二体問題

Motion problem in classical mechanics

左：質量がほぼ等しい2つの天体が、共通の重心を周回しながら、両天体の外側に楕円軌道を描いて公転している。このモデルは連星の典型である。
右：質量がわずかに異なる2つの天体が共通の重心を周回している。これらの天体の大きさと軌道は、冥王星・カロン系（重心が両天体の外側にある）や地球・月系（重心が大きな天体の内側にある）に類似している。

古典力学における二体問題とは、宇宙空間で互いの周りを回る二つの質量の大きな物体の運動を計算し、予測することです。この問題では、二つの物体は互いにのみ相互作用する点粒子であると仮定します。それぞれの物体に作用する力は、もう一方の物体からのみ生じ、他の物体は無視されます。

古典的な二体問題の最も顕著な例は重力の場合（ケプラー問題も参照）であり、これは天文学において衛星、惑星、恒星などの物体の軌道（あるいは軌道からの離脱）を予測するために生じる。このような系の二点粒子モデルは、ほぼ常にその挙動を十分に記述し、有用な洞察と予測を提供する。

より単純な「一体型」モデルである「中心力問題」では、一方の物体を他方の物体に作用する力の不動源として扱います。そして、残る唯一の移動物体の運動を予測しようとします。このような近似は、一方の物体の質量が他方の物体よりもはるかに大きい場合（例えば、重い恒星を周回する軽い惑星など、恒星は基本的に静止しているとみなせる場合）に有用な結果をもたらします。

しかし、一体近似は、通常、踏み石として使用する場合を除いて不要です。重力を含む多くの力の場合、二体問題の一般的なバージョンは一対の一体問題に還元することができ、これにより完全に解くことができ、効果的に使用できるほど単純な解が得られます。

対照的に、三体問題（およびより一般的には、n ≥ 3のn体問題 ）は、特殊な場合を除いて、第一積分では解くことができません。

著名な事例の結果

重力とその他の逆二乗の例

二体問題は天文学において興味深い問題です。なぜなら、天体のペアは、多くの場合、任意の方向に高速で移動しており（そのため、その動きが興味深いものになります）、互いに大きく離れているため（そのため、衝突しません）、さらに他の天体から大きく離れているため（そのため、外部の影響は無視できるほど小さくなります）、興味深い問題だからです。

重力の影響下では、このような物体のペアは、互いの質量中心を周回する楕円軌道を描く。ただし、互いに完全に逃れるほどの速度で運動している場合は、軌道は別の平面円錐曲線に沿って分岐する。一方の物体が他方の物体よりもはるかに重い場合、共通の質量中心に対する移動量は、他方の物体よりもはるかに小さい。質量中心は、大きい方の物体の内部にあることさえある。

この問題の解の導出については、古典的な中心力の問題またはケプラーの問題を参照してください。

原理的には、重力だけでなく、逆二乗則に従う他のあらゆる引力スカラー力場を介して相互作用する物体を含むマクロな問題にも、同じ解法が当てはまります。静電引力はその明白な物理的例です。実際には、このような問題はめったに発生しません。実験装置やその他の特殊な装置を除けば、衝突を回避できるほどの速度と方向で移動し、かつ／または周囲から十分に隔離された、静電的に相互作用する物体に遭遇することは稀です。

トルクの影響下にある2体系の力学系は、シュトゥルム・リウヴィル方程式となることが分かる。[ 1 ^]

原子および亜原子粒子には適用できない

二体モデルでは物体を点粒子として扱いますが、古典力学はマクロスケールの系にのみ適用されます。素粒子の挙動の大部分は、本論文の基礎となる古典力学的な仮定やここで用いる数学を用いて予測することはできません。

原子内の電子は、ニールス・ボーアの初期の仮説（これが「軌道」という用語の由来です）に従って、原子核の周りを「周回している」と説明されることがあります。しかし、電子は実際には意味のある意味で原子核の周りを周回しているわけではなく、電子の実際の挙動を理解するには量子力学が不可欠です。原子核の周りを周回する電子について古典的な二体問題を解くことは誤解を招きやすく、多くの有用な洞察は得られません。

2つの独立した一体問題への還元

完全な二体問題は、2つの一体問題として再定式化することで解くことができます。1つは自明な問題、もう1つは外部ポテンシャル内の1つの粒子の運動を解く問題です。多くの一体問題は厳密に解けるため、対応する二体問題も厳密に解くことができます。

二体問題におけるヤコビ座標。ヤコビ座標はであり、である。^[2] ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }$

2つの物体のベクトル位置をx ₁とx ₂ 、質量をm ₁とm ₂とします。目標は、初期位置x ₁ ( t = 0 )とx ₂ ( t = 0 ) 、初期速度v 1 ( t = 0)とv ₂ ( t = 0)が与えられたとき、すべての時刻tにおける軌道x ₁ ( t )とx ₂ ( t )_を決定することです。

二つの質量に適用すると、ニュートンの第二法則は次のように述べます。

$${\displaystyle \mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}}$$

式1

$${\displaystyle \mathbf {F} _{21}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}$$

式2

ここで、F ₁₂は質量 2 との相互作用により質量 1 に作用する力であり、F ₂₁は質量 1 との相互作用により質量 2 に作用する力です。x 位置ベクトルの上にある 2 つの点は、時間に関する 2 次導関数、つまり加速度ベクトルを表します。

これら2つの方程式を加算および減算することで、2つの一体問題に分離され、それぞれ独立に解くことができます。式(1)と式( 2 )を加算すると、質量中心（重心）の運動を記述する方程式が得られます。一方、式(1)から式(2)を減算すると、質量間のベクトルr = x ₁ − x ₂が時間とともにどのように変化するかを記述する方程式が得られます。これらの独立した一体問題の解を組み合わせることで、軌道x ₁ ( t )とx ₂ ( t )の解を得ることができます。

質量中心の運動（第1体問題）

系の質量中心（重心）の位置をとします。力の式（1）と（2）を加えると、ニュートンの第三法則F ₁₂ = − F ₂₁が 成立し、 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ $${\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=(m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=\mathbf {F} _{12}+\mathbf {F} _{21}=0}$$ $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}\equiv {\frac {m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

結果として得られる式は、質量中心の速度が一定であることを示しており、このことから全運動量m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂も一定であることがわかります（運動量保存則）。したがって、質量中心の位置R ( t )は、初期位置と速度から常に決定できます。 $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {R} }}=0}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {dR}{dt}}}$

変位ベクトル運動（第2体問題）

両方の力の方程式をそれぞれの質量で割り、最初の方程式から 2 番目の方程式を引き、整理すると、次の方程式が得られます。 ここでも、ニュートンの第 3 法則F ₁₂ = − F ₂₁が 使用され、r は上で定義したように、質量 2 から質量 1 への変位ベクトルです。 $${\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} _{12}}{m_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} _{21}}{m_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}\right)\mathbf {F} _{12}}$$

二つの物体に生じる力は、二つの物体間の距離rのみの関数であり、絶対位置x ₁とx ₂の関数ではない。そうでなければ並進対称性は存在せず、物理法則は場所によって変化しなければならない。したがって、減算された方程式は次のように書ける。ここで、減算された質量は $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}(\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} )}$$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}}={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

r ( t )に関する方程式を解くことが二体問題の鍵です。解は、 で定義される物体間の比力に依存します。 が反二乗則に従う場合については、ケプラーの問題を参照してください。 ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$

R ( t )とr ( t )が決定されると、 R とrの定義をこれら 2 つの方程式の右辺に代入することで検証できる元の軌道が得られます。 $${\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\mathbf {r} (t)}$$

二体運動は平面的である

2 つの物体の相互の運動は常に平面内（質量中心のフレーム内）で起こります。

証明：質量中心に対する系の線形運動量 pと角運動量 Lを次の式で定義する。 $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times \mu {\frac {d\mathbf {r} }{dt}},}$$

ここで、μは換算質量、rは相対位置r ₂ − r ₁（これらは質量中心を原点として書き、したがって両方ともrに平行）であり、角運動量Lの変化率は正味トルク Nに等しく、ベクトル積の性質を用いて、任意のベクトルvとwが同じ方向を指している 場合、v × w = 0となる。 $${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}\ ,}$$

$${\displaystyle \mathbf {N} \ =\ {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} \ ,}$$ここで、F = μ  d ² r / dt ²。

2つの粒子間の力はそれらの位置を結ぶ線に沿って作用するという仮定（ほとんどの物理的な力はニュートンの運動の強い第三法則に従うため、この仮定は成り立つ）を導入すると、 r × F = 0となり、角運動量ベクトルLは一定（保存）となる。したがって、変位ベクトルrとその速度vは常に一定ベクトルLに垂直な平面内にある。

二体系のエネルギー

力F ( r )が保存力である場合、システムの位置エネルギー U ( r )は次のように表される。 $${\displaystyle E_{\text{tot}}={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+U(\mathbf {r} )={\frac {1}{2}}(m_{1}+m_{2}){\dot {\mathbf {R} }}^{2}+{1 \over 2}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$

質量中心フレームでは運動エネルギーは最低となり、総エネルギーは、座標x ₁とx ₂は次のように表すことができます 。 同様に、エネルギーEは、各物体の運動エネルギーを個別に含むエネルギーE ₁とE ₂と関連しています。 $${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}+U(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{1}={\frac {\mu }{m_{1}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=-{\frac {\mu }{m_{2}}}\mathbf {r} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{1}&={\frac {\mu }{m_{1}}}E={\frac {1}{2}}m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}^{2}+{\frac {\mu }{m_{1}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{2}&={\frac {\mu }{m_{2}}}E={\frac {1}{2}}m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}^{2}+{\frac {\mu }{m_{2}}}U(\mathbf {r} )\\[4pt]E_{\text{tot}}&=E_{1}+E_{2}\end{aligned}}}$$

中央軍

多くの物理的問題において、力F ( r )は中心力、 すなわちr = | r |の形をとり、r̂ = r / rは対​​応する単位ベクトルです。つまり、次の式が成り立ちます。ここで、引力の場合、 F ( r )は負です。 $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$$ $${\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}={F}(r){\hat {\mathbf {r} }}\ ,}$$

参照

• エネルギードリフト
• 中心の方程式
• オイラーの三体問題
• ケプラー軌道
• ケプラー問題
• n体問題
• 三体問題
• ビリアル定理

参考文献

1. Luo, Siwei (2020年6月22日). 「二体系のシュトゥルム・リウヴィル問題」. Journal of Physics Communications . 4 (6): 061001. Bibcode :2020JPhCo...4f1001L. doi : 10.1088/2399-6528/ab9c30 .
2. デビッド・ベトゥーンズ (2001)。微分方程式。スプリンガー。 p. 58;図2.15。ISBN 0-387-95140-7。

参考文献

• Landau LD ; Lifshitz EM (1976). 『力学』（第3版）. ニューヨーク: Pergamon Press . ISBN 0-08-029141-4。
• ゴールドスタイン・H (1980).古典力学（第2版）. ニューヨーク:アディソン・ウェスレー. ISBN 0-201-02918-9。

外部リンク

• エリック・ワイスタインの物理学の世界における二体問題

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