トーラスノット

3次元空間のトーラスの表面にある結び目

(3,−7) -3Dトーラスノット。

(2,3)-トーラス結び目を示すEureleA賞。

(2,8) トーラスリンク

結び目理論において、トーラス結び目はR ³の結び目のないトーラスの表面にある特別な種類の結び目です。同様に、トーラスリンクは、同じようにトーラスの表面にあるリンクです。各トーラス結び目は、互いに素な整数pとqのペアで指定されます。pとqが互いに素でない場合（その場合、成分の数はgcd ( p,q ) です）、トーラスリンクが発生します。トーラス結び目は、pまたはqのいずれかが 1 または -1 に等しい場合にのみ、自明（結び目のない結び目と同等）です。最も単純で自明でない例は、トレフォイルノットとしても知られる (2,3)-トーラス結び目です。

(2,−3)-トーラス結び目、左手三葉結び目としても知られる

幾何学的表現

トーラスノットは、位相的には同値（以下の特性を参照）であるものの、幾何学的には異なる複数の方法で幾何学的に表現できます。この記事および図では、以下の表記法が用いられています。

( p , q )-トーラス結び目は、トーラス内部の円の周りをq回、回転対称軸の周りをp回巻きます。^{[注 1]} pとq が互いに素でない場合、複数のコンポーネントを持つトーラスリンクが形成されます。

結び目のストランドがトーラスに巻き付く方向も、様々な慣習に従っている。最も一般的なのは、pq > 0のときにストランドが右巻きのねじを形成するというものである。^{[3] [4] [5]}

（p , q ）トーラス結び目は、パラメータ化によって与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}}$

ここで、 および です。これは、 （円筒座標）で与えられるトーラスの表面上にあります。 ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+2}$ ${\displaystyle 0<\phi <2\pi }$ ${\displaystyle (r-2)^{2}+z^{2}=1}$

結び目は連続的な変形まで定義されるため、他のパラメータ化も可能です。(2,3)-トーラス結び目と(3,8)-トーラス結び目の図は、 を取ることで得られます。また、(2,3)-トーラス結び目の場合は、さらに上記のxとyのパラメータ化からそれぞれ と を減算することで得られます。後者は、を満たす任意の互いに素なp,qに滑らかに一般化されます。 ${\displaystyle r=\cos(q\phi )+4}$ ${\displaystyle 3\cos((p-q)\phi )}$ ${\displaystyle 3\sin((p-q)\phi )}$ ${\displaystyle p<q<2p}$

プロパティ

(3,−8)-トーラス結び目の図。

トーラス結び目は、pまたはqのいずれかが1または-1に等しい場合にのみ自明である。 ^{[4] [5]}

それぞれの非自明なトーラス結び目は素数^[6]かつカイラルである。^[4]

( p , q ) トーラスノットは ( q , p ) トーラスノットと同等です。^{[3] [5] [7]} ( p ,− q ) トーラスノットは ( p , q ) トーラスノットの表側（鏡像）です。^[5] (− p ,− q ) トーラスノットは、向きが逆であることを除いて ( p , q ) トーラスノットと同等です。

アンラップされたトーラス面上の(3, 4)トーラス結び目とその組紐語

任意の( p , q )-トーラス結び目はp本のストランドからなる閉じた組紐から作ることができる。適切な組紐語は^[8]である。

${\displaystyle (\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.}$

（この式は、編組生成器は右ねじれであるという一般的な慣習を前提としていますが、^{[4] [8] [9] [10]}はWikipediaの編組に関するページでは従っていません。）

p , q > 0 の( p , q ) トーラス結び目の交差数は次のように与えられる。

c = min(( p −1) q , ( q −1) p )。

p , q > 0のトーラス結び目の種数は

${\displaystyle g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).}$

トーラス結び目のアレクサンダー多項式は[ 3 ^{] [8]}

${\displaystyle t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},}$どこ ${\displaystyle k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.}$

（右手）トーラス結び目のジョーンズ多項式は次のように与えられる。

${\displaystyle t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.}$

3 次元球面のトーラス結び目の補集合は、2 つの特異なファイバーで円板上にファイバー化されたザイフェルト ファイバー多様体です。

Y をp倍のダンスキャップから内部の円板を取り除いたもの、 Z をq倍のダンスキャップから内部の円板を取り除いたもの、 X をYとZ を境界円に沿って同一視して得られる商空間とする。 ( p , q ) トーラス結び目の変形の結び目の補集合は空間Xに収束する。したがって、トーラス結び目の結び目群は次のように表現される。

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .}$

トーラス結び目は、結び目グループが非自明な中心（上記のプレゼンテーションの要素によって生成される無限循環）を持つ唯一の結び目です。 ${\displaystyle x^{p}=y^{q}}$

ユークリッド空間における曲線としての( p , q )トーラスノットの伸長係数はΩ(min( p , q ))であるため、トーラスノットは無限の伸長係数を持つ。学部生研究者のジョン・パードンは、この結果を証明した研究により2012年のモーガン賞を受賞した。この研究は、ミハイル・グロモフが最初に提起した問題を解いた。^{[11] [12]}

複素超曲面への接続

( p , q )−トーラス結び目は、孤立した複素超曲面の特異点の連結を考える際に生じる。複素超曲面は、孤立した特異点を中心とし、他の特異点を囲んだり、交差したりしない程度に半径が小さい超球面と交差する。この交差は超球面の部分多様体を与える。

pとq が互いに素で、2 以上の整数であるとします。によって与えられる正則関数 を考えます。をの集合とします。実数が与えられると、実三次元球面を によって定義します。 関数はに孤立した臨界点を持ちます。これは の場合に限ります。したがって、に近いの構造を考えます。これを行うには、 の交点を考えます。この交点は、いわゆる特異点のリンクです。pとq が互いに素で、どちらも 2 以上であるのリンクは、まさに ( p , q )−トーラス結び目です。^[13] ${\displaystyle f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f(w,z):=w^{p}+z^{q}.}$ ${\displaystyle V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle (w,z)\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle f(w,z)=0.}$ ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1,}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle |w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0}$ ${\displaystyle w=z=0.}$ ${\displaystyle V_{f}}$ ${\displaystyle (0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.}$ ${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}.}$ ${\displaystyle f(w,z)=w^{p}+z^{q}}$

リスト

(72,4) トーラスリンク

• 解けた、3 ₁ノット(3,2)、5 ₁ノット(5,2)、7 ₁ノット(7,2)、8 ₁₉ノット (4,3)、9 ₁ノット(9,2)、10 ₁₂₄ノット(5,3)

テーブル ＃	AB	画像	P	質問	クロス ＃
0	0 1		1	0	0
3a1	3 1		2	3	3
5a2	5 1		2	5	5
7a7	7 1		2	7	7
8n3	8月19日		3	4	8
9a41	9 1		2	9	9
10n21	10 124		3	5	10
11a367			2	11	11
13a4878			2	13	13
14n21881			3	7	14
15n41185			4	5	15
15a85263			2	15	15
16n783154			3	8	16
			2	17	17
			2	19	19
			3	10	20
			4	7	21
			2	21	21
			3	11	22
			2	23	23
			5	6	24
			2	25	25
			3	13	26
			4	9	27
			2	27	27
			5	7	28
			3	14	28
			2	29	29
			2	31	31
			5	8	32
			3	16	32
			4	11	33
			2	33	33
			3	17	34
			6	7	35
			2	35	35
			5	9	36
			7	8	48
			7	9	54
			8	9	63

グラム-トーラスノット

g-トーラス結び目は、 g-トーラス上に描かれた閉曲線である。より技術的には、S³内の円の同相像であり、 S³内の種数 g ハンドルボディ（その補集合も種数gハンドルボディである）の部分集合として実現される。リンクが種数 2 ハンドルボディの部分集合である場合、それは二重トーラスリンクである。^[14]

種数2の場合、トーラス結び目ではない二重トーラス結び目の最も単純な例は8の字結び目である。^{[15] [16]}

注記

1. pとqの役割のこの用法は、^{[1]に現れるものとは矛盾していることに注意してください。また、 [2]}に現れる図とも矛盾しています。

参照

• 交互結び
• 衛星結び目
• 双曲結び目
• トーラスの無理数巻き

参考文献

1. Wolfram MathworldのTorus Knot[1]。
2. 「36トーラスノット」、ノットアトラス[2]。
3. リビングストン、チャールズ (1993).結び目理論. アメリカ数学会. p.  ^{[必要ページ]} . ISBN 0-88385-027-3。
4. 村杉邦夫 (1996).結び目理論とその応用。ビルクホイザー。 p.  ^{[必要なページ]}。ISBN 3-7643-3817-2。
5. 川内 昭夫 (1996).結び目理論概論. ビルクハウザー. p.  ^{[必要ページ]} . ISBN 3-7643-5124-1。
6. Norwood, FH (1982-01-01). 「すべての2生成子結び目は素数である」. Proceedings of the American Mathematical Society . 86 (1): 143– 147. doi : 10.1090/S0002-9939-1982-0663884-7 . ISSN  0002-9939. JSTOR  2044414.
7. Baker, Kenneth (2011-03-28). 「pq is q p」. Sketches of Topology . 2020年11月9日閲覧。
8. Lickorish, WBR (1997).結び目理論入門. Springer. p.  ^{[必要ページ]} . ISBN 0-387-98254-X。
9. Dehornoy, P.; Dynnikov, Ivan; Rolfsen, Dale; Wiest, Bert (2000). Why are Braids Orderable? (PDF) . p.  ^{[ page needed ]} . 2012年4月15日時点のオリジナル(PDF)からのアーカイブ。 2011年11月12日閲覧。
10. Birman, JS; Brendle, TE (2005). 「Braids: a Survey」. Menasco, W.; Thistlethwaite, M. (編). Handbook of Knot Theory . Elsevier. p.  ^{[ page needed ]} . ISBN 0-444-51452-X。
11. Kehoe, Elaine (2012年4月)、「2012 Morgan Prize」、アメリカ数学会の通知、第59巻、第4号、pp.  569– 571、doi : 10.1090/noti825。
12. Pardon, John (2011)、「埋め込み面上の結び目の歪みについて」、Annals of Mathematics、第2シリーズ、174 (1): 637– 646、arXiv : 1010.1972、doi :10.4007/annals.2011.174.1.21、MR  2811613、S2CID  55567836
13. ミルナー、J. (1968).複素超曲面の特異点. プリンストン大学出版局. p.  ^{[必要ページ]} . ISBN 0-691-08065-8。
14. ロルフセン、デール (1976). 『結び目とつながり』 Publish or Perish, Inc. p.  ^{[必要ページ]} . ISBN 0-914098-16-0。
15. ヒル、ピーター（1999年12月）「二重トーラス結び目について（I）」『結び目理論とその波及効果ジャーナル』08 （ 8）：1009-1048。doi：10.1142/S0218216599000651。ISSN 0218-2165  。
16. Norwood, Frederick (1989年11月). 「曲面上の曲線」.トポロジーとその応用. 33 (3): 241– 246. doi : 10.1016/0166-8641(89)90105-3 .

外部リンク

• 「36 トーラス ノット」、The Knot Atlas。
• ワイスタイン、エリック・W.「トーラスノット」。MathWorld。
• Actionscript のトーラスノット レンダラー
• PQ-トーラスノットの楽しみ

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