ツイストノット

Family of mathematical knots

6 回半ねじりのツイストノット。

数学の一分野である結び目理論において、ツイストノットは、閉じたループを繰り返しねじって両端を結んだ結び目です。（つまり、ツイストノットは、非結び目のホワイトヘッド二重です。）ツイストノットは、結び目の無限の族であり、トーラスノットに次いで最も単純なタイプの結び目であると考えられています。

工事

ツイストノットは、ねじれたループの両端を繋ぎ合わせることで得られます。繋ぎ合わせる前にループに任意の数の半ねじりを加えることができるため、無限の可能性が生まれます。以下の図は、最初のツイストノットをいくつか示しています。

• 
  半ねじり
  （三葉結び、3 ₁）
• 
  2回半ねじり
  （8の字結び、4 ₁）
• 
  3回半ねじり
  （5 ₂ノット）
• 
  4つの半ねじり
  （スティーブドアノット、6 ₁）
• 
  5回半ねじり
  （7.2_ノット）
• 
  6回半ねじり
  （8 ₁ノット）

プロパティ

4 つの半ねじりのスティーブドア ノットは、4 つの半ねじりの結び目の一方の端をもう一方の端に通すことによって作成されます。

すべてのツイストノットは、両端を解くことで解けるため、解け数1です。すべてのツイストノットは2ブリッジノットでもあります。^[1] ツイストノットのうち、アンクノットとスティーブドアノットのみがスライスノットです。^[2]半ねじれ のツイストノットは交差数です。すべてのツイストノットは可逆ですが、アンフィキラルなツイストノットはアンクノットと8の字結び目のみです。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+2}$

不変量

ねじり結び目の不変量は半ねじりの数に依存する。ねじり結び目のアレクサンダー多項式は次の式で与えられる。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \Delta (t)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\\\end{cases}}}$

そしてコンウェイ多項式は

${\displaystyle \nabla (z)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}z^{2}+1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\1-{\frac {n}{2}}z^{2}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\\\end{cases}}}$

が奇数のとき、ジョーンズ多項式は ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},}$

そして偶数の場合は ${\displaystyle n}$

${\displaystyle V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.}$

参考文献

1. ロルフセン、デール (2003). 『結び目とつながり』 プロビデンス、ロードアイランド州: AMS チェルシー出版. pp. 114. ISBN 0-8218-3436-3。
2. Weisstein, Eric W.「ツイストノット」。MathWorld。

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Twist_knot&oldid=1037043828"