F}$

が沈み込みであるならば、は転置写像を求めることによって超関数上で定義される。この拡張の一意性は、が存在上の連続線型作用素であるため保証されるが、変数変換の公式、逆関数定理（局所的）、および1の分割の議論を用いることが必要となる。^[28] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle F^{\#}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U).}$

が の開部分集合から の開部分集合への微分同相写像である特別な場合、積分の下での変数変換により次が得られます。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle \int _{V}\phi \circ F(x)\psi (x)\,dx=\int _{U}\phi (x)\psi \left(F^{-1}(x)\right)\left|\det dF^{-1}(x)\right|\,dx.}$$

この特定のケースでは、は転置式によって定義されます。 ${\displaystyle F^{\#}}$ $${\displaystyle \left\langle F^{\sharp }T,\phi \right\rangle =\left\langle T,\left|\det d(F^{-1})\right|\phi \circ F^{-1}\right\rangle .}$$

畳み込み

状況によっては、関数と分布の畳み込み、あるいは2つの分布の畳み込みを定義することも可能である。とが上の関数であるとき、とが定義される畳み込みによって 、積分が存在するという条件で積分となることを表す。がとなるとき、任意の関数とに対して、ととなる^[29]。とが上の連続関数で、少なくとも一方がコンパクト台を持つとき、となり、とな​​るとき、上のの値はミンコフスキー和の外側のの値に依存しない[ ^29]。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g,}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f\ast g)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(y)g(x-y)\,dy}$$ ${\displaystyle 1\leq p,q,r\leq \infty }$ ${\textstyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}-1}$ ${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle g\in L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f\ast g\in L^{r}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \|f\ast g\|_{L^{r}}\leq \|f\|_{L^{p}}\|g\|_{L^{q}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (f\ast g)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (g)}$ ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A-\operatorname {supp} (g)=\{a-s:a\in A,s\in \operatorname {supp} (g)\}.}$

重要なのは、もし がコンパクトサポートを持つならば、任意の畳み込み写像は写像として、または写像として考えたときに連続であるということ^[29] ${\displaystyle g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq \infty ,}$ ${\displaystyle f\mapsto f\ast g}$ ${\displaystyle C^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(\mathbb {R} ^{n})\to C_{\text{c}}^{k}(\mathbb {R} ^{n}).}$

並進と対称性

変換演算子をに送ると定義される。これは転置によって次のように分布に拡張できる。分布が与えられたとき、をに送ると定義される分布は^{[30] [31]} ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \tau _{a}f(y)=f(y-a).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \tau _{a}T:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \tau _{a}T(\phi ):=\left\langle T,\tau _{-a}\phi \right\rangle .}$

関数を で定義すると、分布を で定義される分布とします。この演算子は原点に対する対称性と呼ばれます。^[30] ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle {\tilde {f}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {f}}(x):=f(-x).}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle {\tilde {T}}:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\tilde {T}}(\phi ):=T\left({\tilde {\phi }}\right).}$ ${\displaystyle T\mapsto {\tilde {T}}}$

検定関数と分布の畳み込み

との畳み込みは線形写像を定義する。これは、上の標準LF空間位相に関して連続である。 ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}C_{f}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&g&&\mapsto \,&&f\ast g\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

の畳み込みは、の転置を、の双対性対と超関数の空間とで定義することができる。^[32]すると、フビニの定理により ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C_{f}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f,g,\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}),}$ $${\displaystyle \langle C_{f}g,\phi \rangle =\int _{\mathbb {R} ^{n}}\phi (x)\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x-y)g(y)\,dy\,dx=\left\langle g,C_{\tilde {f}}\phi \right\rangle .}$$

連続性によって拡張すると、分布との畳み込みは次のように定義される。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle f\ast T,\phi \rangle =\left\langle T,{\tilde {f}}\ast \phi \right\rangle ,\quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

テスト関数と分布の畳み込みを定義する別の方法は、変換演算子を使用することです。コンパクトにサポートされている関数と分布の畳み込みは、それぞれに対して次のように定義される関数です。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \tau _{a}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle (f\ast T)(x)=\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle .}$$

滑らかでコンパクトに支えられた関数と分布の畳み込みは滑らかな関数であることが示せます。分布がコンパクトに支えられており、が多項式（それぞれ指数関数、解析関数、解析関数全体の への制限、指数型整関数の への制限）である場合、同じことが成り立ちます^。[30]分布がコンパクトに支えられている場合、はコンパクトに支えられた関数であり、Titchmarsh 畳み込み定理Hörmander (1983、定理 4.3.3) から次の式が成り立ちます。ここで は凸包、はサポートを表します。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle T\ast f.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f\ast T}$ $${\displaystyle \operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f\ast T))=\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (f))+\operatorname {ch} (\operatorname {supp} (T))}$$ ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ ${\displaystyle \operatorname {supp} }$

滑らかな関数と分布の畳み込み

ととし、の少なくとも一方がコンパクト台を持つと仮定する。とを で表す畳み込み、または で表す畳み込みは滑らかな関数である: ^{[30] であり、}すべての に対して以下を満たす: ${\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle f\ast T}$ ${\displaystyle T\ast f,}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}f\ast T:\,&\mathbb {R} ^{n}&&\to \,&&\mathbb {C} \\&x&&\mapsto \,&&\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} ^{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {supp} (f\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (f)+\operatorname {supp} (T)\\[6pt]&{\text{ for all }}p\in \mathbb {N} ^{n}:\quad {\begin{cases}\partial ^{p}\left\langle T,\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle =\left\langle T,\partial ^{p}\tau _{x}{\tilde {f}}\right\rangle \\\partial ^{p}(T\ast f)=(\partial ^{p}T)\ast f=T\ast (\partial ^{p}f).\end{cases}}\end{aligned}}}$$

を写像とする。が超関数ならば、写像 として連続である。がコンパクト台を持つならば、写像 として連続であり、写像 として連続である^[30]。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\mapsto T\ast f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

が連続線型写像であって、すべてに対して、すべてに対してとなるような分布が存在する場合、すべてに対してとなるような分布が存在する^[7] ${\displaystyle L:{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\partial ^{\alpha }\phi =\partial ^{\alpha }L\phi }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle L\phi =T\circ \phi }$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n}).}$

例: ^[7]をヘヴィサイド関数とする。任意の ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ),}$ $${\displaystyle (H\ast \phi )(x)=\int _{-\infty }^{x}\phi (t)\,dt.}$$

を0におけるディラック測度とし、をその超関数としての微分とします。すると、そして重要なことに、結合法則は成立しません。 ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle \delta '}$ ${\displaystyle \delta '\ast H=\delta }$ ${\displaystyle 1\ast \delta '=0.}$ $${\displaystyle 1=1\ast \delta =1\ast (\delta '\ast H)\neq (1\ast \delta ')\ast H=0\ast H=0.}$$

分布の畳み込み

2つの分布の畳み込みと の畳み込みを、どちらか一方がコンパクト台を持つという条件で定義することも可能です。非公式には、 がコンパクト台を持つ場合を定義するには、畳み込みの定義を分布上の線型演算に拡張し、結合法則がすべてのテスト関数に対して成立するようにします^[33]。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \,\ast \,}$ $${\displaystyle S\ast (T\ast \phi )=(S\ast T)\ast \phi }$$ ${\displaystyle \phi .}$

超関数の畳み込みをより明確に特徴づけることも可能である。^[32]とが超関数であり、コンパクト台を持つと仮定する。すると線型写像は連続となる。これらの写像の転置写像は連続であり、また^[30] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\bullet \ast {\tilde {S}}:\,&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\quad {\text{ and }}\quad &&\bullet \ast {\tilde {T}}:\,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})&&\to \,&&{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\\&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {S}}&&&&&&f&&\mapsto \,&&f\ast {\tilde {T}}\\\end{alignedat}}}$$ $${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right):{\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})\qquad {}^{\text{t}}\!\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right):{\mathcal {E}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$$ $${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\left(\bullet \ast {\tilde {S}}\right)(T)={}^{\text{t}}\!\left(\bullet \ast {\tilde {T}}\right)(S).}$$

この共通値はと の畳み込みと ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$呼ばれ、または で表される分布である。^[30]とが2つの分布で、そのうち少なくとも1つがコンパクト台を持つ場合、任意の に対して となる^。[30]が の分布でがディラック測度である場合、となる。^[30]したがって は畳み込み演算の単位元となる。さらにが関数である場合、 となる。ここで畳み込みの結合性から、すべての関数と に対して となる。 ${\displaystyle S\ast T}$ ${\displaystyle T\ast S.}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (S\ast T)\subseteq \operatorname {supp} (S)+\operatorname {supp} (T).}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \tau _{a}(S\ast T)=\left(\tau _{a}S\right)\ast T=S\ast \left(\tau _{a}T\right).}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle T\ast \delta =T=\delta \ast T}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\ast \delta ^{\prime }=f^{\prime }=\delta ^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f^{\prime }\ast g=g^{\prime }\ast f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$

がコンパクトな台を持つと仮定する。関数 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \psi (x)=\langle T,\tau _{-x}\phi \rangle .}$$

これは滑らかな関数を定義し、そのコンパクトな台を持つことは容易に示される。ととの畳み込みは次のように定義される 。 ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \langle S\ast T,\phi \rangle =\langle S,\psi \rangle .}$$

これは関数の畳み込みの古典的な概念を一般化し、次のような意味で微分化と互換性がある。 ${\displaystyle \alpha .}$ $${\displaystyle \partial ^{\alpha }(S\ast T)=(\partial ^{\alpha }S)\ast T=S\ast (\partial ^{\alpha }T).}$$

有限個の分布の畳み込みは、その全て（おそらく1つを除く）がコンパクトな台を持つ場合、結合的である。^[30]

この畳み込みの定義は、以下のより制限の少ない仮定の下でも有効である[ ^34]。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T.}$

コンパクトサポートを持つ超関数の畳み込みは、によって定義される連続双線型写像を誘導する。ここで、はコンパクトサポートを持つ超関数の空間を表す。^[22]しかし、関数としての畳み込み写像は連続ではない^[22]が、別々に連続している。^[35]両方によって与えられる畳み込み写像とは連続ではない。 ^[22]ただし、これらの非連続写像はそれぞれ別々に連続かつ亜連続である。^[22] ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {E}}'\to {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle (S,T)\mapsto S*T,}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\times {\mathcal {D}}'\to {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (f,T)\mapsto f*T}$

畳み込みと乗算

一般に、乗算積には正則性が必要であり、畳み込み積には局所性が必要である。これは、畳み込み定理の次の拡張で表現され、畳み込みと乗算積の両方の存在を保証する。を急速に減少する緩和分布、またはそれと同値な、緩和分布の空間内の通常の（緩やかに増加する、滑らかな）関数とし、を正規化された（ユニタリ、通常の周波数）フーリエ変換とする。^[36]このとき、シュワルツ（1951）によれば、緩和分布の空間内で が成り立つ。^{[37] [38] [39]}特に、がディラックコームである場合、これらの式はポアソン総和公式になる。^[40]急速に減少する緩和分布全体の空間は畳み込み演算子の空間とも呼ばれ、緩和分布の空間内のすべての通常の関数の空間は乗算演算子の空間とも呼ばれます。より一般的には、および^{[41] [42]}特別なケースとして、およびを述べるペイリー・ウィーナー・シュワルツの定理があります。これは、および言い換えれば、コンパクトにサポートされた緩和分布は畳み込み演算子の空間に属し、帯域制限関数としてよく知られているペイリー・ウィーナー関数は乗算演算子の空間に属します。 ^[43] ${\displaystyle F(\alpha )=f\in {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle F(f)=\alpha \in {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F}$ $${\displaystyle F(f*g)=F(f)\cdot F(g)\qquad {\text{ and }}\qquad F(\alpha \cdot g)=F(\alpha )*F(g)}$$ ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}'_{C})={\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle F({\mathcal {O}}_{M})={\mathcal {O}}'_{C}.}$ ${\displaystyle F({\mathcal {E}}')=\operatorname {PW} }$ ${\displaystyle F(\operatorname {PW} )={\mathcal {E}}'.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} \subseteq {\mathcal {O}}_{M}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}'_{C}}$ ${\displaystyle \operatorname {PW} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{M}.}$

例えば、をディラックコーム、 をディラックデルタとすると、 は常に 1 となる関数となり、両方の方程式からディラックコーム恒等式が成り立ちます。別の例として、をディラックコーム、 を矩形関数とすると、 はsinc 関数となり、両方の方程式から適切な関数に対する古典サンプリング定理が成り立ちます。より一般的には、をディラックコーム、 を滑らかな窓関数(シュワルツ関数) (たとえばガウス関数) とすると、 は別の滑らかな窓関数 (シュワルツ関数) となります。これらは、特に偏微分方程式理論では軟化関数として知られ、物理学では一般化関数を正規関数に変換できるため正則化関数として知られています。 ${\displaystyle g\equiv \operatorname {\text{Ш}} \in {\mathcal {S}}'}$ ${\displaystyle f\equiv \delta \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv 1\in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\equiv \operatorname {rect} \in {\mathcal {E}}'}$ ${\displaystyle \alpha \equiv \operatorname {sinc} \in \operatorname {PW} }$ ${\displaystyle \operatorname {rect} }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {O}}'_{C}\cap {\mathcal {O}}_{M}}$ ${\displaystyle \alpha \in {\mathcal {S}}}$

分布のテンソル積

とを開集合とする。すべてのベクトル空間は体または の上にあるとする。任意の とに対して、以下の関数を定義する。 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ ${\displaystyle u\in U}$ ${\displaystyle v\in V}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}}$$

および が与えられている場合、次の関数を定義します。ここで、 および これらの定義は、すべてのおよびを (それぞれの) 連続線型マップに関連付けます。 ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle \langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle \langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).}$ ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V)}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{9}\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&&f\ &\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&f\ &&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}}$$

さらに、どちらか一方（resp. ）がコンパクトサポートを持つ場合、 （resp. ）の連続線型写像も誘導する。^[44] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)}$

フビニの超関数^定理[44]—と すると、 ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V).}$ ${\displaystyle f\in {\mathcal {D}}(U\times V)}$ $${\displaystyle \langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

そのと のテンソル積はで ${\displaystyle S\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(V),}$表され、 は分布である:^[44] ${\displaystyle S\otimes T}$ ${\displaystyle T\otimes S,}$ ${\displaystyle U\times V}$ $${\displaystyle (S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .}$$

分布の空間

概して、以下の標準的な射影はすべて連続であり、その余域の稠密な部分集合である像（値域とも呼ばれる）を持つ。ここで、（）上の位相は、余域上の位相が定義された方法と同様に、空間の直接的な極限として定義される（したがって、特に、それらは通常のノルム位相ではない）。上記の各写像（および上記の写像の任意の合成）の値域は、その余域において稠密である。^[45] ${\displaystyle 0<k<\infty }$ ${\displaystyle 1<p<\infty ,}$ $${\displaystyle {\begin{matrix}C_{\text{c}}^{\infty }(U)&\to &C_{\text{c}}^{k}(U)&\to &C_{\text{c}}^{0}(U)&\to &L_{\text{c}}^{\infty }(U)&\to &L_{\text{c}}^{p}(U)&\to &L_{\text{c}}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)\\{}\end{matrix}}}$$ ${\displaystyle L_{\text{c}}^{q}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq q\leq \infty }$ ${\displaystyle L_{\text{c}}^{q}(K)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$

が( に対して) または( に対して) または( に対して)のいずれかの空間であるとする。標準的注入は、その像が余域に稠密である連続注入なので、この写像の転置は連続注入である。したがって、この転置写像はの連続双対空間を、すべての超関数の空間の特定のベクトル部分空間と同一視することができる（具体的には、この転置写像の像と同一視される）。この転置写像は連続であるが、必ずしも位相的埋め込みではない。によってその上に誘導される部分空間位相よりも細かい局所凸位相を持つの線型部分空間は、超関数の空間と呼ばれる。^[46]本稿で言及する超関数の空間のほとんどすべてがこのようにして生じる（例えば、緩和超関数、制約、ある整数位の超関数、正のラドン測度によって誘導される超関数、 -関数によって誘導される超関数など）。そして、 の連続双対空間に関する任意の表現定理は、転置写像を通して、超関数の空間の元に直接転置することができる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}}$ ${\displaystyle L_{\text{c}}^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle L^{p}(U)}$ ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{X}:C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to X}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{\text{c}}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{\text{c}}^{\infty }(U)\right)'_{b}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} \left({}^{\text{t}}\!\operatorname {In} _{X}\right).}$

ラドン対策

包含写像は、その像がその共領域に稠密である連続的な注入なので、転置も連続的な注入です。 ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{0}(U)}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} :(C_{\text{c}}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{\text{c}}^{\infty }(U))'_{b}}$

連続双対空間はラドン測度の空間と同一視することができ、連続線形関数とラドン測度に関する積分との間には1対1の対応がある。つまり、 ${\displaystyle (C_{\text{c}}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T\in (C_{\text{c}}^{0}(U))'_{b}}$

• ならば、U上にラドン測度が存在し、すべての場合と ${\displaystyle T\in (C_{\text{c}}^{0}(U))'_{b}}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle f\in C_{\text{c}}^{0}(U),T(f)=\int _{U}f\,d\mu ,}$
• がU上のラドン測度である場合、を に送ることで定義される上の線形関数は連続です。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{0}(U)}$ ${\textstyle f\in C_{\text{c}}^{0}(U)}$ ${\textstyle \int _{U}f\,d\mu }$

注入により、すべてのラドン測度はU上の超関数となる。 がU上の局所積分関数である場合、超関数はラドン測度となる。したがって、ラドン測度は超関数の大規模かつ重要な空間を形成する。 ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} :(C_{\text{c}}^{0}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle f}$ ${\textstyle \phi \mapsto \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx}$

以下はラドン測度の分布構造の定理であり、すべてのラドン測度はU上の局所関数の導関数の和として表すことができることを示しています。 ${\displaystyle L^{\infty }}$

定理^[47] —がラドン測度であるとする、がの支持の近傍であり、U上の局所関数族が存在し、任意のに対してさらに、、各導関数が次数を持つ連続関数の導関数の有限和に等しい。 ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V\subseteq U}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.}$ ${\displaystyle f=(f_{p})_{p\in I}}$ ${\displaystyle L^{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} f_{p}\subseteq V}$ ${\displaystyle p\in I,}$ $${\displaystyle T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U,}$ ${\displaystyle \leq 2n.}$

陽性ラドン対策

関数空間上の線型関数が正と呼ばれるのは、 の定義域に属する関数が非負（つまり、実数値で）である場合に、 上のすべての正線型関数は必ず連続（つまり、必ずラドン測度）であることを示すことができる。^[48]ルベーグ測度は正ラドン測度の一例である。 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f\geq 0}$ ${\displaystyle T(f)\geq 0.}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{0}(U)}$

超関数としての局所積分可能関数

ラドン測度の特に重要なクラスの一つは、局所積分可能関数が誘導されるものである。関数は、Uの任意のコンパクト部分集合K上でルベーグ積分可能である場合、局所積分可能と呼ばれる。これは、すべての連続関数とすべての関数を含む大規模な関数のクラスである。上の位相は、任意の局所積分可能関数が上の連続線型関数（つまり、ここでは で表され、そのテスト関数上の値はルベーグ積分で与えられる）を生成するように定義される。 ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle T_{f},}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.}$$

慣習的に、混乱が生じない限り、とを同一視する表記法が乱用されるので、との組み合わせは、 ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle \langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .}$$

と が2つの局所的に積分可能な関数である場合、関連付けられた分布と がの同じ元に等しくなるのは、およびがほぼどこでも等しい場合のみです(たとえば、Hörmander (1983、定理1.2.5)を参照)。同様に、 上のすべてのラドン測度は、テスト関数上の値が である の元を定義します。上記のように、表記法を乱用して、ラドン測度とテスト関数のペアを と書くことが慣例となっています。逆に、Schwartz の定理( Riesz の表現定理に類似)に示されているように、非負関数上の非負のすべての分布は、何らかの(正の)ラドン測度に対してこの形式になります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle T_{f}}$ ${\displaystyle T_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\textstyle \int \phi \,d\mu .}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \langle \mu ,\phi \rangle .}$

関数を分布としてテストする

検定関数自体は局所的に積分可能であり、したがって超関数を定義する。検定関数の空間は、上の強位相に関して順次稠密である^[49]。これは、任意のに対して、超関数の列として考えたときに（その強双対位相において）収束する検定関数の列が存在することを意味する。あるいは、 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U).}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U),}$ ${\displaystyle (\phi _{i})_{i=1}^{\infty },}$ ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ $${\displaystyle \langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).}$$

コンパクトサポートを備えたディストリビューション

包含写像は、その像が余域に稠密である連続射影であるので、転置写像も連続射影である。したがって、転置写像の像は、超関数の空間を形成する。^[13] ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} :(C^{\infty }(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{\text{c}}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U),}$

の元は、コンパクト台を持つ超関数の空間と同一視できる。^[13]明示的に、がU上の超関数である場合、以下は同値である。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}'(U)=(C^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T\in {\mathcal {E}}'(U).}$
• のサポートはコンパクトです。 ${\displaystyle T}$
• その空間が（標準的なLF位相よりも粗い位相）から継承された部分空間位相を備えている場合の、への制約は連続である。 ^[13] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U),}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$
• Uのコンパクトな部分集合Kが存在し、サポートが完全にKの外側にあるすべてのテスト関数に対して、 ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle T(\phi )=0.}$

コンパクトにサポートされた分布は、空間 上の連続線型関数を定義します。 上の位相は、一連のテスト関数が0 に収束することと、 のすべての導関数がUのすべてのコンパクト部分集合上で一様に 0 に収束することとが同値となるように定義されることを思い出してください。逆に、この空間上のすべての連続線型関数は、コンパクトにサポートされた分布を定義することが示されます。したがって、コンパクトにサポートされた分布は、 からに拡張できる分布と同一視できます。 ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle \phi _{k}}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U).}$

コンパクト集合への分布の制限

すると、任意のコンパクト集合に対して、 （おそらくK自身よりも大きな集合上で）コンパクトに支えられた連続関数と、 ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle K\subseteq \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(K).}$

有限次数の超関数

とすると、包含写像は、その像が余域において稠密である連続射影であるので、転置写像も連続射影となる。したがって、で表されるの像は、超関数の空間を形成する。 の元は、の位数分布である。 ^[16]位数分布は、 0位分布とも呼ばれ、ラドン測度である分布と全く同じである（上記参照）。 ${\displaystyle k\in \mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \operatorname {In} :C_{\text{c}}^{\infty }(U)\to C_{\text{c}}^{k}(U)}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} :(C_{\text{c}}^{k}(U))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=(C_{\text{c}}^{\infty }(U))'_{b}}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} ,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U),}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)}$ ${\displaystyle \leq k.}$ ${\displaystyle \leq 0,}$

の分布は、順序の分布ではなく順序 の分布です。^[16] ${\displaystyle 0\neq k\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\displaystyle \,\leq k-1}$

分布が有限位数であるとは、ある整数が存在し、その分布が位数であり、有限位数の分布の集合が で表される場合を言う。 となる。となる場合、はのベクトル部分空間であり、さらに となる場合のみ^{[16]となる。} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \,\leq k,}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U).}$ ${\displaystyle k\leq l}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U):=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\mathcal {D}}'^{n}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}'(U).}$

有限位数の超関数の構造

Uにおけるコンパクト台を持つすべての超関数は有限位数の超関数である。^[16]実際、Uにおけるすべての超関数は局所的に有限位数の超関数であり、これは次の意味である。^[16] VがUの開集合かつ相対コンパクト部分集合であり、 がUからVへの制限写像であるとき、の像は ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle \rho _{VU}}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'^{F}(V).}$

以下は有限順序の分布の構造の定理であり、これはすべての有限順序の分布がラドン測度の導関数の和として表されることを示しています。

定理^[16] —が有限位数を持ち、Uの任意の開部分集合Vが のサポートを含むとすると、 Uにはラドン測度の族が存在し、非常に大きい 値と ${\displaystyle T\in {\mathcal {D}}'(U)}$ ${\displaystyle I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.}$ ${\displaystyle T,}$ ${\displaystyle (\mu _{p})_{p\in I},}$ ${\displaystyle p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V}$ $${\displaystyle T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.}$$

例: (無限次分布) とすると、すべてのテスト関数に対して ${\displaystyle U:=(0,\infty )}$ ${\displaystyle f,}$ $${\displaystyle Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).}$$

すると、はU上の無限位数の超関数となる。さらに、 は上の超関数に拡張できない。つまり、のUへの制限がに等しい上の超関数は存在しない^。[50] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S.}$

緩和分布とフーリエ変換

以下にシュワルツ空間とその双対である緩和分布の空間が定義される。緩和分布の空間は、上の分布の空間の適切な部分空間を形成する。緩和分布は、フーリエ変換を研究する場合に有用である。なぜなら、緩和分布はすべてフーリエ変換を持つからである。これは、任意の分布に対しては成り立たない。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n});}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n}).}$

シュワルツ空間

シュワルツ空間 とは、すべての偏微分とともに無限大で急速に減少する滑らかな関数全体の成す空間である。したがって、の任意の微分を の任意のべき乗で乗じたものが0 に収束するという条件で、 はシュワルツ空間に含まれる。これらの関数は、適切に定義された半ノルム族 を持つ完全なTVSを形成する。より正確には、任意の多重添字と に対して、次のように定義される 。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \phi ,}$ ${\displaystyle |x|,}$ ${\displaystyle |x|\to \infty .}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )=\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.}$$

全ての値が満たされる場合、シュワルツ空間に存在します。 ${\displaystyle \phi }$ $${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .}$$

半ノルム族はシュワルツ空間上の局所凸位相を定義する。なぜなら、半ノルムは実際にはシュワルツ空間上のノルムだからである。また、次の半ノルム族を用いて位相を定義することもできる。^[51] ${\displaystyle p_{\alpha ,\beta }}$ ${\displaystyle n=1,}$ $${\displaystyle |f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .}$$

そうでなければ、次のようにノルムを定義することができる。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \|\phi \|_{k}=\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.}$$

シュワルツ空間はフレシェ空間（すなわち、完備 計量化可能な局所凸空間）である。フーリエ変換はの乗算に、またその逆も成り立つため、この対称性はシュワルツ関数のフーリエ変換もまたシュワルツ関数であることを意味する。 ${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$ ${\displaystyle x^{\alpha }}$

における数列が0に収束する場合、かつその関数が全体で一様に0に収束する場合に限り、そのような数列は^{[51]で必ず0に収束する。} ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle (1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})}$は において稠密である。また、すべての解析シュワルツ関数の部分集合も において稠密である。 ^[52] ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

シュワルツ空間は核空間であり、2つの写像のテンソル積は標準的な射影的TVS同型を誘導する。ここで、は入射テンソル積の完備化を表す（この場合は射影テンソル積の完備化と同一である）。^[53] $${\displaystyle {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),}$$ ${\displaystyle {\widehat {\otimes }}}$

緩和分布

包含写像は、その像がその余域において稠密である連続射影であるので、転置写像も連続射影である。したがって、転置写像の像は、超関数の空間を形成する。 ${\displaystyle \operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$

この空間は緩和超関数の空間と呼ばれる。これはシュワルツ空間の連続双対空間である。同様に、超関数が緩和超関数であることは、 ${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle T}$ $${\displaystyle \left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.}$$

緩和分布の微分もまた緩和分布である。^[54]緩和分布は、有界（または緩やかに増加する）局所積分可能関数を一般化する。コンパクトな台を持つすべての分布とすべての平方積分可能関数は緩和分布である。より一般的には、 L ^p空間 の元を持つ多項式の積であるすべての関数は緩和分布である。^[55] ${\displaystyle L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

緩和分布は、緩やかに増加すると特徴付けられる。つまり、 の各導関数は、最大で何らかの多項式と同じ速さで増加する。この特徴付けは、シュワルツ空間における関数の導関数の急激に減少する挙動と双対であり、 の各導関数はの逆数乗よりも速く減少する。急激に減少する関数の例としては、任意の正の ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle |x|.}$ ${\displaystyle |x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })}$ ${\displaystyle n,\lambda ,\beta .}$

フーリエ変換

フーリエ変換について学ぶには、複素数値テスト関数と複素線形分布を検討するのが最適です。通常の連続フーリエ変換は、シュワルツ空間の TVS自己同型であり、フーリエ変換はその転置として定義され、これは (表記法を乱用して) 再び と表されます。したがって、緩和分布のフーリエ変換は によって定義され、すべてのシュワルツ関数はしたがって再び緩和分布になります。フーリエ変換は、緩和分布の空間からそれ自身への TVS 同型です。この操作は、 という意味で微分と互換性があり、畳み込みとも互換性があります。が緩和分布で が上で緩やかに増加する滑らかな関数である場合、 は再び緩和分布であり、 はとの畳み込みです。特に、1 に等しい定数関数のフーリエ変換は分布です。 ${\displaystyle F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle {}^{\text{t}}\!F:{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}),}$ ${\displaystyle F.}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (FT)(\psi )=T(F\psi )}$ ${\displaystyle \psi .}$ ${\displaystyle FT}$ $${\displaystyle F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT}$$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \psi T}$ $${\displaystyle F(\psi T)=F\psi *FT}$$ ${\displaystyle FT}$ ${\displaystyle F\psi .}$ ${\displaystyle \delta }$

緩和分布を微分和として表す

が緩和分布である場合、すべてのシュワルツ関数に対して、定数と正の整数が存在し、 ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle C>0,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle \langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).}$$

この推定値は、関数解析のいくつかの手法と併せて、連続的に緩やかに増加する関数と、次のような多重指数が存在することを示すために使用できる。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle T=\partial ^{\alpha }F.}$$

正則関数をテスト関数として使用する

この理論の成功は、正則関数の空間をテスト関数として用いる超関数の概念の研究につながりました。特に佐藤幹夫による代数解析は、層理論と複数の複素変数を用いて、洗練された理論として発展しました。これにより、例えばファインマン積分など、厳密な数学に応用できる記号的手法の範囲が広がりました。

参照

• コーシー主値 – そうでなければ定義されない特定の不定積分に値を割り当てる方法
• ゲルファント三重項 – 関数解析における「境界」固有値と連続固有値の研究を結びつける構成Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ゲルファンド・シロフ空間
• 一般化関数 – 関数の概念を拡張したオブジェクト
• ヒルベルト変換 – 積分変換と線形演算子
• 均一分布 – 数学的分布の種類
• 指標のラプラシアン – 滑らかな関数の列の極限
• 分配の制限
• Mollifier  – 鋭い特徴を滑らかにする積分カーネル
• 曖昧な位相
• 超分布 – 数学的分布の拡張

微分方程式関連

• 基本解 – 線形偏微分方程式の解法における概念
• 擬微分演算子 – 微分演算子の種類
• 弱い解 – 数学的解

分布の一般化

• コロンボー代数
• 電流（数学）  - 微分形式空間上の超関数
• 分布（数論）
• 線型代数群上の超関数 – 支持条件を満たす線型関数
• グリーン関数 – 非線形2階微分方程式
• ハイパーファンクション – 一般化関数の種類
• マルグランジュ・エーレンプライスの定理

注記

1. 整数であるということは、 を意味することに注意してください。これは、 と表現されることもあります。 ⁠ ⁠なので、不等式「 ⁠ ⁠」は、 の場合、 の場合、 の場合は⁠ ⁠を意味します。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i\neq \infty .}$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1.}$ ${\displaystyle \infty +1=\infty }$ ${\displaystyle 0\leq i<k+1}$ ${\displaystyle 0\leq i<\infty }$ ${\displaystyle k=\infty ,}$ ${\displaystyle k\neq \infty }$ ${\displaystyle 0\leq i\leq k}$
2. 連続- 値写像によるコンパクト セットの像(たとえば、 ⁠ ⁠の場合) は、それ自体が のコンパクトで、したがって有界な部分集合です。の場合、これは上で定義された各関数が - 値であることを意味します(つまり、上記の上限はどれも と等しくなることはありません)。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x\mapsto \left|\partial ^{p}f(x)\right|}$ ${\displaystyle x\in U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle K\neq \varnothing }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \infty }$
3. 空間と全く同様に、空間は から継承した部分空間位相を備え、 に含まれるサポートを持つ写像からなるのベクトル部分空間として定義されます。 ${\displaystyle C^{k}(K;U),}$ ${\displaystyle C^{k}(K;U')}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C^{k}(U')}$
4. の位相は計量化可能ではないが、 上の線型汎関数が連続となるのは、それが逐次連続となる場合のみである。 ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C_{\text{c}}^{\infty }(U)}$
5. ヌルシーケンスは原点に収束するシーケンスです。
6. が通常の関数比較にも従う場合、有限コレクションが単一の要素で構成されていると見なすことができます。 ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$
7. 位相ベクトル空間 E の部分空間 S から位相空間 E 自体への写像の拡張定理は、非線型写像にも適用できます (ただし、それらが一様連続であると仮定した場合)。 しかし、残念ながら、これは今回のケースには当てはまりません。 tvs E から別の tvs F への線型連続写像 A を「拡張」して、双対 E' から双対 F' への線型連続写像を取得したいとします (空間の順序に注意)。 一般に、これは拡張問題でもありません。なぜなら (一般に) E は必ずしもそれ自身の双対 E' の部分集合ではないからです。 さらに、これは古典的な位相転置問題でもありません。なぜなら、 A の転置は F' から E' へであり、E' から F' へではないからです。 実際、今回のケースでは、ローラン・シュワルツ空間 D(U) と D'(U) の特定の位相特性、および線型連続演算子 A の弱 (またはシュワルツ) 随伴の基本概念を含む、新しい考え方が必要になります。
8. 例えば、 とを1つの実変数の関数の通常の微分とし、 のサポートが有限区間に含まれると仮定すると、となる。ここで最後の等式は ${\displaystyle U=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (a,b),}$ ${\displaystyle \operatorname {supp} (\phi )\subseteq (a,b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathbb {R} }\phi '(x)f(x)\,dx&=\int _{a}^{b}\phi '(x)f(x)\,dx\\&=\phi (x)f(x){\big \vert }_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=\phi (b)f(b)-\phi (a)f(a)-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\\&=-\int _{a}^{b}f'(x)\phi (x)\,dx\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \phi (a)=\phi (b)=0.}$

参考文献

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27. 例えばHörmander 1983、定理6.1.1を参照。
28. Hörmander 1983、定理 6.1.2 を参照。
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31. 例えばRudin 1991、§6.29を参照。
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33. Hörmander 1983、§IV.2はそのような拡張の一意性を証明している。
34. 例えば、Gel'fand & Shilov 1966–1968、pp. 103–104、v. 1およびBenedetto 1997、定義2.5.8を参照。
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さらに読む

• MJライトヒル（1959年）『フーリエ解析と一般化関数入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-09128-4（解析の知識はほとんど必要ありません。超関数を積分の下での関数列の極限として定義します）
• VS Vladimirov (2002).一般化関数理論の方法. Taylor & Francis. ISBN 0-415-27356-0
• ウラジミロフ、VS（2001）[1994]、「一般化関数」、数学百科事典、EMSプレス。
• ウラジミロフ、VS (2001) [1994]、「一般化関数、空間」、数学百科事典、EMSプレス。
• ウラジミロフ、VS（2001）[1994]、「一般化関数、aの微分」、数学百科事典、EMSプレス。
• Vladimirov, VS (2001) [1994]、「一般化関数の積」、数学百科事典、EMS Press。
• オベルグッゲンベルガー、マイケル (2001) [1994]、「一般化関数代数」、数学百科事典、EMSプレス。

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