送電線

Cable or other structure for carrying radio waves

損失のない2線式伝送線路を右方向に移動する波の模式図。黒い点は電子を表し、矢印は電界を表す。

最も一般的な伝送線路の1つである同軸ケーブル

電気工学において、伝送線路とは、電磁波を閉じ込めた状態で伝導するように設計された特殊なケーブルまたはその他の構造物を指します。この用語は、導体が十分に長く、伝送の波動性を考慮しなければならない場合に適用されます。これは特に無線周波数工学に当てはまります。波長が短いため、波動現象は非常に短い距離（周波数によっては数ミリメートル程度）で発生するためです。しかし、伝送線路の理論は歴史的に、非常に長い電信線路、特に海底電信ケーブル上の現象を説明するために発展しました。

伝送線路は、無線送信機と受信機をアンテナに接続する（給電線またはフィーダーと呼ばれる）、ケーブルテレビ信号の分配、電話交換局間の通話をルーティングする幹線、コンピュータネットワーク接続、高速コンピュータデータバスなどの用途に使用されます。RFエンジニアは、通常、プリントされた平面伝送線路の形状をした短い伝送線路を特定のパターンに配置してフィルタなどの回路を構築します。分布定数回路と呼ばれるこれらの回路は、個別のコンデンサとインダクタを使用する従来の回路に代わるものです。

概要

通常の電気ケーブルは、1秒間に100～120回方向が反転する主電源やオーディオ信号などの低周波交流(AC) を伝送するには十分です。ただし、約30 kHz以上の無線周波数範囲^[1]の電流の伝送には通常使用されません。これは、エネルギーがケーブルから電波として放射され、電力損失を引き起こす傾向があるためです。無線周波数電流はまた、コネクタやジョイントなどのケーブルの不連続性で反射し、ケーブルを通って発生源に向かって逆戻りします。^{[1] [2]} これらの反射がボトルネックとなり、信号電力が宛先に到達するのを妨げます。伝送線路は、特殊な構造とインピーダンス整合を使用して、反射と電力損失を最小限に抑えながら電磁信号を伝送します。ほとんどの伝送線路の特徴は、全長にわたって断面寸法が均一であるため、特性インピーダンスと呼ばれる均一なインピーダンスが得られることです[ ^{2] [3] [4]}反射を防ぎます。伝送線路の種類には、平行線路（ラダー線路、ツイストペア線路）、同軸ケーブル、ストリップ線路やマイクロストリップ線路などの平面伝送線路があります。^{[5] [6]}特定のケーブルまたは媒体を伝わる電磁波の周波数が高くなるほど、波の波長は短くなります。伝送線路は、伝送される周波数の波長が十分に短く、ケーブルの長さが波長のかなりの部分を占める場合に必要になります。

マイクロ波以上の周波数では、伝送線路における電力損失が過大となるため、代わりに導波管が使用されます。導波管は電磁波を閉じ込めて導く「パイプ」として機能します。^{[1] [6]} 一部の情報源では導波管を伝送線路の一種と定義していますが、^[6]本稿では導波管は扱いません。

歴史

送電線の動作に関する数学的解析は、ジェームズ・クラーク・マクスウェル、ケルビン卿、オリバー・ヘヴィサイドの研究から発展しました。1855年、ケルビン卿は海底ケーブル内の電流拡散モデルを定式化しました。このモデルは、1858年に敷設された大西洋横断海底電信ケーブルの性能の低さを正確に予測しました。1885年、ヘヴィサイドはケーブル内の伝搬解析と電信方程式の現代的な形を解説した最初の論文を発表しました。^[7]

4端子モデル

伝送線路の回路図上の 電子記号のバリエーション

解析の目的で、電気伝送線路は次のように2 ポート ネットワーク(四極子とも呼ばれる) としてモデル化できます。

最も単純なケースでは、ネットワークは線形（つまり、反射がない場合、どちらのポートにかかる複素電圧もそこに流入する複素電流に比例する）であると仮定され、2つのポートは互換性があると仮定されます。伝送線路が全長にわたって均一である場合、その動作は主に特性インピーダンス（記号）と伝搬遅延（記号）と呼ばれる2つのパラメータによって記述されます。は、線路上の任意の点における、ある波の複素電圧と、同じ波の複素電流の比です。の典型的な値は以下のとおりです。 ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \tau _{p}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$同軸ケーブルの場合は50または75 オーム、約ツイストペア線の場合は100オーム、無線伝送でよく使われる非ツイストペア線の場合、伝搬遅延は300オームです。伝搬遅延は伝送線路の長さに比例し、長さを光速で割った値よりも小さくなることはありません。現代の通信伝送線路における典型的な遅延は、3.33 ns/mから5 ns/m。

伝送線路に電力を送る場合、通常は、できるだけ多くの電力が負荷に吸収され、電力源への反射ができるだけ少なくなることが望まれます。これは、負荷インピーダンスを に等しくすることで実現できます。この場合、伝送線路は に整合していると言われます。 ${\displaystyle Z_{0}}$

伝送線路は2本の黒い線で描かれます。線路のx地点では、各線に電流I ( x )が流れ、線間には電圧差V ( x )が生じます。電流と電圧が単一波（反射なし）から発生する場合、V ( x )/ I ( x ) = Z ₀となります。ここで、Z ₀は線路の特性インピーダンスです。

平衡伝送線路における差動ガウスパルス

伝送線路に供給される電力の一部は、その抵抗によって失われます。この効果は抵抗損失または抵抗性損失と呼ばれます（抵抗加熱を参照）。高周波では、誘電損失と呼ばれる別の効果が顕著になり、抵抗による損失に加えて発生します。誘電損失は、伝送線路内の絶縁体が交流電界からエネルギーを吸収し、それを熱に変換することで発生します（誘電加熱を参照）。伝送線路は、抵抗（） ${\displaystyle R}$とインダクタンス（） ${\displaystyle L}$が直列に接続され、静電容量（） ${\displaystyle C}$とコンダクタンス（） ${\displaystyle G}$が並列に接続されたモデルで表されます。抵抗とコンダクタンスは、伝送線路の損失に寄与します。

伝送線路における総電力損失は、多くの場合デシベル/メートル（dB/m）で規定され、常に信号の周波数に依存します。メーカーは、様々な周波数における損失をdB/mで示すチャートを提供することがよくあります。3 dB は電力のほぼ半分に相当します。

伝搬遅延は、多くの場合、1メートルあたりナノ秒の単位で規定されます。伝搬遅延は通常、信号の周波数に依存しますが、伝送線路は通常、伝搬遅延がほぼ一定となる周波数範囲で運用されます。

電信方程式

電信方程式（または単に電信方程式）は、送電線上の電圧（）と電流（ ）を、距離と時間とともに記述する一対の線型微分方程式です。これは、送電線モデルを考案したオリバー・ヘヴィサイドによって発展され、マクスウェル方程式に基づいています。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle I}$

伝送線路の基本構成要素の概略図

伝送線路モデルは分布定数素子モデルの一例である。伝送線路を2ポートの基本素子の無限列として表現し、各基本素子は伝送線路の無限に短い区間を表す。

• 導体の分布抵抗は、直列抵抗器（単位長さあたりのオームで表される）によって表されます。 ${\displaystyle R}$
• 分布インダクタンス（電線の周囲の磁場、自己インダクタンスなどによる）は、直列インダクタ（単位長さあたりのヘンリー単位）で表されます。 ${\displaystyle L}$
• 2 つの導体間の静電容量は、シャントコンデンサ(単位長さあたりのファラッド単位) によって表されます。 ${\displaystyle C}$
• 2 つの導体を分離する誘電体材料のコンダクタンスは 、信号線と戻り線の間のシャント抵抗器によって表されます (単位長さあたりのジーメンス単位)。 ${\displaystyle G}$

このモデルは、図に示す要素の無限列で構成されており、各要素の値は単位長さあたりで指定されているため、図から誤解を招く可能性があります。、、、は周波数の関数となる場合もあります。別の表記法として、、、を使用して、これらの値が長さに関する微分であることを強調することもできます。これらの量は、伝搬定数、減衰定数、位相定数といった、それらから導出される二次線路定数と区別するために、一次線路定数と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle L'}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle G'}$

線間電圧と電流は周波数領域で次のように表すことができます。 ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}=-(R+j\,\omega \,L)\,I(x)}$

${\displaystyle {\frac {\partial I(x)}{\partial x}}=-(G+j\,\omega \,C)\,V(x)~\,.}$

（微分方程式、角周波数ω、虚数単位jを参照）

ロスレスラインの特殊なケース

要素とが無視できるほど小さい場合、伝送線路は無損失構造とみなされます。この仮定的なケースでは、モデルは要素と要素のみに依存するため、解析が大幅に簡素化されます。無損失伝送線路の場合、定常状態の2次の電信方程式は以下のとおりです。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}L\,C\,V(x)=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}+\omega ^{2}L\,C\,I(x)=0~\,.}$

これらは、順方向と逆方向の伝搬速度が等しい平面波を解とする波動方程式です。この物理的な意味は、電磁波が伝送線路を伝搬し、一般的に元の信号に干渉する反射成分が存在することです。これらの方程式は伝送線路理論の基礎となります。

損失のあるラインの一般的なケース

一般的なケースでは、損失項とが両方とも含まれており、電信方程式の完全な形は次のようになります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V(x)}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}V(x)\,}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}I(x)}{\partial x^{2}}}=\gamma ^{2}I(x)\,}$

ここでは（複素）伝搬定数です。これらの方程式は伝送線路理論の基礎となります。これらは波動方程式でもあり、特殊な場合と同様の解を持ちますが、指数関数的減衰を持つ正弦と余弦の混合です。伝搬定数を主要パラメータ、、、 を用いて解くと、次の式が得られます。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {(R+j\,\omega \,L)(G+j\,\omega \,C)\,}}}$

特性インピーダンスは次のように表される。

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {{\frac {R+j\,\omega \,L}{G+j\,\omega \,C}}\,}}~\,.}$

およびの解決策は次のとおりです。 ${\displaystyle V(x)}$ ${\displaystyle I(x)}$

${\displaystyle V(x)=V_{(+)}e^{-\gamma \,x}+V_{(-)}e^{+\gamma \,x}\,}$

${\displaystyle I(x)={\frac {1}{Z_{0}}}\,\left(V_{(+)}e^{-\gamma \,x}-V_{(-)}e^{+\gamma \,x}\right)~\,.}$

定数は境界条件から決定する必要があります。電圧パルスが から始まり正の方向に移動する場合、位置 における 送信パルスは、 のフーリエ変換 を計算し、各周波数成分をだけ減衰させ、位相を だけ進め、逆フーリエ変換 を行うことで得られます。 の実部と虚部は次のように計算できます。 ${\displaystyle V_{(\pm )}}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {in} }(t)\,}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {out} }(x,t)\,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {V}}(\omega )}$ ${\displaystyle V_{\mathrm {in} }(t)\,}$ ${\displaystyle e^{-\operatorname {Re} (\gamma )\,x}\,}$ ${\displaystyle -\operatorname {Im} (\gamma )\,x\,}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\alpha =(a^{2}+b^{2})^{1/4}\cos(\psi )\,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\beta =(a^{2}+b^{2})^{1/4}\sin(\psi )\,}$

と

${\displaystyle a~\equiv ~R\,G\,-\omega ^{2}L\,C\ ~=~\omega ^{2}L\,C\,\left[\left({\frac {R}{\omega L}}\right)\left({\frac {G}{\omega C}}\right)-1\right]}$

${\displaystyle b~\equiv ~\omega \,C\,R+\omega \,L\,G~=~\omega ^{2}L\,C\,\left({\frac {R}{\omega \,L}}+{\frac {G}{\omega \,C}}\right)}$

右辺の式は、 、 、 のいずれもゼロでない場合、および ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \psi ~\equiv ~{\tfrac {1}{2}}\operatorname {atan2} (b,a)\,}$

ここで、atan2は、2 つのパラメータを持つ逆正接関数のどこでも定義された形式であり、両方の引数がゼロの場合、任意の値はゼロになります。

あるいは、複素平方根を代数的に評価して、次の式を得ることもできます。

${\displaystyle \alpha ={\frac {\pm b}{\sqrt {2\left(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)~}}},}$

そして

${\displaystyle \beta =\pm {\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left(-a+{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\right)~}},}$

プラスまたはマイナスの符号は、伝導媒体を通る波の運動方向と反対に選択されます。( a は通常負です。なぜなら、 と は通常、それぞれと よりもはるかに小さいため、 -aは 通常正です。bは常に正です。) ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \omega C}$ ${\displaystyle \omega L}$

特殊な低損失ケース

損失が小さく、周波数が高い場合、一般的な方程式は次のように簡略化できます。 ${\displaystyle {\tfrac {R}{\omega \,L}}\ll 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {G}{\omega \,C}}\ll 1}$

${\displaystyle \operatorname {Re} (\gamma )=\alpha \approx {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {L\,C\,}}\,\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {Im} (\gamma )=\beta \approx \omega \,{\sqrt {L\,C\,}}~.\,}$

位相が だけ進むことはだけ遅れることと等価なので、次のように簡単に計算できる。 ${\displaystyle -\omega \,\delta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle V_{out}(t)}$

${\displaystyle V_{\mathrm {out} }(x,t)\approx V_{\mathrm {in} }(t-{\sqrt {L\,C\,}}\,x)\,e^{-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {L\,C\,}}\,\left({\frac {R}{L}}+{\frac {G}{C}}\right)\,x}.\,}$

ヘビサイド病

ヘヴィサイド条件は です。 ${\displaystyle {\frac {G}{C}}={\frac {R}{L}}}$

R、G、L、C が周波数に依存しない定数であり、ヘビサイド条件が満たされている場合、波は分散歪みなしで伝送線路を伝わります。

伝送線路の入力インピーダンス

損失のない伝送線路を通して負荷に向かって見ると、インピーダンスは が増加するにつれて変化し、このインピーダンス スミス チャートの青い円に沿っていきます。(このインピーダンスは反射係数、つまり反射電圧を入射電圧で割った値によって特徴付けられます。) チャートの中央にある青い円は、SWR 円(定在波比一定の略) と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \ell }$

伝送線路の特性インピーダンスは、 単一の電圧波の振幅と電流波の振幅の比です。ほとんどの伝送線路には反射波も存在するため、特性インピーダンスは通常、伝送線路上で測定されるインピーダンスとは異なります。 ${\displaystyle Z_{0}}$

負荷インピーダンスから所定の距離で測定されたインピーダンスは次のように表される。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }\left(\ell \right)={\frac {V(\ell )}{I(\ell )}}=Z_{0}{\frac {1+{\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }e^{-2\gamma \ell }}{1-{\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }e^{-2\gamma \ell }}}}$、

ここで、は伝搬定数、は伝送線路の負荷端で測定された電圧反射係数です。あるいは、上記の式を変形して、入力インピーダンスを負荷電圧反射係数ではなく負荷インピーダンスで表すこともできます。 ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}_{\mathrm {L} }={\frac {\,Z_{\mathrm {L} }-Z_{0}\,}{Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}}}}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=Z_{0}\,{\frac {Z_{\mathrm {L} }+Z_{0}\tanh \left(\gamma \ell \right)}{Z_{0}+Z_{\mathrm {L} }\,\tanh \left(\gamma \ell \right)}}}$。

無損失伝送線路の入力インピーダンス

損失のない伝送線路の場合、伝搬定数は純虚数なので、上記の式は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle \gamma =j\,\beta }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=Z_{0}{\frac {Z_{\mathrm {L} }+j\,Z_{0}\,\tan(\beta \ell )}{Z_{0}+j\,Z_{\mathrm {L} }\tan(\beta \ell )}}}$

ここで、 は波数です。 ${\displaystyle \beta ={\frac {\,2\pi \,}{\lambda }}}$

計算において、波長は伝送線路内部と自由空間では通常異なります。したがって、計算を行う際には、伝送線路を構成する材料の速度係数を考慮する必要があります。 ${\displaystyle \beta ,}$

無損失伝送線路の特殊なケース

半波長

nが整数（線路の長さが半波長の倍数であることを意味する）である特殊なケースでは、式は負荷インピーダンスに簡約され、 ${\displaystyle \beta \,\ell =n\,\pi }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }=Z_{\mathrm {L} }\,}$

全ての場合において、 の場合もこれに含まれ、これは伝送線路の長さが波長に比べて無視できるほど小さいことを意味します。このことの物理的な意味は、どちらの場合も伝送線路を無視できる（つまり、導線として扱える）ということです。 ${\displaystyle n\,.}$ ${\displaystyle n=0}$

1/4波長

線路の長さが1/4波長、または1/4波長の奇数倍の場合、入力インピーダンスは次のようになります。

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }={\frac {Z_{0}^{2}}{Z_{\mathrm {L} }}}~\,.}$

マッチング負荷

もう1つの特殊なケースは、負荷インピーダンスが線路の特性インピーダンスに等しい場合（つまり、線路が整合している場合）であり、この場合、インピーダンスは線路の特性インピーダンスまで減少し、

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }=Z_{\mathrm {L} }=Z_{0}\,}$

すべての人のために。 ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \lambda }$

短い

開放負荷（上）と短絡負荷（下）をかけた伝送線路上の定在波。黒い点は電子を表し、矢印は電界を示す。

短絡負荷（すなわち ）の場合、入力インピーダンスは純粋に虚数であり、位置と波長（周波数）の周期関数である。 ${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }=0}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=j\,Z_{0}\,\tan(\beta \ell ).\,}$

開ける

開放負荷（すなわち ）の場合、入力インピーダンスは再び虚数で周期的になる。 ${\displaystyle Z_{\mathrm {L} }=\infty }$

${\displaystyle Z_{\mathrm {in} }(\ell )=-j\,Z_{0}\cot(\beta \ell ).\,}$

行列パラメータ

大規模システムに組み込まれた伝送線路のシミュレーションでは通常、シミュレーションをサポートするために必要な完全な伝送線路モデルを具体化する伝送パラメータ(ABCD 行列)、アドミタンスパラメータ(Y 行列) 、インピーダンス パラメータ(Z 行列)、および/または散乱パラメータ(S 行列) が使用されます。

伝送パラメータ

伝送線路は主にABCDパラメータまたは伝送パラメータを用いて定義されます。無損失伝送線路のABCDパラメータは次のように定義されます。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \beta l&jZ_{0}\sin {\beta l}\\j{\frac {1}{Z_{0}}}\sin \beta l&\cos \beta l\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \beta l&jZ_{0}\sin {\beta l}\\jY_{0}\sin \beta l&\cos \beta l\end{bmatrix}}.}$

となるため、伝送線路は対称ネットワークである。また、相互性条件も満たす。損失のある伝送線路の場合、ABCD行列は次のように表される。 ${\displaystyle A=D}$ ${\displaystyle AD-BC=1}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \gamma l&Z_{0}\sinh {\gamma l}\\{\frac {1}{Z_{0}}}\sinh \gamma l&\cosh \gamma l\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \gamma l&Z_{0}\sinh {\gamma l}\\Y_{0}\sinh \gamma l&\cosh \gamma l\end{bmatrix}}.}$

アドミタンスパラメータ

アドミタンス（Y）パラメータは、伝送線路の一方のポート（V1）に一定電圧を印加し、もう一方の端を接地に短絡し、各ポートに流入する電流（I1、I2）を測定することで定義されます^{[8] [9]。}そして、各ポートのアドミタンスをI/Vの比として計算します。アドミタンスパラメータY11はI1/V1、アドミタンスパラメータY12はI2/V1です。伝送線路は電気的に受動的な対称デバイスであるため、Y12 = Y21、Y11 = Y22となります。

損失のない伝送線路と損失のある伝送線路のそれぞれについて、Yパラメータ行列は次のようになる：^{[10] [11]}

${\displaystyle Y_{\text{Lossless}}={\begin{bmatrix}{\frac {-jcot(\beta l)}{Z_{o}}}&{\frac {jcsc(\beta l)}{Z_{o}}}\\{\frac {jcsc(\beta l)}{Z_{o}}}&{\frac {-jcot(\beta l)}{Z_{o}}}\end{bmatrix}}{\text{ }}Y_{\text{Lossy}}={\begin{bmatrix}{\frac {coth(\gamma l)}{Z_{o}}}&{\frac {-csch(\gamma l)}{Z_{o}}}\\{\frac {-csch(\gamma l)}{Z_{o}}}&{\frac {coth(\gamma l)}{Z_{o}}}\end{bmatrix}}}$

インピーダンスパラメータ

インピーダンス（Z）パラメータは、伝送線路の一方のポート（I1）に一定電流を流し、もう一方のポートを開放した状態で、各ポート（V1、V2）の電圧を測定することで定義されます^{[8] [9]。}そして、インピーダンスパラメータZ11はV1/I1、インピーダンスパラメータZ12はV2/I1として計算されます。伝送線路は電気的に受動的な対称デバイスであるため、V12 = V21、V11 = V22となります。

Y行列とZ行列の定義では、およびです。^[12]定義されたZパラメータを持たない 理想的な集中2ポート素子（抵抗器、コンデンサ、インダクタなど）とは異なり、伝送線路にはグランドへの内部パスがあり、Zパラメータの定義が可能です。 ${\displaystyle Y=Z^{-1}}$ ${\displaystyle Z=Y^{-1}}$

無損失伝送線路と損失伝送線路のそれぞれについて、Zパラメータ行列は次のようになる: ^{[10] [11]}

${\displaystyle Z_{\text{Lossless}}={\begin{bmatrix}-jZ_{o}cot(\beta l)&-jZ_{o}csc(\beta l)\\-jZ_{o}csc(\beta l)&-jZ_{o}cot(\beta l)\end{bmatrix}}{\text{ }}Z_{\text{Lossy}}={\begin{bmatrix}Z_{o}coth(\gamma l)&Z_{o}csch(\gamma l)\\Z_{o}csch(\gamma l)&Z_{o}coth(\gamma l)\end{bmatrix}}}$

散乱パラメータ

散乱（S）行列パラメータは、各終端に整合した負荷を持つ伝送線路の電気的挙動をモデル化します。^[10]

無損失伝送線路と損失伝送線路のそれぞれについて、Sパラメータ行列は次のようになります^{[13] [14]}標準的な双曲線複素数から円複素数への変換を使用しています。

${\displaystyle S_{\text{Lossless}}={\begin{bmatrix}{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sin(\beta l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)-j2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}&{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{j(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)+2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}\\{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{j(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)+2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}&{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sin(\beta l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sin(\beta l)-j2Z_{o}Z_{p}cos(\beta l)}}\end{bmatrix}}{\text{ }}S_{\text{Lossy}}={\begin{bmatrix}{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}&{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}\\{\frac {2Z_{o}Z_{p}}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}&{\frac {(Z_{o}^{2}-Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)}{(Z_{o}^{2}+Z_{p}^{2})sinh(\gamma l)+2Z_{o}Z_{p}cosh(\gamma l)}}\end{bmatrix}}}$

変数の定義

上記のすべてのマトリックス パラメータでは、次の変数定義が適用されます。

${\displaystyle Z_{o}}$=特性インピーダンス

Zp = ポートインピーダンス、または終端インピーダンス

${\displaystyle \gamma =\alpha +j\beta }$=単位長さあたりの伝播定数

${\displaystyle \alpha }$=単位長さあたりの減衰定数（ネパー）

${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}={\frac {\omega }{V}}}$=波数または位相定数（ 単位長さあたりのラジアン）

${\displaystyle \omega }$=周波数ラジアン / 秒

${\displaystyle V={\frac {1}{\sqrt {LC}}}={\frac {V_{C}}{\sqrt {E_{re}}}}}$=伝播速度

${\displaystyle \lambda }$=単位長さあたりの波長

L =単位長さあたりのインダクタンス

C =単位長さあたりの静電容量

${\displaystyle E_{re}}$=有効誘電率

${\displaystyle V_{C}}$= 299,792,458メートル/秒 =真空中の光の速度

結合伝送線路

伝送線路は、2本のマイクロストリップ線路が近接しているなど、電気的に相互作用するように互いに近接して配置される場合があります。このような伝送線路は結合伝送線路と呼ばれます。結合伝送線路は、偶モードと奇モードの解析によって特徴付けられます。偶モードは、2本の導体を等しい振幅と位相の信号で励起することによって特徴付けられます。奇モードは、等しく反対の振幅の信号で励起することによって特徴付けられます。偶モードと奇モードはそれぞれ独自の特性インピーダンス（Zoe、Zoo）と位相定数（）を持ちます。損失結合伝送線路には、独自の偶モードと奇モードの減衰定数（）があり、これが偶モードと奇モードの伝搬定数（）につながります。^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]} ${\displaystyle \beta _{e}{\text{, }}\beta _{o}}$ ${\displaystyle \alpha _{e}{\text{, }}\alpha _{o}}$ ${\displaystyle \gamma _{e}{\text{, }}\gamma _{o}}$

結合行列パラメータ

結合伝送線路は、前段落で定義した偶数モードと奇数モードの伝送線路パラメータを使用して、入力ポート1と2、出力ポート3と4でモデル化することができる。^[21]

${\displaystyle {\begin{aligned}Y&={\begin{bmatrix}y11&y12&y13&y14\\y21&y22&y23&y24\\y31&y32&y33&y34\\y41&y42&y43&y44\\\end{bmatrix}}\\Z&=[Y]^{-1}\\&\\{\text{Where:}}&\\{\text{For lossless coupled lines:}}&\\y11&=y22=y33=y44={\frac {-j}{2}}{\bigg (}{\frac {cot(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {cot(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y12&=y22=y34=y43={\frac {-j}{2}}{\bigg (}{\frac {cot(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {cot(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y13&=y31=y24=y42={\frac {j}{2}}{\bigg (}{\frac {csc(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {csc(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y14&=y41=y23=y32={\frac {j}{2}}{\bigg (}{\frac {csc(\beta _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {csc(\beta _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\{\text{For lossy coupled lines:}}&\\y11&=y22=y33=y44={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {coth(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {coth(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y12&=y22=y34=y43={\frac {1}{2}}{\bigg (}{\frac {coth(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {coth(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y13&=y31=y24=y42={\frac {-1}{2}}{\bigg (}{\frac {csch(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}+{\frac {csch(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\y14&=y41=y23=y32={\frac {-1}{2}}{\bigg (}{\frac {csch(\gamma _{e}l)}{Z_{oe}}}-{\frac {csch(\gamma _{o}l)}{Z_{oo}}}{\bigg )}\\\end{aligned}}}$..

実用型

同軸ケーブル

同軸線は、実質的にすべての電磁波をケーブル内の領域に閉じ込めます。したがって、同軸線は（制限付きで）悪影響を与えることなく曲げたりねじったりすることができ、不要な電流を誘導することなく導電性のサポートに固定できます。数ギガヘルツまでの無線周波数アプリケーションでは、波は横方向電界および磁界モード（TEM）でのみ伝播します。つまり、電界と磁界はどちらも伝播方向に対して垂直です（電界は放射状、磁界は円周状です）。ただし、波長（誘電体内）がケーブルの円周よりも大幅に短い周波数では、他の横方向モードが伝播する可能性があります。これらのモードは、横方向電界（TE）導波モードと横方向磁界（TM）導波モードの 2 つのグループに分類されます。複数のモードが存在できる場合、ケーブル形状の曲がりやその他の不規則性により、あるモードから別のモードに電力が転送される可能性があります。

同軸ケーブルの最も一般的な用途は、テレビや数メガヘルツの帯域幅を持つその他の信号です。20世紀半ばには、長距離電話接続にも使用されていました。

平面線

平面伝送線路は、平らなリボン状の導体、あるいは場合によっては誘電体ストリップを用いた伝送線路です。平面型はこれらの部品の製造方法に適しているため、マイクロ波周波数で動作するプリント回路基板や集積回路上の部品を相互接続するために使用されます。平面伝送線路にはいくつかの形態があります。

マイクロストリップ

ケージラインと呼ばれる伝送線路の一種で、高出力・低周波用途に使用されます。太い同軸ケーブルと同様の機能を持ちます。この例は、ポーランドの長波無線送信機のアンテナ給電線で、周波数225kHz、出力1200kWで動作します。

マイクロストリップ回路は、グランドプレーンに平行な薄い平面導体を使用します。マイクロストリップは、プリント基板（PCB）またはセラミック基板の片面に銅のストリップを設け、もう片面を連続したグランドプレーンにすることで構成できます。ストリップの幅、絶縁層（PCBまたはセラミック）の厚さ、および絶縁層の誘電率によって特性インピーダンスが決まります。マイクロストリップは開放型構造であるのに対し、同軸ケーブルは閉鎖型構造です。

ストリップライン

ストリップライン回路は、2つの平行なグランドプレーンに挟まれた平坦な金属ストリップを使用します。基板の絶縁材料は誘電体を形成します。ストリップの幅、基板の厚さ、および基板の比誘電率によって、伝送線路であるストリップの特性インピーダンスが決まります。

コプレーナ導波路

コプレーナ導波路は、中心導体と隣接する2つの外側導体で構成されます。これら3つの導体はすべて平坦な構造で、同一の絶縁基板上に積層されているため、同一平面（「コプレーナ」）上に配置されています。中心導体の幅、内側導体と外側導体間の距離、および基板の比誘電率によって、コプレーナ伝送線路の特性インピーダンスが決まります。

バランスの取れたライン

平衡線路とは、同じ種類の2本の導体で構成され、グランドや他の回路に対して等しいインピーダンスを持つ伝送線路です。平衡線路には様々な形式があり、最も一般的なものとしてはツイストペア、スターカッド、ツインリードなどがあります。

ツイストペア

ツイストペアは地上電話通信に広く使用されています。このようなケーブルでは、2対から数千対までの多数の対が1本のケーブルにまとめられています。^[22] この形式は建物内のデータネットワーク配線にも使用されますが、伝送線路パラメータが厳密に制御されるため、ケーブルはより高価になります。

スタークワッド

スタークワッドは、4本の導体すべてがケーブル軸を中心に撚り合わされた4芯ケーブルです。4線式電話やその他の通信用途など、2つの回線に使用されることがあります。この構成では、各ペアは隣接しない2本の導体を使用します。また、オーディオ用途や2線式電話など、単一の平衡回線に使用されることもあります。この構成では、隣接しない2本の導体がケーブルの両端で一緒に終端され、他の2本の導体も一緒に終端されます。

2 つの回路に使用すると、2 つの別々のツイストペアを持つケーブルに比べてクロストークが減少します。

単一のバランス回線に使用すると、ケーブルが拾った磁気干渉は実質的に完全な共通モード信号として到達し、これは結合トランスによって簡単に除去できます。

ツイスト、バランス信号、四重極パターンの利点を組み合わせることで、優れたノイズ耐性が得られます。特に、マイクケーブルなどの低信号レベルのアプリケーションでは、電源ケーブルに非常に近接して配線した場合でも、その効果は顕著です。^{[23] [24]}欠点は、スタークワッドは2本の導体を組み合わせるため、通常、同様の2芯ツイストシールドオーディオケーブルの2倍の静電容量を持つことです。高い静電容量は、距離が長くなるにつれて歪みが増加し、高周波損失も大きくなります。^{[25] [26]}

ツインリード

ツインリードは、連続した絶縁体によって互いに離間した一対の導体で構成されています。導体間の距離を一定に保つことで、形状が固定され、線路特性が確実に一定になります。ツインリードの特性インピーダンスは一般的に同軸ケーブルよりも高く、電流が減少することで抵抗損失も低減するため、同軸ケーブルよりも損失が低くなります。ただし、干渉の影響を受けやすくなります。

レッチャーライン

レッヒャー線路は、 UHF帯で共振回路を構成するために使用できる並列導体の一種です。集中定数素子（ HF / VHF帯で使用）と共振空洞（UHF / SHF帯で使用）の間のギャップを埋める、実用的で便利な形式です。

単線回線

不平衡線はかつて電信伝送に多用されていましたが、現在ではこの通信方式は使われていません。ケーブルは、多数の芯線を束ねたツイストペア線に似ていますが、1回線あたり1本の導体しかなく、撚り合わせもされていません。同一ルート上のすべての回線は、帰路電流（アースリターン）として共通の経路を使用します。多くの場所では、単線アースリターンの電力伝送バージョンが使用されています。

一般的な用途

信号伝達

電力伝送線は、高周波信号を長距離または短距離にわたって最小限の電力損失で伝送するために広く利用されています。身近な例としては、テレビやラジオのアンテナから受信機までの配線が挙げられます。

伝送線路回路

伝送線路を使用して、インピーダンス整合回路、フィルタ、電力分配器、方向性結合器などのさまざまな回路を構築することもできます。

階段状伝送線路

3つのセグメントからなるステップ伝送線路の簡単な例

ステップ伝送線路は、広範囲のインピーダンス整合に用いられる。これは、複数の伝送線路セグメントを直列に接続したものとみなすことができ、各要素の特性インピーダンスは^[27]である。入力インピーダンスは、連鎖関係を連続的に適用することで得られる 。 ${\displaystyle Z_{\mathrm {0,i} }}$

${\displaystyle Z_{\mathrm {i+1} }=Z_{\mathrm {0,i} }\,{\frac {\,Z_{\mathrm {i} }+j\,Z_{\mathrm {0,i} }\,\tan(\beta _{\mathrm {i} }\ell _{\mathrm {i} })\,}{Z_{\mathrm {0,i} }+j\,Z_{\mathrm {i} }\,\tan(\beta _{\mathrm {i} }\ell _{\mathrm {i} })}}\,}$

ここで、 は- 番目の伝送線路セグメントの波数、はこのセグメントの長さ、 は- 番目のセグメントに負荷をかけるフロントエンドインピーダンスです。 ${\displaystyle \beta _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$ ${\displaystyle \ell _{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {i} }}$ ${\displaystyle \mathrm {i} }$

インピーダンス変換円は、特性インピーダンスが入力ケーブルのインピーダンスよりも小さい伝送線路に沿って存在します。その結果、インピーダンス曲線は軸に向かって中心がずれます。逆に、 の場合、インピーダンス曲線は軸に向かって中心がずれるはずです。 ${\displaystyle Z_{\mathrm {0,i} }}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle -x}$ ${\displaystyle Z_{\mathrm {0,i} }>Z_{0}}$ ${\displaystyle +x}$

各伝送ラインセグメントの特性インピーダンスは、4 番目の入力ケーブルのインピーダンス(上の図の左側に矢印でのみ示されています) と異なることが多いため、インピーダンス変換円は、インピーダンス表現が通常 に対して正規化されるスミス チャートの軸に沿って中心からずれています。 ${\displaystyle Z_{\mathrm {0,i} }}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle Z_{0}}$

集中要素の近似

高周波では、インダクタやコンデンサなどの現実世界の集中定数素子のリアクタンス性寄生効果により、それらの有用性が制限されます。^{[28]そのため、}リチャーズ変換を 用いて高周波におけるインダクタやコンデンサの電気的特性を伝送線路で近似し、集中定数素子を伝送線路で置き換えることが有用な場合があります。^{[29] [30]}

上級設計者向けには、伝送線路を用いたより正確なマルチモード高周波インダクタモデリングが存在する。^[31]

スタブフィルター

短絡または開回路の伝送線路を、信号をポイント A からポイント B に転送する線路と並列に接続すると、フィルタとして機能します。スタブを作成する方法は、レッヒャー線路を使用して大まかな周波数を測定する方法と似ていますが、「逆の手順」になります。RSGBの無線通信ハンドブックで推奨されている方法の 1 つは、アンテナから信号を送るフィーダと並列に配線された開回路の長さの伝送線路を用意することです。伝送線路の自由端を切断すると、受信機で観測される信号強度の最小値を見つけることができます。この段階では、スタブ フィルタはこの周波数と奇数次高調波を除去しますが、スタブの自由端を短絡すると、スタブは偶数次高調波を除去するフィルタになります。

広帯域フィルタは複数のスタブを用いることで実現できます。ただし、これはやや時代遅れの手法です。平行線共振器などの他の手法を用いることで、よりコンパクトなフィルタを実現できます。

パルス生成

伝送線路はパルス発生器として用いられます。伝送線路を充電し、抵抗負荷に放電することで、電圧は半分ですが、伝送線路の電気長の2倍の長さに等しい矩形パルスを得ることができます。ブルームライン伝送線路は、この制限を克服するパルス発生器です。ブルームライン伝送線路は、レーダー送信機などの機器のパルス電源として使用されることがあります。

音

音波伝播の理論は数学的には電磁波の理論と非常に似ているため、音波を伝導する構造を構築するのに伝送線路理論の技術も使用され、これらは音響伝送線路と呼ばれます。

参照

• 人工送電線
• 縦方向電磁波
• 伝播速度
• 無線周波数電力伝送
• 時間領域反射計

参考文献

この記事の一部は連邦規格 1037Cから抜粋したものです。

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外部リンク

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